Các tính chất quan trọng của bất đẳng thức: 4.1: Nếu cộng hoặc trừ hai vế của một bất đẳng thức với cùng một số thì ta được một bất đẳng thức mới cùng chiều với bất đẳng thức đã cho.. [r]
(1)Các dạng toán giá trị tuyệt đối Chuyên đề 2: Các dạng toán giá trị tuyệt đối ( Dµnh cho líp – ) A- PhÇn kiÕn thøc: I- Các kiến thức giá trị tuyệt đối: Giá trị tuyệt đối số không âm là chính nó, giá trị tuyệt đối số âm là số đối nó * TQ: NÕu a a a NÕu a a a Giá trị tuyệt đối số không âm * TQ: a 0 Hai số đối thì có giá trị tuyệt đối nhau, và ngược lại hai số có giá trị tuyệt đối thì chúng là hai số đối * TQ: a b a b a b Mọi số lớn đối giá trị tuyệt đối nó và đồng thời nhỏ giá trị tuyệt đối nó * TQ: a a a vµ a a a 0; a a a Trong hai số âm số nào nhỏ thì có giá trị tuyệt đối lớn * TQ: NÕu a b a b Trong hai số dương soa nào nhỏ thì có giá trị tuyệt đối nhỏ * TQ: NÕu a b a b Giá trị tuyệt đối tích tích các giá trị tuyệt đối * TQ: a.b a b Giá trị tuyệt đối thương thương hai giá trị tuyệt đối * TQ: a a b b Bình phương giá trị tuyệt đối số bình phương số đó a a2 * TQ: 10 Tổng hai giá trị tuyệt đối hai số luôn lớn giá trị tuyệt đối cña hai sè, dÊu b»ng x¶y vµ chØ hai sè cïng dÊu * TQ: a b a b vµ a b a b a.b II – Một số kiến thức bất đẳng thức: §Þnh nghÜa: Cho hai sè a vµ b hÖ thøc quan hÖ a > b, a < b, a b, a b ®îc gọi là các bất đẳng thức Trong đó: a gọi là vế trái bất đẳng thức b gọi là vế phải bất đẳng thức Lop7.net (2) Các dạng toán giá trị tuyệt đối Dấu >, <, , gọi là chiều bất đẳng thức Tính chất mở đầu bất đẳng thức: a b ab a b ab a b ab a b ab Hai bất đẳng thức cùng chiều, ngược chiều a) Hai bất đẳng thức: a > b và c > d gọi là hai bất đẳng thức cùng chiều b) hai bất đẳng thức a > b và c < d gọi là hai bất đẳng thức ngược chiều Các tính chất quan trọng bất đẳng thức: 4.1: Nếu cộng ( trừ ) hai vế bất đẳng thức với cùng số thì ta bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho * TQ: a b ac bc a b ac bc ( Chó ý: TÝnh chÊt trªn cßn ®îc gäi lµ tÝnh chÊt liªn hÖ gi÷a thø tù vµ phÐp céng, phÐp trõ ) 4.2: Quy tắc chuyển vế bất đẳng thức: Nếu chuyển số hạng từ vế này sang vế bất đẳng thức ta phải đổi dấu số hạng đó * TQ: ac b a bc 4.3: Nếu nhân ( chia) hai vế bất đẳng thức với cùng số dương thì ta bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức đã cho a b m.a m.b * TQ: m > ta cã: a b ab m m 4.4: Nếu nhân ( chia ) hai vế bất đẳng thức với cùng số âm thì ta bất đẳng thức ngược chiều với bất đẳng thức đã cho * TQ: n < ta cã: a b n.a n.b vµ a b a b n n 4.5: Nếu cộng vế với vế hai hay nhiều bất đẳng thức cùng chiều thì ta bất đẳng thức cùng chiều với các bất đẳng thức đã cho * TQ: a b ac bd c d ( Chú ý: Không trừ vế với vế hai bất đẳng thức cùng chiều ) VÝ dô: 3 lµ sai 1 4.6: Nếu trừ vế với vế bất đẳng thức thứ với bất đẳng thức thứ hai ngược chiều với nó thì ta bất đẳng thức cùng chiều với bất đẳng thức thứ nhÊt Lop7.net (3) Các dạng toán giá trị tuyệt đối a b ac bd c d * TQ: ( Chú ý: Không cộng vế với vế hai bất đẳng thức ngược chiều ) 53 (8) lµ sai 7 VÝ dô: 4.7: Một số tính chất biến đổi các bất đẳng thức mà hai vế dương a) Cho a, b, c, d là các số dương ta có: a b a.c b.d c d b) Cho a, b là các số dương ta có: a b a n b n , (n N * ) c) Cho a, b cïng dÊu, ta cã: ab 1 a b B C¸c d¹ng to¸n : I Tìm giá trị x thoả mãn đẳng thức có chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: A(x) k ( Trong đó A(x) là biểu thức chứa x, k là số cho trước ) * C¸ch gi¶i: - Nếu k < thì không có giá trị nào x thoả mãn đẳng thức( Vì giá trị tuyệt đối số không âm ) - NÕu k = th× ta cã A( x) A( x) A( x) k A( x) k - NÕu k > th× ta cã: A( x) k Bµi 1.1: T×m x, biÕt: a) x b) 2x 4 c) 1 x d) 2x Bµi 1.2: T×m x, biÕt: a) 2 x b) 7,5 x 4,5 c) x 3,75 2,15 15 Bµi 1.3: T×m x, biÕt: a) 3x b) x 1 c) x 3,5 d) x Bµi 1.4: T×m x, biÕt: 5% 4 5 4,5 x a) x b) 5 x 4 Lop7.net c) x 4 d) 1 2 (4) Các dạng toán giá trị tuyệt đối Bµi 1.5: T×m x, biÕt: 2 21 x 3: a) 6,5 : x b) 11 : 4x c) 15 2,5 : x 4 d) = = = = = = = *&*&* = = = = = = = Dạng 2: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * C¸ch gi¶i: a b A( x) B( x) ta cã: A( x) B( x) a b A( x) B( x) VËn dông tÝnh chÊt: a b Bµi 2.1: T×m x, biÕt: a) x x b) x 3x c) 3x x d) x 5x Bµi 2.2: T×m x, biÕt: x x b) 2 x x5 a) x x c) x x d) 3 Dạng 3: A(x) B(x) ( Trong đó A(x) và B(x) là hai biểu thức chứa x ) * C¸ch gi¶i 1: Ta thÊy nÕu B(x) < th× kh«ng cã gi¸ trÞ nµo cña x tho¶ m·n v× gi¸ trị tuyệt đối số không âm Do ta giải sau: A( x) B( x) (1) §iÒu kiÖn: B(x) (*) A( x) B( x) (1) Trë thµnh A( x) B( x) ( §èi chiÕu gi¸ tri x t×m ®îc víi ®iÒu A( x) B( x) kiÖn ( * ) * Cách giải 2: Chia khoảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: NÕu a a a NÕu a a a Ta gi¶i nh sau: A( x) B( x) (1) NÕu A(x) th× (1) trë thµnh: A(x) = B(x) ( §èi chiÕu gi¸ trÞ x t×m ®îc víi ®iÒu kiÖn ) NÕu A (x ) < th× (1) trë thµnh: - A(x) = B(x) ( §èi chiÕu gi¸ trÞ x t×m ®îc víi ®iÒu kiÖn ) Bµi 3.1: T×m x, biÕt: a) x 2x b) x 3x c) x x 12 Lop7.net d) x x (5) Các dạng toán giá trị tuyệt đối Bµi 3.2: T×m x, biÕt: a) x x b) x 3x c) x x d) x x 21 Bµi 3.3: T×m x, biÕt: a) x 4 x b) 3x x c) x 15 3x d) x x Bµi 3.4: T×m x, biÕt: a) x x b) 3x x c) 3x x d) x x Bµi 3.5: T×m x, biÕt: a) x x b) x x c) 3x 3x d) x x Dạng 4: đẳng thức chứa nhiều dấu giá trị tuyệt đối: * Cách giải: Lập bảng xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối: A( x) B( x) C ( x) m x A(x) ( §iÒn gi¸ trÞ cña x A(x) = 0, B(x) = 0, C(x) = thiÒu thø tù t¨ng dÇn tõ tr¸i sang ph¶i ) KÕt qu¶ bá dÊu gi¸ trÞ tuyệt đối B(x) C (x) Căn bảng trên xét khoảng giải bài toán ( Đối chiếu điều kiện tương ứng ) Bµi 4.1: T×m x, biÕt: a) 3x x x x 12 5 b) x x x x 5 c) x x 1,2 Bµi 4.2: T×m x, biÕt: a) x x d) x x x b) 3x x d) x x x c) x x e) x x x f) x x 11 Bµi 4.3: T×m x, biÕt: a) x x x b) x x x x 12 c) x x x d) x x x e) x x x f) x x x x Bµi 4.4: T×m x, biÕt: a) x x c) x x b) x x d) x 3x x Lop7.net (6) Các dạng toán giá trị tuyệt đối Dạng 5: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối hàng loạt: A(x) B(x) C(x) D(x) (1) §iÒu kiÖn: D(x) kÐo theo A( x) 0; B( x) 0; C ( x) Do vËy (1) trë thµnh: A(x) + B(x) + C(x) = D(x) Bµi 5.1: T×m x, biÕt: a) x x x x c) x x x b) x x x x x 1 4x d) x 1,1 x 1,2 x 1,3 x 1,4 x Bµi 5.2: T×m x, biÕt: 100 x x x 101x 101 101 101 101 1 1 x x x 100 x b) x 1.2 2.3 3.4 99.100 1 1 x x x 50 x c) x 1.3 3.5 5.7 97.99 1 1 x x x 101x d) x 1.5 5.9 9.13 397.401 a) x D¹ng 6: D¹ng hçn hîp: Bµi 6.1: T×m x, biÕt: a) x b) x x x2 2 c) x x x Bµi 6.2: T×m x, biÕt: a) x 1 b) x 1 c) x x x Bµi 6.3: T×m x, biÕt: a) x x x Bµi 6.4: T×m x, biÕt: a) x x x 1 3 b) x x x c) x x b) x c) 3x 2 4 3 2x 4 D¹ng 7: A B Vận dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối dẫn đến phương pháp bất đẳng thøc * Nhận xét: Tổng các số không âm là số không âm và tổng đó và các số hạng tổng đồng thời * C¸ch gi¶i chung: A B Lop7.net (7) Các dạng toán giá trị tuyệt đối A 0 A B 0 B 0 A B2: Khẳng định: A B B B1: đánh giá: Bµi 7.1: T×m x, y tho¶ m·n: a) 3x y b) x y y 0 25 c) x y Bµi 7.2: T×m x, y tho¶ m·n: y 3 x 2007 y 2008 a) x b) 11 23 x 1,5 y 0 17 13 c) * Chú ý1: Bài toán có thể cho dạng A B kết không thay đổi * C¸ch gi¶i: A B (1) A 0 A B 0 B 0 (2) A B Tõ (1) vµ (2) A B Bµi 7.3: T×m x, y tho¶ m·n: a) x y b) x y y c) x y y Bµi 7.4: T×m x, y tho¶ m·n: a) 12 x 11y b) 3x y y c) x y xy 10 * Chú ý 2: Do tính chất không âm giá trị tuyệt đối tương tự tính chất kh«ng ©m cña luü thõa bËc ch½n nªn cã thÓ kÕt hîp hai kiÕn thøc ta còng cã c¸c bài tương tự Bài 7.5: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: 2007 2008 a) x y y b) x y y4 0 c) x y 2006 2007 y d) Bµi 7.6: T×m x, y tho¶ m·n : 2 a) x 1 y 3 b) 2x 54 y c) 3x y 2004 4y 0 x y 2007 y 3 2008 0 d) Bµi 7.7: T×m x, y tho¶ m·n: Lop7.net 1 x 3y 1 y 2 2000 0 (8) Các dạng toán giá trị tuyệt đối a) x 2007 y 2008 c) 13 1 x 24 2 2006 b) 2007 y 0 2008 25 x y 10 y 0 d) 2007 x y 2008 2008 y 2007 D¹ng 8: A B A B * C¸ch gi¶i: Sö dông tÝnh chÊt: a b a b Từ đó ta có: a b a b a.b Bµi 8.1: T×m x, biÕt: a) x x b) x x c) 3x 3x d) x x 11 e) x x 3x f) x x x Bµi 8.2: T×m x, biÕt: a) x x d) x x 3x b) x x e) x 3x x c) 3x x 13 f) x x II – Tìm cặp giá trị ( x; y ) nguyên thoả mãn đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: D¹ng 1: A B m víi m * C¸ch gi¶i: A B * NÕu m = th× ta cã A B * NÕu m > ta gi¶i nh sau: A B m (1) Do A nên từ (1) ta có: B m từ đó tìm giá trị B và A tương ứng Bµi 1.1: T×m cÆp sè nguyªn ( x, y) tho¶ m·n: a) x 2007 x 2008 b) x y y c) x y 2 y Bµi 1.2: T×m cÆp sè nguyªn ( x, y) tho¶ m·n: a) x y y b) x y y 34 c) x y y Bµi 1.3: T×m cÆp sè nguyªn (x, y ) tho¶ m·n: a) x y b) x y c) 3x y d) x y Bµi 1.4: T×m cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) x y b) x y 12 c) 3x y 10 d) x y 21 Bµi 1.5: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: Lop7.net (9) Các dạng toán giá trị tuyệt đối a) y x b) y x c) y x d) y 12 x 2 D¹ng 2: A B m víi m > * C¸ch gi¶i: §¸nh gi¸ A B m (1) A 0 A B (2) B 0 Từ (1) và (2) A B m từ đó giải bài toán A B k dạng với 0k m Bµi 2.1: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) x y b) x y c) x y d) 3x y Bµi 2.2: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) x y b) 2x y c) x y 1 d) 2x y Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức: a b a b xét khoảng giá trị ẩn số Bµi 3.1: T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n: a) x x b) x x c) x x d) x x Bài 3.2: Tìm các cặp số nguyên ( x, y) thoả mãn đồng thời các điều kiện sau a) x + y = vµ x y b) x +y = vµ x y x c) x –y = vµ x y d) x – 2y = vµ x y Bài 3.3: Tìm các cặp số nguyên ( x, y ) thoả mãn đồng thời: a) x + y = vµ x y b) x – y = vµ x y c) x – y = vµ x y d) 2x + y = vµ x y Dạng 4: Kết hợp tính chất không âm giá trị tuyệt đối và dấu mét tÝch: * C¸ch gi¶i : A( x).B( x) A( y ) §¸nh gi¸: A( y ) A( x).B( x) n x m t×m ®îc gi¸ trÞ cña x Bµi 4.1: T×m c¸c sè nguyªn x tho¶ m·n: a) x 2x 3 b) 2 x 12 x 5 3x 15 x c) 3 x x 2 d) Bµi 4.2: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) 2 x x 1 y b) x 31 x y c) x 25 x y Bµi 4.3: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: Lop7.net (10) Các dạng toán giá trị tuyệt đối a) x 13 x y b) x 25 x y c) x 3x 5 y Dạng 5: Sử dụng phương pháp đối lập hai vế đẳng thức: * Cách giải: Tìm x, y thoả mãn đẳng thức: A = B §¸nh gi¸: A m (1) §¸nh gi¸: B m (2) A m B m Tõ (1) vµ (2) ta cã: A B Bµi 5.1: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) x x y 22 c) y 10 2 x 6 2 b) x x 12 y 1 d) x x y3 3 Bµi 5.2: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) x x c) 3x 3x 2 y 5 12 y 3 2 b) x x 16 y2 y2 d) x y 10 y4 2 Bµi 5.3: T×m c¸c cÆp sè nguyªn ( x, y ) tho¶ m·n: a) x y 22 c) x 2007 14 y 1 y b) x 22 y 2008 20 3y2 5 d) x y 30 3y5 6 ===================================================== III – rút gọn biểu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Cách giải chung: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối thu gọn: Bµi 1: Rót gän biÓu thøc sau víi 3,5 x 4,1 a) A x 3,5 4,1 x b) B x 3,5 x 4,1 Bµi 2: Rót gän biÓu thøc sau x < - 1,3: a) A x 1,3 x 2,5 b) B x 1,3 x 2,5 Bµi 3: Rót gän biÓu thøc: a) A x 2,5 x 1,7 b) B x x 3 x b) B x x Bµi 4: Rót gän biÓu thøc a) A x x 5 Lop7.net c) C x x (11) Các dạng toán giá trị tuyệt đối Bµi 5: Rót gän biÓu thøc: a) A x 0,8 x 2,5 1,9 víi x < - 0,8 b) x 4,1 1 1 c) C x x víi x 5 5 B x 4,1 x d) D x x 9 víi víi x > ==============&=&=&============== IV – TÝnh gi¸ trÞ biÓu thøc: Bµi 1: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) M = a + 2ab – b víi a 1,5; b 0,75 Bµi 2: TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: a) A x xy y víi x 2,5; y c) C 3 b) N = a víi a 1,5; b 0,75 b b) B 3a 3ab b víi a ; b 0,25 5a 1 víi a ; b 0,25 d) D x x víi x b Bµi 3: TÝnh gi¸ trÞ cña c¸c biÓu thøc: a) A x 3x x víi x 2 c) C x 31 x víi x = d) D b) B x y víi x ; y 3 5x x 1 víi x 3x ====================== V – T×m gi¸ trÞ lín nhÊt – nhá nhÊt cña mét biÓu thức chứa dấu giá trị tuyệt đối: Dạng 1: Sử dụng tính chất không âm giá trị tuyệt đối: * Cách giải chủ yếu là từ tính chất không âm giá trị tuyệt đối vận dụng tính chất bất đẳng thức để đánh giá giá trị biểu thức: Bµi 1.1: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña c¸c biÓu thøc: a) A 0,5 x 3,5 D b) B 1,4 x c) C 3x 2 d) 4x 5 2x 3 x 1 e) E 5,5 x 1,5 f) F 10,2 3x 14 g) i) I 2,5 x 5,8 k) K 10 x G x y 12 h) H 5,8 2,5 x 5,8 Lop7.net (12) Các dạng toán giá trị tuyệt đối l) L x m) M x2 3 n) N Bµi 1.2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A 1,7 3,4 x b) B x 2,8 3,5 d) D 3x 8,4 14,2 e) E x y 7,5 17,5 g) G 4,9 x 2,8 k) K 3x 12 3x5 4 c) C 3,7 4,3 x f) F 2,5 x 5,8 l) L 3x h) H x i) I 1,5 1,9 x m) M 51 x Bµi 1.3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A 15 3x d) D 6 b) B 1 21 15 x 21 24 x y 2x c) C e) E 20 3x y x y 21 x 14 Bµi 1.4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A x 11 7x b) B y 13 2y c) C 15 x 32 x 1 Bµi 1.5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A 8 x 24 b) B 14 y 35 c) C 15 28 12 x y x 35 Bµi 1.6: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A 21 x 33 4x b) B y 14 y 14 c) C 15 x 68 x 12 Dạng 2: Xét điều kiện bỏ dấu giá trị tuyệt đối xác định khoảng giá trị biÓu thøc: Bµi 2.1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A x x b) B x x d) D x x e) E x x Bµi 2.2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A x x b) B x 3x c) C 3x 3x f) F x x c) C x 4x Bµi 2.3: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A x x b) B x x c) C 3x 3x Bµi 2.4: T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc: a) A 2 x x b) B 3 x 3x c) C 5 x x Bµi 2.5: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: Lop7.net (13) Các dạng toán giá trị tuyệt đối a) A x x b) B x x c) C x x Dạng 3: Sử dụng bất đẳng thức a b a b Bµi 3.1: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A x x b) B x x c) C x 3x Bµi 3.2: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A x x b) B 3x 3x c) C x x 12 Bµi 3.3: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: a) A x x x b) B x 3x x c) C x x x d) D x x x Bµi 3.4: Cho x + y = t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A x 1 y Bµi 3.5: Cho x – y = 3, t×m gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B x y 1 Bµi 3.6: Cho x – y = t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: C 2x y Bµi 3.7: Cho 2x+y = t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: D 2x y Lop7.net (14)