Một số chuyên đề khảo sát hàm số bám sát kỳ thi THPT quốc gia phần 1

NGƯT ThS l i : HỒNH PHỊ C ác ch u yên đ ề 'i BáminTĐCTHi T H P T Q U Ố C G iA EB Th.s NHÀ GIÁO u TỦ LÊ H O À N H P H Ò CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA KHẢO SÁT HÀM SỐ N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q ưốc G IA HÀ N Ộ I LỜI N Ó I ĐẦU Các Km học sinh thân môn! Nhằm mục dích giúp bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan bị thật tôl cho KY THI TRUNG HỌC R H ổ THÒNG QUỐC GIA dạt diếm khá, diổm cao dể trúng tuyến vào trường Cao dang, Đại học mà dã xác dịnh nghề nghiệp cho tưpng lai, theo định hướng mỏi Hộ sách gồm cuôn cho chuvên dề, dê em tiện dùng ôn luyện theo chư x „ \ {Xo} lim x„ = Xo, ta đểu cỏ lim f(x^ = L Định nghĩa tương tự cho giới hạn khác Định lý: Già sừ lim f (x) = A lim g(x) = B (A, B e R) X~>X^ x —*x„ Khi đó: lim ff(x) + g(x)] = A + B; lim [f(x) - g(x)J = A - B X -> X o ' x -> x „ lim Ịf(x).g(x)J = AB; Nếu B *->*■, lim g(x) = — B Giới hạn bên: Già sử hàm số f xác định khoảng (Xoi b) (Xo e R) Giới hạn bên phải: lim f(x) = L với dãy so (Xn) khoảng (Xo; b) mà lim x„ = Xo, ta đểu có X -^x J lim f(x„) = L Giả sử hàm số f xác định khoảng (a; Xo) (Xo e R) Giới hạn bên trái: lim f(x) = L với dãy số (Xn) khoảng (a; Xo) mà lim x„ = Xo, ta đểu có x-^xỏ‘ lỉm f(Xr) = L Định lý: Nếu lim f(x) = lim f(x) = L hàm số f có giới hạn điểm Xo x -> x ; x^x* lim f(x ) = L Bài tốn 1.1: Tính: X- X b) lim X->1 ( x - l) ( x - ) a) lirn 1x ; ^-4 x->V3l Giải a ) Tacó: lini (x ^ -4 )= lirnx^- lini = - = nên lirn x " -4 = - = X -> v b) Ta có: lim (x - x^) = - = X ->1 lim (2 x - l)(x ^ -3 ) = (2 - 1)(1 -3 ) = - ^ x^l nên lim x -x ( x - l X x '- ) = — = -2 x -> v Bài tốn 1.2: Tính; a) lim — x->(-.i)‘ X + x + b) lim X+ (x - )^ -x Giải a) Với X < -3, ta có: Vì x^^+l _ x^+l x^+4x + ~ x + 'x + x" +3 84 lim am - = —— = -4 < lim x->(-3)“ X +1 - x->(-3r X + -00, nên x ' +3 = + 00 lim x^(-3)- x'' + 4x 4-3 b) Vì lim -= +00 lim = ,1 ^ = ^/3 > , nên X“ (x _ 2Ý XA2 V -X V2 X+ lim>‘-^2 ( x - ) " ' \ - x + 00 Bài tốn 1.3: Tính giới hạn bên: a) l i m ^ ^ X- b) lim ^ ^ ^ ^ x -3 Giải a) Vì lim (2x + 1) = > 0, lim (x - 3) = X - > với X > nên: 1! 2x + l lim ——— = + 00 x->3* X - b) Vì lim (7x + 2) = 23 > 0, lim (x - 3) = X - < với X < nên: x->3" x-»3 7x + lim ——— = -00 x -3 Bài tốn 1.4: Có tôn tai lim^ - không ? X- Giải x -2 |xTa tính giới hạn bên: lim - -, lim X- > ‘->•2- X - I I Với X > 2, ta có X - = X - Do đó: lim ^ ^ = lim —— - = lim = x->2"^x —2 x->2*x —2 I I Với X < 2, ta có X - = - X X —2 —X Do đó: lim n "^ - l iIim m -= - = um lim (-1) = -1 x -2 >:~>2 x - 'í >2 Vì kết giới hạn bôn trái bên phải lại Xo = khác nên khơng tồn X - 2| lim ;->í x - Bài toán 1.5: Cho hàm số: f(x) = [x’ - x -f x < 4x^ - 29 X > Có tồn lim / (x) khơng ? •V>2 ' Giải 'Fa tính giới hạn bên: lim f(x) lim f'(x): X -> ’ Với X < f(x) \ >? x" - 2x t nôn lim f(x) = lim (x" - 2x t ) - t = \ »2 X>2 Với X > f(x) ■ 4x^ - 29 ncn lim f(x) - lim (4x^ - 29) - 32 - 29 = X >2 X -> 2' Vì lim f(x) = lim f(x) - ncn lim f(x) = \ >2 \ >2 N^2 Bài toán 1.6: Cho hàm số f(x) = 1' -2 ỊịỊ^ị X < x -1 x + + a < X < Tùy theo tham số a xét tồn giới hạn lim f ( x ) \ -> l Giải Với X < thi f(x) |x - lỊ ^ - ( x - 1) -1 nên lim f(x) = lim (-l) = -1 Với < X < f(x) = X t I a ncn lim F(x) = lim(x -f2-t-a) = 3-(-a X >1' X -> ' Ta có + a = -1 a = -4, đó; Khi a = -4 thi lim f(x) = -1 Khi a -4 khơng tồn lim f(x ) X ->1 X >1 BÀI T Ậ P Bài tập 1.1: Chứng minh không tồn tại: lim sin X * X—♦ + » IID -D S Lấy dãy x„ = n;:, X,, = + 2n7t có lim Xn = -t 00, lim X,, = +00 lim l’(x„) = cịn lim f(x'n) = Bài tập 1.2: Tính: ^ i:„ V x - a) lim Tx->9 x - x 2x + b) lim ( x - ) ' ‘2 x - x-*\ HD-ĐS a) ^íx - ^ = lim - x -x ^-^’ x (V x + ) b) lim ^ x-»l (x -1 )^ x - 54 - 00 Bài tập 1.3: Cho hàm sổ f(x) = x '- x X < [Vx + + 4a X > Tìm a để hàm số có giới hạn x-> HD-ĐS lim f (x) = lim f(x ) 6 = + a < :í> a = — x->2" x->2* X+ + a Bài tập 1.4: Cho hàm sổ f(x) = x ' -8 k h i \ < x V x-3 Tùy theo tham số a xét tồn giới hạn lim f (x ) ,Zs - K h i a - 12(73 + 3) - lim f(x) = 12(73 + ) x->3 - Khi \ { Z + 3) - khơng tồn lim f ( x ) x-^3 ƠN KHỬ DẠNG vơĐỊNH HÀM số Phương pháp chung: Trước giải tốn tìm giới hạn thể thử X = Xo cho X ^ + o q X -oo theo yêu cầu để để xem xét giới hạn cần tìm có dạng vô định không - Neu kết cho giá trị xác định, thức xác định, phân thức xác định, dùng định lý vể phép tốn tổng, hiệu, thương để giải - Nếu mẫu thức tiến đến +00 -00 tử thức tiến đến sổ khác giới hạn cho - Nếu mẫu thức tiến đến tử thức tiến đến sổ khác giới hạn dạng +oohoặc -oo, tuỳ theo dấu thừa sổ, tử mẫu ' 00 00 - Nêu có dang vơ đinh —, —, OCỊ co-oo chon phương pháp tương ứng đê khử dạng vô định Chú ý: Thêm bớt đại lượng đơn giản nhai theo X sổ mà giới hạn giữ nguyên dạng vô định K dạng vô định — k h i x —>^Xo - Đối với hàm phân thức, ta phân tích tử thức mẫu thức thừa số dạng (x - Xo).g(x) rút gọn - Dổi với biểu thức chửa thức, ta nhân chia lượng liên hợp để khử căn, tạo thừa số (x - Xo) rút gọn - Đổi với biểu thức lượng giác, ta dùng công thức cộng, công thức nhân, công thức biển đổi để đưa định lý X-Í.0 = X Bài tốn 2.1: Tíiứi: a) lim X -27x b) lim V_k1 >^->0 b) lim 5x V ■Ự^ X— V x -1 Giải a) Dạng vô định —, với , 0, ta có: 3X + - _ ^ _ 5x x + %Ý + 2ầJ ^ + T + \ 5[(ự3x + 8)' + 2ự3x + + ự3x + - 5x X V3X + - _ _ nên lim - = = — 5x 5(4+ + ) 20 -V x ( x - l) ( V x + l ) —^ = lim - [ , -1 (x - l) [ V ( x - lV + V ^ - l V x -+Vx' b) limx^l Vx +1 _ = limX ^l \Ị{2x - \ Ý - f V x - l Vx -f Vx^ ^ Bài tốn 2.6: Tính: , V7 + X -I-V3-I-X - b) lim -3 J x-»l X - ằJx - + - X-t-1 a) lim -; -7^1 x ^ -4 x -i-3 Giải Ự x - - f x - - x + l_ ự x ^ + l - f x ^ - x _ V ^ + ^ ^ x'-4x-l-3 ~ ^ X X x’ -4x-l-3 x^-4x+ x"-4x-l-3 x (x -l) x - (x -l)(x -3 ) (x -l)(x -3 )Ự (x -2 )' - ự x - + -t- (x -3 )[V (x -2 )^ - V x - + Do đó; lim f(x ) = — + ^ —= -> —2 X — x -3 11 Giải Đặt BM = X MN = a - 2x, QM = XV3 Diện tích hình chữ nhật MNPQ S(x) = MN.QM = (a - 2x)x V3 ,0 < X < - Ta có S’(x) = Vã (a - x ) ; S'(x) = o X = - BBT: X S'(x) S(x) a/2 a/4 + ^ — Vậy S(x) đạt giá trị lớn X = — Bài toán 10.13: Một nhơm hình vng cạnh a Tìm cách cắt góc hình vng để gấp thành hình hộp khơng nắp tích lớn Giai Gọi X cạnh hình vng bị cắt cạnh đáy hình vng a - 2x, < X < — Thể tích hình hộp V(x) = x(a - 2x)^ Ta có V'(x) = 12x^ - 8ax + a^ V'(x) = W/t X= m m ' a cắt hình vng cạnh — Lập BBT maxV = V( —) 27 Bài tốn 10.14: Cho hình trụ nội tiếp hình cầu S(0; R) Tìm hình trụ tích lớn a^ Giải Gọi X khoảng cách từ tâm hình cầu o đến đáy hình trụ: OI = X Đáy hình trụ đường trịn có bán kính: r = Vr ^ - x ^ , < X < R Thể tích khối trụ là: V = Trr‘.2x = tx.x(R^ - x^) = -2 tĩx^ + tiR^x, < X < R V’ = -6 tĩx^ + tĩR^ V' = « X = V3 Lập BBT V đạt giá trị lớn X = R V3 72 Bài toán 10.15: Cho parabol (P); y diốm A{-3; 0) Xác dịnh dicm M thuộc parabol (1’) cho khoáng cách AM ngan (ỉiãi Gọi M(x; x“) dicm bất ki cúa parabol (P) Ta có AM = -J(\ + ?>ý + x ‘' = v/x ' + x “ + x + I 6x t 9; D R (x t 1)(4x‘ - 4x I ); Xót hàm số g(x) x ' t g'(x) -4 x ^ t 2x ( g'(x) Cí> X -1 Lập BH r g g(-l) Vậv A.M V5 tạ iM (-l;l) BÀI T Ậ P Bài tập 10.1: l im giá trị lứn nhat nhỏ nhàt hàm sô a) l'(x) X -1 trc n |-2 ;0 | b) f(x) X - sin2x trcn ^ ; Ti| IID -D S a) max f(x) = l'(-2) = \c| \0| ; f(x) = l'(0) = - 3 Nc| \()| V'"' b) max f(x )= + ' ; inin f(x) = “.n ^ ' ^,n \c ■ i Bài lập 10.2: 1im giá trị lớn nhâl nhỏ nhât cua hàm sò a) y b) y fX Vx + + Vó - X ỈID -D S a) v' ^ -x \ , , max y (4 + x )" , b) v' V -.v -V v -f ’ ' ' ’ ' max y V-V + - V - V f(2 ) ; y 23^ 1' ’ V 2y f(-2 ) V2 V f(-3) f(6 ) ■3 Bài tập 10.3: 1ìm giá trị lớn nhó hàm so a) >’= Vsin V-f Vcosx b) y - 2.sin^ X t cos*2x IID -D S a) bình phương rơi dặt biên b) dặt t siii X Bài tập 10.4: 1im giá trị lớn nho hàm số a ) V = sin.vf-4 c o s.v -4 h a h Li h u 73 H D-ĐS a) Quy đồng đặt t = sinx - cosx, - V2 < t < V2 b) Đăt t = —+ —, |t| > 2, y = - 2, không tồn tai max y b a Bài tập 10.5: Cho X > y tuỳ ỷ Tìm GTLN, GTNN M xyỊ ( x '+ y 'X x + V x' + y ') H D-Đ S Xét y = M = Xét y X _v thì:M = 12 / ^ ^ Đăt t = —^ , t > , max M = — 2x“ = 3y^, M = y - x' 18 Bài tập 10.6: Cho < X < < y Tìm GTNN của: s x^ + y^ + x + y xy ĨID -Đ S x^+ y^+ 2x + y _ 2(x + l) V' _ 2x"^+y"+ Xét g ( y ) = - — = - - xy y B = y+1 với < X < < y X kh i x = 3, y = 2^/6 Bài tập 10.7: Tìm số hạng bé dãy Un = n"^ - 20n^ + 0,5n^ - 13n IID -D S Xét hàm số f(x) = x'* - 20x^ + 0,5x^ - 13x, X Số hạng lớn U i = f(15) = -16957,5 % ỨNG DỤNG CỦA > cựcTRỊ VÀ GTLN, NN Phương trình bậc 3: Cỏ nghiệm phân biệí khi: đồ thị có cực trị ycD ■ycT < Có I nghiệm khi: đồ thị khơng có cực trị đồ thị có cực trị vàycD- ycr > Điểu kiện phương trình có nghiệm: Cho y =f(x) D đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: GTLN = M GTNN = m phương trình f(x) = k có nghiệm m Vì A = - 16 < nên 4m^ + 3m + > 0, Vm Do giá trị cần tìm m > Bài tốn 11.4: Tìm tham số m để phương trình: x^ - 3mx^ + 3(m^ - 1)x - m^ + = có nghiệm dương phân biệt Giải Xét y = x^ - 3mx^ + 3(m^ - l)x - mN- , y' = 3x^ - 6mx + 3(m^ - 1) Cho y' = => Xi = m - 1, X2 = m + (S = 2m, p = m^ - 1) Do hàm số ln ln có CĐ, CT Lấy y chia y': , y = — (x - m) y' - x + m' - m - m + ycT • ycĐ = ( - x + m^ - m^ - m + 1)( - x + m^ - m^ = (m^ - 1) (m^ - 3) (m^ - 2m - 1) Điều kiện có nghiệm dương phân biệt; / ( 0) < - m + 1) +1 < X(.J.; Xị^-ị-ị > w - l > 0;ffỉ + l > [ycT-ycn < {ni^ - \){m^ - 3)(m^ - m - \ ) < Giải ^J3 < m < \ + ^Í2 Bài tốn 11.5: Tim m để phương trình sau có nghiệm x^ - 6x^ + mx^ - 12x + = (1) Giải Vì X = khơng phải nghiệm phương trình (1) nên / " 12 ^ x + -6 x + - + m = - 6x + m - — + - = « X x^ xj X > V / 2^ 2' +m-4=0 x + — -6 X + V Đăt t = X + — => |t| = |x| + — > V2 X I XI Ta có: t^ - 6t + m - = (2) (|t| > V2 ) 76 PT (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm thoả mãn |t| > V2 Xét (2) - 6t - = -m Đặt f(t) = t^ - 6t - ; f ’(t) = 2t - = t = Lập BBT phương trình có nghiệm -m > -13 m < 13 Bài tốn 11.6: Tìm giá trị m để phương trình sau có nghiệm: ịlx^ + x + - V x + l - m Giải Đặt t = Vx +1 > , phương trinh trở thành V t^+ -t = m (*) Với mồi nghiệm không âm phương trình (*) có nghiệm phương trình cho Xét hàm số f(t) = ị^ + - t với t > 0, f'(t) = , - w + 3ý < Mà f(0) = V lim f (t) = nên có bảng biển thiên: X—>+Q0 t f'(t) - f(t) Từ bảng biến thiên suy giá trị cần tìm m < m < ịỈ3 Bài tốn 11.7: Tìm m để phương trình sau có nghiệm phân biệt: V ) r '- H n ) r ^ = 2x +1 Giải: PT 2x + l > x^ + mx + = (2x +1)" 3x + 4x - = mx, X > - — Vì X = khơng thoả mãn nên: 3x' + x - l m, X > ^ _ 3x^ + x - l ^ M ^ rt/ X_ 3x^ + „ Xét f(x) = —— -, X > - —, X f (x) = - r— >0 X X Lập BBT điều kiện phương trình cho có nghiệm phân biệt f(x) = m có nghiệm phân biệt x > - —, x ? t < = > m> — 77 Bài tốn 11.8: T ìm điều kiện để phương trình sau có nghiệm 2(1 + sin2x.cos4x) - —(cos4x - cos 8x) = m Giải Ta có: 2(1 + sin2x.cos4x) - — (cos4x - cos 8x) = + 2.sin2x.cos4x - sin6x.sin2x = + sin2x(2cos4x - sinóx) Đặt: t = sin2x(-l < t < 1) xét: y = f(t) = 4t'^ - 4t^ - 3t^ + 2t + Ta có: f'(t) = 16t^ - 12t^ - 6t + = (t - 1) ( t ^ 4t - 2) ị f'(t) = ^ t = l , t = - - , t = Tính f ( -l), f(l), f(- —) f( —) so sánh max y = 5; y = Vậy điều kiện có nghiệm y =5 [u - u + v - v = m -1 u+V= [uv = - m Do đó, u, V nghiệm phương trình; t^ - 5t + - m = Bài tốn đưa tìm m để phương trình t^ - 5t + = m có nghiệm, thoả mãn ti Í2 Xét f(t) = t^ - 5t + , D = R Ta có: f'(t) = 2t - Bảng biến thiên: I , I I >2 78 V ậ y g i Irị c ầ n t ì m : Bài tốn - < m < h o ặc m > 22 1 ; '1’ì m a d ố b ấ t p h n g t r ì n h s a u c ó n g h i ệ m v i m ọ i X a V x ^ 4- < X a (ììải 'ỉ a c ó : a V x ‘ < x t a < I V2x-' ^ -1) a ( V x “ 4-9 — yỊlx~ -9 (vi - > V x ) + - X - V x " + , x e R , f ’( x ) X é t f(x) V2 x “ + 9-1 f ' ( x) V 2x- + (v /2 x ' « - V2x- +9 « 2x' t ^ 81 + - ) ' x^ - 36 « X - ±6 L ậ p B B T thi m i n f(x) V ậy B P Ĩ nghiệm đ ú n g V x a < - BÀI T Ậ P Bài tập 11.1 : rim so n g h i ộ m c ủ a p h ư n g trình: x ' - x '' - x^ - x ^ - x - ÍID -D S p 1': ( x ^ ) ( x ' ’ - x ' - x - ) xct f(x) x"" - x ' - x P h n g trình c h o có d ứ n g n g h iệ m Bài tập 1 : 'l ì m a d c p h n g t r ì n h s a u v ô n g h i ệ m x^’ x ' ’ ) ( - - a ) x ' I (7 - 2a)x' t (6 - a)x' t 3x t ĨÍD -D S X c t X " => ; loại X c t X + C h i a v c c h o x \ dăt t Bài tập 11.3: Tìm m X ' ^ , X 11 I > ; a < dố p h n g trinh: x ' m x ' - ^ có m ộ t n g h iệ m d u y lĩD -D S X é t f ( x ) ^ X ‘' m x ^ - , r ( x ) X X " D K có c ự c dại v cự c licu cù a h m số c ù n g dấu, m Bài tập 11.4: - < 3.^ 1'ìm d i u k i ệ n b ấ t p h c r n g t r i n h s a u c ó n g h i ộ m Vdx - + V4 X < m 79 HD-ĐS Xét f(x) = ^ /4 x - + V4 -X , D = [ —;4]; m > VĨ4 Bài tập 11.5: Tìm m để phương trình có nghiệm mỊVl + x^ - a/ i - x ^ + ]= V T - ^ + V T + ^ ỈID -Đ S Đặt t = Vl + x^ - V l - x ^ < t < V2 ; f(t) < m < max f(t) f( V2 ) < m < f(0 ) V2 - < m < Bài tập 11.6: Tìm m để phương trình sau có nghiệm + cosx + — cos2x + — cos3x = m lỉD -Đ S _ T VT = — t + t + — với t = cosx , |t| < Xét y = f(t) = 17 + t^ + - ; |t| < 1, - < m < 6 ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA Đ THỊ HÀM số Cho đồ thị (C): y = f(x) Tìm tiệm cận đứng: Tìm tập xác định D, xét a i D d: X =a TCĐ có bốn giới hạn sau: lim f(x) = +00; lim f(x) = + 00; lim f(x) = -co; lim f(x) = -00 jr-»n x -> iC ' x -* a x -y iC Tìm tiệm cận ngang d: Tính lim / ( x ) , lim f ( x ) jr->+co x —>~cc ‘ Nếu lim f { x ) = b lim f { x ) = b y = b TCN jr*>+00 Tim tiệm cận xiên d: y = ax + b, a ^ với: a = lim X->+co b = lim ( f(x )- a x ) ố = lỉm (f (x) - ax)/?oạc a = lim X->+00 ỵ \-> -c o Đặc biệt, chia tách y = f(x) = ax + b + r(x) lim r{x) = tiệm V->±00 cận xiên: y = ax + b Biểu thức tiệm cận X —> + 00: sỊx' +bx + c 80 b X+ - Bài tốn 12.1: T ìm tiệm cận đứng đồ thị: 3x-7 a )y = x'+4 , b )y = x-1 X Giải a) D = R \ {-1} Ta có lim y = + 00, lim y = -00 nên đường thẳng X-^l" cận đứng (khi X -> r X —> 1^) X = tiệm b )D = R \ {-2;2} lim y = + 00, Ta có lim y == -00 lim y = - 00, lim y = +00 nên có tiệm X-+Í-2)" cận đứng; X x->2" = -2 X x->2* = Bài tốn 12.2: Tìm tiệm cận ngang đồ thị: 3x +1 a )y X ,, b)y^ - 3x + X +X + Giải a) lim y = 3, lim y = nên đưòng thẳng y = tiệm cận ngang x->-oo x-»+00 b) lim y = nên đường thẳng y = tiệm cận ngang X->±00 Bài toán 12.3: Tim tiệm cận xiên đồ thị hàm số a) y = 2x - + b )y = X-2 Giải a) Vì lim (y - (2x - 5)) = lim — ^— = X—►±C0 X ->± cO — nên tiệm cận xiên đường thẳng y = 2x - (khi X - > -00 X —> +oo) ,3 b) Ta có: = lim = lim X x (x “ - ) bi = lim [f(x )-x ]= lim X—►+« ^ x^ X-M-oc nên tiệm cận xiên đường thẳng y = -1 X = 1; = lim- -X (khi X -1 =0 —> + oo) f íx ì ã2 = lim —— = , b = lim [f (x) - x] = nên đường thẳng X->-oo y= X ^ X—>-oo‘' tiệm cận xiên đồ thị (khi Cách khác: y = x ' -1 = x+X X -oo) -1 81 Bài tốn 12.4: T ìm đư òng tiệm cận đồ thị m ồi hàm số sau: a )y = X- ■3x + b)y=- 3x + 2x + l Giải a) D = R \ lim y =+00 , Ta có ' ” (# lim y - -00 nên T iĩ TCĐ X = - — Ta có lim y = — nên TCN y = — Đồ thị khơng có TCX 3 Vì lim y = -00, b) D = R \ lim y = +C0 nên TCĐ X ^ - Tiệm cận xiên ngang có dạng y = ax + b với: y x^ - x + a = Iim lim — = ulim m = — x ( x + 1) X->±® X Ị x '- x + = lim X-^±00 ^ x + b = lim ( y — X->±00 — -7x + x ì = lim m -= — x~>■±0±"2(2x + l) 2j X ' nên đường thăng y -■= —- — tiệm cận xiên thị Bài tốn 12.5: Tìm đưịng tiệm cận đồ thị hàm số sau: a )y = X + X+ b)y= X + x + - 5x^ - x + Giải a) D = R \ {-1; 1} suy TCĐ: X = -1 X = Ta có y „ „ X +X + x^ -1 X 2x + X- -1 nên lim (y - x) = 0, đ ó TCX: y = X X->±00 „ b) D = R \ {-1; —} suy TCĐ: X = -1 X = — Ta có lim y = - — nên TCN; y = - — 5 Bài tốn 12.6: Tìm đường tiệm cận đồ thị: y = X + Giải D= (-o o ; -1] u [1; + o o ) Đồ thị khơng có TCĐ a/ x ^ - Ta có a = lim — = lim X— >+cc ^ 82 X->+co V = 2: -1 ^ b - l i m ( y - x) = limWx~- - x ) = lim , —- v->.oc x->, v ' ‘“^ V x - - l + x nên tiệm cận xiên: y ‘ 2x (khi X - > ( oo) lim y = lim (x + Vx" - )= lim nên tiêm cận ngang: y (khi =0 J_- X -Ũ C ) HẢI T Ậ P Bài tập 12.1: Tìm liệm cận dứng cua dồ thị: X 2x-3 Vx-'+3 x + x + x-5 IID -D S a) 1) - R ncn tiộm cận dứng b) X “ Bài tập 12.2: rim liệm cận ngang cùa dồ thị: a) y _ ' 2>XX”_+X_+1 '+X+1 x -2 'Ị a x ' + X -f- ỈID -D S a) y - -2 b) y - ( X ^ -oo) V I oc) (k h i X Bài tập 12.3: rim liộm cận xiên dồ thị hàm số -3 x ’ -8x+5 a) y — ” - ^ X -f b) V ' Vx" - X+ IID -D S a) y -3x t- b) y X- ^ X I GC y ' -X I ^ X —> -GC Bài tập 12.4: 1im dường licm cận thị hàm số sau: a) y x' +2 b )y x' - 2x X t Vx /ID-DS a) rCD; X X rr X : y b) l'C D ; X - ( X - > ) X I'('X; I V X ( X —> í oc) 83 13 BÀI TỐN LIÊN QUAN VỀ TIỆM CẬN - Hàm sổ y = f(x) với tập xác định D gọi hàm sổ chẵn nến: \/5c e D -X e D f(-x) = f(x) Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đổi xứng - Hàm sổ y = f(x) với tập xác định D gọi hàm số lẻ Vx £ D -X £ D f(-x) = -f(x) Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc loạ độ tâm đoi xứng - Công thức chuyên hệ trục Oxy thành IXY băng phép tịnh tiên OI với điêm fx = X + Xn I(xo,yo): • [y = y + yo Bài toán 13.1: Chứng minh giao điểm tiệm cận đứng ngang tâm đối xứng đồ thị (C): y = ^ 2x + Giải D = R \ { - ^ } T a c ó lim y = + 00, ° X-I-TCĐ: lim y =-00 nên — Ta có lim y = — nên TCN: y 2 Gọi I giao điêm tiệm cận t h i ; —) X= - = — X = Chuyển hệ tọa độ phép tịnh tiến theo vectơ 01: x y= Y+Thể vào (C) được; X -5 Y + - = < ^ Ỵ = - 4X ^ (X ) + Vì Y = F(x) = 84 13 hàm số lẻ nên (C) nhận gốc I tâm đối xứng Bài toán 13.2: C ng m inh giao điểm tiệm cận đứng xiên tâm đối xứng u - //-.X đô thị (C): y = X -2 x + x -3 G/ả/ Ta có y = + + nên (C) có TCĐ: X = TCX: y = X + 1, giao X -3 điểm tiệm cận 1(3; 4) , / , , , ^ íx = X + ^ Chuyên hệ toạ độ băng phép tịnh tiên theo vectơ O I: I Thê vào (C) X đươc; Y + = X + + lH o Y = X H— X +3-3 X Vì Y = F(X) = X + — hàm số lẻ nên đồ thị (C) nhận gốc I làm tâm đối xứng X Bài toán 13.3: Tìm tham số m để đồ thị (C) hàm số: y^ x ^ + m x + 19 ^ có tâm đối xứng có toạ độ (5; 2) x -5 Giải -4 vầ = m^ xX - V ^ J + m + nên giao điểm 1(5; 10 + m) Chuyển hệ toạ độ phép tịnh Ta có y = TCX: y = X X +m+ 5+ 5m + 44 nên đồ thị (C) có TCĐ; X tiên OI I tâm đôi xứng nên 10 + m = Vậy m = - í mx^+(3m^-2)x-2 Bài tốn 13.4: Cho hàm sô y = -^ Tìm m đê góc tiệm x + 3m cận bàng 45^ Giải , a?7 - 1 a có: y = mx - + — —— , m ^ — X + ?>m Khi m = đồ thị có TCĐ TCN vng góc: loại Khi m đồ thị có tiệm cận đứng: X = -3m tiệm cận xiên: y = mx - có hệ số góc m Hai tiệm cận đứng xiện họp góc 45° tiệm cận xiên hợp với trục hồnh góc 45° m = ± Bài toán 13.5: Cho hàm số y = (Cm) Tìm m để tiêm cân xiên x+1 (Cm) tạo với trục toạ độ thành tam giác có diện tích 18 85 (ìiâi ỉ làm số y X - m * X 41 ,D R \ {-1} Ta có l i m( y - ( x - m) ) = nên tiệm cận xiên d cúa (C,„) cỏ phuxmg trình y " X - m \->±x Giao điếm cùa d với Ox: A(m; 0) giao điếm d với Oy; 1Ị(0; -m) Diện tích tam giác OAB s == m^ 2 4" m^ G m " ± Diều kiện s = 18 Bài toán 13.6: Cho hàm số y mx ( ' '1'ìm m dố hàm số có cực trị khống cách từ đicm cực tiịu dcn tiệm cận xiên V2 Giải Dồ thị có tiệm cận xicn d: y D = R \ {()}, y' " X mx mx - y 'l’a có: y' mx“ " Xét m ^ 0; ■-= (loại) Xct m 0: x^ y' = « X = ± ^ , dicu kiện có cực trị m > 0, ta có m f / ^ Lập BB 1' c r A y - ; V m vm VVm Vm -2yl m Diều kiện: d(A; d) 2m -y - o V2 Vm " + m^ I C-> (m - !)" V2 () m " (chọn) BÀI TẬ P Bài tập 13.1: rim tàm dối xứng dồ thị hàm số; a) y = , x ’ -f6.v-13 h) T = _ ■ x +2 3.V-4 X 4- IID-DS Tâm đối xứng giao diêm tiộm cận , , , Bài tập 13.2: rim tham sô m dc dô thị (C) hàm sô: y đối xứng có loạ dộ (3; -4) 86 - x X- m - có lâm ... 2) y1-4 X' -I- X 15 Ị(x + 2)"(x - 1) ^ lim b) lim A>1V1 Ta có 11 - m n n ( l, 1? ?? V m 1- X ; r - , _ n (1 + X + X ' + + x" ') -x X 1- -x " ( lim )-(, - n V = lim X +X >->y í ,1+ 21 í, ì 1V xy... Do hàm số đồng biến nửa khoảng [2; +Q0) Hàm số liên tục đoạn [2; 3], f(2) = 0, f(3) - 18 Vì < 11 < 18 nên theo định lí giá trị trung gian hàm số liên tục, tồn số thực c e (2; 3) cho f(c) = 11 ... CÁC CHUYÊN ĐÊ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA KHẢO SÁT HÀM SỐ N H À X U Ấ T B Ả N Đ Ạ I HỌC Q ưốc G IA HÀ N Ộ I LỜI N Ó I ĐẦU Các Km học sinh thân mơn! Nhằm mục dích giúp bạn học sinh lỚỊ) 12 chuan