Chuyen de Bat dang thuc luong giac

Ý tưởng: Biến đổi vế trái của bất đẳng thức rồi sử dụng bất đẳng thức Cauchy và tính chất của hàm số sin, tang, cotang.. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số không âm tan2x và cot2x, ta[r]

Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC LƯỢNG GIÁC Phương pháp sử dụng bất đẳng thức Cô-si và tính chất tam giác VD:Với x, y, z là ba góc tam giác nhọn Chứng minh tam giác nhọn, ta có : tan x  tan y  tan z 9 tan x  tan y  tan z Giải Trong tam giác, ta có: tanx + tany + tanz = tanxtanytanz Tai lại có : tan x  tan y  tan z 3 tan x tan y tan z (Cô-si)  tan x tan y tan z 3 tan x tan y tan z  tan x tan y tan z    tan x tan y tan z   27 tan x tan y tan z 27  tan x tan y tan z 3 Mặt khác : tan x  tan y  tan z 3 tan x tan y tan z 3 tan x tan y tan z tan x  tan y  tan z 3tan x tan y tan z  3 tan x tan y tan z 9 tan x  tan y  tan z tan x tan y tan z Nên: Vậy tam giác nhọn ta có : tan x  tan y  tan z tan x  tan y  tan z 9 Phương pháp đại số tan x  tan x  tan x tan x    , x   k , k   tan x 2  tan x tan x VD: Chứng minh: Ý tưởng: Biến đổi biểu thức Đặt ẩn phụ đưa bất đẳng thức đại số Giải tan x  tan x  tan x tan x  tan x  A  tan x  2 tan x tan x 1  tan x tan x Đặt : (1) Đặt: tanx = t Khi đó (1) trở thành: t  t 1 A t 1  A(t  1) t  t   ( A  1)t  t  A  0    1   A  1  2  A2  A  (2) có nghiệm t   0   A2  A  0 A  2 t  t 1    t 1 2 tan x  tan x  tan x tan x hay   tan x 2  tan x tan 2x  tan x  tan x  tan x tan x    , x   k , k   tan x 2  tan x tan x Vậy: Phương pháp sử dụng bất đẳng thức đạisố và tính chất các hàm số lượng giác 2 sin x  cos x  tan x  cot x 2  VD: Chứng minh:  x k  ;  k  , k   2 Ý tưởng: Biến đổi vế trái bất đẳng thức sử dụng bất đẳng thức Cauchy và tính chất hàm số sin, tang, cotang Giải sin x  cos x  tan x  cot x    sin  x    tan x  cot x 4  Ta có :   sin  x     4    sin  x    (1) 4  Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho số không âm tan2x và cot2x, ta được: tan x  cot x 2 tan x cot x 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra:   sin  x    tan x  cot x 2  4  hay : sin x  cos x  tan x  cot x 2  Dấu “=” xảy    sin  x    4    tan x cot x  3   k 2 , (k  )  x    tan x 1  3  x   k 2 Vậy: sin x  cos x  tan x  cot x 2  2 VD: Bài trên báo toán học và tuổi trẻ   x   0;    Chứng minh : Cho n  N và tan n x  cot n x 2  n cos 2 x Giải  x : Bất đẳng thức hiển nhiên đúng n n     cot x  tan x : Bất đẳng thức   x  n cos 2 x  n k  0 (với )   x   0;  4   cot k x  tan k x 2k cos x  * Xét f ( x) cot k x  tan k x  2k cos x(*) f '( x)  k k k1 cot x  tan k  x  4k sin x 2 sin x cos x  k   tan K  x  cot k  x    tan k 1 x  cot k 1 x   4sin x    f        f ( x )  f  0,  x  0;    0;    4    4  giảm trên   (*) đúng      t   x   0;  x :  4 Ta có  tan n x  cot n x tan n t  cot n t   n cos 2t 2  n cos 2 x Ta luôn có :   tan n x  cot n x 2  n cos 2 x, n  , x   0;   2  x Dấu “=” xảy Vậy:  tan n x  cot n x 2  n cos 2 x