Chuyên đề lượng giác và ứng dụng

Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng PHẦN PHẦN I: LƯỢNG GIÁC - CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC (PTLG) BÀI 1: CAC KHAI NIÊM CƠ BAN I PHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN (PTCB): Trong lượng giác có phương trình Dù (chính nên có tên vậy) phải nêu PTLG khác giải ñược phải ñưa PTCB sau ñây: sin x = α với α ≤ , có nghiệm là:  x = arcsin α + k 2π  x = π − arcsin α +k2π  ( k ∈ Z) cos x = α với α ≤ , có nghiệm là: x = ± arc cos α+k2π ( k ∈ Z) tgx = α có nghiệm là: x = arc tgα + kπ ( k ∈ Z) (hay cot gx = α có nghiệm là: x = arc cot gα + kπ ) ( k ∈ Z) Chu y: Trong cac PTCB ta ña co sư dung ñên cac ham sô lương giac ngươc: Ham y = arcsin x : Miên xac ñinh: D = [ −1,1]   π π  y ∈ − ;  y = arcsin x ⇔   2 sin y = x  Ham y = arccos x : Miên xac ñinh: D = [ −1,1]  y ∈ [ 0; π ] y = arc cos x ⇔  cos y = x Ham y = arc tgx : Miên xac ñinh: D = R   π π y ∈ − ;  y = arc tgx ⇔   2 tgy = x  Ham y = arc cot gx : Miên xac ñinh: D = R  y ∈ ( 0; π ) y = arc cot gx ⇔  cot gy = x Nhóm học sinh lớp 11A1 Chương 1: Phương trình lượng giác Ta xet mơt sơ tốn sau: Bài toán 1: Giai phương trinh sau: cos ( 3π sin x ) = cos ( π sin x ) Giai cos ( 3π sin x ) = cos (π sin x ) 3π sin x = π sin x + k 2π  2π sin x = k 2π ⇔ ⇔ 3π sin x = −π sin x + k 2π  4π sin x = k 2π Do k ∈ Z   sin x ≤ sin x = k ⇔ sin x = k   k ≤1 k  ⇔k ⇔ ≤ ⇔ k ∈ {0; ±1; ±2} ≤1  sin x =  ⇔ sin x = ±  sin x = ±1   sin x =  ⇔ sin x =   sin x = −  lπ  x =   x = ± π + k 2π  ⇔  x = 5π + k 2π   7π + k 2π x =  lπ  x = ⇔  x = ± π + kπ  (l , k ∈Z ) Vây nghiêm cua phương trinh ña cho la lπ  x = (l ,k ∈Z )   x = ± π + kπ  Nhân xet: ðây la môt PTLG ma viêc giai no rât đơn gian, mâu chơt cua bai la vi tri quan cua ‘k’ ðôi luc vai tro cua ‘k’ viêc giai PTLG rât quan trong.Viêc xet ñiêu kiên ‘k’ co thê ñưa ñên môt sô PTLG kha hay liên quan đên viêc giai mơt sơ bai toan đai sơ, sơ hoc nho ma ta se găp mơt sơ tốn sau: Bài tốn 2: (ðH Tông hơp Lômônôxôp khoa Tinh Toan va ðiêu Khiên 1979-ðHSPII 2000) Tim tât ca cac nghiêm nguyên cua phương trinh sau: π  cos  x − x + 160 x + 800  = 8  ) ( Giai Năm học 2006 – 2007 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Gia sư x la sơ ngun thoa man phương trinh, đo ta co: π  cos  x − x + 160 x + 800  =   ) ( ⇔ π ( 3x − ) x + 160 x + 800 = k 2π ( k ∈ Z ) ⇔ x + 160 x + 800 = x − 16k 3 x − 16k ≥ ⇔ 2 9 x + 160 x + 800 = ( x − 16k ) 3 x − 16k ≥  ⇔ 8k − 25 x =  3k +  ⇒ 3 x − 16k ≥  ⇔ 25 (1) = − − x 24 k 40 3k +  25 ∈ Z , suy : k ∈ {0;-2;-10} 3k + ( 2) Tư ( ) , băng cach thư trưc tiêp vao (1) ta ñươc:  k = −2    x = −7  k = −10    x = −31 Nhân xet: ðây la môt PTLG ban, viêc giai no thât la giai môt phương trinh nghiêm nguyên hai ân ma ta se ñê câp ñên môt cach cu thê phân sau.Bai toan chi nhăm muc ñich minh hoa cho vai tro cua ‘k’ Bài tốn : Tim sơ a>0 nho nhât thoa man:    cos π  a + 2a −   − sin (π a ) =0    Giai    π  cos π  a + 2a −   − sin (π a ) =0 ⇔ cos  − π ( a + 2a )  = sin (π a )  2    ⇔ sin π ( a + 2a )  = sin (π a ) π ( a + 2a ) = π a + k 2π ⇔ π ( a + 2a ) = π − π a + k 2π  a = k ∈ Z ⇔ ( *)  2a + 2a − ( 2k + 1) = (*)  −1 Do a >0 suy Mina = k ∈ Z  Nhân xet: Bai toan mâu chôt quan trong: Nhóm học sinh lớp 11A1 Chương 1: Phương trình lượng giác -Thư nhât: ta đa sư dung cơng thưc ban lơi hai nhât la đơi vơi cac bai toan co dang sin a + cos b : π  sin x = cos  − x  2  -Thư hai: tim gia tri nho nhât co thê co cua biên a Bài toán 4: Tim nghiêm dương nho nhât cua phương trinh: sin (π x ) = sin π ( x + 1)    Giai sin (π x ) = sin π ( x + 1)    2k +  π x = π ( x + 1)2 + k 2π x = − ( k ∈ Z ) ⇔ ⇔  π x = π − π ( x + 1) + k 2π   x + x − k = (k ∈Z ) k ∈ 2k + 1 >0 , k ∈ Z suy ra: , ta ñươc x = la nghiêm dương nho nhât 2 (+) Xet x = − (+) Xet phương trinh x + x − k = (*) co: ∆ = + 4k ≥  k ≥ − ⇔ ⇒k ≥0 k ∈ Z Thư trưc tiêp ta thây k = thi phương trinh (*) co nghiêm nho nhât la: x= -1+ > (loai) 2 Vây nghiêm dương nho nhât cua phương trinh ña cho la: x = Bài tốn 5: Tinh tơng cac nghiêm x ∈ [ 0,100] cua phương trinh sau: cos3 x − cos x + = cos x + tg x cos x Giai ðiêu kiên: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ( k ∈ Z) Vơi ñiêu kiên phương trinh: ⇔ cos x − + ⇔ cos x = cos x Năm học 2006 – 2007 = cos x + tg x cos x  x = k 2π ⇔  x = k 2π  ,k ∈Z ⇔ x= k 2π (*) Z Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng     100   50  = = 47 Do ≤ x ≤ 100 nên ≤ k ≤  2π   π        3 47.2π   48  +    ⇒S= =752 π Nhân xet: Bài toán ngoai viêc cho ta thây vai tro cua ‘k’ chi ro môt vân ñê: tâm quan cua viêc kêt hơp nghiêm Thư hinh dung, nêu ta không kêt hơp nghiêm lai dươi dang cơng thưc (*) đon gian thi ta phai tiên hanh xet bât phương trinh sau: k 2π ≤ 100 Như vây ta phai tôn thơi gian hơn, qua trinh giai bai toan se bi keo dai môt cach không cân thiêt ≤ k 2π ≤ 100 ; 0≤ II KÊT HƠP CÔNG THƯC NGHIÊM: Kêt hơp công thưc nghiêm cac PTLG giup cho ta co thê loai ñươc nghiêm ngoai lai ma co thê co đươc mơt cơng thưc nghiêm ñơn gian hơn, tư ño viêc giai quyêt bai toan trơ nên đơn gian (giơng tốn ma ta vưa xet trên) ðôi luc viêc kêt hơp công thưc nghiêm cung tương tư viêc giai môt phương trinh lương giac ban băng phương phap thê Ơ ta khơng đê căp đên phương phap ma ta chi noi ñên hai phương phap chu yêu sau: A ðƯƠNG TRON LƯƠNG GIAC: 1.Cac khai niêm ban: a) ðương tron lương giac: la ñương tron co ban kinh ñơn vi R = va ño ta ña chon môt chiêu dương ( + ) (thơng thương chiêu dương la chiêu ngươc chiêu kim đơng hô) b) Cung lương giac: AB (vơi A, B la ñiêm ñương tron lương giac) la cung vach bơi ñiêm M di chuyên ñương tron lương giac theo mơt chiêu nhât đinh tư A đên B c) Goc lương giac: khac vơi goc binh thương goc lương giac co mơt chiêu nhât đinh Phương pháp biêu diên goc va cung lương giac: a) Biêu diên cac ñiêm ngon cua cung lương giac biêt sô ño co dang α + kπ : Ta đưa sơ đo vê dang α + k 2π m Bai toan co m ngon cung phân biêt tương ưng vơi k tư đên ( m-1) Bài tốn 1: Trên đương tron lương giac, ta lây điêm A lam gơc ðinh ñiêm M biêt sñ AB = π +k π Giai Ta co sñ AB = π +k Nhóm học sinh lớp 11A1 π = π +k 2π Suy co ñiêm ngon cung phân biêt ưng vơi: 10 Chương 1: Phương trình lượng giác ( + ) k = : AM = π 3π ( + ) k = 1: AM = ( + ) k = : AM = 5π 7π ðê y ta thây ñương lương giac cac ñiêm ngon cung la đinh cua hinh vng ( + ) k = : AM = M M1M M Nhân xet: Trên ñương tron lương giac cac ñiêm ngon cung la đinh cua mơt đa giac đêu m canh b) Biêu diên goc (cung) dươi dang công thưc tơng quat: Ta biêu diên tưng goc (cung) đương tron lương giac Tư đo suy cơng thưc tơng quat Bài toán 2: Biêu diên goc lương giac co sơ đo sau dươi dang mơt cơng thưc tơng quat:  x = kπ  π   x = ± + kπ Giai Ta biêu diên cac ñiêm ngon cung cua x = kπ = k 2π k = 0: x = k = 1: x = π Ta biêu diên cac ñiêm ngon cung cua x = ± k = 0: x = ± π + kπ π 4π Trên ñương tron lương giac, ta nhân thây co ñiêm ngon cung phân biêt, Do đo cơng thưc k = 1: x = ± k 2π kπ = Nhân xet: Qua toán ta thây ro vai tro cua viêc kêt hơp cac goc lương giac dươi dang môt cơng thưc tơng quat đơn gian Hơn nưa, la tốn vê viêc giai phương tơng quat la: x= trinh lương giac ban băng phương phap biêu diên ñương tron lương giac Bai toan giai PTLG dung phương phap kêt hơp nghiêm băng ñương tron lương giac đê loai cac nghiêm ngoai lai Năm học 2006 – 2007 11 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng Bài tốn 1: Giai phương trinh: sin x(sin x + cos x) − =0 cos x + sin x − Giai ðiêu kiên: cos x + sin x − ≠ ⇔ sin x + sin x ≠ sin x ≠ ⇔ sin x ≠  x ≠ kπ  ⇔ (1) π  x ≠ + kπ Vơi ñiêu kiên ño phương trinh tương ñương: sin x ( cos x + sin x ) − = ⇔ sin x + sin x cos x − = ⇔ cos x(sin x − cos x ) = π   x = + kπ ⇔ , k ∈ Z ( 2)  x = π + kπ  cos x = ⇔ sin x = cos x Kêt luân: nghiêm cua phương trinh ña cho la: π + kπ ; π + k 2π ,( k ∈ Z ) 2 Nhân xet: ðây la môt bai co công thưc nghiêm ñơn gian cho phep ta co thê biêu diên mơt cach chinh xac đương tron lương giac Tuy nhiên ta hay xet thêm tốn sau đê thây ro mau săc cua bai toan biêu diên nghiêm ñương tron lương giac x= x=− Bài toán 2: Giai phương trinh sau: sin x =1 cos x Giai ðiêu kiên ñê phương trinh co nghia la: cos x ≠ ⇔ x ≠ π + kπ ⇔ x ≠ π + 12 Vơi ñiêu kiên (1) phương trinh tương ñương: sin x = cos x π  ⇔ cos x = cos  − x  2  π  6 x = − x + 2mπ ⇔ m∈Z 6 x = x − π + 2mπ  Nhóm học sinh lớp 11A1 12 kπ , k ∈ Z (1) Chương 1: Phương trình lượng giaùc π mπ   x = 20 + ⇔ m∈Z  x = − π + mπ  So sanh cac nghiêm vơi ñiêu kiên ban ñâu ta ñươc nghiêm cua phương trinh la: mπ va m ≠ 5n + , n ∈ Z 20 Nhân xet: ta nhân thấy đơi vơi bai toan viêc biêu diên băng ñương tron lương giac ña ttrơ nên kho khăn va kho chinh xac Do ño ta hay xem phương phap hai x= π + B PHƯƠNG TRINH NGHIÊM NGUYÊN: Cơ sơ cua phương phap: Giai phương trinh bâc nhât hai ân ax + by = c , vơi a,b,c nguyên a) ðinh li 1: ðinh li vê sư tôn tai nghiêm nguyên Cân va ñu ñê phương trinh ax + by = c ,vơi ( a, b, c ∈ Z ) co nghiêm nguyên la ( a, b ) c Hê qua: Nêu ( a, b ) = thi phương trinh ax + by = c co nghiêm nguyên b) ðinh li 2: nêu phương trinh ax + by = c , vơi ( a, b, c ∈ Z ) , a + b ≠ , ( a, b ) = co môt nghiêm riêng ( x0 , y0 ) thi nghiêm tông quat cua phương trinh la:  x = x0 + bt , vơi t ∈ Z   y = y0 − at Vi du: phương trinh x + y = co nghiêm riêng la (1, −1) va nghiêm tông quat la:  x = + 2t , vơi t ∈ Z   y = −1 − 3t c) Vi du: giai va biên luân phương trinh nghiêm nguyên sau theo tham sô m nguyên x − 11 y = m + (1) Ta co ( 6,11) = nên phương trinh (1) co nghiêm nguyên Phương trinh (1) co nghiêm riêng la ( 2m + 4, m + ) nên co nghiêm tông quat:  x = 2m + − 11t , t ∈Z   y = m + − 6t Vi du: Ta xet môt sô bai toan dung phương trinh nghiêm nguyên ñê kêt hơp nghiêm hay giai phương trinh qua cua PTLG Bài toán 1: Giai phương trinh : tg xtg x = Giai ðiêu kiên: Năm học 2006 – 2007 13 Chuyên đề Lượng giác Ứng dụng π π kπ    x ≠ + (1) 2 x ≠ + kπ ⇔ ,k ∈Z   x ≠ π + kπ ( )  x ≠ π + kπ   14 Vơi ñiêu kiên phương trinh tương ñương: sin x sin x = cos x cos x ⇔ 9x = ⇔ cos x = π + mπ ⇔ x= π + 18 Ta xet xem nghiêm cua (3) co thoa ñiêu kiên (1), (2) hay không: mπ , (3) m ∈ Z • Xet ñiêu kiên (1): Ta giai phương trinh nghiêm nguyên sau: π +k π = π 18 + mπ ⇔ 4m − 18k = Dê dang nhân thây phương trinh co ( 4,18 ) = không phai la ươc cua nên phương trinh nghiêm nguyên vô nghiêm Vây nghiêm (3) thoa man (1) • Xet điêu kiên (2): Ta giai phương trinh nghiêm nguyên sau: π kπ π mπ = + 14 18 ⇔ + 14m = + 18k + ⇔ m − 9k = co nghiêm riêng tông quat la: m = + 9t ,t ∈Z  k = + 7t Do vây nghiêm cua phương trinh ña cho la: mπ , vơi m∈Z va m ≠ 9t + 4, n ∈ Z 18 Nhân xet: ðôi vơi bai toan ta nhân thây công thưc nghiêm cua no kha phưc tap, viêc biêu diên ñương tron kho ñươc chinh xac Cho nên ta dung phương trinh nghiêm nguyên se chinh xac va dê dang Quay trơ lai toán2 muc ta thây nêu dung phương trinh vơ đinh thi bai toan se nhanh x= π + Bài toán 2: Giai phương trinh ban sau: cos x =  cos x = Giai cos x =  cos x =  x = 4kπ (1) ⇔ (k , l ∈ Z)  x = 2lπ (2) ðê giai phương trinh ta giai phương trinh nghiêm ngun: Nhóm học sinh lớp 11A1 14 Chương 1: Phương trình lượng giác 4kπ = 2lπ k = + t ⇔ ,t ∈Z l = 2t Vây nghiêm cua ña cho la: x = t π vơi t ∈ Z Nhân xet: Co thê ta cho tốn cưc ki đơn gian no rât quan Co môt sai lâm thương găp vô cung nguy hiêm: nhin vao phương trinh ñơn gian ta nghi ñên ñương tron lương giac -“cưc ki cưc ki nguy hiêm” Bơi vi ñương tron lương giac co chu ki la 2π ño (1) co chu ki la 4π va (2) co chu ki la 2π Ta khơng thê sư dung đương tron lương giac trương hơp Chu y :Ta chi dung đương tron lương giac sơ đo goc lương giac ño co dang: k 2π kπ hay x = α + m m (do ñương tron lương giac co chu ki 2π ) x =α + Năm học 2006 – 2007 15 ...  cos  x − x + 16 0 x + 800  =   ) ( ⇔ π ( 3x − ) x + 16 0 x + 800 = k 2π ( k ∈ Z ) ⇔ x + 16 0 x + 800 = x − 16 k 3 x − 16 k ≥ ⇔ 2 9 x + 16 0 x + 800 = ( x − 16 k ) 3 x − 16 k ≥  ⇔ 8k − 25... riêng la (1, 1) va nghiêm tông quat la:  x = + 2t , vơi t ∈ Z   y = 1 − 3t c) Vi du: giai va biên luân phương trinh nghiêm nguyên sau theo tham sô m nguyên x − 11 y = m + (1) Ta co ( 6 ,11 ) =... a = k ∈ Z ⇔ ( *)  2a + 2a − ( 2k + 1) = (*)  1 Do a >0 suy Mina = k ∈ Z  Nhân xet: Bai toan mâu chơt quan trong: Nhóm học sinh lớp 11 A1 Chương 1: Phương trình lượng giác -Thư nhât: ta