Tập 1 chuyên đề Toán học: Khảo sát hàm số

Đây là Tập 1 chuyên đề Toán học: Khảo sát hàm số của Megabook. Các em có thể tham khảo nhé Các em có thể tham khảo bộ sách hay của Megabook tại địa chỉ sau nhé ;) http:megabook.vn Chúc các em học tốt

www.VNMATH.com www.VNMATH.com PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ DẠNG BÀI TẬP KHẢO SÁT HÀM SỐ TRONG KỲ THI TSĐH Phần một: Các toán liên quan đến điểm cực đại cực tiểu A) Cực đại cực tiểu hàm số bậc 3: y  ax  bx  cx  d * ) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu là: y’=0 có nghiệm phân biệt * ) Hồnh độ điểm cực đại cực tiểu kí hiệu x1 , x2 x1 , x2 nghiệm phương trình y’=0 * ) Để tính tung độ điểm cực đại cực tiểu ta nên dùng phương pháp tách đạo hàm để tính phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Cơ sở phương pháp là: hàm số bậc đạt cực đại cực tiểu x1 , x2 f '( x1 )  f '( x2 )  + Phân tích y  f '( x) p( x)  h( x ) Từ ta suy x1 , x2 y1  h( x1 ); y2  h( x2 )  y  h( x ) đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Kí hiệu k hệ số góc đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu * ) Các câu hỏi thường gặp liên quan đến điểm cực đại cực tiểu hàm số bậc là: 1) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu hàm số song song với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=a 2) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vng góc với đường thẳng y=ax+b + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k=  a Ví dụ 1) Tìm m để f  x  x  mx 7 x  có đường thẳng qua cực đại, cực tiểu vng góc với đường thẳng y=3x-7 Giải: hàm số có cực đại, cực tiểu  f '( x)  3x  2mx 7  có nghiệm phân biệt     m  21 0  m  21 Thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có:  7m 1 f x    x  m  f  x    21  m  x 3  Với m  21 f’(x)=0 có nghiệm x1, x2    9 3 phân biệt hàm số f(x) đạt cực trị x1,x2 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com w ww.VNMATH.com V M Tcm N AH o 7m   f  x1   (21  m ) x1 3   f ( x1 )  Do  nên   f ( x2 )   f  x   (21  m ) x 3  m 2  9  7m 21  m x 3  9  m  21  m  21  m  21 10    Ta có   y  x 7    3   45  m  2  21  m 1 21  m  m  9   Suy đường thẳng qua CĐ, CT có phương trình   : y      3) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tạo với trục Ox góc  + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Giải điều kiện k  tan  Ví dụ 1) Cho hàm số y  x  x  mx  (1) với m tham số thực Tìm m để hàm số (1) có cực trị, đồng thời đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác cân Giải: Hàm số có cực trị y’ = có nghiệm phân biệt 2m m  2) x 2  ' 9  3m   m 3 y  x  x  mx   ( x  1) y '( 3 Đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số có phương trình 2m m y  (  2) x   3  m6   6m Đường thẳng cắt trục Ox Oy tai A ;0 , B  0;    2(m  3)   Tam giác OAB cân OA  OB  m6 6m  2(m  3)  m  6; m  ; m  2 Chú ý: Ta giải tốn theo cách: Đường thẳng qua CĐ, CT tạo với trục tọa độ tam giác cân nên hệ số góc đường thẳng   m  ( L) 2m k  tan 45       m  (TM )   Với m = A  B  O so với điều kiện ta nhận m   http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH co cm 4) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu tạo với đường thẳng y=ax+b góc  + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu k a + Giải điều kiện  tan   ka Ví dụ ) Tìm m để f  x   x  3(m  1) x  (2m  3m  2) x  m(m  1) có đường thẳng qua 1 x  góc 450 Giải: Gọi hệ số góc đường thẳng qua CĐ, CT k, từ điêu kiện toán suy ra: k  1    5k k    k   k  1  4 4    tg 450 1  k  1  k     4  1 k  5  k   k   3k  5  k      4  4    4 2 Hàm số có CĐ, CT  f ( x)  x  6(m  1) x  (2m  3m  2)  có nghiệm phân biệt CĐ, CT tạo với y   3   3     3(m  3m  1) 0   m    m   (*)     Thực phép chia f(x) cho) f’(x ta có f ( x)   x  (m  1) f ( x )   m  3m  1  x  (m  1)  3 với m thoả mãn điều kiện (*) f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt ccực trị x1,x2 2     f  x1   (m  3m  1)  x1   m  1  f ( x1 )   Do  nên   f  x   2 m2  3m   x   m  1   f ( x2 )    2    2 Suy đường thẳng qua CĐ, CT có phương trình   : y   m  3m  1  x   m  1    1 2 Ta có   tạo với y  x  góc 450  m  3m  1 3  15 kết hợp với điều kiện (*) ta có m  5) Tìm điều kiện để đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy A,B cho tam giác OAB có diện tích cho trước + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu + Tìm giao điểm với trục toạ độ: Với trục Ox:Giải y=0 tìm x.Với trục Oy giải x=0 tìm y + S MAB  d M / AB AB Từ tính toạ độ A, B sau giải điều kiện theo giả thiết   http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com Ví dụ 1) Tìm m để đường thẳng qua cực đại cực tiểu đồ thị hàm số y  x3  3mx  cắt đường tròn tâm I(1;1) bán kính A,B mà diện tích tam giác IAB lớn nhât Giải: Có: y '  x  3m có nghiệm phân biệt m 0 Khi tọa độ hai điểm cực trị đồ thị hàm số M    m ;  2m x , N  m ;  2m x  - Phương trình đường thẳng MN là: 2mx  y   ˆ - Đường thẳng MN cắt đường tròn tâm I A,B mà tam giác IAB có 2.S IAB  IA.IB.sin AIB 1 , ˆ dấu xảy AIB  900 , lúc khoảng cách từ I đến MN 2m  1 3 Do ta có pt: d  I , MN      m 1  ; m 1  2 2 4m  Ví dụ 2) Cho hàm số y  x3  3mx  Tìm giá trị m để đồ thị hàm số có điểm cực trị A, B cho tam giác IAB có diện tích 18 , I 1;1   Lời giải: Ta có y '  x  3m  x  m Để hàm số có CĐ CT m     m ;  2m m  4m m m   x  m   y   2mx m Gọi A, B cực trị A  m ;  2m m ; B  PT đường thẳng qua AB là: y   2m Khoảng cách từ I đến đường thẳng AB d  I ; AB   Mà diện tích tam giác IAB S  18     2m  độ dài đoạn AB  4m  16m3 4m  1 2m  4m  16m3  18 2 4m    4m  16m3  2m  1  4m  4.18  m  2m  1  18    4m3  4m  m  18 0   m   4m2  4m  0  m  6) Tìm điều kiện để điểm cực đại cực tiểu cách điểm M cho trước: + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu A, B điều kiện MA=MB 7) Điều kiện để điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng y=ax+b + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu A, B điều kiện là: Đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu vng góc với đường thẳng y=ax+b trung điểm AB thuộc đường thẳng y=ax+b http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x) x  x  m x  m có CĐ CT đối xứng qua   : y  x  2 Giải: Hàm số có CĐ, CT  f   x   x  x  m  có nghiệm phân biệt   9  3m  3  m2  m  m2 x  1 f ( x)  m  x  m  3 với m  f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số f(x) đạt cực trị x1, x2 thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f ( x)     m2 y1  f  x1   m  x1  m   f   x1    3 Do  nên  Suy đường thẳng qua CĐ, CT  f   x2    y  f  x   m2  x  m  m  2  3  2 m có phương trình d  : y  m  x  m 3 Các điểm cực trị A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  đối xứng qua   : y  x  d   trung 2 2  m  2; xI  m  điểm I AB phải thuộc (d)    m  m(m  1)   m   m  m  1  3 2  Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  x  mx   Cm            Tìm m để hàm số(Cm) có cực đại cực tiểu, đồng thời điểm cực trị đồ thị hàm số cách đường thẳng d : x  y   Giải: Ta có y '  x  x  m; y ' 0  3x  x  m  (1) Hàm số (Cm) có cực đại, cực tiểu phương trình (1) có nghiệm phân biệt m  Giả sử A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  hai điểm cực trị hàm số (Cm), ( x1 , x2 nghiệm (1)) m  x 1 m  Vì y  y '       1 x 2  y '  x1   y '  x2   nên phương trình đường thẳng  3   m m  qua A,B y    1 x 2   d '  Do điểm A,B cách đường thẳng (d) 3  trường hợp sau: m  TH1: (d’) phương với (d)     1  m  (không thỏa mãn) 3  TH2: Trung điểm I AB nằm (d) Do I trung điểm AB nên tọa độ I là: http://megabook.vn/ www.VNMATH.com wwww NMV TN cMmA T H c o m V A H o  x1  x2 x   Vì I nằm (d) nên ta có  m 1 0  m  (thỏa mãn)  y  y1  y2  m   Chú ý: Cần phân biệt rõ khái niệm cách đối xứng qua đường thẳng 8) Điều kiện để hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách điểm cực đại cực tiểu max, + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Viết phương trình đường thẳng qua điểm cực đại cực tiểu ( Dựa vào phương trình để tính giá trị y1; y2 ) + Giả sử điểm điểm cực đại cực tiểu A, B Tính độ dài AB theo tham số Dùng phương pháp đạo hàm để tìm max, Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x)  x  mx x m  có khoảng cách điểm CĐ, CT nhỏ  Giải: Do f   x   x  2mx 1  có   m2 1  nên f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt cực trị x1, x2 với điểm cực trị A  x1 ; y1  , B  x2 ; y2  2  x  m  f ( x)  m  x   m  1   3 3   2 2   y1  f ( x1 )   m  1 x1   m  1  f ( x )    Do  nên   f ( x2 )   y  f ( x )  2  m  1 x   m  1 2    3   2 2 Ta có AB   x2  x1    y2  y1    x2  x1    m  1  x2  x1  2    x2  x1   x1 x2  1   m  1     Thực phép chia f(x) cho f’(x) ta có: f ( x )    2 13   4   4m2    m    1    AB       9  Min AB=  13 xảy m=0 9) Tìm điều kiện để hồnh độ điểm cực đại cực tiểu thoả mãn hệ thức cho trước + Điều kiện : y’=0 có nghiêm phân biệt + Phân tích hệ rhức để áp dụng định lý viét( x1 , x2 hai nghiệm phương trình y’=0 Ví dụ 1) Tìm m để hàm số f ( x)  x  mx  mx  đạt cực trị x1, x2 thoả mãn x1  x2  http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com Giải: Hàm số có CĐ, CT  f ( x)  x  2mx  m  có nghiệm phân biệt     m  m 0   m     m  1 với điều kiện f’(x)=0 có nghiệm phân biệt x1, x2 hàm số đạt cực trị x1, x2 với x1+x2=2m x1x2=m Ta có BPT: x1  x2 8  x1  x2  64   x1  x2   x1 x2  4m2  4m  64  m  m  16    65    65  m  m       thoả mãn điều kiện  m     m  1 Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  x  mx  1 11 Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu khoảng cách từ điểm I ( ; ) đến đường thẳng nối điểm cực đại cực tiểu lớn Giải: Ta có y '  3x  x  m Hàm số có cực đại cực tiểu y’=0 có nghiệm phân biệt   '   m  (0,25 điểm) x 2m m - Chia đa thức y cho y’ ta có y  y ' (  )  (  2) x   Lập luận suy đường thẳng 3 3 2m m qua cực đại cực tiểu  y  (  2) x   Dễ dàng tìm điểm cố định mà đường 3 thẳng cực đại cực tiểu qua A( ;2) (0,25 điểm) - Hệ số góc đường thẳng IA k  Hạ IH vng góc với  ta có IH  d I /   IA  4 Đẳng thức xảy IA   (0,25 điểm) 2m - Suy      m  (0,25 điểm) k Ví dụ 3) Cho hàm số y  x  3mx  3(m  1) x  m3  4m  (C) Tìm m để hàm số có hai cực trị A, B với gốc O tạo thành tam giác vuông O Giải:Điều kiện để hàm số có cực trị y’=0 có hai nghiệm phân biệt:  x  m 1 (0,25 điểm) y '  x  6mx  3(m2  1) '    x  m 1  1 Ta có y  y '( x  m)  x  3m  Gọi A, B điểm cực trị 3 A( m  1; m  3); B ( m  1; m 1) (0,25 điểm)      m 1 Suy OA(m  1; m  3); OB (m  1; m  1)  2m  2m    (0, 25 điểm) m  Kết luận: Có hai giá trị m cần tìm m=-1 m=2 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com w w wVNMATH.Tom c o m VNMA cH x  m.x  m  x có cực đại x1 , cực tiểu x2 đồng thời x1; x2 độ dài cạnh góc vng tam giác vng có độ dài cạnh  Ví dụ 4) Tìm giá trị m để hàm số y  huyền  Giải: Cách 1: Miền xác định: D  R có y '  x  mx  m  3; y '   x  mx  m   Hàm số có cực đại x1 , cực tiểu x2 thỏa mãn yêu cầu toán PT y '  có nghiệm dương phân biệt, triệt tiêu đổi dấu qua nghiệm 4  m    m  2        S 0  m   m    m  (*) P     m   m  m 3    x1  x2  m Theo Viet ta có:  Mà  x1 x2  m   14 2 x1  x2    x1  x2   x1x2 5  2m  m    m  2 14 Đối chiếu ĐK(*) ta có giá trị m  thỏa yêu cầu toán   B) Cực đại cực tiểu hàm số bậc bốn: y  ax  bx c *) Điều kiện để hàm số bậc bốn có cực đại cực tiểu y’=0 có nghiệm phân biệt + Ta thấy hàm số bậc bốn y’=0 ln có nghiệm x=0, để y’=0 có nghiệm phân biệt sau tính đạo hàm ta cần tìm điều kiện để phần phương trình bậc cịn lại có nghiệm phân biệt khác không VD: y  x  2mx  y '  x  4mx  y ' 0  x 0  x   điều kiện m0 Với m>0 f’(x)=0  x1  m  B  m ; m4  m  2m    x2 0  A 0; m  2m   x3  m  C m ; m  m  2m  Suy BBT hàm số y=f(x) m  m    ABC   AB  AC   AB  AC  AB  BC  AB  BC         m  m      m4  m  m m   m  3 m m    m4  m  4m   Ví dụ 2) Cho hàm số y  x  2mx  2m 4 , m tham số thực Xác định m để hàm số có cực trị tạo thành tam giác có diện tích Giải: Mxđ: D R Có y '  x3  4mx   y ' 0  x3  4mx 0  x 0  x m Hàm số có cực trị  m  (*)    Gọi A 0; 2m  , B    m ; m  , C  m ; m  điểm cực trị Nhận xét thấy B,C đối xứng qua Oy A thuộc Oy nên tam giác ABC cân A Kẻ AH  BC có S ABC  AH BC 2  yB  y A xB 2  2m m m 1 Đối chiếu với điều kiện (*) có m  giá trị cần tìm   Ví dụ 3) Cho hàm số y  x   m x m 1 Tìm m để hàm số cho có điểm cực trị ba điểm cực trị tạo thành tam giác có diện tích lớn Giải: y '  x3  x  m   x  0, x 1  m2   hàm số có cực trị  m 1 Khi tọa độ điểm cực đại A  0;1  m  , tọa độ hai điểm    m ; cực tiểu B  m2 ; m , C diện tích tam giác ABC S ABC   m2  d  A; BC  BC   m2   1 Dấu “=” xày m  ĐS: m  10 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com w ww.VNMATH com c Ví dụ 4) Cho hàm số y  x  2mx  có đồ thị (Cm) Tìm tất giá trị tham số m để đồ thị (Cm) có điểm cực trị tạo thành tam giác có đường trịn ngoại tiếp qua 3 9 D ;  5 5 Giải: Có y '  x3  4mx 0  x  0; x  m  m 0  Vậy điểm thuộc đường tròn (P)    ngoại tiếp điểm cực trị A  0;  , B  m ; m  , C 3 9 m ; m  , D  ;   5   Gọi I  x; y  tâm đường tròn (P)   IA2  ID 3 x  y 1      IB  IC  2 x y 2 x m   2  IB  IA  x  m  y  m2    Vậy m  giá trị cần tìm     x  0; y  1; m  0( L), m    x2   y  2 Phần hai: Các toán liên quan đến tiếp tuyến đường tiệm cận *) Xét hàm số y  f ( x ) Giả sử M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm tiếp tuyến M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) ( Chú ý trường hợp tổng quát ta thường biểu diễn y0 theo dạng f ( x0 ) ) 2x 1 Ví dụ: Xét điểm M thuộc đồ thị hàm số y  điểm M có toạ độ x 1 2x 1 M ( x0 ; ) x0  *) Ta gọi hệ số góc tiếp tuyến tiếp điểm M k  f '( x0 ) *) Đường thẳng  có hệ số góc k qua M ( x0 ; y0 ) có dạng y  k ( x  x0 )  y0 Điều kiện để  tiếp tuyến hàm số y=f(x) hệ phương trình sau có nghiệm k ( x  x0 )  y0  f ( x )  k  f '( x ) Khi số nghiệm hệ số tiếp tuyến kẻ từ điểm M đến đồ thị hàm số y=f(x) *) Mọi tốn viết phương trình tiếp tuyến quy việc tìm tiếp điểm sau viết phương trình theo (1) *) Các dạng câu hỏi thường gặp phần 1) Viết phương trình tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b: + Xét hàm số y=f(x) Gọi M ( x0 ; y0 ) tiếp điểm, suy tiếp tuyến M có dạng y  f '( x0 )( x  x0 )  y0 (1) Tiếp tuyến M có hệ số góc k  f '( x0 ) + Tiếp tuyến song song với đường thẳng y=ax+b nên k  f '( x0 ) a Giải phương trình tìm x0 sau viết phương trình tiếp tuyến theo (1) 11 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com mww.VNMATH.co w  g x    m 3 4 2m 1    m 1 4 0; m g 2  0 4 m 3 2m 1     x x m  Theo Viet ta có:  A B Lại có y A x A ; y B xB  m  x A xB 2m  Mà: 2 AB 4  AB 16 xB x A  y B y A  16 xB x A   2 xB x A  4 x A xB 8 m 3 4 2m 1 0 m 2m 3 0 m  m  + Với m  thay vào pt (1) có: x 6 x 7 0  x 3   y  Lúc tọa độ điểm         A,B là: A  2;  , B  2; B  2;  , A  2; + Với m 1 thay vào pt (1) có: x 2 x 1 0  x 1   y   Lúc tọa độ 2        điểm A,B A  2;   , B  2;   B  2;   , A  2;   2 2  Vậy A,B điểm thỏa mãn u cầu tốn x3 Ví dụ 4) Cho hàm số y  có đồ thị (H) Tìm m để đường thẳng d: y 2 x  3m cắt x2     (H) hai điểm phân biệt cho OA.OB 4 với O gốc tọa độ x 3 Giải: Xét pt: 2 x 3m 2 x 3  m  x 6m 3  (1) có nghiệm phân biệt khác (-2) x2 Khi 9m 30m 33  điều xảy với m Gọi nghiệm pt (1) x1 , x2 A  x1; x1 3m  , B  x2 ; x2  3m      12m  15 Có OA.OB   x1.x2 2 x1 3m 2 x2 3m    4  m  12 2x 1 Ví dụ 5) Cho hàm số y  có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng d: y  x  m cắt (C) x 1 hai điểm phân biệt A,B, cho AB  2 Giải: Phương trình hồnh độ giao điểm (C) đường thẳng d: x 1 x m  f x x m 1 x m 1  (1)  x 1 x 1 Để d cắt (C) điểm phân biệt A,B pt(2) có nghiệm phân biệt x A , xB 1 m 1 4 m 1    (*) Theo Viet ta  f   1 m 1 m 1   có: x A xB 1 m  m 1 ; A, B d  y A x A m; y B xB m  AB  m  4(m 1) 4    m   x A xB m 1 36 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com w w w NMATH.cAm H c o m w.V V N M o T Ví dụ 6) Gọi D đường thẳng qua A(1;0) có hệ số góc k Tìm k để D cắt đồ thị x2 y  hai điểm phân biệt M,N thuộc hai nhánh khác đồ thị AM=2AN x 1 Giải: Do D đường thẳng qua A(1;0) có hệ số góc k nên pt D: y k  x  1 Phương trình hồnh độ giao điểm D đồ thị hàm số cho là: x 2 k x 1kx 2k 1x 2 0 x  1 (1) x 1 Đặt t  x 1  x t 1 Lúc pt (1) thành: k t 1 2k 1t 1 k 2 0 kt t 3  (2) Để D cắt đồ thị hàm số cho hai điểm M,N thuộc hai nhánh khác đồ thị pt(1) phải có nghiệm x1 , x2 thỏa x1 1  x2  pt (2) có nghiệm t1 , t2 thỏa t1 0 t2  k 0 k  0(*)    Vì điểm A ln nằm đoạn MN AM 2 AN  AM  AN x1 2 x2  (3) 2k   x1 x2  4  k 1 k2  k Theo Viet ta có:  Từ (3) (4) x2  ; x1  k k x x  k  5   k   k 2  k 1  k  3k 2 0 k  Thay x1 , x2 vào pt (5) có: k k2 Đối chiếu ĐK (*) có k  giá trị cần tìm Phần bốn: Các tốn khoảng cách Để giaỉ tốt dạng tập phần học sinh cần nắm vấn đề sau: *) Khoảng cách hai điểm M ( xM ; yM ); N ( xN ; y N ) MN  xN xM  y N  yM  *) Khoảng cách từ điểm M ( x0 ; y0 ) đến đường thẳng  : ax+by+c=0 d M /   ax by0  c a2  b2 Các trường hợp đặc biệt: + Nếu  đường thẳng x=a d M /   x0  a + Nếu  đường thẳng y=b d M /   y0  b + Tổng khoảng cách từ M đến hai trục toạ độ Ox, Oy d= x0  y0 *) Khoảng cách đường thẳng đường cong Cho đường thẳng  đường cong ( C) Lấy điểm M thuộc đường cong ( C) điểm N thuộc đường thẳng  Khi d( /(C )) min MN Từ ta có cách tính khoảng cách từ đường thẳng  : ax+by+c=0 đến đường cong ( C) y=f(x) sau: 37 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com + Cách 1: Lấy điểm M  x0 ; y0  thuộc ( C) M ( x0 ; f ( x0 )) Ta có d M /   ax by0  c a2  b2 Sau tìm d theo x0 + Cách 2: Viết phương trình tiếp tuyến t đường cong ( C) tiếp tuyến song song với  Sau tìm tiếp điểm M  x0 ; y0  tiếp tuyến đường cong Khi khoảng cách đường thẳng  đường cong ( C) khoảng cách M đường thẳng  ax by0  c dM /   a2  b2 2x  Ví dụ 1) Cho đồ thị C : y  điểm A(-2;5) Xác định đường thẳng (D) cắt (C) x 1 điểm B, C cho ABC TCD : x  2x  Giải: y    x 1 TCN : y  phân giác góc tạo tiệm cận (1): y x  3 y  0  hàm số nghịch biến x 1 đồ thị (C) có dạng hình vẽ Do A(-2;5) (1) : y x  trục đối xứng (C) nên đường thẳng (D) cần tìm phải vng góc với (1) (D) có phương trình: y=x+m x 1 Xét phương trình: x m  g x x m 3x m 1  x 1 2 Ta có  m 3 4 m 1m 1 12 0 nên (D) cắt (C) B, C phân biệt g tính đối xứng ABC cân A 3 m m  7  m  Giả sử  D   (1) I I  ;  AI        B  x1 , y1   y x  m 2  Gọi   1 BC 2 x1 x2  2  x1 x2   x1 x2     C x2 , y2   y2  x2  m   BC 2  m 3 4 m 1 2  m 2m  13    Ta có ABC  BC  AI 3 m2 2m 137  m   D1  : y x   m  m 4m 5 0    m D2  : y  x     3x  Ví dụ 2) Cho H : y  Tìm M  (H) để tổng khoảng cách từ M đến tiệm cận x 2 (H) nhỏ Giải: Ta có TCĐ: x=2 TCN: y=3 38 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com  3x   3  Lấy M m;3    H Tổng khoảng cách từ M đến đường tiệm x 2 x2 m2  cận d M  xM 2  yM 3  m 2   ( Theo bất đẳng thức Cauchy) m2 m   M (1; 2) d 2  m 2    m 2 m   M (3; 4) y  Ví dụ 3) Tìm nhánh đồ thị C : y  4x  điểm cách M1,M2 để độ dài x 3 M , M nhỏ y  TCD : x  x   x 3 3  4   x 3 x 3 x 3 TCN : y  M  x1 , y1   Gọi  (M1 thuộc nhánh trái (C); M2 thuộc nhánh phải (C)) M x2 , y2     x1 3    y1 4    Đặt x2 3     ,   y2 4       M1M 2 x2 x1  y2  y1  2 =          3               cos i                       1  9        4         Mà cos i                4        24  M1M  24 2            toạ độ M  3;  , M  3;  Ví dụ 4) Tìm điểm M đồ thị hàm số y   2x 1 ( H ) cho khoảng cách từ M đến x 1 đường thẳng ( ): x 4 y 8  nhỏ Giải: Ta có y '  Xét đường thẳng d tiếp tuyến (H) d song song với ( ) x 1 39 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com x x 13 Từ viết phương trình tiếp tuyến d1 : y   d : y   4 4     Hai tiếp điểm tương ứng M  ; M 3;  1;     Dễ dàng tính d  M /  d  M /   M1 điểm cần tìm Chú ý: Ngồi cách lập luận ta giải tốn theo cách khác giả sử M ( x; 2x 1 ) x 1 Sau tính khoảng cách từ M đến  Và tìm theo phương pháp hàm số với biến x x Cho hàm số y  điểm A(-1;1) 1 x Ví dụ 5) Tìm m để đường thẳng y mx m  cắt (C) hai điểm phân biệt M,N cho AM  AN đạt giá trị nhỏ Giải: Xét phương trình tương giao: mx 2mx m 1 0 Để cắt hai điểm phương trình phải có  2m m 1  m nghiệm phân biệt khác  m  m ' m m m 1    Để ý thấy trung điểm MN I I(1;-1) cố định     Sử dụng chèn điểm ta có: AM AN 2 AI IM  IN (do IM IN  ) Ta có IA cố định, IM=IN Ta thấy biểu thức MN Tính MN: 2 NM x1 x2   m   x1 x2  4 x1 x2  m 1  m     m Do m mà khoảng cách từ đến (∆) ngắn mx Câu 19) Cho hàm số y  (Hm) Tìm m để đường thẳng d:2x+2y-1=0 cắt (Hm) điểm x2 phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích 2x  Câu 20) Cho hàm số y  Tìm điểm M thuộc đồ thị cho tiếp tuyến M cắt x 2 hai tiệm cận A, B cho vịng trịn ngoại tiếp tam giác IAB có bán kính nhỏ Với I giao điểm hai đường tiệm cận Câu 21) Tìm m để hàm số y x mx  cắt Ox điểm 2x  Câu 22) Cho hàm số y  (C) Tìm hai điểm M, N thuộc (C) cho tiếp tuyến M, N x2 song song với khoảng cách hai tiếp tuyến lớn 2x  Câu 23) Cho hàm số y  (H) Gọi d đường thẳng có hệ số góc k qua M(1;1) Tìm k 1 x để d cắt (H) A, B mà AB  10 Câu 24) Tìm m để đồ thị hàm số y x mx  2m cắt trục Ox điểm x2 Câu 25) Cho hàm số: y  (C) x 1 1) Khảo sát vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Cho điểm A( 0; a) Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hoành Câu 26) Cho hàm số y  x 3 x  (C) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C) 2) Tìm điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến M cắt (C) N mà MN  48 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com 2m  x ( H ) A(0;1) xm 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m=1 2) Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm m để đồ thị tồn điểm B cho tam giác IAB vuông cân A Câu 28) Cho hàm số y x  x (C) 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2) Lấy đồ thị hai điểm A, B có hồnh độ lần lươt a, b.Tìm điều kiện a b để tiếp tuyến A B song song với x2 Câu 29) Cho hàm số y  (H) 2x  1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (H) 2) Tìm m để đường thẳng (d): y=x+m cắt đồ thị hàm số (H) hai điểm phân biệt A, B cho 37 OA2 OB  Câu 30) Cho hàm số y  y  x 2 x (1 m) x  m (1), m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m 1 Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hồnh điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x2 ; x3 thoả Câu 27) Cho hàm số y  mãn điều kiện x12 x2 x3  2x  Câu 31) Cho hàm số y  Tìm m để đường thẳng y=-2x+m cắt đồ thị hai điểm phân x 1 biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích 3x  Câu 32) Cho hàm số y  (1) x 1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) 2) Viết phương trình đường thẳng qua M(1;3) cắt đồ thị hàm số (1) hai điểm phân biệt A, B cho AB  Câu 33) Cho hàm số y  x 3 x 3(1 m) x 1  3m (Cm) Tìm m để hàm số có cực đại cực tiểu đồng thời điểm cực trị với gốc toạ độ tạo thành tam giác có diện tích 3x  Câu 34) Cho hàm số y  ( H ) đường thẳng y (m 1) x m 2 (d) Tìm m để đường x 1 thẳng (d) cắt (H) A, B cho tam giác OAB có diện tích x 1 Câu 35) Cho hàm số y  ( H ) Tìm điểm M thuộc (H) để tổng khoảng cách từ M đến trục x 1 toạ độ nhỏ 2x Câu 36) Cho hàm số y = (H)Tìm giá trị m để đường thẳng y = mx – m + cắt đồ x 1 thị ( H ) hai điểm phân biệt A,B đoạn AB có độ dài nhỏ 2x  Câu 37) Cho hàm số y  viết phương trình tiếp tuyến cuả HS biết tiếp tuyến tạo với x 1 trục tọa độ tam giác có diện tích 49 http://megabook.vn/ www.VNMATH.com www.VNMATH.com x  mx  ( m  3) x 1) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm m để hàm số có CĐ, CT hồnh độ CĐ, CT độ dài cạnh góc vng tam giác vng có cạnh huyền Câu 39) Tìm hai điểm A, B thuộc đồ thị hàm số y x 3 x  cho tiếp tuyến A, B song Câu 38) Cho hàm số y  song với AB  Câu 40) Tìm m để hàm số y  x mx (2m 1) x m  cắt Ox điểm phân biệt có hồnh độ dương Câu 41) Tìm m để đường thẳng y=x+4 cắt đồ thị hàm số y  x 2mx ( m 3) x  điểm phân biệt A, B,C cho tam giác MBC có diện tích (Điểm B, C có hồnh độ khác 0, M(1;3)) 50 http://megabook.vn/ ...    12   12  17  19      x  1? ?? x  1? ??  x  x  1? ??  x     x  1? ??  x  x  1? ??   12     19     x1 ? ?1  t1  : y  y? ?1? ??  x  12  4  y      19     ... 2) Cho hàm số y  x  mx  mx  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m= b) Tìm m để hàm số đạt cực trị x1 ; x thoả mãn x1 x  Câu 3) Cho hàm số y  x  mx  x  a) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số m= -8... m để góc ADB góc vng Câu 10 ) Cho hàm số y x3 3x 3  m ? ?1? ?? x 3m  (1) , với m tham số thực 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) m ? ?1 Tìm m để hàm số (1) có cực đại cực tiểu, đồng