Tích phân từng phần trong đề thi tuyển sinh Đại học

Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 1 (DÙNG CHO ÔN THI TN – CĐ – ĐH 2011) Gửi tặng: www.Mathvn.com Bỉm sơn. 16.03.2011 www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Công thức tích phân từng phần: Cho hai hàm số ( ), ( ) u x v x liên tục và có đạo hàm trên đoạn [a; b]. Ta có     ' ' ' ' ' ' uv u v uv uv dx u vdx uv dx        ( ) b b b a a a d uv vdu udv d uv vdu udv          b b b b b b a a a a a a uv vdu udv udv uv vdu           . Ta có công thức:   1 b b b a a a udv uv vdu    Công thức (1) còn được viết dưới dạng:     ' ' ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 b b b b a a a a f x g x dx f x d g x dx f x g x f x g x dx          II. Phương pháp giải toán: Bài toán: Sử dụng CT.TPTP xác định: I =  b a dxxf .)( Phương pháp chung: Cách 1: Bước 1: Biến đổi TP về dạng: I =  b a dxxf .)( =  b a dxxfxf .)().( 21 Bước 2: Đặt:          v du dxxfdv xfu )( )( 2 1 (Chọn 0 C  ) Bước 3: Khi đó: I =    b a b a b a vduuvudv . (công thức (1)) Chú ý: Việc đặt ( ), ( ) u f x dv g x dx   (hoặc ngược lại) sao cho dễ tìm nguyên hàm ( ) v x và vi phân ' ( ) du u x dx  không quá phức tạp. Hơn nữa, tích phân b a vdu  phải đơn giản hơn tích phân b a udv  Cách 2: Phân tích ' 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) b b a a f x f x dx f x f x dx    và sử dụng trực tiếp công thức (2) - Nhận dạng: Để sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm) -Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức tạp về tích phân đơn giản hoặc để khử bớt hàm số dưới dấu tích phân (cuối cùng chỉ còn lại 1 loại hàm số dưới dấu tích phân) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 3 Chú ý: - Đôi khi tính TPTP mà chưa có một dạng cụ thể ta phải dùng các công thức đại số, lượng giác hoặc kết hợp với phương pháp biến đổi số thì mới xuất hiện các dạng cụ thể Ví dụ 1: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau 4 0 1 cos2 x I dx x     Giải: Nhận xét: Tích phân này nếu để nguyên mà tính TPTP thì… không ra đâu nhưng nếu ta sử dụng công thức nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x      thì lấy nguyên hàm của được ngay Ta được 4 2 0 1 2 cos x I dx x    Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Khi đó 4 0 1 1 1 1 tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 8 2 8 4 0 0 I x x xdx x             Chú ý: - Ta có thể sử dụng công thức (2) như sau 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ln cos ln 2 4 4 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x x                         - Đừng quên 1 2 trước dấu tích phân nhé Ví dụ 2: (ĐHDB – D 2003) Tính tích phân sau 2 1 3 0 x I x e dx   Giải: Ta có 2 2 1 1 3 2 0 0 x x I x e dx x e xdx     Đặt 2 2 2 dt t x dt xdx xdx      Đổi cận 0 0 1 1 x t x t            Khi đó 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 1 0 0 2 2 2 2 2 2 t t t t e I te dt te e dt e         (sử dụng công thức 2) Chú ý: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 4 - Dĩ nhiên ta không cần biến đổi số mà làm trực tiếp. Ta có   2 2 1 1 3 2 2 0 0 1 2 x x I x e dx x e d x     . Đến đây ta có thể sử dụng công thức (1) hoặc công thức (2) tuy là ngắn hơn nhưng độ phức tạp cao hơn nên tôi không đưa ra, bạn đọc tự tìm hiểu nhé Ví dụ 3: (ĐHTCKT – 1998) Tính tích phân sau   4 2 0 2cos 1 I x x dx     Giải: Nhận xét: Nếu để nguyên như thế mà tính thì quả thật nan giải. Sử dụng công thức hạ bậc     4 4 4 2 0 0 0 2cos 1 2 1 cos2 1 cos2 I x x dx x dx x xdx                Đặt sin 2 cos2 2 du dx u x x dv xdx v              Khi đó 4 0 sin 2 1 cos2 1 2 . sin 2 4 4 2 2 8 4 8 4 8 0 0 x x I x xdx                - Đôi khi tính TPTP ta phải tính đến 2 hay 3 lần TPTP Ví dụ: (ĐH – D 2007) Tính tích phân sau 4 3 2 1 5 1 ln 32 e e I x xdx     Giải: Đặt 2 4 3 2ln ln 4 dx du x u x x x dv x v                  Khi đó 4 4 2 3 1 1 1 1 ln . ln . 1 4 2 4 2 e e x e I x x x dx I      Tính 3 1 1 ln . e I x x dx   Đặt 3 4 ln 4 dx du u x x dv x x v                Khi đó 4 4 4 3 4 1 1 1 1 3 1 ln . 1 1 4 4 4 16 16 e e e x e e I x x dx x        Vậy 4 4 4 4 1 1 1 3 1 5 1 . 4 2 4 2 16 32 e e e e I I        www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 5 - Đôi khi tính TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln e x I dx x   Giải: Đặt 2 ln 2ln ln dx u x du x x dx dv v x x                Khi đó 2 2 1 ln ln .ln 2 1 2 1 e e x I x x dx I x      Đến đây ta coi như một phương trình bậc nhất theo I ta được 1 3 I  Chú ý: - Đương nhiên ta có thể làm bằng phương pháp biến đổi số Đặt ln dx t x dt x    . Đổi cận 1 1 0 x e t x t            Khi đó 1 3 2 0 1 1 0 3 3 t I t dt     Hoặc: Đưa vào vi phân như sau   2 3 2 1 1 ln ln 1 ln ln 1 3 3 e e e x x I dx xd x x       - Để tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt ln t t e x t x e dt dx          sau đó mới TPTP Ví dụ 2: Tính tích phân sau 4 2 0 (sin cos 1) (1 cos ) x e x x I dx x       Giải: 4 4 4 1 2 2 2 0 0 0 (sin cos 1) sin 1 cos (1 cos ) (1 cos ) x x x e x x e e x I dx dx dx I I x x x                 Tính 4 2 2 0 sin (1 cos ) x e x I dx x     Đặt   2 sin 1 1 cos 1 cos x x u e du e dx x dv dx v x x                  Khi đó 4 4 2 1 0 1 4 1 cos 1 cos 2 2 0 1 2 x x e e e I dx I x x             www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 6 Vậy 4 2 1 2 2 1 2 e I I      Chú ý: Nếu như ta tính đồng thời 1 2 và I I thì cũng ra nhưng vừa mất công mà lại dài nên ta chọn tính 1 I hoặc 2 I để làm triệt tiêu đi 2 I hoặc 1 I …Tùy vào từng bài để ta chọn (kinh nghiệm thôi) - Thông thường ta sử dụng CT (1) vì nó dễ nhìn hơn là CT (2) MỘT SỐ DẠNG CỤ THỂ Dạng 1: Tính tích phân     n I P x Q x dx     với   n P x là một đa thức bậc n và   2 2 1 1 ; ;sin ;cos ; , cos sin x x x x x Q e x x a  Đặt     n P x Q x dx u dv       (Nếu   n P x có bậc n thì ta phải tính tích phân từng phần n lần (mỗi lần   n P x sẽ giảm 1 bậc)) Đặc biệt: - Khi     ln ;ln ;log ;ln n m x x x f x Q x      Đặt     n Q x P x dx u dv       (nếu   ln n Q x x  ta phải tính n lần tích phân) - Khi           sin ln ;cos ln ;sin log ;cos log a a x xQ x x x  Đặt     n Q x P x dx u dv       (thường thì người ta chọn     1; k n P x Q x x   cho đơn giản) Chú ý: Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu) Loại 1: Khi   2 2 1 1 ; cos sin Q x x x  Bài tập giải mẫu: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 7 Bài 1: Tính tích phân sau 3 2 4 sin xdx I x     Giải: Đặt 2 cot sin u x du dx dx v x dv x               Áp dụng công thức tính tích phân từng phần   3 3 2 4 4 9 4 3 1 1 3 3 3 cot cot . ln sin ln 3 36 2 2 sin 3 4 4 xdx I x x xdx x x                       Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 3 2 4 4 cot sin xdx I xd x x          Bài 2: Tính tích phân sau 3 2 0 cos x I dx x    Giải: Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:   3 3 34 2 0 0 0 0 cos 3 sin 3 tan tan 3 3 cos 3 cos cos 0 3 3 ln cos ln 2 3 3 3 0 d x x x I dx x x xdx dx x x x x                         Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 3 2 0 0 tan cos x I dx xd x x       Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 1: (HVNH HCM – 2000) Tính tích phân sau 1 2 0 sin cos x x I dx x    www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 8 HD: Đặt   2 sin 1 cos 1 tan cos u x x du x dx dv dx v x x                  Hoặc - Tách thành tổng hai tích phân 1 2 3 3 3 2 2 2 0 0 0 sin sin cos cos cos I I x x xdx x I dx dx x x x             Tính 1 I bằng TPTP và tính 2 I bằng đổi biến số - Sử dụng trực tiếp công thức (2) ta có     1 1 2 0 0 sin sin tan cos x x I dx x x d x x       Bài 2: (ĐHDB – A 2003) Tính tích phân sau: 4 0 1 ln 2 1 cos2 8 4 x I dx x        HD: Sử dụng công thức nhân đôi 2 2 1 cos2 1 2cos 1 2cos x x x      Khi đó 4 2 0 1 2 cos x I dx x    . Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) Ta có 4 4 4 2 0 0 0 1 1 1 1 (tan ) tan tan ) ln ln2 4 4 2 2 2 4 8 4 2cos 0 0 x I dx xd x x x xdx x                         Bài 3: (HVKTMM 2000) Tính tích phân sau:   1 2 0 tan tan1 ln cos1 0,5 I x xdx     HD: Phân tích 1 1 2 0 0 cos x I dx xdx x     Đặt 2 tan cos u x du dx dx v x dv x              Chú ý: Công thức 2 2 1 tan 1 cos x x   Bài 4: Tính tích phân sau: 2 0 1 sin 2 xdx I x     HD: www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 9 Biến đổi 2 1 sin 2 1 cos 2 2cos 2 4 x x x                     rồi mới TPTP Loại 2: Khi   sin ;cos Q x x x  Chú ý: Đối với dạng này ta có thể sử dụng phương pháp hệ số bất định Nếu bậc của   P x bằng hoặc lớn hơn 3 ta nên giải theo phương pháp sau: Bước 1: Ta có ( )cos ( )sin ( )cos I p x xdx A x x B x x C        , (1) (A(x) và B(x) cùng bậc với   P x ) Bước 2: Lấy đạo hàm hai vế của (1) :     ( )cos '( ) ( ) sin ( ) '( ) cos p x x A x B x A x B x       Sử dụng phương pháp hệ số bất định tìm được A(x) và B(x) Bước 3: Thay A(x) và B(x) vào (1) rồi kết luận. (Có thể áp dụng cách này cho các dạng cos ax e bxdx  ; sin ax e bxdx  ) Bài tập giải mẫu: Bài 1: Tính tích phân sau 1 2 2 0 sin . I x x dx    Giải:   1 1 1 1 2 2 2 2 2 0 0 0 0 1 cos2 1 1 sin . cos 2 2 2 2 x I x xdx x dx x dx x x dx             Sử dụng công thức (2) ta được 2 1 1 3 1 2 2 0 0 0 0 1 1 1 (sin2 ) sin2 2 in2 . 6 4 6 4 x x d x x x xs xdx              2 1 1 2 2 2 3 2 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (cos2 ) cos2 cos2 sin(2 ) 0 6 6 6 6 4 4 4 8 4 xd x x x xdx x                             Bài 2: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau 2 0 ( 1)sin 2 I x xdx     Giải: Đặt 1 1 sin 2 cos2 2 du dx u x dv xdx v x                Khi đó 2 2 2 0 0 0 1 1 1 1 1 cos 2 cos2 sin 2 1 2 2 4 2 2 4 4 x I x xdx x                       Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2) www.MATHVN.com www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 10     2 2 0 0 1 ( 1)sin 2 1 cos 2 2 I x xdx x d x          Bài 3: Tính tích phân sau 2 4 0 cos I xdx    Giải: Đặt 2 2 t x x t dx tdt      Đổi cận 2 0 0, 4 2 x t x t         Sử dụng công thức (2) Khi đó   2 2 2 0 0 0 2 cos 2 sin 2 sin 2 sin 2 2 0 I t tdt td t t t xdx               Vậy 2 I    . Bài 4: Tính nguyên hàm 3 2 ( 2 3)sin I x x x xdx      Giải: 3 2 3 2 3 2 ( 2 3)sin (a )cos (a' ' ' ')sin I x x x xdx x bx cx d x x b x c x d x C               (1) Lấy đạo hàm hai vế của (1): 3 2 3 2 3 2 ( 2 3)sin [ ' (3 ') (2 ') ']cos [ (3 ' ) (2 ' ) ' ]si n (2) x x x x a x a b x b c x c d x ax a b x b c x c d x                  Đồng nhất đẳng thức trên ta được hệ : ' 0 3 ' 0 2 ' 0 ' 0 a a b b c c d               và ' 1 3 ' 1 2 ' 2 ' 3 a a b b c c d                   Giải hệ trên tìm được : 1; 1; 4; 1; ' 0; ' 3; ' 2; ' 4 a b c d a b c d            Vậy 3 2 2 ( 4 1)cos (3 2 4)sin I x x x x x x x C          . Hoặc: Đặt   2 3 2 3 2 2 2 3 sin cos du x x dx u x x x dv xdx v x                    Hoặc: Sử dụng trực tiếp công thức (2)   3 2 3 2 ( 2 3)sin ( 2 3) cos I x x x xdx x x x d x            Bài tập tự giải có hướng dẫn: Bài 2: (ĐHM ĐC – 1998) Tính nguyên hàm sau: 3 sin 2 cos 6 sin 12 cos 12sin I x xdx x x x x x x x C         www.MATHVN.com www.MATHVN.com [...]...  1 1 Dạng 2: Tính tích phân I    a x Q  x  dx với Q  x   ; 2 ;sin x;cos x 2 cos x sin x   ln x      e x    x  u   a  Đặt   ln x     dv  Q x dx    Chú ý: - Trong dạng này chúng ta sẽ gặp tích phân luân hồi (Sau khi tính tích phân lần thứ hai sẽ trở về tích phân ban đầu - Để tránh hiện tượng “xoay vòng” trong tích phân thì đối với bài toán tích phân mà ta phải tính... 1998) Tính tích phân sau: I   e sin 3 xdx  13 0 HD: du  3cos 3 xdx u  sin 3x  Đặt   e2 x 2x dv  e dx v    2 2x  2   1 2 Bài 2: (ĐHTL – 1996) Tính tích phân sau: I   e cos xdx   2e  3  5 0  HD: Hạ bậc tách thành tổng hai tích phân x 2  4 3  4  4 Bài 3: (ĐHCS – 1997) Tính tích phân sau: I   e sin 4 xdx   e  1 25  0  3x  2  2 Bài 4: (ĐHHKVN– 1999) Tính tích phân sau:... sau đó mơi TPTP  3 Bài 7: Tính tích phân sau: I    4 ln  tan x  2 cos x dx  3 ln 3  3 1 2 HD: Biến đổi số t  tan x sau đó mơi TPTP Dạng 5: Tích phân là tích của các hàm giống nhau (tham khảo)  Loại 1: Tính tích phân I   P  x  Q  x  Q '  x  dx  u  P  x  du  P '  x  dx   Đặt   ' dv  Q  x  Q  x  dx v  Q  x     Loại 2: Tính tích phân I    P  x Qn  x  www.MATHVN.com... Loinguyen1310@gmail.com 2 Phân tích I   esin x sin x.cos 3 xdx   esin x sin x cos x 1  sin 2 x  dx 0 0 dt Đặt t  sin 2 x   sin x cos xdx sau đó mới TPTP 2 3 Bài 6: Tính tích phân sau: I   0 x3 e x 2 1 x2  1 dx HD: 3 Phân tích I  x3 e x 2 1 3 x2e x 2 1 dx   xdx x2  1 x2  1 0 x2  t 2  1 Đặt t  x 2  1   sau đó mới TPTP  xdx  tdt  0 0 Bài 7: (ĐHDB – B 2002) Tính tích phân sau: I  ... Bài 10: Tính tích phân sau: I   x ln  x 2  5  dx  0 Email: Loinguyen1310@gmail.com 1 14 ln14  5 ln 5  9  2 HD: u  ln  x 2  5   Đặt  dv  xdx  Hoặc: Đặt t  x 2  5 sau đó mới TPTP e  x3  1  2e3 11 Bài 11: Tính tích phân sau: I    ln x dx    x  9 18 1 HD: u  ln x x3  1 1  2 Phân tích  x  sau đó đặt   2 1 x x dv   x  x  dx    2 Bài 12: Tính tích phân sau: J... x dx  0 5 4  2 Bài 2: Tính tích phân sau: I   cos x ln  sin x  dx  6 Giải: cos x  u  ln  sin x  du  dx  Đặt   sin x dv  cos dx  v  sin x  Áp dụng công thức tính tích phân từng phần:    2 2 I   cos x ln  sin x  dx  sin x ln  sin x  2   cos xdx  sin x ln  sin x     6 6 6  2  sin x  6  2  1 ln 2  1    2 6 e Bài 3: Tính tích phân I   sin(ln x)dx 1 Giải:... tránh tích TPTP 2 lần ta có thể biến đổi số trước bằng cách đặt t  ln x   t sau đó mới TPTP e dx  dx  2 ln x 1 Bài 15: (ĐHH – 1998) Tính tích phân sau: I   2 dx   l ln 2  2 1 x HD: u  ln x  Đặt  dx dv  x 2  2 5 Bài 16: (ĐHDB – 2006) Tính tích phân sau: I    x  2  ln x dx   ln 4 4 1 HD:  u  ln x Đặt  dv   x  2   1 10 1  1 Bài 17: (ĐHCT – D 1997) Tính tích phân sau:...  1 1 3  2 ln 2 dx  3 2x 16 3 Bài 3: (ĐH – D 2004) Tính tích phân sau: I   ln  x 2  x  dx  3ln 3  2 2 HD:  u  ln  x 2  x  du  2 x  1 dx  Đặt   x2  x dv  dx v  x   Chú ý: Nếu phân tích ln  x 2  x   ln x  x  1  ln x  ln  x  1 thì tính toán sẽ đơn giản nhưng dài hơn e Bài 4: (ĐHDB – B 2005) Tính tích phân sau: I   x 2 ln xdx  1 2e 3  1 9 HD: www.MATHVN.com... www.MATHVN.com e Bài 5: (ĐHDB – 2005) Tính tích phân sau: I   x 2 ln xdx  1 Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 3 1 e  9 9 u  ln x Đặt  2 dv  x dx 1 Bài 6: (HVKTQS – 1997) Tính tích phân sau: I   x ln  x 2  x  1 dx  0 3  3 ln 3  4 12 HD: 2x  1  du  2 dx u  ln  x  x  1    x  x 1 Đặt   2 dv  x 2 dx  v  x    2 2 e Bài 7: (ĐH NN – 1997) Tính tích phân sau: I   1 e ln x  x ... xdx  Chú ý: - Tách thành tổng hai tích phân thì đơn giản hơn - Có thể sử dụng trực tiếp công thức (2) Bài 12: Tính các tích phân sau www.MATHVN.com 12 www.MATHVN.com Giáo viên: Nguyễn Thành Long DĐ: 01694 013 498  2 a (ĐHDB – 2007) I   x 2 cos x dx  0  4 Email: Loinguyen1310@gmail.com 2 2 4 3 2 1   384 32 4 2 b I    x sin x  dx  1 1 Bài 13: Tính tích phân sau: I  cos 1  xdx    2 . TPTP ta còn gặp trường hợp lập lại tích phân ban đầu (tích phân luân hồi) hoặc gặp một tích phân mà làm triệt tiêu một tích phân Ví dụ 1: (TN – 2007) Tính tích phân sau: 2 1 ln e x I dx x   . sử dụng tích phân từng phần thì dấu hiệu thường gặp đó chính là tích của hai loại hàm số khác nhau (đôi khi là tích của cùng một loại hàm) -Ý nghĩa: Phương pháp TPTP nhằm đưa tích phân phức. Long Email: Loinguyen1310@gmail.com DĐ: 01694 013 498 2 PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN I. Công thức tích phân từng phần: Cho hai hàm số ( ), ( ) u x v x liên tục và có đạo hàm trên