Chuyên đề 3 - Vận dụng tính chất phép toán để tìm x, y

[r]

Chuyên đề 3: Vận dụng tính chất phép tốn để tìm x, y

1. Kiến thức vận dụng :

- Tính chất phép toán cộng, nhân số thực - Quy tắc mở dấu ngoặc, quy tắc chuyển vế

- Tính chất giá trị tuyệt đối : A 0 với mọi A ; ,

,

A A A

A A

 

   

- Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối :

A  B  A B dấu ‘=’ xẩy AB 0; A B  A  B dấu ‘= ‘ xẩy A,B >0 A m A m (m 0)

A m

 

    

 ; ( )

A m

A m hay m A m

A m

 

      

 với m > - Tính chất lũy thừa số thực : A2n  với A ; - A2n 0 với

mọi A

Am = An m = n; An = Bn  A = B (nếu n lẻ ) A =  B ( n chẵn) 0< A < B  An < Bn ;

2. Bài tập vận dụng

Dạng 1: Các tốn Bài 1: Tìm x biết

a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 b)

2011 2010 2009 2008

x x x x

  

HD : a) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013

2011.2012 2012.2013

x

  2.2013

2011

x

 

b) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ

2011 2010 2009 2008

x  x  x  x

( 2012) 2011 ( 2012) 2010 ( 2012) 2009 ( 2012) 2008

2011 2010 2009 2008

x  x  x  x 

   

2012 2012 2012 2012 2011 2010 2009 2008

1 1

( 2012)( )

2011 2010 2009 2008

1 1

2 : ( ) 2012

2011 2010 2009 2008

x x x x

x x

   

     

      

      

Bài Tìm x nguyên biết

a) 1 1 49

1.33.55.7 (2x1)(2x1)99

b) 1- + 32 – 33 + ….+ (-3)x =

1006

9

4 

Dạng : Tìm x có chứa giá trị tuyệt đối

 Dạng : x a  x b x a    x b x c

Khi giải cần tìm giá trị x để GTTĐ không, so sánh giá trị để chia khoảng giá trị x ( so sánh –a –b)

Bài : Tìm x biết :

a) x2011 x 2012 b) x2010  x 2011 2012

HD : a) x2011 x 2012 (1) VT = x2011  0, x nên VP = x – 2012   0 x 2012(*)

Từ (1) 2011 2012 2011 2012( ô )

2011 2012 (2011 2012) :

x x v ly

x x x

   

 

 

    

 

Kết hợp (*)  x = 4023:2 b) x2010  x 20112012 (1)

Nếu x  2010 từ (1) suy : 2010 – x + 2011 – x = 2012 x = 2009 :2 (lấy) Nếu 2010 < x < 2011 từ (1) suy : x – 2010 + 2011 – x = 2012 hay = 2012 (loại)

Nếu x 2011 từ (1) suy : x – 2010 + x – 2011 = 2012  x = 6033:2(lấy) Vậy giá trị x : 2009 :2 6033:2

Một số tương tự: Bài : a) Tìm x biết x1 x3 4

b) Tìm x biết: x2 6x2 x2 4 c) Tìm x biết: 2x324x 5

Bài : a)Tìm giá trị x để: x3 x1 3x b) Tìm x biết: 2x  3 x 2x

Bài : tìm x biết :

a) x 1 4 b) x20112012

Dạng : Sử dụng BĐT giá trị tuyệt đối

Bài : a) Tìm x ngyên biết : x       1 x x x

b) Tìm x biết : x2010  x 2012  x 2014 2

HD : a) ta có x               1 x x x x x x x 8(1) Mà x       1 x x x 8 suy ( 1) xẩy dấu “=”

Hay

3

x

x x

  

     

 x nguyên nên x {3;4;5}

b) ta có x2010 x 2012 x 2014  x 2010 2014   x x 2012 2(*)

Mà x2010 x 2012  x 2014 2 nên (*) xẩy dấu “=”

Suy ra: 2012 2012

2010 2014

x

x x

 



    



Các tương tự

Bài : Tìm x nguyên biết : x   1 x  x 100 2500

Bài : Tìm x biết x   1 x  x 100 605x

Bài : Tìm x, y thoả mãn: x  1 x    2 y x  = 3

Bài : Tìm x, y biết : x2006y  x 2012 0

HD : ta có x2006y 0với x,y x2012 0 với x

Suy : x2006y  x 2012 0 với x,y mà x2006y  x 2012 0

 2006 2012 0 2012,

2012

x y

x y x x y

x

  

        

 

Bài : Tìm số nguyên x thoả mãn

2004   x x 10 x 101 x 990  x 1000

Dạng chứa lũy thừa số hữu tỉ Bài 1: Tìm số tự nhiên x, biết :

a) 5x + 5x+2 = 650 b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162

HD : a) 5x + 5x+2 = 650 5x ( 1+ 52) = 650  5x = 25 x =

b) 3x-1 + 5.3x-1 = 162 3x -1(1 + 5) = 162  3x – 1 = 27  x =

Bài : Tìm số tự nhiên x, y , biết:

a) 2x + 3y = 12x b) 10x : 5y = 20y HD : a) 2x + 1 3y = 12x 

2

1

2

2

2

x y

x y x

x x

     

Nhận thấy : ( 2, 3) =  x – = y-x =  x = y = b) 10x : 5y = 20y  10x = 102y  x = 2y

Bài : Tìm m , n nguyên dương thỏa mãn :

a) 2m + 2n = 2m+n b) 2m – 2n = 256

HD: a) 2m + 2n = 2m+n  2m + n – 2m – 2n =  2m ( 2n – 1) –( 2n – 1) =

 (2m -1)(2n – 1) =  1

1 1

n

m m n

  

   



  

b) 2m – 2n = 256  2n ( 2m – n - 1) = 28

Dễ thấy m n, ta xét trường hợp : + Nếu m – n =  n = , m =

+ Nếu m – n  2m – n – số lẻ lớn 1, VT chứa TSNT khác 2, mà VT chứa TSNT suy TH không xẩy : n = , m =

Bài : Tìm x , biết : x7x1x7x110 HD :

   

   

1 11

1 10

7

7

x x

x

x x

x x

 



   

 

     

  1  10

8

1

10

7

1 ( 7)

7 ( 7)

7

10 x

x x

x

x x

x x

x

x  x

 

 

 

    



 

  

   

  

 

      

       



Bài : Tìm x, y biết : 2012

2011 ( 1)

x y  y 

HD : ta có x2011y 0 với x,y (y – 1)2012  với y

Suy : 2012

2011 ( 1)

x y  y  với x,y Mà 2012

2011 ( 1)

x y  y 

 2011 2011, 1

x y

x y

y

 



  

   

Các tập tương tự : Bài : Tìm x, y biết :

a) 2012

5 (3 4)

x  y  b) 2

(2x1)  2y  x 12 5.2