Đây là Chuyên đề Toán học chinh phục phương trình và bất phương trình vô tỷ bằng phương pháp cân bằng tích của Megabook chuyên gia sách luyện thi, dành cho các em học sinh ôn thi THPT. Các em có thể tham khảo nhé Chúc các em ôn tập tốt và hiệu quả
Tài liệu đặc biệt dành cho học sinh Lớp Toán luyện thi Phương pháp cân tích ứng dụng để giải lớp toán Phương Trình & Bất Phương trình Vô tỷ. Tài liệu bao gồm: Cơ sở lí thuyết. Phương pháp chung. Các ví dụ. Bài tập vận dụng. Các em phải biết học toán phát triển tư duy, phương pháp có hay dễ sử dụng đến mức người sử dụng phát triển học chay mà thôi. Hy vọng em nắm bắt chất để phát triển thêm phương pháp này. Trong tài liệu cố gắng sử dụng ví dụ tiêu biểu cho toán riêng biệt, ví dụ kinh nghiệm học. Đọc hết tài liệu em có nhìn tổng quát đầy đủ phương pháp này. Hiển nhiên tài liệu có thiếu sót, mong em góp ý để tài liệu hoàn thiện cho lứa học sinh sau. Chúc em học tốt! Phương Pháp nghiên cứu phát triển dựa kiến thức kinh nghiệm tác giả. Hiện chưa có tài liệu viết phương pháp này. Mọi vấn đề chép yêu cầu thông qua ý kiến tác giả. Tác giả: Nguyễn Đại Dương http://megabook.vn/ PHƯƠNG PHÁP CÂN BẰNG TÍCH Cơ sở: Cho phương trình có dạng g x h x n f x . Với f x , g x , h x đa thức. Nếu phương trình có nghiệm x xo nghiệm biểu thức n f x A x tồn phân tích dạng: g x h x n f x A x n f x .B x Trong toán ta xét : Bậc bậc bậc 3. Đa thức f x , h x g x có bậc bé 4. Đa thức A x thường biểu thức bậc 1: A x ax b . Phƣơng pháp : Bƣớc : Sử dụng Casio để tìm biểu thức A x : Nhập phương trình g x h x n f x vào máy bấm SHIFT SOLVE máy Sovle for X nhập tùy ý giá trị X bấm =. Đợi máy giá trị X bấm SHIFT STO A để gán giá trị nghiệm cho A. Bấm MODE máy f(X) = nhập biểu thức n f A AX = máy Start? Nhập -10 = máy End ? nhập 10 = máy Step nhập = , máy bảng với bên giá trị xủa X bên giá trị f(X), ta lấy giá trị mà X f(X) hai số nguyên (hoặc hữu tỉ). Khi biểu thức cần tìm A x X . x f X với X f(X) giá trị nguyên chọn. Bƣớc : Cân tích : Ta cân hai vế với biểu thức n f x , A x n f x n f x , An x để đưa phương trình dạng: k x An x h x A x k x f x h x n f x Trong g x k x An x f x h x A x Tùy vào biểu thức g x mà ta lựa chọn k x phù hợp để cân bằng. Thông thường k x hệ số a, biểu thức bậc ax b , biểu thức bậc ax2 bx c hay phân thức m … ax b Chú ý : Biểu thức A(x) thông thường bậc biểu thức bậc cao ta phán đoán A(x) dựa vào toán. http://megabook.vn/ x x2 Ví dụ 1: Giải phương trình: (1) Điều kiện : x 2 Nhập biểu thức: X 2 2 X2 Bấm SHIFT SOVLE = máy X 0.6180339887 bấm SHIFT STO A máy Ans A Bấm MODE nhập f X A AX 10 10 máy bảng ta thấy có giá trị nguyên X 1, f X 1. Khi ta suy A x x hay x x 1 Ta viết lại phương trình cân sau: Pt x2 x Đầu tiên ta cân cho x x : . x 1 . x Khi VT thừa lại : x2 x 1 x x Ta tiếp tục cân thêm vế cho : x x x 1 . Do biểu thức cân có bậc bậc biểu thức thừa nên ta cân với hệ số a : a x 1 x 1 a x 2 x (*) Khi để (*) tương đương với (1) a x 1 a x 2 x x2 , đồng ta a 1 Pt x 1 x 1 x x 2 x x 1 x x x x 1 x x 1 x x x x 1 x x 1 x2 x 0 x x TH: x 1 1 x x 1 x x x 1 TH: x x x x 1 x x So sánh với điều kiện suy phương trình có nghiệm x http://megabook.vn/ 1 , x 1 x x x 1 x Ví dụ 2: Giải phương trình: Điều kiện: x 2 Nhập Casio ta tìm biểu thức cân x x 1 Ta cân tích sau: Ta cân cho x x 1: . x 1 x 1 . x 1 x Do x nhân với lượng x 1 nên x vậy. Khi VT thừa lại: x2 x x 1 x 1 x x x x x 1 . Do bậc biểu thức cân biểu thức thừa Ta cân tiếp cho bậc nên ta cân với hệ số a: a x 1 x 1 x 1 a x x 1 x 2 Chuyển vế đồng hệ số: a x 1 a x 2 x2 x 1 a 1 Pt x 1 x 1 x 1 x x 1 x 2 x 1 x x 1 x x x 1 x 2x x x x 1 x 2 x TH: 1 x 1 x x 1 x x x 1 TH: x 33 x 2 x x x 4x So sánh với điều kiện suy phương trình có nghiệm x 1 33 ,x Chú ý: Khi toán có nhiều nghiệm lẻ ta lưu nghiệm tìm biểu thức cân bằng, thông thường nghiệm lẻ cho ta biểu thức cân khác nhau. Dù biểu thức cân khác kết sau cân giống nhau. http://megabook.vn/ x3 3x 3x Ví dụ 3: Giải phương trình: x 1 0 Điều kiện: x 1 Nhập CASIO ta bảng giá trị X, f(X) nguyên nào, tất số lẻ… Đến ta hiểu phương trình nhân tử chung dạng X aX b với a, b hệ số nguyên. Thực chất làm ví dụ ta mặc định hệ số ứng với X thực tế nhân tử phương k X aX b Với k, a, b số nguyên, thường trình phải có dạng: k không cho ta X, f(X) nguyên ta thay k 2,3, . Ta nhập lại biểu thức: f X A AX thu biểu thức cân x x . Pt x3 3x 3x 2 x 1 x Ta cân tích sau: Ta cân cho x x : . x 1 x . x 1 x 1 Khi VT thừa lại: x3 3x2 3x x 1 x x 4x 4x Ta cân tiếp cho x x x 1 . Nhưng biểu thức thừa bậc mà lượng cân bậc nên ta cân với biểu thức bậc ax b : ax b x x 1 x ax b x 1 x 1 x 1 a Chuyển vế đồng hệ số: ax b x2 ax b x 1 x3 x2 x b Pt x.x2 x 1 x x.4 x 1 x 1 x x x x x x x 1 x x x x x x x x x x x x x x 1 x 1 x x x 1 x x 2 TH: x x x x 4 x 1 x x 1 x TH: x x x x 2 x 1 x So sánh với điều kiện suy phương trình có nghiệm x 2 x http://megabook.vn/ 1 . x3 x Ví dụ 4: Giải phương trình: Nhập CASIO ta nghiệm x x 1, 618 . ta lưu nghiệm x 1, 618 . tìm biểu thức cân 2x 1 x Ta cân tích sau: Ta cân cho x 2x 1 : .2 x .2 x 1 x3 x x3 x Khi VT thừa lại: Ta cân tiếp cho x x x : ax3 x a x 1 23 x Chuyển vế đồng hệ số: ax3 a x 1 x3 x a Pt x3 x x 1 x x3 x 1 x x x x x x x x 1 x 2x 1 x3 x x 1 x 1 Vậy phương trình có nghiệm x x 1 Chú ý: Khi tìm biểu thức A(x) để cân ta lƣu nghiệm lẻ (nếu có) toán với nghiệm lẻ X, f(X) nguyên nhất. http://megabook.vn/ x3 x x x Ví dụ 5: Giải phương trình: Nhập CASIO ta nghiệm x . Một vấn đề sinh nghiệm phương trình nguyên hữu tỉ bảng thu có nhiều giá trị nguyên, ta phải chọn X, f(X) để cân bằng. Ta biết biểu thức cần tìm có dạng 5x ax b với a, b nguyên Việc lựa chọn a phụ thuộc vào hệ số lũy thừa lớn x , hệ số ta chọn hệ số a thỏa mãn a ước 1. Như ta chọn biểu thức cân 5x2 x Ta cân tích sau: Ta cân x 5x2 : .2 x 1 .2 x Khi VT thừa lại: Ta cân tiếp cho x3 x2 x 2 x 1 x3 x2 3x 5x2 5x 3x x 1 : a x 1 x 1 a 5x 3 5x 3 Chuyển vế đồng hệ số: a x 1 a x2 3 x3 x2 x a Pt x 1 x 1 5x 3 x 3 x 1 x 3 x x 2 x x x 1 x 1 x x 3 x 5x2 x3 x 3x x 1 Vậy phương trình có nghiệm x Chú ý: Với toán có nghiệm nguyên việc chọn biểu thức phụ thuộc vào hệ số lũy thừa lớn nhất. Ta chọn hệ số x ước hệ số lũy thừa lớn nhất. Nếu chọn hệ số không ta không cân biểu thức ta chứa nghiệm. Các em tự kiểm chứng lại với toán cách chọn X, f(X) khác cân lại. http://megabook.vn/ 4x2 6x x2 x x Ví dụ 6: Giải phương trình: x Điều kiện: x Do biểu thức có dạng phân số nên ta nhân x vào để đưa dạng đa thức: Pt x x x x3 3x Nhập CASIO ta hai nghiệm x x . a 3.1 a.1 b Ta tìm biểu thức cân sau : x3 3x x b 3.3 a.3 b Ta cân tích: Cân cho 2x x3 3x : . x 7 2x . x 7 x3 3x Khi VT thừa lại: x2 x x x x 8x Ta cân tiếp cho x x x3 3x x3 3x , phần thừa có bậc biểu thức cân có bậc nên ta cân với phân thức a ( Do hai lượng cân có nhân tử chung x): x a a x x 7 2x x 3x x 7 x 3x x x Chuyển vế đồng hệ số: Pt a a x x 3x 2x 8x a x x 2 x x x x 3x x x 3x x x x x 3x x x x 3x x x x3 3x x x 3x x x x3 3x x x 3x x x 1 x Vậy phương trình có hai nghiệm x 1, x http://megabook.vn/ Phương án 2: Cân kép x3 3x x Ta có biểu thức cân : Cân cho 2x x2 x x3 3x : . x 7 2x . x 7 x3 3x Khi VT thừa lại: x2 x x x x 8x Do bậc biểu thức thừa nên ta chọn cân tiếp cho cặp x2 x thay cho cặp 2x x3 3x 2 x x : a x x x a x 3 x x x Chuyển vế đồng hệ số: a x a x 3 x 8x a 2 Pt x x x 2 x 3 x x3 3x x x 3 x x x 3x x x x x x x x x x x x x x 2 x x x 3 x x x 1 x Chú ý: Cân kép nghĩa cân với hai cặp đại l ợng. Chỉ xuất biểu thức cân có nhân tử chung. http://megabook.vn/ 10 x 1 x 1 x 1 Ví dụ 7: Giải phương trình: Điều kiện: x 3x x x Nhập CASIO nghiệm x x . Ta tìm biểu thức cân 3x x Ta cân tích sau: Pt x x3 x 5x x 1 3x Ta cân cho x 3x : . x 1 x 1 . 2 x 1 x 1 VT thừa lại: x4 x3 x2 x 1 x 1 x 1 x4 x3 x2 x Ta cân tiếp cho x 1 3x , biểu thức thừa bậc mà lượng cân bậc nên ta cân với biểu thức bậc ax2 bx c : ax bx c x 1 x 1 x 1 ax bx c 3x 1 x 1 3x Chuyển vế đồng hệ số: ax2 bx c x 1 ax2 bx c x 1 x4 x3 3 x2 x a 1, b 1, c Pt x2 x x 1 x 1 x 1 x x 3x 1 x 1 3x x x x 1 3x 1 x 1 x 3x x 3x x3 x x x 3x Ta có: x3 x x x 3x x Pt x 1 x 3x x 0 x 1 x x Vậy phương trình có nghiệm x 1, x . http://megabook.vn/ 11 x 1 x 1 Ví dụ 8: Giải phương trình: Điều kiện: x3 x x x x3 Nhập CASIO ta nghiệm x 2, 7320 .MODE ta Ta cân bằng: x3 x 1 ax b x 1 x 1 ax b x3 1 x3 Chuyển vế đồng nhất: ax b 2x 1 ax b 2x 1 x 2x x 2x ta không tìm a, b thỏa mãn. Khi điều xãy ta hiểu biểu thức cân ta tìm chưa đúng. Ta thay đổi suy nghĩ chút: Ta biết phương trình có nhân tử dạng x3 A x biểu thức bậc : A x ax b , bậc phương trình nên ta nghĩ đến A x ax bx c nghĩa biểu thức cân có bậc 2. Ta có hướng tìm biểu thức sau: Một cách đơn giản b ta có biểu thức cân x3 ax b . Ta hy vọng có phân tích đơn giản trên. Ta nhập vào máy sau: MODE f X A3 A2 X máy bảng có giá trị X 1, f X 1. Ta suy x3 x biểu thức cân Để ý thấy bậc lũy thừa lớn x nên ta chọn a , biểu thức cân có dạng x3 x bx c . Ta nhập vào máy sau: MODE f X A3 A2 AX máy bảng ta có giá trị X 0, f X 1 . Ta suy x3 x . biểu thức cân Chú ý: Bài toán dù có phức tạp đến biểu thức cân thường đơn giản hai hướng trên. x2 thay cho ax b nh ng cách cân Thực tế toán ta cân với lư ợng 2x thêm l ợng lại ngược từ kết toán, không thích hợp với lối tư phương pháp. Pt x4 x3 x x3 Ta cân tích được: http://megabook.vn/ x 1 x3 x x x3 1 12 x2 x3 Do f x x x x3 x 2 x 1 x 1 3 x x So sánh với điều kiện, phương trình có nghiệm x . x 1 x x Ví dụ 9: Giải phương trình: Điều kiện: x Bài toán chứa hai bậc dạng để ta cân tích biểu thức bậc 1, đơn giản bình phương biểu thức thu tối đa bậc 3. Nên ta bình phương hai vế để đưa dạng cân tích: x 1 x 1 x x3 3x x 1 x x 2x Nhập CASIO ta biểu thức cân Cân tích ta được: Pt x x x2 x x x Ta có: x x x x 3x x x x Pt x x 1 2x 2x x 4 x x Thử lại ta thấy x 1 nghiệm. x3 x x Ví dụ 10: Giải bất phương trình: 2x 1 Điều kiện: x . Sử dụng kĩ thuật cân tích: Bpt x 1 x x 2x x2 2x2 x 2x x 1 2x http://megabook.vn/ 2x 0 13 Do x 1 x x Xét x 1 x x Xét x 1 x x Bpt với x R . x 1 0 x 1 x 2x x x Kết hợp ta tập nghiệm S 2, 1 x 1 x x3 x Ví dụ 11: Giải bất phương trình: Điều kiện: x x Bpt x 1 2 x x 1 x 1 Xét biểu thức: f x 2x x 1 x Dùng kĩ thuật cân tích: f x x 2 x x x Bpt x 1 x 2 x x x x 1 x 2 x Do x 2x x Xét x 1 x Bpt Kết hợp x 2 x x2 x x x x 32 Xét Bpt Kết hợp x 2 x x2 x x 3 x 1 Vậy ta có tập nghiệm bất phương trình S 3,1 3, http://megabook.vn/ 14 x2 x x x2 2x 2 Ví dụ 12: Giải bất phương trình: Điều kiện: x Bpt x2 x x 3 x 2x 2 x x x3 x x Nhập CASIO ta biểu thức cân bằng: Ta cân tích cho x x3 x x x x x x x3 x x : .2 x . x3 x x Do bậc biểu thức thừa nên ta cân thêm lượng x a x 2x a x2 x x2 2x : x3 x2 x Chuyển vế đồng ta a 1 Bpt x 1 2x 2 x x x2 x x3 x x x x2 x x x2 x x x x2 2x x 1 x x2 2x x x2 x x2 x x 13 Vậy tập nghiệm bất phương trình S 1 3,3 13 Chú ý: Bài toán ta nhân thêm lư ợng http://megabook.vn/ a để cân thay cho cân kép. x 1 15 Bài tập vận dụng: Giải phương trình: x x2 3x Giải phương trình: x2 13x 3x Giải phương trình: 5x2 15x x Giải phương trình: x2 x 1 x 2 x2 x Giải phương trình: x2 x 8x Giải phương trình: 3x 3x x 3x x Giải phương trình: 2x 2 Giải phương trình: x x 10 5 x 2 x Giải phương trình: x2 x x2 5x x2 3x 3x 3x Giải phương trình: x x x 3 x Giải phương trình: x 1 Giải phương trình: 2x 2x x 9x2 16 Giải phương trình: x3 15x2 78x 141 x Giải phương trình: x3 x2 12 x x3 x2 19x 11 Giải phương trình: 2 x3 10x2 17x 2x2 5x x2 x3 x3 x 5 x Giải phương trình: x2 x x x x Giải phương trình: x3 3x x 2x2 3x Giải phương trình: x 1 3x2 1 x 1 Giải phương trình: x3 x x2 x 6 x2 1 Giải phương trình: 5x 4 Giải phương trình: x3 3x2 5x x2 x Giải phương trình: x x x3 Giải phương trình: http://megabook.vn/ x2 x x2 x 2x 4x 5 3x 5x2 14 x x2 x 20 x 16 Giải phương trình: x2 x x 3x2 x 19 Giải phương trình: x3 x 2x2 2x 1 6x2 Giải bất phương trình: x x x 3 x Giải bất phương trình: x3 x x 1 x2 Giải bất phương trình: x x 1 x 1 x Giải bất phương trình: x3 22x2 30x 12 2x2 3x Giải bất phương trình: x 2 x2 3x x2 x 10 x 14 Giải bất phương trình: x3 x x 1 x Giải bất phương trình: 27x3 27x 12x x 2 x Giải bất phương trình: x3 x x x2 3 x2 1 Giải bất phương trình: 3x x x Giải bất phương trình: x x3 x x x 2x2 2x Giải bất phương trình: x x2 x4 x3 x2 1 Giải bất phương trình: x x3 Giải bất phương trình: x2 5x x x2 x 4 Giải bất phương trình: 2x 4x3 2x2 2x 1 6x2 Giải bất phương trình: x 1 http://megabook.vn/ x 1 x 1 x3 x x 1 17 Tản mạn! Nguồn gốc Phương Pháp. Một buổi chiều mùa hè nóng nực vào Youtube xem vài video Bất Đẳng Thức có vài video Cân Bằng Bất Biến anh Trần Hưng-LS lên. Dĩ nhiên biết đến phương pháp từ trước chưa có dịp xem video anh nên click vào xem thử, thấy phương pháp thật hay lại phức tạp sử dụng cho toán đối xứng gần hoàn toàn kiểu f ux f vx , số cần đến tư suy đoán rắc rối toán khác việc cân khó khăn hay phải nói bất khả thi. Trước khoảng tháng 6-2015 đọc số tài liệu CASIO, năm 2014 thực mà nói CASIO thể loại ( đến ko biết cách giải hệ bậc ẩn CASIO… việc bấm CASIO nhờ học sinh bày cho ) toán nghiệm lẻ trước giải hoàn toàn tay suy luận tự nhiên. Trong nhiều thủ thuật dùng CASIO chọn cảm thấy phù hợp dễ hiểu nhất. Ý tưởng Cân Bằng Tích đến tình cờ! Việc suy đoán biểu thức để cân phức tạp, biết trước biểu thức cân sao? Để trả lời câu hỏi bắt đầu trình thử nghiệm, áp dụng vào toán nghiệm lẻ, nghiệm chẳn, nhiều nghiệm… cuối xử lí số dạng toán căn. Sau hoàn thành Phương Pháp tìm cách để diễn đạt cách đơn giản dễ hiểu có thể. Và áp dụng dạy thử cho lứa học sinh 98, thời gian có hạn chế thu kết tương đối tốt…Việc lựa chọn tên gắn liền với tảng tư phương pháp này. Hiển nhiên phương pháp có ưu khuyết, người đọc vận dụng phải hiểu rõ ưu điểm khuyết điểm phát triển hoàn thiện được. Hy vọng Phương Pháp cho người xem cách tiếp cận tốt nhìn việc xử lí toán vô tỷ số toán căn. Chúc thầy cô em học sinh năm thành công! Đà Nẵng, ngày 06-09-2015 Tác giả: Nguyễn Đại Dương http://megabook.vn/ 18 [...]... 1 x2 1 Giải bất phương trình: x 2 x 1 2 x 1 2 x 1 0 Giải bất phương trình: 4 x3 22x2 30x 12 2x2 3x Giải bất phương trình: x 2 0 x2 3x 2 x2 6 x 5 10 x 14 Giải bất phương trình: x3 x 2 x 1 2 x 2 Giải bất phương trình: 27x3 27x 12x 2 x 2 x 1 Giải bất phương trình: x3 3 x 2 5 x 3 x2 3 x2 1 Giải bất phương trình: 3x 2 8... Giải bất phương trình: x 4 2 x3 2 x 1 x 3 x 2x2 2x Giải bất phương trình: 3 x x2 x4 2 x3 x2 1 Giải bất phương trình: 2 x 2 2 5 x3 1 Giải bất phương trình: x2 5x 4 1 x x2 2 x 4 Giải bất phương trình: 1 2x 4x3 2x2 2x 1 3 6x2 1 Giải bất phương trình: x 1 http:/ /megabook.vn/ x 1 x 1 2 x3 x 2 x 1 3 17 Tản mạn! Nguồn gốc của Phương. .. tập nghiệm của bất phương trình S 1 3,3 13 Chú ý: Bài toán trên ta có thể nhân thêm lư ợng http:/ /megabook.vn/ a để cân bằng thay cho cân bằng kép x 1 15 Bài tập vận dụng: Giải phương trình: 2 x 1 x2 3x 1 0 Giải phương trình: 4 x2 13x 5 3x 1 0 Giải phương trình: 5x2 15x 2 3 4 x 2 2 Giải phương trình: x2 x 1 x 2 x2 2 x 2 Giải phương trình: 4 x2 ... biểu thức cân bằng là Chú ý: Bài toán dù có phức tạp đến mấy thì các biểu thức cân bằng thường sẽ cũng đơn giản như hai hướng trên x2 1 thay cho ax b nh ng cách cân Thực tế bài toán trên ta vẫn có thể cân bằng với lư ợng 2x bằng thêm l ư ợng trên lại đi ngược từ kết quả bài toán, không thích hợp với lối tư duy của phương pháp Pt x4 2 x3 x 2 1 2 x3 1 Ta cân bằng tích được: http:/ /megabook.vn/ ... 3 8x 1 Giải phương trình: 3x 2 3x 2 x 6 3x 2 2 x 3 Giải phương trình: 2x 2 Giải phương trình: 2 x 2 6 x 10 5 x 2 x 1 0 Giải phương trình: x2 x 2 x2 5x 2 x2 2 2 3x 2 3x 2 3x 1 Giải phương trình: x 2 3 x 1 x 3 x 2 1 Giải phương trình: 4 x 1 Giải phương trình: 2 2x 4 4 2x x 9x2 16 Giải phương trình: x3 15x2 ... Giải phương trình: x3 6 x2 12 x 7 3 x3 9 x2 19x 11 Giải phương trình: 2 x3 10x2 17x 8 2x2 3 5x x2 x3 1 2 x3 2 x 1 6 5 x Giải phương trình: x2 3 x 2 x 2 2 x x Giải phương trình: 2 x3 3x 2 2 x 1 2x2 3x Giải phương trình: x 1 3x2 1 x 1 Giải phương trình: x3 2 x 6 x2 2 x 6 x2 1 Giải phương trình: 5x 4 Giải phương trình: ... Nguồn gốc của Phương Pháp Một buổi chiều mùa hè nóng nực tôi vào Youtube và xem một vài video về Bất Đẳng Thức thì có một vài video Cân Bằng Bất Biến của anh Trần Hưng-LS hiện lên Dĩ nhiên đã biết đến phương pháp này từ trước nhưng chưa có dịp nào xem video của anh nên mới click vào xem thử, khi đó thấy phương pháp thật hay nhưng lại khá phức tạp và chỉ sử dụng được cho các bài toán đối xứng gần như... 4 x 9 Giải phương trình: 2 x 2 x 6 5 x3 8 Giải phương trình: http:/ /megabook.vn/ x2 1 x x2 x 1 2x 3 4x 5 3x 2 2 5x2 14 x 9 x2 x 20 5 x 1 16 Giải phương trình: x2 x 6 3 x 1 3x2 6 x 19 0 Giải phương trình: 4 x3 2 x 1 2x2 2x 1 3 6x2 1 0 Giải bất phương trình: 2 x 2 2 x 1 x 3 x 1 Giải bất phương trình: 2 x3 ... điều kiện, phương trình có một nghiệm x 1 3 2 x 1 2 x 1 1 5 6 x Ví dụ 9: Giải phương trình: 1 5 Điều kiện: x 2 6 Bài toán chứa hai căn bậc 2 không phải là dạng để ta cân bằng tích nhưng các biểu thức dưới căn cũng như ngoài căn đều là bậc 1, khá đơn giản và khi bình phương thì các biểu thức thu được tối đa là bậc 3 Nên ta sẽ bình phương hai vế để đưa về dạng cân bằng tích: ... 3 2 3 x 1 Vậy ta có tập nghiệm của bất phương trình S 3 2 3,1 3 2 3, http:/ /megabook.vn/ 14 x2 x x 2 3 x2 2x 2 Ví dụ 12: Giải bất phương trình: Điều kiện: x 1 3 Bpt x2 x x 2 3 x 2x 2 2 2 x 2 4 x 2 x3 x 2 2 x Nhập CASIO ta được biểu thức cân bằng: Ta cân bằng tích cho 2 x 2 và x3 x 2 2 x 2 x 2 x 2 2 x 2 x 1