Bước 1: Tìm điều kiện nếu có của ẩn số để hai vế của pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến một pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm [r]
(1)Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 ÔN TẬP LƯỢNG GIÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Chuyên đề TÓM TẮT GIÁO KHOA A CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Ñôn vò ño goùc vaø cung: Độ: Goùc 10 = goùc beït 180 Radian: (rad) 180 o x O y 1800 = π rad Bảng đổi độ sang rad và ngược lại số góc (cung ) thông dụng: Độ Radia n 00 300 π 450 π 600 π 900 π 1200 2π 1350 3π 1500 5π 1800 π II Góc lượng giác & cung lượng giác: Ñònh nghóa: (tia ngọn) y y (điểm ngọn) + B α t α O x (Ox, Oy ) = α + k 2π (k ∈ Z) 3600 2π O (tia gốc) + α M t x A (điểm gốc) AB = α + k 2π Đường tròn lượng giác: (2) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 ¼ = a + k2p Số đo số cung lượng giác đặc biệt: AM M A → B → C → D → A, C → B, D → y 2kπ π + 2kπ π + 2kπ - π + 2kπ kπ π + kπ B C − D y B u' x' x A O III Định nghĩa hàm số lượng giác: Đường tròn lượng giác: • A: ñieåm goác • x'Ox : trục côsin ( trục hoành ) • y'Oy : truïc sin ( truïc tung ) • t'At : truïc tang • u'Bu : truïc cotang + −1 C R =1 O t u + A − −1 D y' x t' Định nghĩa các hàm số lượng giác: a Định nghĩa: Trên đường tròn lượng giác cho AM= α Gọi P, Q là hình chiếu vuông góc M trên x'Ox vàø y'Oy T, U là giao điểm tia OM với t'At và u'Bu Ta ñònh nghóa: t y t Trục sin Trục cotang U B u' M Q t x' α O Trục cosin P T α + t' cos α = OP sin α = OQ x A −1 y' u − Trục tang b Caùc tính chaát : tanα = AT cot α = BU (3) Chuyên đề LTĐH • Thầy toán: 0968 64 65 97 Với α ta có : −1 ≤ sin α ≤ hay sinα ≤ −1 ≤ cosα ≤ hay cosα ≤ π + kπ • cotα xaùc ñinh ∀α ≠ kπ c Tính tuần hoàn • tanα xaùc ñinh ∀α ≠ sin(α + k 2π ) cos(α + k 2π ) tan(α + kπ ) cot(α + kπ ) sin α cos α tan α cot α = = = = (k ∈ Z ) IV Giá trị các hàm số lượng giác các cung (góc ) đặc biệt: Ta nên sử dụng đường tròn lượng giác để ghi nhớ các giá trị đặc biệt y t - - /3 -1 u' 2π/3 3π/4 5π/6 x' π -1 B /3 π/2 u π/3 π/4 /2 /2 π/6 1/2 1/2 - /2 - /2 -1/2 /2 /2 /3 + x A (Ñieåm goác) O -1/2 -π/6 - /2 - /3 -π/4 - /2 -1 -1 -π/3 -π/2 y' t' - − (4) Chuyên đề LTĐH Goùc 0 30 π sin α cos α tan α cot α kxñ 0 3 3 0 45 π 2 2 60 π 3 2 90 π 120 2π 3 − kxñ 3 0 − − 135 3π 2 − -1 -1 3 V Hàm số lượng giác các cung (góc) có liên quan đặc biệt: Đó là các cung : Cung đối : α vaø -α Cung buø : α vaø π -α Cung phuï : α vaø Cung hôn keùm π −α (toång baèng 0) π π : α vaø + α 2 Cung hôn keùm π : α vaø π + α Cung đối nhau: cos(−α ) sin(−α ) tan(−α ) cot(−α ) = cos α = − sin α = − tan α = − cot α 150 5π 3 − − − Thầy toán: 0968 64 65 97 1800 3600 π 2π 0 -1 0 kxñ kxñ π π & − ,…) 6 π 5π & (Vd: ,…) 6 (Vd: ( toång baèng π ) ( toång baèng π ) (Vd: π π & ,…) (Vd: π 2π & ,…) (Vd: π 7π & ,…) 6 Cung buø : Đối cos Buø sin Cung phuï : cos(π − α ) sin(π − α ) tan(π − α ) cot(π − α ) = − cos α = sin α = − tan α = − cot α Cung hôn keùm π (5) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 π cos( − α ) = sin α π sin( − α ) = cos α π tan( − α ) = cotα π cot( − α ) = tan α Cung hôn keùm π : cos(π + α ) sin(π + α ) tan(π + α ) cot(π + α ) Phuï cheùo = − cos α = − sin α = tanα = cot α π Hôn keùm sin baèng cos cos trừ sin π cos( + α ) π sin( + α ) π tan( + α ) π cot( + α ) = − sin α = cos α = −cotα = − tan α Hôn keùm π tang , cotang VI Công thức lượng giác: Các hệ thức bản: cos2α + sin α = sinα tanα = cosα cosα cotα = sinα cos2α 1 + cot 2α = sin α tanα cotα = 1 + tan 2α = Công thức cộng : cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β sin(α + β ) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β ) = sin α cos β − sin β cos α tanα +tanβ tan(α +β ) = − tan α tan β tanα − tanβ tan(α − β ) = + tan α tan β Công thức nhân đôi: cos2 a = + cos 2a sin a = - cos 2a sin α cos α = sin 2α (6) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 cos 2α = cos α − sin α = cos2 α − = − 2sin α = cos4 α − sin α sin 2α = sin α cos α tan α tan 2α = − tan α Công thức nhân ba: cos 3α = cos α − 3cos α sin 3α = 3sin α − 4sin α cos α = cos 3α + cos α sin α = sin α − sin 3α Công thức hạ bậc: cos2 a = + cos 2a ; sin a = 6.Công thức tính sin α ,cos α ,tgα theo t = tan sin a = 2t ; + t2 - cos 2a ; α cos a = - t2 ; + t2 t an a = Công thức biến đổi tích thành tổng : [ cos(α + β ) + cos(α − β )] sin α sin β = [ cos(α − β ) − cos(α + β )] sin α cos β = [ sin(α + β ) + sin(α − β )] cos α cos β = Công thức biến đổi tổng thành tích : t an a = 2t - t2 - cos 2a + cos 2a (7) Chuyên đề LTĐH α +β α −β cos 2 α +β α −β cos α − cos β = −2sin sin 2 α +β α −β sin α + sin β = 2sin cos 2 α +β α −β sin α − sin β = cos sin 2 sin(α + β ) tan α + tan β = cos α cos β sin(α − β ) tan α − tan β = cos α cos β Thầy toán: 0968 64 65 97 cos α + cos β = cos Các công thức thường dùng khác: π π cos α + sin α = cos(α − ) = sin(α + ) 4 π π cos α − sin α = cos(α + ) = − sin(α − ) 4 + cos 4a + cos 4a cos6 a + sin a = cos4 a + sin a = B PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC Các bước giải phương trình lượng giác Bước 1: Tìm điều kiện (nếu có) ẩn số để hai vế pt có nghĩa Bước 2: Sử dụng các phép biến đổi tương đương để biến đổi pt đến pt đã biết cách giải Bước 3: Giải pt và chọn nghiệm phù hợp ( có) Bước 4: Kết luận I Ñònh lyù cô baûn: ( Quan troïng ) sinu=sinv cosu=cosv u = v+k2π ⇔ u = π -v+k2π u = v+k2π ⇔ ⇔ u = ± v + k2π u = -v+k2π tanu=tanv ⇔ u = v+kπ cotu=cogv ⇔ u = v+kπ π + kπ ) (u;v ≠ kπ ) (u;v ≠ ( u; v là các biểu thức chứa ẩn và k ∈ Z ) II Các phương trình lượng giác bản: Daïng 1: sinx = m ; cosx = m ; tanx = m ; cotx = m ( ∀m ∈ R ) (8) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 * Gpt : sinx = m (1) • • Neáu m > thì pt(1) voâ nghieäm Neáu m ≤ thì ta ñaët m = sin α vaø ta coù x = α +k2π (1) ⇔ sinx=sinα ⇔ x = (π -α )+k2π * Gpt : cosx = m (2) Neáu m > thì pt(2) voâ nghieäm • Neáu m ≤ thì ta ñaët m = cos β vaø ta coù x = β +k2π (2) ⇔ cosx=cosβ ⇔ x = − β +k2π * Gpt: tanx = m (3) ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) • • Ñaët m = tan γ thì (3) ⇔ tanx = tanγ ⇔ x = γ +kπ * Gpt: cotx = m (4) • ( pt luoân coù nghieäm ∀m ∈ R ) Ñaët m = cot δ thì (4) ⇔ cotx = cotδ ⇔ x = δ +kπ Các trường hợp đặc biệt: sin x = −1 ⇔ sinx = ⇔ sin x = ⇔ cosx = −1 ⇔ cosx = ⇔ cos x = ⇔ y π x = − + k 2π x = kπ π x = + k 2π x = π + k 2π π x = + kπ x = k 2π Bài tập rèn luyện 1) cos10 x + cos x + cos x.cos x = cos x + 8cos x.cos 3 x B C x A O D ( x = k 2π ) + − (9) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 1) cos x.cos x + s in3x.sin x = (x=± π + kπ ) 2π + k 2π ) (x=± 3 + s in2x tan x + sin x x = cos tan x − sin x cos x = + s in4x π 2 cos x + ÷ 4 s in3x + cos x = 3cos x + sin x + 2sin x Daïng 2: a sin x + b sin x + c = (x= 2) tan x + cot x = 3) 4) 5) π + kπ ) (x=± π + kπ ) 12 (x=− a cos2 x + b cos x + c = π + kπ ) ( a ≠ 0) a tan x + b tan x + c = a cot x + b cot x + c = Caùch giaûi: Ñaët aån phuï : t = sinx ( t = cosx; t = tanx; t = cotx) Ta phương trình : at + bt + c = (1) Giaûi phöông trình (1) tìm t, roài suy x Chú ý : Phải đặt điều kiện thích hợp cho ẩn phụ (nếu có) Bài tập rèn luyện s in3x + cos x + sin x ÷ = cos x + 1) + 2sin x (x=± cos5 x sin x − 4sin x cos x = sin x (x= 3) 4) cos x + 3cot x + s in4x =2 cot x − cos x ( 2sin x + ) cos x − cos Daïng 3: + sin x kπ π kπ ,x = + ) (x=− x −1 (x= =1 a cos x + b sin x = c (1) ( a;b ≠ 0) π + k 2π ) π 7π + kπ , x = + kπ ) 12 12 π + k 2π ) (10) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 (Phương trình bậc cosx và sinx) Caùch giaûi: Chia hai veá cuûa phöông trình cho a + b thì pt a b c (1) ⇔ cos x + sin x = a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 • • Ñaët a a2 + b2 = cosα vaø b a2 + b = sin α với α ∈ [ 0;2π ) thì : (2) ⇔ cosx.cosα + sinx.sinα = ⇔ cos(x-α ) = c c a2 + b (3) a2 + b Pt (3) coù daïng Giaûi pt (3) tìm x Chuù yù : Pt acosx + bsinx = c coù nghieäm ⇔ a2 + b2 ≥ c2 Bài tập rèn luyện ( ) 4 2) cos x + sin x = sin x + cos x + cos x + 4sin x ) 3) sin x + cos x + 3 s in4x = + = 8sin x sin x cos x 3x x π 5) 2sin cos − 2sin x + ÷ = ( cos x − cos x ) + 2 3 4) d Daïng 4: π kπ 7π kπ + ;x = + ) 24 72 2π + k 2π ; x = k 2π ) (x= π kπ π kπ ;x = − + (x= + ) 12 π π kπ ( x = + kπ ; x = − + ) 12 π 7π + kπ ) ( x = + kπ ; x = 12 (x= 1) 3sin x − cos12 x = + 4sin x ( (2) a sin x + b sin x.cos x + c cos2 x = 10 (a;c ≠ 0) (1) (11) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 (Phương trình đẳng cấp bậc hai sin và cos) Caùch giaûi 1: − cos x + cos x vaø cos2 x = 2 và công thức nhân đôi : sin x.cos x = sin x thay vào (1) ta biến đổi pt (1) dạng 2 Aùp dụng công thức hạ bậc : sin x = Cách giải 2: ( Quy pt theo tang cotang ) Chia hai vế pt (1) cho cos2 x ta pt: a tan x + b tan x + c = Đây là pt dạng đã biết cách giải Chú ý: Trước chia phải kiểm tra xem x = π + kπ coù phaûi laø nghieäm cuûa (1) khoâng? Ví duï : Giaûi phöông trình: sin x + (1 − ) sin x cos x − cos x + − = Nói thêm: Phương trình dạng đẳng cấp bậc ba: a sin x + b sin x cos x + c sin x cos x + d cos3 x = các đẳng cấp cao thực theo cách giải d Daïng 5: Caùch giaûi : a(cos x + sin x ) + b sin x.cos x + c = (1) π Đặt t = cos x + sin x = cos( x − ) với - ≤ t ≤ t2 − Do (cos x + sin x ) = + 2sin x.cos x ⇒ sinx.cosx= • Thay vào (1) ta phương trình : t2 − at + b + c = (2) • • Chuù yù : Giaûi (2) tìm t Choïn t thoûa ñieàu kieän roài giaûi pt: π cos( x − ) = t tìm x a(cos x − sin x ) + b sin x.cos x + c = Ta giải tương tự cho pt có dạng : 11 (12) Chuyên đề LTĐH Thầy toán: 0968 64 65 97 Các phương pháp giải phương trình lượng giác thường sử dụng : a Phöông phaùp 1: Biến đổi pt đã cho các dạng pt lượng giác đã biết Ví duï 1: (B-2012) Ví du 2ï: Giaûi phöông trình: =0 cos 3x = s in2x 3= cos x 4 1) sin x + cos x + sin x − 2) sin 3x 3) t an x - b Phöông phaùp 2: Biến đổi pt đã cho dạng tích số Cơ sở phương pháp là dựa vào các định lý sau đây: A=0 A.B = ⇔ B=0 A.B.C = A=0 ⇔ B=0 C=0 Ví du 1ï : (A-2012) Ví du : (D-2012) Ví du : Giaûi caùc phöông trình : a sin x + sin 2 x + sin2 x = b 2sin3 x + cos x − cos x = c Phöông phaùp 3: Biến đổi pt dạng có thể đặt ẩn số phụ Moät soá daáu hieäu nhaän bieát : • Phương trình chứa cùng một hàm số lượng giác ( cùng cung khác lũy thừa) Ví duï : Giaûi caùc phöông trình : a cos 3x + cos x − cos x − = b cos x − cos x − cos x + = Phương trình có chứa (cos x ± sin x ) và sinx.cosx + sin3 x + cos3 x = sin 2x Ví duï : Giaûi phöông trình : • BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Giải các phương trình lượng giác sau 12 (13) Chuyên đề LTĐH 1 æ 7p ö + = sin ç - x÷ ÷ ÷ ç æ 3p ö è4 ø 1) sin x ÷ sin ç x ÷ ç è 2ø 2) sin x ( + cos 2x ) + sin 2x = + cos x 3) sin x - cos x = sin x cos2 x - Thầy toán: 0968 64 65 97 sin x cos x Bài 2: Giải các phương trình lượng giác sau 2 1) ( + sin x ) cos x + ( + cos x ) sin x = + s in2x 2) sin 2x + sin 7x - = sin x xö æ x ÷ ç 3) çsin + cos ÷ + cos x = è 2ø Bài 3: Giải các phương trình lượng giác sau ( cos6 x + sin x ) - sin x cos x 1) =0 - sin x xö æ + t an x t an ÷ 2) cot x + sin x ç ç ÷= è 2ø 3) cos 3x + cos 2x - cos x - = Bài 4: Giải các phương trình lượng giác sau 1) cos2 3x cos 2x - cos2 x = 2) + sin x + cos x + s in2x+ cos2x= pö æ pö æ 4 3x - ÷ cos ç x- ÷ =0 3) cos x + sin x + sin ç ç ç ÷ ÷ è 4ø è 4ø Bài 5: Giải các phương trình lượng giác sau cos 2x + sin x - s in2x 1) cot x - = + t an x 2 2) sin x - = ( - sin x ) t an x 3) ( 2cosx - 1) ( sin x + cos x ) = s in2x - sin x Hết 13 (14)