Một số chuyên đề tọa độ không gian bám sát kỳ thi THPT quốc gia phần 1

r i ■■ NGƯT ThS LÊ HỒNH PHỊ ■ ĩi ■ ■■ ■ ì ■ ■■ C ác ch u y ên đ ề ■ V BÁin lfÍTĐế THÌ T H P T Q U Ố C GIA Th.s NHÀ GIÁO ƯU TỦ LÊ HOẢNH PHÒ CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT Q u ố c GIA TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HẢ NỘI NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - C hế bản: (04) 39714896; Q uản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011 Fax: (04) 39729436 C h ịu tr c h n h iệm x u ấ t bản: G iám dốc - T ố n g hiên tập: TS PH Ạ M T H Ị T R Â M B iên tập: VŨ T H Ị TH Ư Ý C h ế ban: N G U Y Ễ N K H Ở I M IN H T r ìn h bày bìa: N H À SÁ CH H N G ÂN Dối tác liê n k ế t x u ấ t bản: N H À SÁ CH H Ổ N G ÂN 20C N guyễn T hị M in h K hai - Q1 - T lh Hồ C h í M in h SACH MEN KET CÁC CHUYÊN ĐỄ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA TOẠ ĐỘ KHÔNG GIAN_ _ _ _ _ _ _ _ _ Mã số: 1L-338ĐH2015 In 2.000 cuốn, khổ 17 X 24cm Công ti cổ phần Văn hóa Văn Lang Địa chỉ: Số Nguyễn Trung Trực - P5 - Q, Binh Thạnh - TP Hổ Chí Minh Sô xuất bản: 1439- 2015/CXBIPH/2-217-189/ĐHŨGHN, ngày 3/6/2015 Quyết định xuất số: 356LK-TN/QĐ-NXBĐHQGHN, ngày 13/6/2015 In xong nộp lưu chiểu quý III năm 2015 LỜI NÓI ĐẦU Các lOm học sinh thân mến! Nhằm mục đích ^'iúp hạn học sinh lớp 12 chuan bị thật tòl cho KY THI TRUNG HOC! PHÔ THÔNG QUỒC GIA dạt diem khá, diêm cao d(1 trúng tuyổn vào trường Cao dang Dại học mà dã xác dịnh nghề nghiệp cho tương lai, thoo dịnh hướng Bộ sách gồm cS cn cho chuvịn dồ, dơ om tiộn dùng ơn luyện th(í0 chương trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỔ - HÀM SỐ VẢ IMIƯƠNG TRÌNH MŨ LỊGARIT - NGUN HÀM VẢ TÍCH PHÂN - SỔ PHỨC VẢ T ổ HỢP - HÌNH HỌC KHƠNG GIAN - TỌA DỘ KHƠNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VẢ TỌA ĐỘ PHẲ n G - PHƯƠNG TRÌNH VẢ BẤT DANG THỨC Cn TOA DƠ KHƠNG GIAN gơm có 12 phân nhỏ dc liộn luyện tcập theo chù d'ô l ù kiôn thúc phưcmg pháp giai Toán bàn Vcà nâng cao dần tlần, kơt họp ơn tập tốn lóp 10 11, bơ sung Vià mò rộng kiến thức phưong plỉáp giai khác nhau, luyộn tập Ihơm lồn khó, 1'ốn lơng hạp, btỢn ròn luyện kỹ Icàm bái v^z 'i=(l;0;0), ']=(0;1;0), k= (0;0;l) M(x,y,z) hay M=(x,y,z): O M = x i + y j + z k a (x,y,z) hay a =(x,y,z): a = X ỉ + y j z.k Phép toán vectơ / Hai vecíơ: It = (x,y,z) V = (x',y'zỹ thì: u ± V = (x ± x y ± y z ± z'); ku = (kx; ky, kz) u V = x x ' ^ y y ' ^ zz'] Ịu ,— , COS(u,v) = I = -ịx~ + y^ +z^ x.x’+y.y'+z.z' ■ — = = r ■yjx' + y^ + z\- (k u + 17v)(3 u - v ) = « u ^ - 17v^ + (51 - k ) u ’v = « k - 17.25 + (5 Ị - k)2.5 Vậy giá trị cần tìm k = 40 V2 y = 0 17k- 680 = « k = 40 Bài tốn 1.7: Cho ba điểm A(2; 0; 4), B(4; Vs ; 5) C(sin5t; cos3t; sin3t) Tìm t để AB vng góc với o c Giải Ta có AB = (2; V3 ; 1), o c = (sinSt; cos3t; sin3t) Hai đường thẳng AB o c vng góc với khi: A B o c = 2sin5t + V3 cos3t + sin3t = /T Ị sinSt + cos3t + —sin3t = sinSt + sin(3t + — ) = 2 sinSt = sin(-3t - ^ ) n 2n V ây t = - — + k — - , ,t t == — + krt k e z 24 Bài toán 1.8: Xét đồng phẳng ba vectơ a) a ={-3; l ; - ) , b = (1 ; 1; 1), c = (-2; 2; 1) b ) a = (4 ;3 ;4 ), b = ( ; - l ; ) , c - ( l ; ; l ) Giải a) Ta có [a , b ] = -2^ -3 1 Do [ a , b ] c = -6 + - = -8 Vậy vectơ không đồng phẳng b )T a c ó [ a , b ] = (10; 0;-10) Vậy vectơ đồng phang = (3; l;-4 ) [ a , b l.c = Bài toán 1.9: Cho vectơ: a = (1; -1; 1), b = (0; 1; 2), c = (4; 2; 3) d = (2; 7; 7) a) Chứng minh vcctơ a , b , c không đồng phẳng b) Hãy biêu thị vectơ d theo vectơ a , b , c Giải a) Ta có [a , b I = (-3; -2; l)= 5> [a, b ]c = -135*0 Vậy vecto không dông phăng m + 4p = m = -2 b) Giả s d = m a + nb -t pc - m + n-t-2p = n = m + 2n + 3p = Vậy d = -2a + b + c P= Bài toán 1.10: Trong không gian cho bốn điổm; A(0; 0; 3), B (l; 1; 5), C(-3; 0; 0), D(0; -3; 0) a ) T ín h (Ã B B C )C A + C D ^ Ã B b) Chứng minh bốn điểm A, B, c, D đồng phang Giải a) ÃB = (1 ; 1;2), BC (-4 ;-l;-5 ), CA = (3; 0; 3), CD = ( ;- ;0 ) D ođó ÃB BC = -1 , C D ^= 18 n ên (Ã B ã C )C A + CD^ ÃB = -15C A + 18ÃB =(-27; 18;-9) b) ÃB = (1 ; 1;2), Ã c = (-3; 0;-3) => [ÃB , ÃC] = (-3;-3; 3) Và ÃD = (0 ; -3; -3) [Ã B , Ã C IÃ D = : đpcm Bài tốn 1.11: Chứng minh lính chất sau lích có hướng a) [a , b ] = - [ b , a I b) fka , b ] = k[a , b] = [a , k b ] Giải Gọi a = (x i;y i;Z ]), b = (X2; y 2; Z2) Ta có Yi a) [a , b ] = Y2 "2 ^2 ^2 Y2 = (yiZ - y2Zi; Z1X2 - Z2X1; Xiy2 - X2yi) = -(y2Z| - yiZ2; Z2Xi - Z1X2; X2yi - Xiy2) ^Y2 Z-) -2 ^2 X2 Y2 ' X, y ,, = -[ b , a ] Kết [ a , a J = -| a , a ] ^ [ a , a ] = Yi 7-1 7l X: Y2 7.2 72 ^2 'ky, kz, k b ) k [ a , b] V , Y2 72 kZ| 72 ,k kX| X2 X, y ,' ^2 Yl, kx, k y ,' ^2 Y2 , [k a , b l Tưong tự: k [a , b ] = [a , kh ] Bài tốn 1.12: Chímg minh lính chất sau tích vơ hướng a) a [b , c ] = [a , b ].c I b) [a b ] p = Giải Ia p Ib p a) Gọi a = (Xi; y i;Z i), b = (X2; y 2; Z2) , c = (X3; ys; Z3) Ta có - (a b)^ a [b c ] = X, ^2 y? 5^2 +y3 + z, X3 y? z, y, y2 X- +yi X, yi +G ^2 ^2 b) V P = I ã p I b l “ - ( a b ) ^ a b ]c ^2 yi b “ cos“a a 1^ I b = | a 1" l b | ~ ( l - cos^a) = I a "b I W a - I [a b ] p = VT Bài tốn 1.13: Trong khơng gian cho ba vectơ a , b , c đôikhông phuơng Chửng minh điều kiện cần đủ đổvcclơ long; a (- b + c = l [ a , b | = [ b, c] = [c, a | Giải T a + b + C = Õ =>a =-(b + c ) = ^ Ị a , - b - c ] = Õ Do [ ã , - b - c] = [ a , - b ] - [ a , c] = =>[c, a j = [ a , b] Tưcmg tự ta có [ b , c ] = [ a , b ] Vậy: [ a , b] [ b , c] - | c , k ị Ngược lại, t [ a , b] = | b , c ] = > [ b , + c] = Mặt khác, [ b , b ] == õ =í> [ b , a t b "t c J õ => b phương với veclơ a' + b + c Chứng minh tương tự ta có vectơ a phương với vectơ a + b + c NhuTig a b không phương, a + b + c = Bài toán 1.14: Cho điểm M(a; b; c) a) rim toạ độ hình chiếu M mặt phang toạ độ trục toạ độ b) Tìm khoảng cách từ điểm M đến mặt phang toạ độ, đến trục toạ độ Giải a) Gọi Mi(x; y; 0) hình chiểu điểm M(a; b; c) mp(Oxy) thì: MM| = (x - a; y - b; -c) Vì MM,' ĩ = MM| ] = nên x - a = 0, y - b = Vậy Mi(a; b; 0) Tương tự hình chiếu M mp(Oyz) M2(0; b; c) hình chiếu M mp(Oxz) M 3(a; 0; c) Giả sử Mx(x; 0; 0) hình chiểu M(a; b; c) trục Ox thi MM, = (x - a; -b; -c) Vì MM^ = nên X = a, Mx(a; 0; 0) 10 bd ,bm f ab ab V BD,BM BA' Do đó: VnDA'M A' y a^b b) Mặt phang (BDM) có vectơ pháp tuyến là: r • •“1 ^ ab ab 2^ = A 'D ,B D — l 2 j B' i1 > D’ mặt phẳng (A'BD) có vectơ pháp tuyến: n^ = BD,BMỈj = (ab; ab; a^) „21 „2-2 — a' = « a = b « - = l 2 b Bài tốn 6.20: Cho hình chóp tứ giác s ABCD có cạnh đáy a chiều cao h Gọi I tmng điểm cạnh bên sc Tính khoảng cách tìr s đến mặt phẳng (ABI) Giải Do (BDM) (A'BD) « Ta có giao điểm M _ _ n,.n^ = so AI trọng tâm tam giác SAC nên M 0;0;- Mặt phẳng qua A, B, MI mặt phang (ABM) nên có phưong 1 X y z , trình là: — H— ^-Ị=r + — = aV2 W2 h 2 Do đó, khoảng cách từ s tới mặt phăi phẳng (ABM) là: 2ah u “ V4 h - +9 a Va' a^'" h^' 70 Bài toán 6.21: Cho tứ diện OABC có tam giác OAB, OBC, OCA tam giác vuông đỉnh o Gọi a , p, y góc mặt phang (ABC) mặt phẳng (OBC), (OCA), (OAB) Chứng minh: a) Tam giác ABC có ba góc nhọn b) cos^a + cos^p + cos^Y = Giải Chọn hệ trục toạ độ Oxyz với tia Ox, Oy, Oz tia OA, OB, oc Khi ta có A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a > 0, b > 0, c > a) Ta có ÃB = (-a; b; 0), AC = (-a; 0; c) ^ A B AC = a^ > Vậy góc A tam giác ABC góc nhọn Chứng minh tương tự, ta có góc B c tam giác nhọn b) Mặt phắng (ABC) có phương trình X y X a b c nên có vectơ pháp tuyên n = —; —; — ^a b c Mặt phang (OBC) có vectơ pháp tuyến ỉ" = ( ; ; ) / —- n1 Ta có: cos a = V n i Tương tự: cos^ p = / b c„ 1_ a J_ a“b^+b^c^+c^a^ b^ c^ c^a^ a 'b ' + b ' c ' +c^a' a-b' đpcm a'b'+b'c'+c^a' Bài tốn 6.22: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' có cạnh bàng Trên tia AA', AB, AD, lấy điểm M, N, p khác A cho AM = m, AN = n AP = p a) Tìm liên hệ m, n p cho mp(MNP) qua đỉnh C' hình lập phương b) Trong trường họp mp(MNP) ln qua c , tìm thể tích bé tứ diện AMNP Giải Ta chọn hệ trục toạ độ Oxyz cho o trùng A, tia Ox, Oy Oz chứa điểm B, D A' Khi ta có A(0; 0; 0), B (l; 0; 0), D(0; 1; 0), A'(0; 0; 1), C ( l; 1; 1), M(0; 0; m), N(n; 0; 0), P(0; p; 0) cos Y 71 t^ a) Mặt phẳng (MNP) y+ ^= l p m Ị t\ // •t\\ khi: —+ —+ — = n p m /A r '■»'\ T- 71D' JL, * ' p A ' ' ; ' b) Thể tích tứ diện AMNP là: ^ ly- 1A '"B c \V N V = - AM AN AP = - mnp 6 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho ba sổ dương, ta có; n p m Ymnp —ỉ— < 4mnp 3^ \ mnp mnp > 27 Dấu " = " xảy — = —= — = —, tức m = n = p = n p m 27 Vậy giá trị nhỏ nhât cùa thê tích V — , A MNP hình chóp đêu Bài tốn 6.23: Cho hình lập phương ABCD A'B'C'D' cạnh a Các điểm M thuộc AD' N thuộc DB cho AM = DN = k (0 < k < a V ) a) Chứng minh ràng MN song song với mặt phẳng (A'D'BC) b) Tìm k để đoạn thẳng MN ngắn Khi đoạn thẳng MN ngắn nhất, chứng minh MN đường vng góc chung AD' DB; MN song song với A'C Giải Chọn hệ toạ độ Oxyz hình vẽ Ta có; h f AM = k => MA = M D ' = ^ M 0;— k -a V V V ’ V2 DN = k=>ND = — Í-=N B '=>N k-aV2 „ [yj2 a) Mặt phẳng (A'D'BC) có phương trình: X+ z - a = nên có vectơ pháp tuyến n = (1; 0; 1) Ta có; — k , a V -2 k ^ r k V ^ M N n = -^ l+ - -T - —-.0+ —^ = 4Ĩ 4Ĩ [42) 72 V2 M Ể (A'D'B'C) nên đường thẳng MN song song với mặt phắng (A'D’BC) b) Ta có: MN^ = í - ^ - nì IV ; a^Í2-k + t ^Í2 = k ^ - a V k + a^= Vậy đoạn MN bé k k + 4Ĩ) ín l M ^/2 j ivF2 i v a2 a2 +— >— y 3 ã y lĩ \4 Ĩ '^a a a^ Khi MN ngắn k = nên MN = 3’ 3’ I M N.AD= - + - a - - a = => MN AD 3 = = > M N D B MN.DB = - + - ( - a ) + 3 V 3j Suy đường thẳng MN đường vng góc chung AD' DB Ta có A'C = (a; a; -a) = 3M N A' khơng thuộc đưỊTig thẳng MN suy đường thẳng MN song song với đường thẳng A'C Bài toán 6.24: Cho hình chóp s ABCD có đáy hình chữ nhật AB = a, AD = aV2 , SA = a, SA vng góc (ABCD) Gọi M, N trung điếm AD, sc, gọi I giao điểm BM AC Chứng minh (SAC) J_ (SMB) tính thể tích khối ANIB Giải Chọn hệ triic toạ độ hình vẽ S(0; 0; a), A(0; 0; 0), B(a; 0; 0), C(a; a V2 ; 0) thi; „ r~ av2 a av a D (0 ;a ^ /2 ;0 ),M (0 ; ^ ; 0), N ( ^ ; ^ ^ ) lA IM Vì - ^ = IC IB AM _ = ^ => IA = - AC BC V2 — • aV2 — I ( - ; ^ — ; 0), B M ( - a ; ^ ^ ; ) , B S (-a;0 ;a) 3 Mặt phẳng (SBM) có vectơ pháp tuyến: n I = BM, B S ^^^/2 • a ^)- 5« Mặt phang (SBM) có vectơ pháp tuyến: A S,A C = ( - a ^ V ; a ^ ) 73 Vi n I = nên mặt phăng (SAC), (SMB) vuông góc r-_ -1 f ^ Ta có: AI,AN = — V ; — ;0 , AB = (a; 0; 0) ' V 3V2 j Vậy V ANIB AI, AN AB 36 BÀI TẬP Bài tập 6.1 : Tìm khoảng cách từ điểm C(4; 2; -2) đến mặt phang (P); y - z + = ỈID-ĐS |24 + 10 + 5| 39 d(C; (P)) = 1-;— - - - i = — ^ ■ V144+25 13 Bài tập 6.2: Tìm tập họp điểm M cách mặt phẳng (P): 4x + y - 3z - = đoạn i Ĩd -ĐS Gọi M(x; y; z) dùng công thức khoảng cách Bài tập 6.3: Lập phưong trình mặt phẳng song song cách mặt phẳng song song: 5x + 3y -2z + = , 5x + 3y -2z +1 = lỉD -D S 5x + 3y -2z + = Bài tập 6.4: Trong khơng gian Oxyz, cho hình lập phưomg ABCD A'B'C'D' Biết A(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 2; 0) A'(0; 0; 2) Gọi M, N trung điểm cạnh AB BC Viết phương trình mặt phẳng qua MN song song với BA' Tính góc hai đưỊTig thẳng MN BA' HD-ĐS (P): x - y + z - = , góc 60*^ Bài tập 6.5; Cho hai điểm A(4; 2; 3), B(0; -2; 1) 1) Tìm trục Ox điổm M cách điểm A mặt phang (P) có phương trình; X - y - 3z - 17 = 2) Viết phương trình (Q) // (P) cách hai điểm A B ÍID-DS 1) M (-l; 0; 0), M'(7; 0; 0) 2) (Q); X - y - 3z + = Bài tập 6.6: Cho tứ diện A (-2, 0, 1), B (2, 3, -2), c (1, 0, 4) D (3, 5,-1) Lập phương trình mặt phẳng (P) qua A, B cách điểm c, D ỈÍD-DS Xét mp(P) song song với CD qua trung điểm CD 74 Bài tập 6.7: Cho ba đicm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c) với a, b, c ba số dương thay đổi ihoả mãn a^ + b^ + = Xác định a, b, c cho khoảng cách từ điểm 0(0 ; 0; 0) đến mặt phẳng (ABC) lớn ĨID-ĐS a = b = c = Bài tập 6.8: Cho điểm A (2, 0, 1), B (-2, 7, 2), c (1, 5, -3) Lập phương trình mặt phẳng chứa AB cho khoảng cách đến c lớn ÍID-DS Tìm hình chiếu c lên đường thẳng AB Bài tập 6.9: Lập phương trình mặt phẳng qua M (2, 5, 4) cắt tia Ox, Oy, Oz A, B, c mà thể tích hình chóp o ABC bé ÌlD-ĐS Dùng phương trinh đoạn chắn bất đẳng thức Côsi MẶT PHẲNG VÀ MẶT CẦU Phương trình tổng quát mặt phang: Mặt phang qua Mfl(xo, yo) vù vectơ pháp tuyến n = (A, B, C) Ax + By + Cz + D = 0, A^ + B ' + hay A(x -X o ) + B (y-yn) + C(z - zq) = Phương trình mặt cầu: (S) tâm I(a, b, c) bủn kính R: (x -a)~ + (y -h ) ^ + (z -c)~ = hay: x^ Vy^ + f 2Ax + 2By + 2Cz + D = A^ + B^ + - D > có tâm I(-A, -B, -C) hán kinh R = ylA~ + B^ + - D Vị tri tương đổi mặt cầu mặt phang: Cho mặt cầu S(I; R) mp(P) Gọi IH = d khoảng cách từ tâm I đến (P) thì: a) Neu d < R: mp(P) cắt mặt cầu theo đường trịn giao tuyến có tâm H hình chiểu tâm I lên mp(P), hán kính r = - d“ Đặt biệt, d = mp(P) di qua tâm I mặt cầu, giao tuyến điỉờng trịn lớn mặt cầu có hán kính R b) Nếu d = R, mp(P) mặt cầu S(ĩ; R) có điểm chung H Khi mặt phang (P) tiếp xúc với mặt cầu tụi diêm H mp(P) liếp diện mặt cầu lại tiếp điểm H c) Nếu d > R: mp(P) khơng có điếm chung với mặt cầu 75 Chú ý: 1) Phương trình đường trịn giao tuyển ịx ' + + la x + 2by + 2cz + d = Ị/1 jc + By + Cz + D - 2) Khoảng cách từ Mo(xo, yo, zo) đên mặt phăng: (Pỳ: Ax + By + Cz + D = ìà d(Mfí, P) = l ^ A ^ + B ^+ C ^ Bài tốn 7.1: Lập phương trình mặt cầu: a) Có tâm I(-2; 1; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình X + 2y - 2z + = b) Có tâm thuộc trục Oy tiếp xúc với hai mặt phẳng: X + 2y - 2z - = 0, X + 2y - 2z - = Giải a) Theo giả thiết R = d(I, (P)) = nèn phương trình mặt cầu: (x + )' + ( y - l ) ' + ( z - 1)^=1 b) Gọi 1(0; y; 0) thuộc Ov Ta có d(I, (P)) - d(I, (Q ))« |2 y -3 | ^ |2 y -5 | V9 ^ V9 2y-3 = 2y-5 y -3 = -(2 y -5 ) y = Vậy 1(0; 2; 0) Bán kính R = d(I; (P)) = — nên phương trình mặt cầu là: x^' + (y - 2)^ + z^ = — Bài tốn 7.2: Trong khơng gian Oxyz, cho điểm A(2; 0; 1), B(l; 0; 0), C (l; 1; 1) mặt phang (P); X + y + z - = Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, c có tâm thuộc mặt phẳng (P) Giải I(x; y; z) tâm mặt cầu cần tim ỉ e (P) lA = IB = IC Ta có; lA^ = (x - 2Ý + y^ + (z - 1Ý; IB^ = (x - 1)^ + y^ + IC^ = (x - 1)^ + (y - l)^ + (z - 1)1 Ta có hệ phương trinh: x+y+z-2=0 X+ y + z = X=