Các chuyên đề bám sát đề thi THPT Quốc gia Hàm số và Phương trình mũ - Logarit bao gồm 15 phần nhỏ thể hiện theo chủ đề, có nhiều dạng như: Biến đổi lũy thừa mũ, biến đổi logarit, hàm số logarit,... Mời các bạn cùng tham khảo.
NGƯT ThS LÊ HỒNH PHỊ C ác c h u y ê n đ ề BÁin 5ÁT Đ ễ THI XUẤT BÂN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỤI Th.s NHÀ GIẢO ƯU TỦ LẺ HỒNH PH Ị CÁC CHUN ĐỀ BÁM SÁT ĐỀ THI THPT QUỐC GIA HÀM SỐ VÀ PHƯƠNG TRÌNH MỦ LƠGARIT NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC Q ố c GIA HÀ NỘI NHÀ XUÂT BÁN ĐẠI HỌC QUÕC GIA HÀ NỘI 16 Hàng Chuối - Hai Bà Trưng - Hà Nội Điện thoại: Biên tập - Chế bản: (04) 39714896; Q uản lý xuất bản: (04) 39728806; Tổng biên tập; (04) 39715011 Fax: (04) 39729436 i\i * C h ịu tr c h n h iệm x u ấ t bản: G iám dốc - T biên tập: TS PH Ạ M T H Ị TRÂM B iên tập: N G U Y Ê N C Ả N H BA C hế bản: N G U Y Ễ N K H Ở I M IN H T rìn h bày bìa: N H À SÁ CH H N G ÂN Dối tác liên kết xu ấ t bản: N H À SÁ CH H Ồ N G ÂN 20C N guyễn T hị M in h K hai - Q1 - T P Hồ C h í M in h SÁCH LIÊN KẾT CÁC CHUYÊN ĐỂ BÁM SÁT ĐỂ THI THPT QUỐC GIA _ HÀM SỐ VÀ PHƯdNG TRÌNH MŨ LÔGARIT Mã số: 1L-269ĐH2015 In 1.000 cuốn, khổ 17 X 24cm Cơng ti cổ phần Văn hóa Văn Lang Địa chỉ: số Nguyễn Trung Trực - P5 - Q Bình Thạnh - TP Hổ Chí Minh Số xuất bản: 1121- 2015/CXBIPH/48-189/ĐHQGHN, ngày 12/5/2015 Quyết định xuất số: 287LK-TN/QĐ-NXBOHQGHN, ngày 19/5/2015 In xong nộp lưu chiểu quý III năm 2015 LỜI NÓI ĐẦU Các Em học sinh th ân mến! Nhằm mục đích giúp bạn học sinh lớp 12 chuẩn hị th ật tôt cho KY THI TRUNG HỌC PH Ổ THÔNG QUỐC GIA đạt điểm khá, điểm cao để trúng tuyển vào trường Cao đẳng, Đại học mà xác định nghề nghiệp cho tương lai, theo định hướng Bộ sách gồm cuôn cho chuyên đề, đê em tiện dùng ơn luyện theo chương trình học trước kỳ thi: - KHẢO SÁT HÀM SỐ - HÀM SỐ VÀ PH Ư Ơ N G TR ÌN H MỦ LƠGARIT - NGUN HÀM VÀ TÍC H PHẢN - SỐ PH Ứ C VẢ T ổ H Ợ P - H ÌN H HỌC KHƠNG GIAN - TỌA ĐỘ KHÔNG GIAN - LƯỢNG GIÁC VÀ TỌA ĐỘ PHANG - PH Ư Ơ N G T R ÌN H VÀ HAT đ Ẳ n G t h ứ c Cuốn HÀM SỐ VẢ PHƯ ƠNG TR ÌN H MỦ LƠ G A R IT gồm có 15 phần nhỏ để tiện luyện tập theo chủ để Từ kiên thức phương pháp giải Toán nâng cao dần dần, kết hỢp ơn tập Tốn lớp 10 11, bổ sung mở rộng kiến thức phương pháp giải khác nhau, luyộn tập thêm Tốn khó, Toán tổng hỢp, bạn rèn luyện kỹ làm bước giải đúng, giải gọn tập, toán kiểm tra, thi cử Dù cơ" gắng kiểm tra q trìn h biên tập song khơng trán h khỏi sai sót mà tác giả chưa thấy hê"t, mong dón nhận góp ý quý bạn đọc, học sinh đê lần in sau hoàn thiện Tác giả L Ê H Ơ À M I PHỊ MỤC LỤC BlÉN ĐĨI LUỸ TMỪA VẢ MŨ BIẾN ĐỒI LÔ G A RIT 20 HÀM SỐ MŨ, LUỸ TIIỪ’A 30 HÀM SỐ LÔGARIT 45 SO SÁNH BIẾU THỨC MŨ VÀ LOGARIT 59 BẤT ĐẲNG THỨC VÀ GIẢ TRỊ LỚN NHẤT NHỞ NIỈẢT CỦA HÀM SỐ MŨ VÀ LOGARIT 65 PPiươN G TRÌNH M Ũ .75 PHƯƠNG TRÌNH LƠGARH' .90 ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM PHƯƠNG '1'RÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 103 10 BẨT PHƯƠNG TRÌNH M Ũ 113 11 BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 119 12 ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM BẤT P1 lUƠNG TRÌNII MŨ VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 128 13 HỆ PHƯƠNG TRÌNH MỦ 138 14 HỆ PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT 149 15 ĐIỀU KIỆN VỀ NGHIỆM HỆ PHƯƠNG T R ÌN H 167 BIẾN ĐỔI LUỸ THỪA VÀ MŨ Luỹ thừa với h i số mũ - Luỹ thừa với số mũ nguyên dương: a” = a.a a, n thừa sổ a (với a n e N*) - Luỹ thừa với số mũ nguyên âm: a^ = a'" - ^ (với a ỉàO n £ N ) - Luỹ thừa với sổ mũ hữu tỉ; = a " = >/ã^ a (với a> r = n n e z, n £ N ) - Luỹ thừa với số mũ thực: a° = lima'" (với a> 0, a £ R, r„ £ Q limr„ = a) - Biến đổi luỹ thừa: Với số a > 0, b > 0, a p tuỳ ỷ, ta cỏ: j ^ ^a^p ^a ^ ^ ^ a -P ^ ^aP (a.b)“ = a" (a: b)" = ứ“; b" Quan hệ so sánh Nếu a > I thì: a“ > cp p Nếu < a < ỉ thì: a“ > a< p Nếu < a < b thì: a‘^ < b“ a > 0; a‘^ > b“ ■Cỳ a < Căn bậc cao - Căn bậc n: Khi n lẻ, b = ^ Giải E=(o,5'^ỵ* = 0,5^^ = 0,5'= í - ì = — ^ ’ U ; 16 p _ '2^2-3-s[5 ^-/s _> 2^-343 2^''^ _2^ -34^+343_2^ _^ • Bài tốn 1,4: Tính giá trị biểu thức sau: p _ -^\+i 42 ọ4ĩ p _ Giải g _ 2>+2V2 gự2 _ 2^+242 t 442 _ 2^+242-242 _ ^1 _ p _ L 24I _ ^ 43- ^ 2-243 _ 24^2 2-2/3 _ 22/ 3-2 2-2/3 _ 2^/3 _ l / • • 4Bài tốn 1.5: Viết biểu thức sau dạng luỳ thừa số với số mũ hữu tỉ: Ịb.[ã ỉ = ịlx ^ ự x (x > 0); J = -3 “ (a > 0, b > 0) a Vb Giải í n I = ịỊx^ịlx = x 'x ^ V x' Giải Bài toán 1.7: Rút gọn biểu thức: a )A =V + 2V2 + V 18- 8V2 VŨ^^óVÌ + V3 7 Ì + b)B - V2 V2 + V3 +V 14- 5V3 Giải a) T acó + 2>/2=(V + iỵ v 18-8^/2 = ( - V2)^ N ê n A = ^ ( V + l) ' + V (4 -V )- = V + l + - V - b) Ta có; v r r ^ ^ = Ậ - Ý = - V2 V3 + V5 + V - 3V5 = ^ ^ + + V l4 -6 V j = ^ Ị ^ V + V 5y -+ A /(3 -V )^)= ^ ( l + V + - V ) = ^ = 2V2 Biểu thức từ B :3 v /2 +2y[2 - y íĩ =3 Và V2 + V3 + V 14- 5V3 = ^ Ị ^ V + 2V3 + V - I 0V3 j = ^ [ V Õ ^ ^ + V ( - V y ) = ^ ( l + V + - V ) = A = 3V^ Vậy B = 32~ Bài tốn 1.8: Rút gọn biểu thức: a) Q = x - + 2-v/x + l X +1 -3 - n/ x +1 b) p _ 3/2 + V4^ | V ( + x)^ - V(2 - x)^ + yl4 -: Giải a) Điều kiện X+1 > 0,x + 5>í: 3Vx +1 «> x > - 1,X 5ế x - + 2>/x + l ^ (Vx + l +1)^ - 4^ X +1 - 3-v/x +1 =1 V:í + 1(-\/x + - ) ^21: - ^ = — 7= ^Jx + ỉ{^fx + \ - ) Vx + Vậy Q = •\/x +1 + V x+ với X >-I,x?t8 ( X ^ 8) Giải a) (73^6 = 3"12 ị 3 =3 34 ^ < ỉí3 "'íl^ Vì số > nên \200 b) Ta có: 600 ^ 27^*^° • 5"*°° = ( ^ r ^3 j Vậ y3‘“ > “ “ 0 Bài toán 5.4: So sánh số; f I 1y ? a) — v 2 ‘'’ v2 ; b) -3V2 vV3 ) Giải ^ iiiT i (\\ ^ = v \ síĩ.V ^ = 22.2 '^ = 2-"'^ = ^ a) v2y Vậy - ' =V 2.2‘V 2^ v27 bMT ) T a c ó■ í > \^j3J và■ 3v O ^= í -l V ’^ = - v^y Ta có 3V2 < 2V5 o (3^2)- < (lyỉỉỴ o 18 < 20: Vì số < —< nên l3 j < — r => -)= [yÍ3J r < ^ ^ Bài toán 5.5: So sánh p q biết: a) r 2Y /3V-^ 8T ” r Y > b) j v8y Giải: > > ^2 Ỵ , |p Í8Ỵ‘', ^8> 1= > - P > - Ợ = > P < Ợ v3y Bài toán 5.6: So sánh p q biết: a) 0,25P < 60 í V ‘' b) ívY > Í2 Y1-2q 2j V /y Giải: a) 0,25P < b) í'i\^ > í^ í/T\p-2q '2Ỵ'^'^ K (i Ỵ < < 1=> p > q TyV*'”’ ’ ,^ > l:^ p < q -p = > p < q v2y Bài toán 5.7: Hãy so sánh: a) log34 log4 — b) 3'"^*''’' 7'“8'’“-'” , Giải a) Ta có log34 > log4 - < 0, suy log34 > log4 — b) Ta có log6l,l > nên ‘ > 3° = (vì > 1) log60,99 < nên < 7” = (vì > 1) Suy > 7“’®-“’’^ Bài tốn 5.8: Hãy so sánh: a) logg27 log925 b) log49 log925 Giải a) Ta có logg27 > logg25 > logg25 > logg25 < nên logg27 > log925 b) Ta có log49 = log23 = logg27 > log925 Bài tốn 5.9: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh: a) log2 + log3 với log5 b) logl2 - log5 với log7 Giải a) log2 + log3 = logó > log5 b) logl2 - Ỉ0g5 = log— = log2,4 < log7 Bài tốn 5.10: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh: a) 31og2 + log3 với 21n5 ^ b) lo g log3 ^ ^ Giải a) 31og2 + log3 = log(2^ 3) = log24 < log25 = 21og5 < 21n5 b) Vì — < — < nên log3 — > log3 = 5^ 3 3 Vì — > — < nên log, — < log3 = Từ suy log3 — > log - ^ ^ ^ 61 Bài tốn 5.11: Khơng dùng bảng số máy tính, so sánh: a) log23 logơS b) log + yíĩ , logS + logVv va Giải a) Đặt a = log23 b = log65 thì; =2® nên a > = 6^’ nên b logúS b) Ta có + ^ iog(5 V ?) = log Đ ặ t a = l o g V ^ ^|ĨJ^ = 10" b = log - ■■ ■= 10^ T a c ó ( ^ ^ ^ ) ^ - ( V ^ / = + ^ V -5 V ỹ >0 Nên + Vỹ > ^|ĨJ^ 10"< 10^ _ , , , _ s + v? logS + logVv Vậy a < b hay log — 2L_ > ^ ^ Bài toán 5.12: Chứng minh: a)X — -— H =— > log2 n logị n b) log23 > log34 Giải a) Ta có: 1 log27Ĩ logị 71 b) log23 > log34 = log;i5 + log,t2 = log,tl0 > log^tTi^ = log3 > log34 ỉog32.1og34 < 1: Đúng Vi theo bất đẳng thức Côsi: 2.1og3 < ^ (log32 + log34) = ^ log3(2.4) < ị log39 = Bài toán 5.13: Chứng minh; logn(n + 1) > logn+i(n + 2) với số nguyên n > Giải Ta tách phần nguyên: A = logn(n + 1) = lognn(l + - ) = ! + logn(l + - ) n n 62 B = logn+l(n + 2) = logn+l(n + 1) (1 + — = + logn+1 (1 + n+1 n+1 Ta có + — >1 + — n n +1 logn( + logn(l + —) > l o g n ( l + - ^ ) n n +1 > logn+l ( + ^ ) n+1 n+1 =í> logn(l + - ) > logn+1 ( + —^ ) n n+1 Vậy A > B Bài toán 5.14: Cho m > 1, a + b = c với a > 0, b > Chứng minh: a"’ + b"" < c"‘ Giải + Ta có a"’ + b"" < c"* « vcy íhY , b > nên < — < , < — Từ ta có: í-ì Uy ^ a V ^ TaV T b r ^ r b_V < \ c j vcy \cj ru\ + Vc; a b < - + - = c c BÀI TẬP Bài tập 5.1: So sánh số sau đây: a) ự4 V5 b) + HD-ĐS a) ự ĩ > ự5 b ) < ' ^ + -’- ^ Bài tập 5.2: So sánh số sau đây: b)\ J59- ^f 58 ’ ^Í5^-^Í5^ a)V Ũ + VĨ4; VĨ2 + VĨ3 a) So sánh binh phưong Bài tập 5.3: So sánh số sau đây: A= + HD-ĐS b) Trục thức B = Ự +I V 63 HD-ĐS Tính gọn trước so sánh tương đương Bài tập 5.4: Các lôgarit sau dương hay âm? a) log, b) logị c) logo 0,8 d) log^ v ? , a) Dương HD-ĐS c) Dương b) Dương d) Âm Bài tập 5.5: So sánh số sau đây: a) log3 ; log4 ^ b) logo , Ụ ĩ ; log0 0,34 HD-ĐS a) log3 > log4 ị b) logo, ự ĩ < logo 0,34 Bài tập 5.6: So sánh số sau đây; b) lo g j7 ; loggV a) log4 5; lo g ^ ^ 15 HD-ĐS a) log4 = \og^ ^ b) log; > logg Bài tập 5.7: So sánh số sau đây; a) logg 27; logạ 25 b) logi35 675; log45 75 HD-ĐS a) Lần lượt đưa so sánh số, mũ, logg 27 > logạ 25 b) Đặt logj35 675 = x; log45 75 = y Giải V i n G N , n > , b ấ t đẳng thức tương đương ^ ix n+1 n (n + l)lnn > nln(n +!) — — -> ln(n + l) Inn (3; +oo) f'(x) = —- > Inx In X Do f đồng biến (3; +oo) nên: Xét f(x) = n + l > n > : ^ f ( n + l ) > f(n) => ■ - —-— > : đpcm ln(n + 1) In n Bài toán 6.2: Cho số X , y, z, t + log, z - - logx y - G ( - ; 1) Chứng minh bất đẳng thức: + log, + log, X >8 Giải V Ta có: a > => a - —< a với a Và — < X , y, z, t < nên hàm nghịch biến, đó; VT > logxy^ + logyZ^ + l o g / + logtx^ = 2(logxy + logyZ + logzt + logtx) 66 Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho sổ dưong: 2(logxy + logyZ + logzt + logtx) > 2(2.^1og^ ydog^ z + 2^1og.t.log, x) > 8.Ựlog^ y-log^ z.log, t.log, X = sVĨ = Vậy: log, Ị^y - ^ j + logyỊ^z - ^ j + lo g ,|t - ^ j + log, Ị^x - ^ j > Bài toán 6.3: Chứng minh bất đẳng thức sau với a) e’‘ > X+ b) e’‘ > X > 0: + X+ — Giải a) Xét hàm sổ f(x) = - X - , X > f '(x) = e’' biến (0; +oo) f liên tục [0; +oo) > 0, Vx > nên f đồng nên f đồng biến [0; +oo): X > =í> f(x) > f(0) = 0: đpcm b) x^ Xét f(x) = e’‘ - —— X - l , x > t h ì f '(x) = e’‘ - X - Theo câu a) f'(x ) > nên f đồng biến [0; +oo) > => f(x) > f(0) = 0: đpcm Bài toán 6,4: Chứng minh bất đẳng thức: X ""^ + '“"^ > V 2^ , v i m ọ i x e (0; - ) Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi: 4"”^ + 2‘“ " > Ta cần chứng minh: 2^*’'’ ^ ^ > 2^’^'^^ 2sinx + tanx > 3x Xét f(x) = 2sinx + tanx - 3x, < X < — f '(x) = 2cosx + cos X > 2cos 2.X + cos X -3>2V2-3>0 nên f đơng biến ,rên [0; í ): X > => f(x) > f(0) = 0: đpcm Bài toán 6.5: Chứng minh bất đẳng thức: e’' > x^ - 2x + với X Giải Nếu X < BĐT Nếu X > 0, x^ - 2x + > 0, Vx nên BĐT x^ - 2x + > — e ’' 67 Xét f(x) = - 2x + 2, X > 0,f '(x) = 2x - 2, f'(x ) = » X = Lập BBT minf(x) = f(l) = Xét g(x)= ^ , x > , g'(x) = g '(x) = e’‘ - x e ’‘ 1- x , 2x X = Lập BBT maxg(x) = g(x) = - e Vì minf(x) > maxg(x) đpcm - ^ x^ Bài toán 6.6: Chứng minh bât đăng thức: + cosx > + X - — , với X • Giải x^ _ „ Xét hàm số f(x) = e’' + cosx - - X+ — ,D = R f'(x ) = - sinx - + x; f'(x ) = Giải Xét hàm số f(x) = 68 - e - 21n [x + - \ / ĩ + ^ j , D = [0; +oo) f'(x) = e" + e’^ ; f'(x) = « x = Vĩ + x e’' + e"’‘ > -< nên f '(x) > 0, Vx > Vl + x^ Do f(x) đồng biến [0;+oo) nên f(x) > f(0) = => đpcm Bài toán 6.9: Cho < x < l ; < y < l v x jtỴ , Chứng minh rằng: y -x >4 In -^ -ln - ^ 1- y 1- x Giải Do y, không giảm tổng quát, giả sử y > X X Xét hàm số f(t) = In -V — 4t, với < t < 1- t f'(t) = Vì y > X > nên f(t) hàm đồng biến (0; 1) nên ta có f(y) > f(x) hay In y - X > nên suy y -x ■4y > In^^^ 4x 1- x 1- y In ^ -ln - ^ 1- y 1- x >4 => đpcm Bài toán 6.10: Cho a > b > Chứng minh bất đẳng thức: 2“ +• V+V- Giải Với a > b > 0, bất đẳng thức tưorng đưoTig: ' 4“ + l ' 2“ < \ ^ => f(a) < f(b): đpcm 69 Bài toán 6.11: C ho số nguyên n (n > 2) hai số thực không âm X, y C hứng ,n+l + y" > minh bất đẳng thức: + y" Giải Với X= y = 0, bất đẳng thức Với xy > 0, bất đẳng thức cần chứng minh tưcmg đưorng với Vn+1 n íx) > n+1 1+ ĩ ^+ l y j ly j ì n/i , ^11 Xét hàm số f(t) = —p - - — với t e (0; +Q0) t" ~ '(l-t) Ta c ó f ’(t) BBT t f'(t) ; f '(t) = o t = +00 + f(t) 1 Suy f(t) > với t e (0; +oo) => đpcm Bài toán 6.12: Cho a, b > v a + b = l < a.e’^+ b.e^, với X, với y Chứng minh bất đẳng thức: Giải Ta có a, b > a + b = nên b = l - a d o đ ó O < a < l BĐT: + -a)e^ - 1) « eT - a.e’'-’' + a - < Xét f(t) = e“’ - a.e‘ + a -1 , t e R f'(t) = a(e"‘ - e ‘), f'(t) = o t = BBT t f' -00 + f Suy f(t) < 0, Vt => đpcm 70 Bài toán 6.13: C ho p > 1, q > thoả p + q = pq a, b > „ ' ’ a** b‘' Chứng minh bất đẳng thức: ab < — + — p q Giải a'’ b'’ Xét hàm số f(a) = — + — - ab với a > p q p-1 f'(a) = aP-' - b, f'(a) = « aP-' = b o a = b ” Mà p + q = pq => (p-l)(q-l) = nên a = b‘'“' Lập BBT f = f(b‘’’') = => đpcm Bài toán 6.14: Cho a, b, c > Chứng minh bất đẳng thức: a) a^.b^.c'^ > a*’.b‘^.c“ b) (abc) c‘‘-' b'’-'^ = c^“^ Xét a > c > b: BĐT V ì a > c > b > nên a’^'^’ > b‘=■^ c‘*“^ c“’‘^< a‘^''’.a®'‘^= a®'*’ b) BĐT «> log(abc) < log(aLb''.c‘') Cĩ> (a + b + c)log(abc) < 3(loga® + logb'’ + logc*^) o (a + b + c)(loga + logb + logc) < 3(aloga + blogb + clogc) (a-b)(loga-logb) + (b-c)(logb-logc) + (c-a)(logc-loga) > BĐT số 10 > nên X >y>0 logx > logy < X logx < logy nên (x - y) (logx - logy) > 0, Vx > 0, Vy > Bài toán 6.15: Cho a, b, c > Chứng minh a) a‘’+ b“ > b) (a + b)^ + (b + c)" + (c + a)’’ > Giải a) Nếu a > b >1 a*’ + b®> Nếu < a, b < Xét f(x) = (l+ x)“ - - ax , f'(x ) = a ( l + x)“'' - a = a ,(l + x) nên X> => f(x) < f(0) = I-a X > 0, < a < ■1 < (1 + x)“ < + a x (*) Áp dụng a = —-— — ,x >0=> >0 a > — — = - - 1+ x \ + xb a + b - a b 71 Tương tư: b” > — -— = - => a* + ố" > \-^ ya a + b - a b b) Trong số a + b, b + c, c + a có số, chẳng hạn a + b > (a+b)*^ > (b+c)“ + (c+a)*’ > b* + a*’ > suy đpcm Cịn số bé dùng bất đẳng thức (*) Bài tốn 6.16: Chứng minh bất đẳng thức: + + ^ 20 ^ 4, VJ / VJ Dấu ? > 3’‘ + 4* + 5" với X Giải Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho cặp số dương: Ĩ2 ri5V V V J > 2, 15^ VJ V 2.3^ 2 ^15Y ("20^’' ^15Y V^2 r 20Y ^ 12^ VJ + V y (\2 \ 2.5’' V ^2 V J > 2, VJ ( 20 ^ 12^ 2.4’' V -5 V ^ Cộng lại bất đẳng thức vế theo vế có X X r i ^ + b i ^ ^ + l j > (3 ’' + ’' + Y b J Rút gọn cho có => đpcm Dấu xảy Y ^’' 15V r 20Y X = VJ Bài tốn 6.17: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số V J a) f(x) = X - e^’' nên đoạn [-1; 0] V b) f(x) = Giải đoạn [-1; 1] a) Ta có: f'(x) = - 2e^’', f'(x) = X = \n^Ỉ2 e (-1; 0) f(-l) = - 1-eY f(-ln7 ) = , f(0) = - So sánh maxf(x) = f ( - l n ) = - l n - - , r n m f ( x ) = f ( - l) = - l- e “^ X€(-1;0] x6Ị-1;0] b) f(x) hàm số chẵn liên tục đoạn [-1; 1] Xét < x < f(x) = 3’' => f'(x ) = 3’' In3 > nên f đồng biến [0; 1] 72 Vây f(x) = f(0) = l ; raax f(x) = f(± l) = xe[-l,l] xe[-l,l] Bài tốn 6.18: Tìm giá trị lÓTi giá trị nhỏ hàm số a) f(x) = X - Inx + khoảng (0; +oo) b) f(x) = ln(x^ + X - 2) đoạn [3; 6] Giải a ) f'(x)= - - = — X , f ' ( x) = o x = X Lập BBT f (x) = f (1) = 4, khơng có giá trị lớn X€(0;+co) _ 2x4-1 b ) T acó f ' (x) = -^ — - nên X + X - f'(x ) > 0, Vx [3; 6] đoạn [3; 6] hàm số f(x) đồng biến Vậy niirif(x) = f(3) = InlO ; m a x f(6) = ln40 xe[3,6] Bài toán 6.19: Tìm GTLN, GTNN y = 4*” ' ’' + “ *'’‘ Giải Đặtt= < t < t h ì y = f(t)= t + - , f ’(t)= - - = - ^ ^ f ’(t) = « t = ± C họnt = Ta có f(l) = 5, f(2) = 4, f(4) = Vậy max y = sin^x = sin^x = 1, ■min y = sin^x = — Bài toán 6,20: Tìm GTLN, GTNN y = Giải + 2' Đặt t = sinx 1,0 < t < 1, y = f(t) = 2‘ + ' ^ , < t < f ' ( t ) = 2'.ln + -t -,ln2 = t.ln2 ^ 2' t ^ ^ V ĩ^ u In -1 2" Xét g(u) = — , < u < g '(u) = 2“ u u" Vì < u < 1, < ln2 < nên g '(u) < 0, Vu e (0; 1) 2' ;i-t^ Do g(u) nghich biến (0; 1) Nên: f'(t) = - » — = , t= t Vn h VI VI = 2.2 ^ , f(l) = Vậy max y = 2.2 ^ , y = Ta có f(0) = 3, f v y 73 BÀI TẬP Bài tập 6.1: Chứng minh bất đẳng thức: b ) 2l og7 HD-ĐS a) Dùng bất đẳng thức Côsi b) Xét hàm với biến t = log23 Bài tập 6.2: Chứng minh bất đẳng thức: < Ig ^ Vút, ố > HD-ĐS Dùng bất đẳng thức Côsi Bài tập 6.3: Cho X, y, z ba số thoả mãn X + y + z = Chứng minh: 'v/3 + 4’‘ + V3 + 4’' + V3 + 4^ > HD-ĐS Dùng bất đẳng thức Côsi Bài tập 6.4: Chứng minh: log2(x^ + 1) - log2X > 3x^ - 2x^, Vx > HD-ĐS Dùng đạo hàm Bài tập 6.5: Chứng minh In X x^ - X+1 ,Vx > 0,x x^ + X HD-ĐS Đưa hàm phân thức riêng biệt, hàm lôgarit bên Bài tập 6.6 : Chứng minh bất đẳng thức 3^^ > X +1, Vx>0 HD-ĐS Dùng đạo hàm lập BBT Bài tập 6.7: Chứng minh bất đẳng thức với n nguyên dưong t".^Ị\-X < / , Vx e( 0, l ) V2 ne HD-ĐS Lấy lôgarit Nêpe vế Bài tập 6.8: Tìm GTNN, GTLN hàm số: a) y = b) y = HD-ĐS a) 1/3 27 74 b) v ? ... - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1- - - - - - - - - - - - - - - - - - - h H - - - - - - - - - - - - - - - - = logab log^^b log^, b - log^„ b 21og3b... Giải T, _ 1 1 loga b log^, b log^, b log^„ b n - - - - - - - - - - - - - - - ? ?- - - - - - - - - - - - - - - - - ? ?- - - - - - - - - - - - - - - - - h H - - - - - - - - - - - - - - - loga b loga... + - - x Ta có lim = lim - ã ^ đV3jT+4 - - X x- x -1 = Iini— lim ■— : - -? ?? = ln5.? ?- = —-ln x - V3X + + + X 4 , 1- V 2x + +sinx Và yl3x + - - x _ í 1- V2X + , sinx - ^ -2 sinx - 1-