Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian

Đây là Tập 5 chuyên đề Toán học: Hình không gian của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;) http:megabook.vn Chúc các em học tốt

Chuyên đề luyện thi đại học PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC BÀI TẬP HÌNH KHÔNG GIAN TRONG KỲ THI TSĐH Trong kỳ thi TSĐH toán hình không gian dạng tập gây khó khăn cho học sinh. Nguyên nhân học sinh chưa biết phân biệt rõ ràng dạng tập để lựa chọn công cụ, phương pháp giải cho phù hợp. Bài viết giúp học sinh giải vướng mắc đó. Phần 1: Những vấn đề cần nắm tính toán - Trong tam giác vuông ABC (vuông A) đường cao AH ta có: A B b=ctanB, c=btanC; - C H 1   2 AH AB AC Trong tam giác thường ABC ta có: a  b  c  2bc cos A; cos A  b2  c  a . Tương 2bc tự ta có hệ thức cho cạng b, c góc B, C: 1 - S ABC  ab sin C  bc sin A  ac sin B 2 - V(khối chóp)= B.h (B diện tích đáy, h chiều cao) - V(khối lăng trụ)=B.h - V(chóp S(ABCD)= (S(ABCD).dt(ABCD)) - S=p.r (Trong p chu vi, r bán kính vòng tròn nội tiếp tam giác) Phương pháp xác định đường cao loại khối chóp: - Loại 1: Khối chóp có cạnh góc vuông với đáy chiều cao. - Loại 2: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy đường cao đường kẻ từ mặt bên đến giao tuyến. - Loại 3: Khối chóp có mặt kề vuông góc với đáy đường cao giao tuyến mặt kề đó. - Loại 4: Khối chóp có cạnh bên cạnh bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy. http://megabook.vn/ Loại 5: Khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc chân đường cao tâm vòng tròn nội tiếp đáy. Sử dụng giả thiết mở: - Hình chóp có mặt bên kề tạo với đáy góc  chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường phân giác góc tạo cạnh nằm mặt đáy mặt bên (Ví dụ: Hình chóp SABCD có mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với đáy góc  chân đường cao hạ từ đỉnh S thuộc phân giác góc BAC) - Hình chóp có cạnh bên hai cạnh bên tạo với đáy góc  chân đường cao hạ từ đỉnh rơi vào đường trung trực đoạn thẳng nối điểm lại cạnh bên thuộc mặt đáy. (Ví dụ: Hình chóp SABCD có SB=SC SB SC tạo với đáy góc  chân đường cao hạ từ S rơi vào đường trung trực BC) Việc xác định chân đường cao yếu tố quan trọng để tìm góc tạo đường thẳng mặt phẳng góc tạo mặt phẳng. - Ví dụ: Cho khối chóp SABCD có mặt bên SAD vuông góc (ABCD), góc tạo SC (ABCD) 600, góc tạo (SCD) (ABCD) 450, đáy hình thang cân có cạnh đáy a, 2a; cạnh bên a. Gọi P,Q trung điểm SD,BC.Tìm góc tạo PQ mặt phẳng (ABCD).Tính V khối chóp? Rõ ràng khối chóp thuộc dạng 2. Từ ta dễ dàng tìm đường cao xác định góc sau: - Kẻ SH vuông góc với AD SH đường ˆ ; ( SM , ( ABCD ))  HMS ˆ ) , với M chân đường cao kẻ từ H lên cao(SC,(ABCD))= SCH CD ˆ - Từ P hạ PK vuông góc với AD ta có ( PQ, ( ABCD ))  PQK S P K A D H M B Q C Phần 3: Các toán tính thể tích A. Tính thể tích trực tiếp cách tìm đường cao: Ví dụ 1) (TSĐH A 2009) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D., có AB=AD=2a; CD=a. Góc mặt phẳng (SCB) (ABCD) 600. Gọi I trung điểm http://megabook.vn/ AD biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với (ABCD). Tính thể tích khối chóp SABCD? HD giải: Vì mặt phẳng (SBC) (SBI) vuông góc với (ABCD) mà (SBI) (SCI) có giao tuyến SI nên SI đường cao. Kẻ IH vuông góc với BC ta có góc tạo mặt phẳng ˆ  600 . Từ ta tính được: (SBC) (ABCD) SHI IC  a 2; IB  BC  a 5; S ( ABCD )  AD( AB  CD )  3a 2 a 3a IH .BC  S ( IBC )  S ( ABCD)  S ( ABI )  S (CDI )  3a  a   nên 2 15 2S ( IBC ) 3 IH   a . Từ V(SABCD)= a . BC 5 S A D I C B H Ví dụ 2) (TSĐH D 2009) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a; AA’=2a; A’C=3a. Gọi M trung điểm đoạn A’C’, I trung điểm AM A’C’. Tính V chóp IABC theo a? HD giải: - ABC A’B’C’ lăng trụ đứng nên mặt bên vuông góc với đáy. Vì I  (ACC’)  (ABC), từ I ta kẻ IH  AC IH đường cao I trọng tâm tam giác IH CI 4a AA’C’     IH  AA CA 3 Có AC  AC  AA2  9a  4a  a  BC  AC  AB  2a 1 4a V(IABC)= IH .dt ( ABC )  . . .2a.a  a3 ( đvtt) 3 http://megabook.vn/ B’ M C’ A’ I C B A H B. Tính thể tích cách sử dụng công thức tỉ số thể tích phân chia khối đa diện thành khối đa diện đơn giản Khi gặp toán mà việc tính toán gặp khó khăn ta phải tìm cách phân chia khối đa diện thành khối chóp đơn giản mà tính trực tiếp thể tích sử dụng công thức tính tỉ sốthể tích để tìm thể tích khối đa diện cần tính thông qua khối đa diện trung gian đơn giản hơn. Các em học sinh cần nắm vững công thức sau: V ( SABC ) SA.SB.SC   (1) V (SABC ) SA.SB.SC V ( SAABC) AA  (2). Công thức (2) mở rộng cho khối chóp bất kỳ. V ( SABC ) SA S C' A' B' C A B http://megabook.vn/ ˆ  600 , SA vuông góc Ví dụ 3) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, BAD với đáy(ABCD), SA=a. Gọi C trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC song song với BD cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’. Tính thể tích khối chóp HD giải: Gọi O giao đường chéo ta suy AC’ SO cắt trọng tâm I tam giác SAC. Từ I thuộc mặt phẳng (P)(SDB) kẻ đường thẳng song song với BD cắt SB, SD B’, D’ giao điểm cần tìm. SC  SD SB SI Ta có:  ;    SC SD SB SO V ( SABC D) V (SABC ) SA.SB.SC     Dễ thấy V( SABC D)  2V( SABC ) ;V( SABC  )  2V( SABC )  V ( ABCD) V ( SABC ) SA.SB.SC 1 3 Ta có V( SABCD )  SA.dt ( ABCD)  SA. AD. AB.sinDABˆ  a.a.a.  a3 3 3 V( SABC D)  a (đvtt) 18 S C’ D’ B’ A D O B C Ví dụ 4) (Dự bị A 2007) Cho hình chóp SABCD hình chữ nhật AB=a, AD=2a, cạng SA vuông góc với đáy, cạnh SB a hợp với đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy M cho AM= . Mặt phẳng BCM cắt DS N. Tính thể tích khối chóp SBCMN. HD giải: Từ M kẻ đường thẳng song song với AD cắt SD N giao điểm cần tìm, góc tạo SB (ABCD) SBAˆ  600 . Ta có SA=SBtan600=a . http://megabook.vn/ 3 SM SN a    3 SA SD  2V( SABC )  2V( SACD ) Từ suy SM=SA-AM= a  a Dễ thấy V( SABCD )  V( SABC )  V( SACD ) V( SBCMN )  V( SMBC )  V( SMCN ) V ( SMBCN ) V ( SMBC )  V ( SMCN ) V (SMCN ) V ( SMCN ) 1.SM .SB.SC 1.SM .SC.SN      V ( SABCD ) V ( SABCD ) 2V (SABC ) 2V ( SACD ) 2.SA.SB.SC 2.SA.SC.SD    9 1 3 10 3 Mà V( SABCD )  SA.dt ( ABCD)  a 3a .2a  a  V( SMBCN )  a 3 27  S N M A B D C Phần 4: Các toán khoảng cách không gian A. Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng Để giải nhanh gọn toán khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng học sinh cần nắm toán tính chất sau * Bài toán bản: Cho khối chóp SABC có SA vuông góc với đáy. Tính khoảng cách từ A đến (SBC) - Hạ AM vuông góc với BC , AH vuông góc với SM suy AH vuông góc với (SBC). Vậy khoảng cách từ A đến (SBC) AH. 1 Ta có   2 AH AM AS2 http://megabook.vn/ S H C A M B * Tính chất quan trọng cần nắm: - Nếu đường thẳng (d) song song với mặt phẳng (P) khoảng cách từ điểm (d) đến mặt phẳng (P) - Nếu AM  kBM d A/( P )  kd B /( P ) (P) mặt phẳng qua M Trên sở tính chất ta quy khoảng cách từ điểm toán bản. Tuy nhiên số trường hợp việc tìm hình chiếu trở nên vô khó khăn, việc sử dụng công thức tính thể tích trở nên hiệu quả. 3V Ta có V(khối chóp)= B.h  h  B Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a. Hình chiếu S trùng với trọng tâm tam giác ABD. Mặt bên (SAB) tạo với đáy góc 600. Tính theo a thể tích khối chóp SABCD khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD). Lời giải: Gọi G trọng tâm tam giác ABD, E hình chiếu G lên AB Ta có: SG  AB; GE  AB  AB   SGE  ˆ  600  SAG ˆ  3GE  SG  GE.tan SEG Mặt khác G trọng tâm tam giác ABD a  GE  BC  3 a3  VSABCD  SG.S ABCD  http://megabook.vn/ Hạ GN vuông góc với AD, GH vuông góc với SN. Ta có d B /( SAD )  3dG /( SAD )  3GH  3GN .GS GN  GS a a 3 . 3  a a 3          a S C B H E G A D N Ví dụ 2) Cho hình lăng trụ đứng ABCD. AB C D  có đáy ABCD hình thoi , AB  a , BAD  1200 . Biết góc đường thẳng AC  mặt phẳng ( ADD A) 300 .Tính thể tích khối lăng trụ theo a. khoảng cách từ trung điểm N BB’ đến mặt phẳng (C’MA).Biết M trung điểm A’D’ Ta có VABCD. A ' B ' C ' D '  AA '.S ABCD (1). Đáy ABCD hình thoi gồm tam giác ABC, ACD nên: a   2. 3a (2) ˆ  300 Gọi C’M đường cao tam giác C’A’D’ C ' M   ADA ' D ' nên C ' AM S ABCD  S ABC  3a 3a  AM  C ' M .cot 300   A ' A  AM  A ' M  a (3) 2 3a 2a Thay (2),(3) vào (1) ta có: VABCD. A ' B ' C ' D '  .a  . 2 Ta có C ' M  http://megabook.vn/ Ta có d N /(C ' MA)  d K /(C ' MA) với K trung điểm DD’ (Vì K N đối xứng qua trung điểm O AC’) Từ K hạ KH vuông góc với AM KH  ( AC ' M )  d K /(C ' MA)  KH ; KH . AM  dt ( AA ' D ' D )  dt ( AA ' M )  dt (MD ' K )  dt ( AKD) 3a 3a a 3a a 6  KH .  a 6.a  a 6.  . .  . .a  KH  a 2 2 2 2 Vậy d N /(C ' MA)  a C' D' M B' A' H N C K D A B Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có góc tạo mặt phẳng (SBC) (ABC) 600, ABC,SBC tam giác cạnh a. Tính khoảng cách từ đỉnh B đến mp(SAC).(Đề dự bị khối A 2007) HD: Cách 1: Coi B đỉnh khối chóp BSAC từ giả thiết ta suy BS=BA=BC=a. Gọi O chân đường cao hạ từ B xuống mp(SAC). O tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác SAC. Gọi M trung điểm BC ta có SM  BC ; AM  BC . Nên góc tạo (SBC) (ABC) a SMAˆ  600  SM  AM  AS= . Bây ta tìm vị trí tâm vòng ngoại tiếp tam giác SAC. Tam giác SAC cân C nên tâm vòng tròn ngoại tiếp nằm trung trực SA CN (N trung diểm SA). Kẻ trung trực SC cắt trung trực SA O điểm cần tìm  SA  3a SC   a2     16  13  SC a cos SNC  NC  SC http://megabook.vn/ SC 2a 4a 3a  OC   ; BO  BC  OC  a   . 13 cos SCNˆ 13 13 S N P O A C M B 2a Cách 2: V( SABCD )  2V( SABM )  BM .dt ( SAM )  AM .MS .sin 600  a3 dt (SAC ) 3.2 16 1 13 39a 3V ( SABC ) 3a = CN .AS= . a. a  d ( B, ( SAC )   2 16 dt ( SAC ) 13 ˆ  900 , BA=BC=a, ˆ  BAD Ví dụ 4) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang ABC AD=2a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA= a , gọi H hình chiếu A lên SB. Chứng minh tam giác SCD vuông tính theo a khoảng cách từ H đến mp(SCD) (TSĐH D 2007) HD giải: Ta có AC  a 2; SD  SA2  AD  a 6; SC  SA2  AC  2a . Ta dễ dàng tính CD  a . Ta có SD  SC  CD nên tam giác SCD vuông C. 1 AB.AS a.a 2    AH   a 2 AH AB AS AB2  AS2 a  2a a SH 2  SH  SA  AH  a   SB a 3 10 http://megabook.vn/ ( Chú ý việc chuyển tính khoảng cách từ N đến (SAC) sang tính khoảng cách từ B đến (SAC) giúp ta đơn giản hoá toán nhiều. Các em học sinh cần nghiên cứu kỹ dạng toán để vận dụng) Ví dụ 3) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB  BC  2a, hai mặt phẳng (SAC) (SBC) vuông góc với đáy (ABC). Gọi M trung điểm AB, mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N. Biết góc tạo (SBC) (ABC) 600. Tính thể tích khối chóp SBCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN (TSĐH A 2011) Giải: ˆ  900  SBA ˆ  600  SA  2a - Ta có SA  ( ABC ); ABC Mặt phẳng qua SM song song với BC cắt AC N suy N trung điểm AC Từ tính V  3a3 - Kẻ đường thẳng (d) qua N song song với AB AB song song với mặt phẳng (P) chứa SN (d) nên khoảng cách từ AB đến SN khoảng cách từ A đến (P). Dựng AD vuông góc với (d) AB / /( SND ) , dựng AH vuông góc với SD AH  (SND )  d AB / SN  d A/( SND )  AH  SA. AD SA2  AD  2a 39 13 S H D N C A M B Phần 5: Các toán tính góc đường thẳng chéo không gian. Khi cần tính góc đường thẳng chéo a b không gian ta phải tìm đường thẳng trung gian c song song với a c cắt b. Khi góc tạo a b góc tạo b c. Hoặc ta dựng liên tiếp đường thẳng c d cắt song song với a b. Sau ta tính góc c d theo định lý hàm số côsin theo hệ thức lượng tam giác vuông. Ví dụ 1) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a , đáy ABC tam giác vuông A. AB = a , AC = a hình chiếu vuông góc A’ lên mp (ABC) trung điểm cạnh BC , Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC tính côsin góc tạo AA’ B’C’ . (TSĐH A 2008) HD giải :Gọi H trung điểm BC. Suy A’H  (ABC) 1 AH  BC  a  3a  a Do A’H = A ' A2  AH  a 3. 2 13 http://megabook.vn/ a3 V(A’ABC) = A’H.dt (ABC) = Trong tam giác vuông A’B’H ta có HB’= A ' B  A ' H  2a nên tam giác B’BH cân B’. Đặt  góc tạo AA’ B’C’ a  B ' BH  cos    2.2a Tel 0988844088 A’ C’ B’ C A B H Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a , SA = a, SB = a mp (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy . Gọi M,N trung điểm cạnh AB,BC. Tính theo a thể tích khối chóp SBMDN tính cosin góc tạo SM DN. Hd giải: Từ S hạ SH vuông góc AB SH vuông góc với mp (ABCD). SH đường cao khối chóp SBMDN . Ta có SA2 + SB2 = 4a2  = AB SAB vuông a AB S  SM   a  SAM tam giác  ABCH  2 3a Dễ thấy đường thẳng(BMDN)=1/2dt(ABCD)=2a2 . Do V(SBMDN)= SH .dt ( BMDN )  3 a Kẻ ME song song với DN ( E thuộc AD) suy AE = giả sử (SM,DN)=     ( SM , ME ). Ta có SA vuông góc với AD (Định lý đường vuông góc ) suy 14 http://megabook.vn/ SA  AE  SE  SA2  AE  a a , ME  AM  ME  Tam giác SME cân E 2 SM nên cos    ME S A E D M B N C PHẦN 4) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ MẶT CẦU NGOẠI TIẾP KHỐI ĐA DIỆN Để giải tốt dạng tập học sinh cần nắm vững kiến thức sau: ** Nếu I tâm mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SA1 A2 An tâm I cách đỉnh S ; A1; A2 . An - Vì tâm I thuộc trục đường tròn đáy đường thẳng qua tâm vòng tròn ngoại tiếp đáy vuông góc với đáy A1 A . An (đường thẳng song song với đường cao khối chóp) (Phải ý việc chọn mặt đáy cần linh hoạt cho xác định trục đường tròn đáy đơn giản nhất) - Tâm I phải cách đỉnh S đỉnh A1; A2 . An nên I thuộc mặt phẳng trung trực SAi vấn đề khó đòi hỏi học sinh cần khéo léo để chọn cạnh bên cho trục đường tròn xác định cạnh bên đồng phẳng với để việc tìm I dễ dàng ** Trong số trường hợp đặc biệt khối chóp có mặt bên tam giác cân, vuông, ta xác định trục đường tròn mặt bên đáy . Khi tâm I giao điểm trục đường tròn. Nếu hình chóp có đỉnh nhìn cạnh a góc vuông tâm mặt cầu trung điểm cạnh a. ** Khi tính toán cần lưu ý công thức: abc abc S R ; a  R sin A, . 4R 4S Ta xét ví dụ sau: 15 http://megabook.vn/ Ví dụ 1) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A B AB  BC  a; AD  2a .Cạnh bên SA vuông góc với đáy (ABCD) SA=a. Gọi E trung điểm AD.Tính thể tích khối chóp SCDE tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp đó. HD giải: a3 V  Gọi M, N trung điểm SE SC ta có mặt phẳng (ABNM) mặt phẳng trung trực SE. Vậy tâm O mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SCDE giao điểm mặt phẳng (ABMN) trục đường tròn ngoại tiếp đáy CDE. Gọi  đường thẳng qua I trung điểm CD song song với SA.Gọi K trung điểm AB KN //AM. KN  đồng phẳng suy KN    O điểm cần tìm BC  AD 3a Tam giác OIK vuông cân nên OI=IK=  ; 2 9a 2a 11a a 11 Ta có OC  OI  IC     R  OC  (0,25 điểm) 4 S O M A E N j K B I C Trong ví dụ ta dựng mặt phẳng trung trực SE để tận dụng điều kiện tam giác SAE vuông cân A Ví dụ 2) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật cạnh AB  a; AD  a góc hai mặt phẳng (SAC) ABCD 600. Gọi H trung điểm AB. Biết mặt bên SAB tam giác cân đỉnh S thuộc mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối chóp SABCD xác định tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối chóp SAHC 16 http://megabook.vn/ - Ta có SH  AB  SH  ( ABCD ) .Kẻ HM vuông góc với AC góc tạo (SAC) ˆ  600 (ABCD) SMH ˆ  AH BC  a a  a ; SH  HM tan 600  a Có HM  AH sin HAM AC a a VSABCD  SHdt ( ABCD)  3 S I E A P M K O H C Q B D N - Gọi E, K trung điểm SA, HA . Kẻ đương thẳng qua K song song với AD cắt CD F KF  ( SAH ) . Dựng Ex song song với KF Ex trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SHA. Dựng đường thẳng qua tâm O mặt đáy vuông góc với AC cắt KF, AD N, P N tâm vòng tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Trong mặt phẳng chứa Ex KF kẻ đường thẳng Ny vuông góc với đáy (ABCD) (đường thẳng song song với EK) Ny trục đường tròn tam giác AHC. Giao điểm I  Ny  Ex tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SAHC. Ta có R  IH  IN  NH  KE  NH . AP  AO a a 3 5a AH 3  .  a; KN  ( HO  AP )   HN  KN   a ˆ a 2 2 cos CAD 4 2  a   3  31a  R  a    32   4  31 a 32 Cach2) Gọi J, r tâm bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác AHC. Ta có AH .HC. AC AH .HC . AC 3a r   . S AHC 2S ABC Vậy R  17 http://megabook.vn/ Kẻ đường thẳng  qua J  // SH . Khi tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S. AHC giao điểm đường trung trực đoạn SH  mặt phẳng (SHJ). Ta có SH 2 IH  IJ  JH   r2 . 31 Suy bán kính mặt cầu R  a . 32 a Ví dụ 3) Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, DA  DB  , CD vuông góc với ˆ  900 .Tính góc tạo mặt phẳng (ABC) AD.Trên cạnh CD kéo dài lấy điểm E cho AEB mặt phẳng (ABD).Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp khối tứ diện ABCE. Giải: - Gọi I trung điểm AB CI vuông góc với AB DI vuông góc với AB. Nên góc tạo ˆ .Do hai tam giác ACD BCD nên (ACD) (ABD) CID 2 ˆ  ADC ˆ  900  CD  ( ABD)  CD  DI ; CI  a ; DI  DA2  AI  a  a  a BDC 12 ˆ  DI  a : a  cos CID CI 2 - Tam giác vuông ACD có CD  CA2  DA2  a . Tam giác ABE vuông cân, a a AE   DE  AE  DA2  ; ACE có AD đường cao a2 CD.DE   DA2  ACE vuông A.Tương tự ta có tam giác BCE vuông B. Vậy mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCE có CE đường kính tâm I mặt cầu trung điểm CE. Bán kính R  (CD  DE )  1 a  a 4  a   a3 a    V   R       2 3   6 E D B C I A 18 http://megabook.vn/ MỘT SỐ BÀI TẬP CHỌN LỌC VỀ HÌNH KHÔNG GIAN THƯỜNG DÙNG TRONG KỲ THI TSĐH Câu 1) Khối chóp SABCD có đáy hình bình hành, M trung điểm SC. Mặt phẳng (P) qua AM, song song với BD chia khối chóp làm phần. Tính tỉ số thể tích hai phần đó. Câu 2) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh a. a) Tính thể tích khối chóp. b) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt hình chóp. Câu 3) Khối chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a. SA  (ABCD); SA=2a. Gọi E, F hình chiếu A SB SD. I giao điểm SC (AEF). Tính thể tích khối chóp SAEIF. Câu 4) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 đáy tam giác đều. Mặt phẳng (A1BC) tạo với đáy góc 300 tam giác A1BC có diện tích 8. Tính thể tích khối lăng trụ. Câu 5) Khối lăng trụ ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông cân, cạnh huyền AB= . Mặt phẳng (AA1 B) vuông góc với mặt phẳng (ABC), AA1= ; góc A1AB nhọn, góc tạo (A1AC) mặt phẳng (ABC) 600. Tính thể tích khối lăng trụ. Câu 6) Khối lăng trụ tứ giác ABCDA1 B1C1D1 có khoảng cách đường thẳng AB A1D 2, độ dài đường chéo mặt bên 5. a) Hạ AH  A1D (K  A1D). chứng minh AK=2. b) Tính thể tích khối lăng trụ ABCDA1B1C1D1. Câu 7) Cho hình tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mặt phẳng (ABC), AC=AD=4cm; AB=3cm; BC=5cm. Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD). Câu 8) Cho hình chóp tam giác SABC đỉnh S, độ dài cạnh đáy a. GỌi M, N trung điểm cạnh SB SC. Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng (SBC). Câu 9) Cho hình chóp SABC có SA=3a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Tam giác ABC có AB=BC=2a, góc ABC=1200. Tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (SBC). Câu 10) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính góc mặt phẳng (SAB) (SCD). Câu 11) Cho hình chóp tam giác SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA=2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Gọi M N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC a) Tính khoảng cách t A đến mặt phẳng (SBC) b) Tính thể tích khối chóp ABCMN. Câu 12) Hình chóp tam giác SABC có cạnh bên SA=SB=SC=a, góc ASB=1200, góc BSC=600, góc ASC=900. Chứng minh tam giác ABC vuông tính thể tích hình chóp SABC theo a. Câu 13) Cho hình chóp tứ giác SABCD. Khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) 2a. Góc mặt bên mặt đáy  . a) Tính thể tích khối chóp theo a  b) Xác định  để thể tích khối chóp nhỏ nhất. Câu 14) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD= a , SA=a SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi M N trung điểm AD SC, I giao điểm BM AC. a) Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB). b) Tính thể tích khối tứ diện ANIB. 19 http://megabook.vn/ Câu 15) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB=a, AA’=2a, A’C=3a. Gọi M trung điểm đoạn thẳng A’C’, I giao điểm AM A’C a) Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC b) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Câu 16) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D, AB=AD=2a, CD=a, góc mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600. Gọi I trung điểm cạnh AD. Biết mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp SABCD theo a. Câu 17) Cho hình lăng trụ tam giác ABCA’B’C’ có BB’=a, góc tạo BB’ mặt phẳng (ABC) 600, tam giác ABC vuông C góc BAC=600. Hình chiếu vuông góc điểm B’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC. Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a. Câu 18) Trong không gian cho hình chóp tam giác SABC có SC  a . Góc tạo (ABC) (SAB) =600. Tính thể tích khối chóp SABC theo a. Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a SO vuông góc với đáy ( O tâm mặt đáy), SO  . M trung điểm AD. (P) mặt phẳng qua BM song song với SA, cắt SC K. Tính thể tích khối chóp KABCD. Câu 20) Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a, cạnh bên SA vuông góc với a đáy (ABC). Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SBC) theo a biết SA  . Câu 21) Cho hình chóp SABCD có đáy hình chữ nhật, AD  a 2, CD  2a. Cạnh SA vuông góc với đáy SA  2a. Gọi K trung điểm AB. a) Chứng minh (SAC) vuông góc với (SDK) b) Tính thể tích khối chóp CSDK theo a; tính khoảng cách từ K đến (SDC). Câu 22) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a. Mặt phẳng (SAC) vuông góc với đáy, góc ASC=900, SA tạo với đáy góc 600. Tính thể tích khối chóp. Câu 23) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vuông góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC. Một mặt phẳng (P) chứa BC a2 vuông góc với AA’ cắt lăng trụ theo thiết diện có diện tích . Tính thể tích khối lăng trụ a Câu 24) Cho hình chóp SABC có AB=AC=a; BC  ; SA  a ; góc SAB góc SAC 30 . Tính thể tích khối chóp theo a. Câu 25) Cho hình chóp tứ giác SABCD cạnh đáy a. Gọi G trọng tâm tam giác SAC a khoảng cách từ G đến mặt bên (SCD) . a) Tính khoảng cách từ tâm mặt đáy đến mặt bên (SCD) b) Tính thể tích khối chopSABCD. Câu 26) Cho hình chóp SABC có đường cao AB=BC=a; AD=2a. Đáy tam giác vuông cân B. Gọi B’ trung điểm SB, C’ chân đường cao hạ từ A xuống SC.Tính thể tích khối chóp SAB’C’. 20 http://megabook.vn/ Câu 27) Cho lăng trụ đứng ABCA’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông, AB=BC=a, cạnh bên AA’= a . Gọi M trung điểm cạnh BC a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABCA’B’C’ b) Tính khoảng cách đường thẳng AM B’C. Câu 28) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a; SA=a; SB= a mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy. M N trung điểm cạnh AB BC. Tính thể tích khối chóp SBMDN góc (SM;ND). Câu 29) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang, góc BAD góc ABC 900; AB=BC=a; AD=2a. SA vuông góc với đáy SA=2a. Gọi M, N trung điểm SA; SD. Tính thể tích khối chóp SABCD khối chóp SBCMN. Câu 30) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB=a; AC= a 3. hình chiếu vuông góc A’ (ABC) trung điểm cạnh BC. Tính theo a thể tích khối chóp A’ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’. Câu 31) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt bên SAD tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P trung điểm cạnh SB, BC, CD. Chứng minh AM vuông góc với BP tính thể tích khối tứ diện CMNP. Câu 32) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có AB=a; AC=2a; AA1= 2a góc BAC=1200. Gọi M trung điểm cạnh CC1. Chứng minh MB  MA1 tính khoảng cách d từ điểm A đến mặt phẳng (A1MB) Câu 33) Cho hình chóp SABC có góc mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 . Các tam giác ABC SBC tam giác cạnh a. Tính theo a khoảng cách từ đỉnh B đến mặt phẳng (SAC). Câu 34) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông tâm O, SA vuông góc với đáy. Cho AB=a; SA= a . Gọi H K hình chiếu A lên SB; SC. Chứng minh SC  (AHK) tính thể tích khối chóp OAHK. Câu 35) Trong mặt phẳng (P) cho nửa đường tròn đường kính AB=2R điểm C thuộc nửa vòng (SAB;SBC)=600. Gọi H, K hình chiếu A SB, SC. Chứng minh tam giác AHK vuông tính VSABC Câu 36) Lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có đáy tam giác vuông AB=AC=a; AA1= a . Gọi M, N trung điểm AA1 BC1. Chứng minh MN đoạn vuông góc chung AA1 BC1. Tính thể tích khối chóp MA1BC1 Câu 37) Cho lăng trụ đứng ABCA1B1C1 có tất cạnh a. M trung điểm đoạn AA1. Chứng minh BM  B1C tính d BM ; B1C  Câu 38) Cho hình chóp tứ giác SABCD có đáy hình vuông cạnh a. E điểm đối xứng D qua trung điểm SA, M trung điểm AE, N trung điểm BC. Chứng minh MN vuông góc với BD tính khoảng cách MN AC theo a. Câu 39) Cho hình chóp SABCD có đáy hình thang, góc ABC= góc BAD= 900; AD=2a; BA=BC=a. Cạnh bên SA vuông góc với đáy SA= a . Gọi H hình chiếu vuông góc A SB. a) Chứng minh tam giác SCD vuông b) Tính khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) 21 http://megabook.vn/ Câu 40) Cho hình chóp SABC mà mặt bên tam giác vuông. SA=SB=BS=a. Gọi M, N, E trung điểm cạnh AB, AC, BC. D điểm đối xứng S qua E, I giao điểm AD (SMN) a) Chứng minh AD vuông góc với SI b) Tính theo a thể tích khối tứ diện MBSI a Câu 41) Cho hình hộp đứng ABCDA’B’C’D’ có cạnh AB=AD=a; AA’= góc BAD=600. Gọi M N trung điểm A’D’ A’B’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (BDMN) tính thể tích khối chóp ABDMN. Câu 42) Hình chóp SABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB=a, AD=2a, cạnh SA vuông a góc với đáy, cạnh SB tạo với mặt phẳng đáy góc 600. Trên cạnh SA lấy M cho AM  , mặt phẳng (BCM) cắt SD N. Tính thể tích khối chóp SBCNM. Câu 43) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a. Góc BAD=600. SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), SA=a. Gọi C’ trung điểm SC, mặt phẳng (P) qua AC’ song song với BD, cắt cạnh SB, SD hình chóp B’, D’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’. Câu 44) Cho lăng trụ ABCA’B’C’ có A’ABC hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh bên AA’=b. Gọi  góc mặt phẳng (ABC) (A’BC). Tính tan  thể tích khối chóp A’BB’CC’. Câu 45) Cho hình chóp tứ giác SABCD có cạnh đáy =a. Gọi SH đường cao hình chóp. Khoảng cách từ trung điểm I SH đến mặt phẳng (SBC) b. Tính thể tích khối chóp SABCD. Câu 46) Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ có cạnh =a điểm K thuộc cạnh CC’ 2a cho: CK  . Mặt phẳng  qua A, K song song với BD chia khối lập phương thành khối đa diện. Tính thể tích khối đa diện đó. Câu 47) Cho hình trụ tròn xoay hình vuông ABCD cạnh a có đỉnh liên tiếp A; B nằm đường tròn đáy thứ nhất, đỉnh lại nằm đường tròn đáy thứ cùa hình trụ. Mặt phẳng (ABCD)tạo với đáy hình trụ góc 450. Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ. Câu 48) Cho hình nón đỉnh S, đáy đường tròn tâm O, SA SB đường sinh. Biết SO=3a, khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) bẳng a, diện tích tam giác SAB=18a2. Tính thể tích diện tích xung quanh. Câu 49) Cho hình trụ có đáy hình tròn tâm O O’. Bán kính đáy chiều cao a. Trên đường tròn đáy tâm O lấy điểm A, đường tròn đáy tâm O’ lấyđiểm B cho AB=2a. a) Tính diện tích toàn phần hình trụ thể tích khối trụ b) Tính thể tích tứ diện OO’AB. Câu 50) Cho hình chóp cụt tam giác ngoại tiếp hình cầu bán kính r cho trước. Tính thể tích khối chóp cụt biết cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ. (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp). Câu 51) Cho hình chóp tam giác SABC có độ dài cạnh bên a. Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy góc  . Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp. 22 http://megabook.vn/ Câu 52) Cho hình chóp SABCD. Hai mặt bên (SAB) (SAD) vuông góc với mặt đáy. Đáy ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R. Xác định tâm tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h. Câu 53) Hình cầu đường kính AB=2R. Lấy H AB cho AH=x ( 0[...]... Câu 3) S 45 Câu 2) a) Câu 4) 8 3 Câu 5) V  3 5 10 Câu 6) b)V  20 5; V  10 5 Câu 7) 60 34 (cm) 17 ĐÁP SỐ: 21 3 13a Câu 10) Câu 33) d  7 13 3 2 57 a 3 3a 2a 3 Câu 11) a) ; b) Câu 34) V  19 50 27 3 a 2 R3 6 Câu 12) V  Câu 35) V  12 12 3 4a 3 a3 3 Câu 13) ; cos   Câu 36) V  3cos  sin 2  3 12 3 a 2 a 10 Câu 14) V  Câu 37) d  36 30 3 4a 2a 5 a 2 Câu 15) V  ;d  Câu 38) d  9 5 4 3 15 3 a Câu... thể tích khối chóp cụt biết rằng cạnh đáy lớn gấp đôi cạnh nhỏ (Hình chóp ngoại tiếp hình cầu nếu hình cầu tiếp xúc với tất cả các mặt của hình chóp) Câu 51 ) Cho hình chóp tam giác đều SABC có độ dài cạnh bên bằng a Các mặt bên hợp với mặt phẳng đáy một góc  Tính thể tích khối cầu nội tiếp hình chóp 22 http://megabook.vn/ Câu 52 ) Cho hình chóp SABCD Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt... Trong không gian cho hình chóp tam giác đều SABC có SC  a 7 Góc tạo bởi (ABC) và (SAB) =600 Tính thể tích khối chóp SABC theo a Câu 19) Trong không gian cho hình chóp SABCD với ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC=600, a 3 SO vuông góc với đáy ( O là tâm mặt đáy), SO  M là trung điểm của AD (P) là mặt 2 phẳng qua BM và song song với SA, cắt SC tại K Tính thể tích khối chóp KABCD Câu 20) Cho hình chóp... khối cầu ngoại tiếp hình chóp SABCD biết SA=h Câu 53 ) Hình cầu đường kính AB=2R Lấy H trên AB sao cho AH=x ( 0 . H C A B’ C’ A’ http://megabook.vn/ 15 ra 2 2 2 2 5 5 , 2 2 a a SA AE SE SA AE ME AM ME        Tam giác SME cân tại E nên cos 5 2 5 SM ME    PHẦN 4) CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ.   M N D H C B A S Phần 5: Các bài toán tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau trong không gian. Khi cần tính góc giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta phải tìm 1 đường thẳng trung gian là. thẳng chéo nhau trong không gian Khi tính khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b trong không gian ta tiến hành theo trình tự sau: - Dựng (tìm) mặt phẳng trung gian (P) chứa a song song