Một số chuyên đề tọa độ không gian bám sát kỳ thi THPT quốc gia phần 2

LẬP PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THANG Vectơ chí phương Vectơ phương đường thẳng vectơ khác có giá song song trùng với đường thẳng Một đường thẳng có vơ sổ vectơ chi phương phương với nên ta chọn tọa độ tỉ lệ Phương trình đường thẳng Phương trình đường thằng qua Mn(xn, yo, zo) cỏ veclơ phương u =(a, b, c), a' + h' +c^ ^ X = Xq -\- at Phương trình tham sổ: d: y = y ^+bí , í e R z = Zq + ct Phương trình tắc a, b, c ^ 0: ^ = —— — a h - c Chú ý 1) Dê lập phương trình đường thẳng tìm đủ yếu lố xác định: điếm, VTCP quan hệ cho lừ già thiết đế chọn dạng phương trình thích hợp Việc khử tham sổ, đặt tham số, cho phép ta chuyển dạng phương trĩnh 2) Dường thẳng đì qua điểm A, B: chọn VTCP u = AB từ ta có z-z, y - y ị A B : ^ ^ yn-yA ^ H- ^ A 3) Dmrng thẳng giao tuyển mặt phẳng cắt nhau: Neu d = a n Ị3thì chọn IHCP n = [ n a , n p ] Hoặc từ hệ \ Ax + By + Cz + D - ữ [A'x + B' y + C z + D '=ữ ta chọn nghiệm (x; y; z) tương ứng toạ độ điểm thuộc giao tuyến 4) Đường vng góc chung đường thẳng chéo nhau: Đường thẳng dị qua Mị cỏ V7XIP u j Đường thăng d2 qua M2 có VĨ^CP u Cách ỉ: Dường vng góc chung d có VTCP u = U| ;W2 85 Lập phương trình mặl phẳng (P) chứa d d2 Tìm giao diêm A dì (P) d qua A có VTCP u d, Cách 2: Gọi đoạn vng góc chung AB, A e d/ B e d2 dạng tham số theo t t \ Tìm í í' hang hệ điểu kiện: Ãỗ.ĩ^ = , , , ’ Đường vuông góc chung d đường thăng AB AB.U2 ~ 5) ỈTinh chiểu đường thẳng d lên mặt phang (P): Cách I: Lấy điểm A, B thuộc d tìm hình chiếu A \ B ’ chúng lên (P) Đường thảng d ’ cần tìm đường thẳng A 'B Cách 2: Tim giao điếm M d (P) có Lấy điểm A thuộc d tìm hình chiếu A ’ cùa A lên (P) Đường thăng d ’ cần tìm dường thang MA Cách 3: Lấy điểm A thuộc d tìm hình chiếu A ’ A hình chiểu u ’ VTCP u lện (P) Đường thẳng d ’ cần tìm đường thẳng qua A ’ có VTCP u Cách 4: Tim giao diêm M d (P) nêu có Tìm hình chiêu u ’ cùa VTCP u lên (P) Đường thăng d ’ cân tìm đường thăng qua M có VTCP u ' Cách 5: Lập phương trình mặt phang (Q) chứa d vng góc với (P) Đường thăng d ’ cần tìm giao tuyến mặt phang (P) (Q) Bài tốn 8.1: Lập phương trình tắc đường thẳng: X a) ■y = + 2t = - l + 3t z = - + 3t x = -t b)- y=5 z = + 3t Giải a) Đường thẳng cho qua M(2; -1; 4) có VTCP u = (2; 3; 3) nên có phương trình tắc: 86 X = -l + t c) [ B Ấ, BC] = (0;0;a^) Vabc a'B'c = ^ |[ b A ,B c ] BB'| = (đvtt) Ta có: M(0; - ; 0), ÃM = (-a; - ; ) ữ c = ( 0; a; -a^/2 ); ẢB' = ( -a; 0; a V2 ) [ AM, B' C] = -a V 2^ ; - a ^J2 ; - a [a M B'C AB' y, a " ^ ^ - a ’ V2 Nên d(AM, BC) = AM,B'C iVv' + 2a‘' +a'' Bài tốn 12.82: Cho hình lập phưong ABCD A'B'C'D' có cạnh bàng Gọi M, N, p trung điểm cạnh B'B, CD A'D' a) Tính khoảng cách cặp đường thẳng A'B, B'D cặp đưÒTig thẳng PI, AC' với I tâm đáy ABCD b) Tính góc hai dường thẳng MP C’N, góc hai mặt phang (PAI) (DCCD') Giải a) Ta chọn hộ tục Oxyz cho gốc toạ độ A, tia Ox chứa AB, tia Oy chứa AD tia Oz chứa AA' Khi dó 190 A (0;0; ),B (1 ;0 ; 0), D(0; 1;0), A '(0;0; 1), C(l; 1;0), D'(0; 1; 1), B '(1;0; 1), C '(l; 1; 1) Suy A 'B = ( ; ; - ) ; B ^ = ( - l ; 1;-1), Ã Ĩ3 ' = (1;0; 0) => [ÃJ b , B' ] - ( 1; ; l ) n è n : n, n d(A' B, B'D) = — ị j ụ \ o Ị -rr- = - ~ [A'B,B'DJ v6 Ta có: P(0; i ; 1), I ( i ; i ; 0) ĨP = ( - i ; 0; 1) ÃC' = (1; 1; 1), ÃP =(0; ị ; 1) Su y r a d ( PI , AC) ^ ĨP,ẤC'] ã p | [IP,AC'J ^ 28 b ) T a c ó M (1;0; Ị x N ( Ị ; 1; 0) ::^ĩ^p = (-1; NC' = ( - ; ; ) ^ M P ị) =0=>MP1NC' Mặt phẳng (PAI) có vectơ pháp tuyến: n = ARAI \ ’2 ’ Mặt phẳng (D CCD') có vectơ pháp tuyến AD = (0; 1; 0) n.ÃD n AD Gọi (p góc hai mặt phăng thì; coscp Bài tốn 12.83 Tứ diện ABCD có tâm s độ dài cạnh bàng Một đường thẳng A quay quanh s Gọi A', B', C', D' hình chiếu A, B, c, D A Tìm tất cá vị trí A cho tổng SA''* í SB’'* + 80'"* + SD’'' đạt giá trị lớn Giải Dựng hình lập phưong ABiCDi CiDAiB ngoại tiếp tứ diện ABCD, hình lập phưcmg có độ dài cạnh Ĩ Chọn Di làm gốc Đe vng góc Oxyz cho A e Ox, B e Oy, ce o hệ trục toạ độ Oz 191 Ta c ó A(V2 ; 0; 0) , B(0; V2 ; 0), C (0;0; V2 ), D(V2 ; V 2; V2 ), 2 ’ Suy ra: SA sc - V2 V2 2 V2 V V2 r SB ’ ’ ’ ' A r A A ' 2''“ ’ -► J , SD = ’ ’ Gọi e = (x; y; z) vectơ đon vị phương đường thẳng A, thì: 1e 1ế SA' = SD' = Ta có: I I SÃ , SB' = SD 1ế ^ I , SC' = I e sc I, y- + 7? = s = SA’'*+ SB''* + s c ^ z)' = — [(-X 4- y 4- 4 SD’'* (x - y + '/ý (x 4- y - y ý 4- (x y -f z ý \ = + 4 AB = ^Ỉ66 192 Giá trị bé f(x; y) = M giao điểm đoạn AB với mặt phang Oxy Bài toán 12.85: Cho số thực ai; bi, Ci; ã2; h2, C2; ay, bs; C3 thoả mãn: ã\ + 32 + a = 3, bi +' b + b3 = 4; Ci ^ C2 ‘t“ C3 = 12 Chứng minh bất đẳng thức: yja'ị + b f + Cj -I- -y/ãj + bọ t- c^ + b + C3 > Giải Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, chọn điểm: A(ai; bi; C]), B(ai -t- 32; bi + b 2; Ci + C2), C(ai + ã2 + 33; bi + b2 I b 3; Ci + C2 + C3) hay C(3; 4; 12) có: OA = + b^ + c'ỉ ; AB = ^a'ị f b^ + cị ; BC = Ậ l + b^, + c^ Nên ta có: yjal + bj -1- c^ + yịàị -I bg + c^ + ^Jàị + h l+ c ị = OA + AB + BC > o c = 13 BÀI TẬP Bài tập 12.1: Tìm tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S): x^ + y^ + TỈ' -4x - 2y + 4z -16 = với mp(yOz) UD-DS 3 Bài tập 12.2: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu mặt phang: (S): x^ + y^ -I 7} - 2x -1 4y + 2z - = 0; (P): 2x - y + 2z - 14 = 1) Viết phương trình mặt phang (Q) chứa trục Ox cắt (S) theo đường trịn có bán kính 2) Tìm điểm M thuộc mặt cầu (S) cho khoảng cách từ M đến mặt phẳng (P) lớn IID-DS l) y - z = )M (-l;-l;-3 ) Bài tập 12.3: Trong không gian Oxyz, cho đicm 1(1; 3; 5) đường thăng (A): x -2 y+3 Lập phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thắng (A) -1 hai điểm K L cho KL = 12 IID-DS ( x - l ) - + (y -3 )2 + ( z - ) ' = 50 Bài tập 12.4: Cho M (l; 2; -1), đường thẳng , x -2 y z+2 , d: -= — = —^— măt phang (P): 2x + y - z + = 193 Viết phương trinh đưímg thẳng A qua M, cắt d song song vcVi mặt phăng (P) ỉ Ìd - d s X- _ y - _ / + ■T " - ~ - ■ Bài tập 12.5: Trong không gian với hệ toạ dộ Oxy/, cho dicm A(2; 5; 3) dưcmg x-l_y_/-2 thăng d; 2 1) 'Tìm toạ dộ hình chiốu vng góc A dường thăng d 2) Viết phươnu trinh mặt phăng ((x) chứa d cho khoting cách từ A dến ((X) lớn ỈID-DS )H (3 ;1 ;4 ) 2) X - 4y i / - Bài tập 12.6: Viết phương trình mặt phang (Q) di qua dường thẩng X= -t (d):