MỞ ĐÀU 1 Lý do chọn đề tài
Giáo dục Tiểu học giữ một vị trí rất quan trọng trong hệ thống giáo dục của mỗi quốc gia Nó đặt nên tảng vững chắc cho toàn bộ hệ thống giáo dục các bậc học sau này Quyết định số 2957/QĐ - ĐT của Bộ trưởng Bộ Giáo đục và Đào tạo đã chỉ rõ vị trí, tính chất của Giáo dục Tiểu học: “Tiểu học là cấp học nền tảng, đặt cơ sở ban đầu cho việc hình thành, phát triển toàn điện nhân cách con người, đặt nền tảng
vững chắc cho Giáo dục phổ thông và cho toàn bộ hệ thống giáo dục quốc đân” Do
đó, ở Tiểu học, các em phải được tạo điều kiện phát triển toàn diện tối đa
Ở tiểu học, mơn học nào cũng có vị trí va vai tro quan trọng đối với việc hình
thành và phát triển nhân cách của con người Việt Nam Trong số các mơn học đó thì mơn Tốn giữ một vị trí đặc biệt quan trọng Các kiến thức, kỹ năng của môn Tốn ở Tiểu học có nhiều ứng dụng trong đời sống; chúng rất cần thiết cho người lao
động, rất cần thiết để học các môn học khác ở tiểu học và học tập tiếp môn Toán ở
các bậc học tiếp theo Mơn Tốn giúp học sinh nhận biết những mối quan hệ về số lượng và hình dạng khơng gian của thế giới hiện thực Nhờ đó mà học sinh có phương pháp nhận thức một số mặt của thế giới xung quanh và biết cách hoạt động có hiệu quả trong đời sống Nó góp phần rất quan trọng trong việc rèn luyện phương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp giải quyết vấn đề; nó góp phần phát triển trí thơng minh, cách suy nghĩ độc lập, linh hoạt, sáng tạo; nó đóng góp
vào việc hình thành các phẩm chất cần thiết và quan trọng của người lao động như: cần cù, cần thận, có ý chí vượt khó khăn, làm việc có kế hoạch, có nề nếp và tác
Trang 2nhỏ, hay chỉ cần dựa vào nó để đưa ra những câu trả lời nhanh nhất Như vậy, vị trí của nội dung các phép tính và tính chất của nó có phần đóng góp rất quan trọng
trong quá trình phát triển tư duy và nhân cách của học sinh, giúp học sinh có được
sự nhanh nhạy trong quá trình học tập
Như vậy, mơn tốn và các phép tính cũng như tính chất của các phép tính là
một nội dung học cần thiết và quan trọng Do đó, một nhiệm vụ trọng tâm của các
trường tiểu học hiện nay là việc phát hiện và bồi dưỡng những học sinh có năng
khiếu tốn học nhất là ở khối lớp 4, 5 Việc bồi dưỡng học sinh giỏi toán gặp khá nhiều khó khăn do tốn học là mơn học địi hỏi học sinh phải có óc sáng tạo, sự suy luận cao, trong khi tư duy của học sinh tiêu học là tư duy cụ thể và chưa có khả năng
vận dụng linh hoạt các kiến thức vào trong các tình huống, các dạng bài tập khác nhau, trong đó có việc sử dụng, vận dụng tính chất các phép tính Chính vì vậy, cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi thông qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính ở lớp 4, 5 cần được quan tâm và có hình thức tổ chức dạy học hấp dẫn để việc bồi dưỡng đạt hiệu quả cao Với mong muốn góp một phần nhỏ vào việc nâng cao chất lượng và hiệu quả của hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi toán cho học sinh lớp 4, 5 và trau đồi kiến thức cho bản thân sau khi ra trường, tôi đã quyết định lựa chọn nghiên cứu đề tài: “Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi tốn lóp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính ”
2 Mục đích nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu của đề tài là tìm hiểu nội dung tinh chất các phép tính và các dạng bài tập tốn vận dụng tính chất các phép tính để giải Qua đó, góp phần nâng cao chất lượng và hiệu quả của việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán lớp 4, 5 qua các chuyên đề
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
Trang 3- Nghiên cứu nội dung về tính chất các phép tính và việc vận dụng tính chất các phép tính trong giải tốn
- Nghiên cứu và hướng dẫn học sinh phương pháp giải các dạng tốn có liên quan đến việc vận dụng tính chất các phép tính trong giải toán
- Đề xuất một số đạng bài tập có vận dụng tính chất các phép tính nhằm bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5
4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu:
Tính chất các phép toán và các dạng bài tập vận dụng tính chất các phép tốn b Phạm vỉ nghiên cứu:
Các bài toán nội dung số học có vận dụng tính chất các phép tính ở lớp 4, 5 5 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp điều tra
- Phương pháp quan sát
- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm
6 Cấu trúc khố luận
Ngồi phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, phần nội dung của khoá luận có cấu trúc như sau:
Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn của việc bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở
tiểu học
1.1 Cơ sở lý luận
1.2 Cơ sở thực tiễn
Chương 2: Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính
2.1 Các tính chất cơ bản của phép tính
Trang 4NỘI DUNG CHUONG 1
CO SO LY LUAN VA THUC TIEN
1.1 Cơ sở lý luận
1.1.1 Năng lực học toán của học sinh Tì iéu hoc
Nói đến năng lực của con người có khá nhiều quan niệm khác nhau Có người quan niệm: năng lực như một tổng hợp các phâm chat cá tính của con người, đáp ứng được những yêu cầu của hoạt động và bảo đảm được những thành tựu cao trong hoạt động ấy
Có người lại cho rằng cách hiểu năng lực như trên là quá rộng Theo họ: “Tổng hợp các phẩm chất cá tính” đồng nhất với “tính sẵn sàng bắt tay vào hoạt động” Cách hiểu này không phải chỉ có một năng lực mà có nhiều năng lực khác nhau Chúng là những yếu tô thành phần của năng lực hiểu theo nghĩa rộng của quan
niệm thứ nhất
Vậy, những năng lực toán học được hiểu là những đặc điểm tâm lý cá nhân (trước hết là những đặc điểm của hoạt động trí tuệ) đáp ứng những nhu cầu của hoạt động học tập toán và trong những điều kiện vững chắc như nhau, nó là nguyên nhân của sự thành công trong việc nắm vững tương đối nhanh, rõ ràng, sâu sắc những kiến thức, kỹ năng, kỹ xảo
Để vạch ra cầu trúc các năng lực toán học của học sinh đã có những cơng trình nghiên cứu tâm lý được tiến hành công phu, đặc biệt là cơng trình của V.A.Kowowrrutexxki Ông đã tiễn hành phân tích q trình giải bài tập của học sinh
thực nghiệm có trình độ năng lực toán học khác nhau Theo ông, ở lứa tuổi HS thì
cấu trúc của các năng lực toán học bao gồm những thành phần sau:
Trang 5+ Nang luc nắm được cấu trúc hình thức của bải toán * Về mặt chế biến các thơng tin tốn học, đó là:
+ Năng lực tư duy logic trong phạm vi các quan hệ số lượng và các quan hệ không gian Các ký hiệu dấu và ký hiệu số, năng lực suy nghĩ với các ký hiệu toán
học
+ Năng lực khái quát nhanh chóng và rộng rãi các đối tượng quan hệ, các phép
toán của toán học
+ Năng lực rút ngắn quá trình suy luận tốn học và hệ thống các phép toán tương ứng, năng lực suy nghĩ với cấu trúc được rút ngắn
+ Tính mềm dẻo của các quá trình tư đuy trong hoạt động toán học
+ Khuynh hướng đạt tới sự rõ ràng, đơn giản, tính tiết kiệm và tính hợp lý của lời giải
+ Năng lực thay đổi nhanh chóng và dễ dàng, hướng suy nghĩ dạng tư duy thuận chuyền sang tư duy ngược
* VỀ mặt lưu trữ các thơng tin tốn học đó là trí nhớ toán học
* Về thành phân tổng hợp chung thì đó là khuynh hướng tốn học trí tuệ Các thành phần trên có liên quan chặt chẽ với nhau, có ảnh hưởng lẫn nhau
tạo thành một hệ thống duy nhất, một cấu trúc hoàn chỉnh, một tư chất của toán học,
trí tuệ (hay thường gọi là năng khiếu toán học)
1.1.2 Phát triển những năng lực toán học ở học sinh
Đây là một nhiệm vụ đặc biệt quan trọng của thầy giáo vì hai lý do sau:
- Thứ nhất: Tốn học có một vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học, kỹ thuật và sự nghiệp cách mạng rất cần có một đội ngũ những người có năng lực tốn học
- Thứ hai: Nghị quyết Đại hội Đảng Cộng sản Việt Nam lần thứ IV đã ghi rõ:
Trang 6trường, năng khiếu của cá nhân Nhà trường là nơi cung cấp cho HS những cơ sở
đầu tiên của tốn học” Khơng ai khác, chính thầy (cơ) giáo là những người hoặc chăm sóc, vun xới cho những mam mống năng khiếu toán học ở HS, hoặc làm thui
chột chúng
Rất nhiều nhà toán học có tên tuổi khi nói về việc học toán của mình trong
những năm tháng ngồi trên ghế nhà trường, không quên nói tới những ánh hưởng sâu sắc của thầy cô giáo, của các cuốn sách hay các tắm gương của một chiến sĩ trên mặt
trận khoa học tác động đến lịng ham thích mơn tốn, đến việc hình thành những
phẩm chất trí tuệ nào đó trong mình Cũng như nhiều nước xã hội chú nghĩa khác, chúng ta đã đưa công tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán vào nề nếp Ở nước ta, từ năm học 1964 - 1965, chúng ta đã tổ chức những lớp chuyên Toán Hàng năm, có tuyên chọn học sinh giỏi và trong những năm gần đây đã cử những đại biểu HS ưu tú nhất đi thi tài ở những kì thi quốc tế và đã đạt được những giải thưởng cá nhân cũng như
đồng đội làm thế giới kinh ngạc Tuy nhiên, điều đáng tiếc hiện nay là chúng ta chưa
có những cơng trình nghiên cứu tỉ mỉ về cấu trúc của năng lực tư duy toán học của học sinh nước ta để từ đó chúng ta có thể chủ động xây dựng được nội dung và có những phương pháp dạy học tối ưu nhất nhằm phát triển và bồi đưỡng năng lực sáng
tạo toán học cho nhiều học sinh
1.1.3 Bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học
1.1.3.1 Mục đích:
Bồi dưỡng HSG nói chung, đặc biệt là bồi đưỡng học sinh giỏi tốn nói riêng
là hoạt động cần thiết trong quá trình dạy học vì hoạt động này nhằm những mục đích sau:
- Bồi dưỡng hứng thú học tập mơn tốn cho HS tiêu học - Củng cố, mở rộng kiến thức trong chương trình
- Làm cho HS thấy rõ hơn vai trị của tốn trong sản xuất
Trang 71.3.1.2 Các biểu hiện của học sinh giỏi toán
Trong cùng lứa tuôi, khi giải quyết nhiệm vụ học tập, các học sinh giỏi có một
số biểu hiện như sau:
- Có khả năng thay đổi phương thức hành động để giải quyết vấn đề phù hợp với những thay đổi các điều kiện
- Có khả năng chuyên từ trừu tượng khái quát sang cụ thể cũng như từ cụ thể đến trừu tượng
- Có khả năng xác lập sự phụ thuộc giữa các dữ kiện theo hai hướng xuôi và ngược
- Thích tìm tịi, giải tốn theo nhiều cách hoặc xem xét một vấn đề theo nhiều khía cạnh khác nhau
- Có sự quan sat tinh tế, mau phát hiện ra các chỗ nút làm cho việc giải quyết
vấn đề phát triển theo hướng hợp lý hơn, độc đáo hơn
- Có trí tưởng tượng phát triển
- Có khả năng suy luận có căn cứ rõ ràng, có óc tị mị, không muốn dừng lại ở việc làm theo mẫu có sẵn hay ở những gì cịn thắc mắc, hồi nghi Có ý thức tự kiểm
tra việc làm
Những biểu hiện trên có những mức độ rõ rệt và tế nhị khác nhau đòi hỏi GV phải chú ý theo dõi và phân tích mới nhận biết đúng, không lẫn lộn với những biểu
hiện ngẫu nhiên Nếu biết phát hiện những khả năng tiềm tàng ở HS, những biểu hiện trên thường dựa trên những biểu hiện bên ngoài dễ thấy như sự tiếp thu nhanh,
trí nhớ tốt, có thái độ học tập tự giác
1.3.1.3 Các biện pháp bồi dưỡng học sinh giỏi toán
- Củng cố vững chắc, hướng dẫn đào sâu các kiến thức đã học thông qua
những câu hỏi hướng dẫn đi sâu vào nội dung bài học, vào kiến thức trọng tâm Thơng qua đó, GV u cầu HS tự tìm các thí dụ minh họa, cụ thể hóa các tính chất chung Đặc biệt, thông qua vận dụng và thực hành, kiểm tra kiến thức đã tiếp thu các
Trang 8- Ra thêm một số bài tập khó hơn trình độ chung, đòi hỏi việc vận dụng sâu
những khái niệm đã học hoặc vận dụng những phương pháp giải một cách linh hoạt, sáng tạo hơn hoặc phương pháp tông hợp
- Yêu cầu HS giải bài tập bằng nhiều cách: phân tích, so sánh tìm ra cách giải
hay nhất, hợp lý nhất
- Tập cho HS tự lập đề toán và giải
- Sử dụng một số bài tốn có các yếu tố chứng minh, suy diễn để bồi dưỡng phương pháp chứng minh
- Giới thiệu ngoại khóa tiểu sử của một số nhà toán học xuất sắc, nhất là các
nhà toán học trẻ tuổi và một số phát minh quan trọng dé giáo dục tình cảm u thích
mơn tốn và kính trọng các nhà toán học xuất sắc
- Tổ chức một số buôi dạ hội toán học, thi đỗ toán học
- Bồi dưỡng cho các em phương pháp học tập mơn Tốn và tổ chức tự học ở gia đình trên cơ sở sách giáo khoa, sách bài tập và các tài liệu có những mục giải
tốn, tốn vui kết hợp với gia đình HS tạo điều kiện cho các em học tập
- Kết hợp việc bồi dưỡng khả năng toán học với việc học tốt môn Tiếng Việt
để phát triển khả năng ứng dụng ngôn ngữ
Những việc làm trên cần tính toán đến điều kiện thời gian để HS không học
lệch và không bị quá tải
1.3.1.4 Bi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5
- Về nội dung: chủ yếu tập trung vào đạy các nội dung kế tiếp giai đoạn lớp 1, 2, 3 với các nội dung nâng cao hơn, gắn việc dạy học toán với giải quyết các vẫn đề thiết thực và đa dạng của đời sống, không đạy học trước các nội dung sẽ đạy ở trung
học
- Về phương pháp: phát huy năng lực tự học của HS, khuyến khích HS độc
Trang 9- Về tổ chức: đa dạng hóa các hình thức tổ chức bồi đưỡng HS giỏi (chang han
như tổ chức dạy học theo nhóm, học sinh tự chọn về toán, sinh hoạt câu lạc bộ, hoạt
động ngoại khóa về toán phối hợp chặt chẽ giữa hoạt động nội khoá và ngoại
khoá, giữa bắt buộc và tự chọn
- Về tài liệu: có thể sử dụng các sách bài tập toán lớp 4, 5; luyện giải Toán 4, 5
và một số tài liệu tham khảo khác, kế thừa kinh nghiệm bồi dưỡng HS giỏi toán ở Tiểu học của Việt Nam và nước ngoài
1.2 Cơ sở thực tiễn
* Dé tìm hiểu thực trạng về công tác bồi dưỡng học sinh giỏi Toán ở lớp 4, 5 ở trường Tiểu học, trong thời gian thực tập tại trường tiêu học theo sự phân công của
trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, tơi đã có điều kiện tìm hiểu thực trạng ở ba trường tiểu học trên khu vực Thị xã Phúc Yên Đó là: Trường Tiểu học Lưu Quý An; trường Tiểu học Trưng Nhị và trường Tiểu học Hùng Vương
Đề thu thập thông tin, tôi tiến hành điều tra các đối tượng là giáo viên phụ trách các khối lớp 4, 5 đồng thời tiến hành tổng kết các kinh nghiệm bồi đưỡng học
sinh giỏi tốn Sau q trình tìm hiểu, tơi thu được các thông tin sau: - Một là về khả năng của học sinh:
+ Theo số liệu thu được qua phiếu điều tr tại ba trường Tiểu học thuộc thị xã
Phúc n thì tơi thây khả năng học toán của học sinh trường Tiểu học Lưu Quý An được các thầy cô trong trường đánh giá là tốt đạt 85% cao hơn các trường còn lại Trường Tiểu học Lưu Quý An là một trường đạt chuẩn quốc gia, chất lượng học sinh tương đối tốt và đều có học sinh đạt giải cấp thành phố và quốc gia Vì vậy, cơng tác bồi dưỡng HS giỏi được trường đặc biệt quan tâm
+ Đối với 2 trường cịn lại thì khả năng của học sinh còn chút hạn chế, lượng
học sinh có chất lượng học tốn thấp hơn so với trường Lưu Quý An
Trang 10Có khá nhiều khó khăn khi giáo viên phải bồi đưỡng HS giỏi ở nhiều lĩnh vực
môn học khác nhau Ở đây, tôi xin đưa ra những khó khăn chính, thường gặp mà
giáo viên gặp phải khi bồi dưỡng HS giỏi toán như sau:
+ Khả năng tưởng tượng, suy luận của học sinh tiểu học còn hạn chế
+ HS chưa hứng thú học tập
Riêng về nội dung tính chất các phép tính và việc vận dụng tính chất các phép tính trong giải tốn thì:
+ Nhiều HS chưa nắm chắc các dấu hiệu đặc trưng, các tính chất cơ bản của
phép tính
+ Các tính chất của phép tính thì gần như được vận dụng trong tất cả các đại
lượng số học, hình học
- Ba là những sai lầm của học sinh thường mắc phải trong quá trình làm bài về
mặt số học:
+ Sai lầm trong tư duy, suy luận + Sai lầm khi thực hiện các phép tính
+ Sai lầm khi vận dụng tổng quát các tính chất phép tính
- Bốn là quy trình bồi dưỡng HSG được các GV đưa ra như sau:
Bước ¡: Ôn tập kiến thức cần thiết rồi cho ví dụ
Bước 2: Đưa ra hệ thống các bài tập cho HS tìm lời giải và hướng dẫn làm và trình bày bài giải
Bước 3: Khai thác sâu bài toán theo các hướng: + Tìm cách giải khác
+ Tìm hiểu khả năng ứng dụng của kết quả
Trang 11- Công tác bồi dưỡng HS giỏi luôn được chú trọng trong các trường Tiểu học nhằm tạo ra những học sinh giỏi tham gia vào các kì thi HS giỏi, Trạng Nguyên nhỏ
tuổi, Thần đồng Đất Việt, Toán tuổi thơ và rất nhiều HS đã đạt giải cao
- 100% GV đều lựa chọn phương pháp bồi dưỡng đó là: kết hợp giữa việc bồi
dưỡng theo chuyên đề với các phương pháp thực hành giải toán Đây là phương pháp rất phổ biến, đễ sử dụng và đem lại kết quá cao
- Bên cạnh đó để cơng tác bồi dưỡng đạt kết quả cao thì GV cần có các biện pháp khắc phục bằng cách giải thích rõ những sai lầm của học sinh để các em nắm
được bản chất của kiến thức
Đặc biệt, riêng về nội dung tính chất các phép tính và vận dụng tính chất các
phép tính trong giải tốn, chúng ta thấy: Nội dung này đã được chú ý đưa vào trong hoạt động bồi dưỡng học sinh giỏi toán ở tiểu học qua chuyên đề “Các bài tốn có nội dung số học” Tuy nhiên, do đây chỉ là một nội dung trong rất nhiều nội dung
quan trọng của mạch kiến thức Số học, số lượng bài tập liên quan đến tính chất các phép tính chưa nhiều và phong phú nên một só GV mới chỉ hướng dẫn HS lớp 4, 5
làm một số bài, chưa có sự chú ý và quan tâm đúng mức tới nội đung này Do vậy,
GV tiểu học đặc biệt là các GV phụ trách công tác bồi đưỡng Hs giỏi toán lớp 4, 5 cần có nhận thức đúng đắn và sâu hơn về vai trò, vị trí của các tính chất cơ bản Từ
Trang 12CHƯƠNG 2
DAY HOC BOI DUONG HỌC SINH GIỎI LỚP 4, 5
QUA CHUYÊN ĐÈ VẬN DỤNG TÍNH CHÁT CÁC PHÉP TÍNH
2.1 Các tính chất cơ bán cúa phép tính
2.1.1 Nội dung dạy học hình thành số tự nhiên
Ở Tiểu học, nội dung chương trình dạy học hình thành sỐ tự nhiên bao gồm
các nội dung sau:
- Hình thành biểu tượng, khái niệm ban đầu về số tự nhiên, giới thiệu cách đọc, cách viết, phân tích cấu tạo thập phân của các số tự nhiên có nhiều chữ số
- So sánh và sắp thứ tự các số tự nhiên
- Hình thành các phép tính trên tập các số tự nhiên gồm: phép cộng, phép trừ, phép nhân và phép chia
- Tính chất các phép tính cộng, trừ, nhân, chia - Dấu hiệu chia hết
Các nội dung này được hình thành theo các vịng số và có mối liên hệ chặt chẽ với nhau, được sắp xếp xen kẽ nhau, bổ sung kiến thức cho nhau nhằm làm nồi bật
tầm quan trọng của nội dung hạt nhân “Số học” trong chương trình Ở đây, tơi xin trình bày chủ yếu về nội đung về tính chất các phép tính Trong đó, nội dung về dấu hiệu chia hết có thể được coi là một trong các tính chất của phép tính (phép chia) Vì vậy, trong đề tài này, tôi xét cả nội dung dấu hiệu chia hết trong nội dung tính chất các phép tính
2.1.2 Tính chất cơ bán của các phép tính
2.1.2.1 Cơ sở tốn học
Khi nói đến các phép tính cộng, trừ, nhân, chia và các tính chất của nó thì ta phải nói đến kiến thức toán học cơ sở của nó là lý thuyết về nhóm và nửa nhóm
Trang 13* Định nghĩa 1:
Một phép tốn hai ngơi trong tập X # $ là ánh xạ đi từ X x X —> X, ảnh của phan tir (x,y) X x X qua ax * được gọi là cái hợp thành của x và y, kí hiệu là x * y Nếu * là phép nhân thì x nhân y được viết bằng x x y hoặc xy
Ví dụ:
+ Phép cộng và phép nhân thông thường trên tập N là phép toán 2 ngôi + Phép mũ (xỲ) trong NỶ cũng là một tốn hai ngơi
+ Phép cộng thông thường hai vectơ cùng cùng gốc trong R" cũng là một phép toán hai ngôi
+ Phép nhân hai ma trận cùng cấp cũng là phép tốn hai ngơi * Định nghĩa 2:
Cho tập hợp X cùng phép toán hai ngôi nhân (X ), 1 tập hợp A nằm trong X # ở thì tập A được gọi là bộ phận ôn định của tập X dưới phép nhân nếu Vx, y e A thì xyeA
Phép toán * xác định bởi phép toán (x) han chế trên tập A Phép toán * = |A :AxA DA
(x,y) > xy
Ở đó, A là bộ phận ôn định của tập X, gọi là phép toán cảm sinh trên A bởi phép toán nhân
* Định nghĩa 3:
Cho tập X cùng phép tốn 2 ngơi
+ Ta nói phép tốn nhân “.”có tính kết hợp nếu V x, y, z e X thì (xy)z = x(yz) + Phép tốn “.”có tính giao hoán Vx, y e X thì xy = yx
NxN>N
Trang 14Cho (X, )
Ta gọi phần tử e < X là phần tử don vi phải hay trái của phép toán nhân nếu
Vx e X thì xe =x[( ex = x)], xe =ex=xWxeX
Nếu e e X vừa là đơn vị phải, trái thì e được gọi là đơn vị của phép toán nhân Chú ý :
- Nếu e e X là phần tử đơn vị của phép tốn cộng “+” thì ta thường gọi e là phần tử trung lập
- Nếu e là đơn vị của phép tốn nhân “.”thì ta cũng nói e là đơn vị trung lập của phép toán nhân “.”
Nhân xét:
- Nếu tập X vừa có đơn vị phải và đơn vị trái thì chúng phải trùng nhau - Có khơng q một phần tử đơn vị của X
Ví dụ:
+ Tập số tự nhiên (N,+) có phần tử trung lập là 0 (0+a=a+0=a,a e N)
+ Tập số tự nhiên (N,.) có phần tử đơn vị là I (1.a=a.l=a,a e N) + Tập số tự nhiên (N) với phép mũ có đơn vị phải là I
+ Phép toán nhân của ma trận cùng cấp là ma trận đơn vị b Nửa nhóm
Cho tập X cùng với phép toán (X,.) tập X được gọi là nửa nhóm nếu phép tốn
nhân có tính kết hợp Hơn nữa nếu X có đơn vị thì X được gọi là một vị nhóm; nếu
phép tốn nhân giao hốn thì X được gọi là nửa nhóm giao hoán
Vi du:
+N’ dudi phép toan “.” thi (N’,.) la mét vị nhóm giao hốn
+ (Z,+) la mot vi nhom giao hoan
c Nhom
* Định nghĩa 1:
Trang 15Nếu x đồng thời là nghịch đảo phải và trái thì x` được gọi là phần tử nghịch đảo của x ki hiéu lax =x"
+ Nhận xét : Nếu x e X vừa có nghịch đảo phải và nghịch dao trái thì chúng trùng nhau
Vậy x e X có khơng quá 1 nghịch đảo
+ Chú ý: Nếu (X,+) là vị nhóm với phần tử trung lập e thi phan tử nghịch đảo
thường gọi là đối xứng và x” thay bằng - x (trong trường hợp phép cộng) * Định nghĩa 2:
Ta gọi nhóm là I vị nhóm mà moi phần tử đều có nghịch đảo tức là X với
phép tốn “.”là một nhóm Ta có như sau :
Vx,y,Zze X (xy)z = X(yZ)
Vx e X, tồn tại x e X: xe=x
VxeX, tồn taix’ ¢ X:xx =x x=e
Ví dụ : Tập số nguyên (Z, +) là một nhóm
Vx,y,ze Xi (k+y}+z=x+(y+zZ) Vxe Z, ton tai 0 e X:x+0=0+x=x
Vxe Z=>-xe Z:x+(x)=-x + x=0 * Định nghĩa 3:
Cho X là một nhóm, nếu phép nhân trong tập X có tính giao hốn thì X được gọi là nhóm giao hoán aben
- Một số tính chất của nhóm
Nhóm có 3 tính chất tuy nhiên ở đây tôi xin đề cập tới I tính chất cơ bản sau
+ Trong một nhóm có luật giản ước tức là Vx,y,z e X mà xy = yz (yx = zx, xz = yz) thì xX=z(y=z,x=y)
Trang 162.1.2.2 Tính chất các phép tính
Trên cơ sở lí thuyết về nhóm và nửa nhóm ở trên, chúng ta phần nào thấy được một số phép tính và tính chất của các phép tính Nội dung chương trình mơn tốn ở tiêu học khi dạy học về số tự nhiên cũng đã hình thành về các phép tính này một cách tường minh giúp HS tiểu học hiểu được và cũng đã chú ý đúng mức tới việc hình thành ở HS những tính chất cơ bán của các phép tính, giúp HS có thể vận
dụng trong nhiều trường hợp giải toán khác nhau Tuy nhiên, để phù hợp với khả
năng nhận thức cũng như trình độ tư duy của HS thì ở giai đoạn đầu các tính chất này khơng được giới thiệu một cách chính thức, tường minh mà ân tàng qua các bài
tập, ví dụ cụ thể khác nhau Ở giai đoạn sau, khi tư duy trừu tượng của HS đã phát
triển hơn, HS bước đầu có khả năng khái quát thì các tính chất này mới được giới thiệu một cách chính thức (có bài dạy riêng ở lớp 4)
Có thể liệt kê ra tính chất của các phép tính như sau : a Tính chất của phép cộng
- Tính chất giao hoán trong phép cộng:
Nội dung : Trong một tông khi ta thay đổi vị trí các số hạng thì tổng của chúng vẫn giữ nguyên không thay đôi
Ki hiệu : a +b =b + a (a, b là các số tự nhiên)
Vidu:5+3=3+5=8
- Tinh chat két hop:
Nội dung : Khi cộng một tổng hai số với số thứ ba, ta có thể cộng số thứ nhất
với tổng của số thứ hai và số thứ ba
Kí hiệu: a+(b+c)=(a+b)+e
Ví dụ: I§+(Š + 12)= (18 + 12)+ 5 =35 - Số 0 trong phép cộng:
Trang 17Kí hiệu: 0+a=a+0=a
Ví dụ: 0+ 45 =45+0=45
- Phép cộng có tính giản ước được:
Nội dung: Hai tổng bằng nhau và cùng cộng thêm một lượng như nhau thì hai số hạng cịn lại bằng nhau
Kí hiệu: a+b =a+ c kéo theo b = c Ví dụ : Tìm x biết : 8 + x= 8 +21
x= 21
b Tính chất của phép tri (a>b>c,a#0)
* Tính chất 1 :
Nội dung: Khi ta cùng thêm một lượng vào số bị trừ và số trừ thì hiệu của chúng không thay đổi
Ki higu: a—b=(a+c)—(b+c)
Vi du: (8 +3)-(5 +3) =8-5=3
* Tính chất 2 :
Nội dung: Khi trừ tổng của hai số với số thứ ba ta có thê lấy số thứ nhất trừ số thứ ba rồi cộng với số thứ hai, hoặc lấy số thứ nhất cộng với hiệu của số thứ hai với
số thứ 3
Kí hiệu: (a+b)—c=(a-c)+b=a+(b-c)
Vi du : (45 — 27) + 35 =45 + (35-— 27) = (45 +35)— 27 = 53
* Tính chất 3 :
Nội dung: Khi trừ một số cho một tổng ta có thể lấy hiệu của số thứ nhất với số thứ hai trừ đi số thứ 3, hoặc lẫy hiệu của số thứ nhất với số thứ ba trừ đi số thứ 2
Kí hiệu: a— (b+e)=(a—b)—c=(a—c)—b
Trang 18Nội dung: Khi trừ một số cho một hiệu ta có thê lấy hiệu của số thứ nhất và số thứ hai cộng với số thứ ba, hoặc lấy tổng của số thứ nhất với số thứ ba trừ đi số thứ hai
Ki higu: a—(b—c) =(a—b)+c=(a+c)—b
Ví dụ : 78 — (34 — 12) = (78 — 34) + 12 = (78 + 12) —34 = 56 * Tính chất 5 : Số 0 trong phép trừ
Nội dung: Số nào trừ cho 0 cũng bằng chính số đó
Kí hiệu: a—0=a
Vi du: 567 — 0 = 567 c Tính chất của phép nhân - Tính chất giao hốn:
Nội dung: Khi đổi chỗ các thừa số trong một tích thì tích khơng thay đổi Ki hiéu: ax b=bxc
Vidu:3x5=5x3=15
- Tinh chat két hop:
Nội dung: Khi nhân một tích hai số với số thứ ba, ta có thể nhân số thứ nhất
với tích của số thứ hai và số thứ ba
Ki hiéu: a x (b x c)=(axb) xc
Vi du: 3 x (5 x 20) =@ x 5) x 20 = 300 - Số 1 trong phép nhân:
Nội dung: Số nào nhân với I cũng bằng chính số đó; Số I nhân với số nào cũng bằng chính số đó
Người ta gọi I là phần tử trung hòa hay trung lập đối với phép nhân
Ki hiéu: 1 xa=axl=a Vidu:1x5=5x1l=5
Trang 19Nội dung: số 0 nhân với số nào cũng bằng 0; số nào nhân với 0 cũng bằng 0
Kí hiệu: 0Xa=ax0=0
Ví dụ: 1234x0=0x 1234=0
- Tính giản ước được với những số khác 0:
Nội dung: Hai tích bằng nhau có một thừa số giống nhau thì hai thừa số cịn lại bằng nhau
Kí hiệu: a x b = a x c (a # 0) kéo theo b = c
Ví dụ : Tìm x biết :
15 xx =15 x 37 37
Suy ra X
- Tính chất nhân một số với một tổng :
Nội dung: Khi nhân một số với một tổng, ta có thể nhân số đó với từng sỐ
hạng của tông rồi cộng các kết quả với nhau Ki higu: ax (b+c)=axb+bxc
Vi du: 2 x (1254+ 72)=2 x 125+2 x 72 = 250 + 144
= 394
Từ tính chat giao hốn của phép nhân ta cũng có ngược lại: nhân một tổng với
một 86
- Tinh chat nhan mot SỐ với một hiệu:
Nội dung: Khi nhân một số với một hiệu, ta có thể lần lượt nhân số đó với số bị trừ và số trừ rồi trừ hai kết quả cho nhau
Kíhiệu: ax(b—c)=axb-axc Ví dụ: 5 x(20—4)=5x20—5 x4
= 100 - 20
= 80
Trang 20as<a+b
a<bthìia+c<b+c a<axbvớib+0
Nếu c #0, a < b kéo theo a x e < b x c và ngược lại - Nhân với số có tận cùng là chữ số 0
Nội dung: Khi nhân một số với số có tận cùng bằng 0 ta chỉ việc viết chữ số 0
vào hàng đơn vị của kết quá sau đó tiến hành nhân các chữ số hàng chục, hàng trăm của thừa số thứ 2
Ví dụ 1: 1324 x 20 = 26480
- Nhân nhằm số có hai chữ số với 11, 9 +) Nhân nhắm với I1
Trường hop l: Tinh 27 x 27 =?
Khi đặt tính và tinh ta thấy hai tích riêng đều bằng 27 Khi cộng hai tích riêng
ta chỉ cần cộng hai chữ số của số 27 (2 + 7 = 9) rồi viết vào giữa hai chữ số của 27 Từ đó ta có cách nhằm: 2 cộng 7 bằng 9
Viết 9 vào giữa hai chữ số 27, ta được 297 Trường hợp 2: Tính 48 x II =?
Tương tự ta có cách nham : 4 cộng 8 bằng 12
Viết 2 vào giữa hai chữ số của 48, được 428
Thêm I vào 4 của 428, được 528 +) Nhân nhâm với 9
Nội dung: Để nhân nhằm được với 9 ta đưa về phép nhân một số với một hiệu
Lưu ý ở đây hiệu là (10 — 1) Vi du: 36 x 9 = 36 x (10-1)
= 36 x 10-36 1 = 360 - 36 = 324
Trang 21Nội dung :
+) Khi nhân số tự nhiên với 10, 100, 1000, ta chỉ việc viết thêm một, hai, ba chữ số 0 vào bên phải số đó
Ví dụ: 567 x 100 = 56700
+) Khi nhân một số thập phân với 10, 100, 1000, ta chỉ việc chuyển dấu
phẩy của số đó lần lượt sang bên phải một, hai, ba, chữ sơ Ví dụ: 56,7 x 100 = 567
+) Khi nhân một số thập phân với 0,1; 0,01, 0,001 ta chỉ việc chuyên dấu
phẩy của số đó lần lượt sang bên trái một, hai, ba chữ só Ví dụ: 56,7x0,1=5,67
d Tính chất của phép chia
- Tính chat 1:
Nội dung: Khi cùng nhân thêm một lượng như nhau vào số bị chia và số chia thì thương của nó vẫn khơng thay đôi
Ki higu: a: b=(a xc): (b xc) (voi b,c #0, a= b) Vidu: 24:3 =(24x 2): (3 x 2)=8
(24 x 2): (3 x 2)=24:3=8 - Chia một tổng cho một số
Nội dung: Khi chia một tổng cho một SỐ, nếu các số hạng của tổng đều chia
hết cho số chia thì ta có thể chia từng số hạng cho số chia, rồi cộng các kết quá tìm
được với nhau
Kí hiệu: (a+b):c=a:b+b:c
Ví dụ: (35+21):7=35:7+21:7=5+3=8
- Chia một tích cho một số :
Nội dung: Khi chia một tích hai thừa số cho một số, ta có thể lay một thừa số chia cho số đó (nếu chia hết), rồi nhân kết quả với thừa số kia
Trang 22Ví dụ: (360 x 40) : 36 = (360 : 36) x 25 = 250
- Chia một số cho một tích:
Nội dung: Khi chia một số cho một tích hai thừa số, ta có thé chia số đó cho một thừa số, rồi lấy kết quả vừa tìm được chia tiếp cho thừa số kia
Ki hiéu: a: (b x c) =(a: b):c=(a:c):b
Vi du: 81 : (3 x 9) =(81:3):9=(81:9):3=3 225 : (9 x 5) = (225 :5):9 =(225:9):5=5
- Chia một số cho một thương
Nội dung: Khi chia một số cho một thương, ta có thể lay số thứ nhất chia cho số thứ hai được bao nhiêu ta đem nhân với số thứ ba
Kí hiệu: a : (b:c)=(a:b)xec
Vi du: 225 : (45 : 9) = (225 : 45) x9=45 - Số 0, 1 trong phép chia
Nội dung: Số 0 chia cho số nào khác 0 cũng bằng 0; không có phép chia cho 0; Số nào chia cho 1 cũng bằng 0
Kí hiệu :0:a=0(a z0)
a:l=a Vidu:0:1=0
45:1=45
- Dấu hiệu chia hết
* Dấu hiệu chia hết cho 2
Nội dung
- Những SỐ CÓ tận cùng bằng 0 ,2, 4, 6, 8 thì chia hết cho 2 - Những số chia hết cho 2 thì có tận cùng bằng 0,2,4,6,8 Ví dụ : Trong các số 342, 675, 786, 90 số nào chia hết cho 2? Bài làm: Những số chia hết cho 2 là số 432, 786, 90
Trang 23* Dấu hiệu chia hết cho 5
- Những số có tận cùng bằng 0 hoặc 5 thì chia hết cho 5 - Những số chia hết cho 5 thì có tận cùng bằng 0 hoặc 5
Ví dụ: Trong các SỐ sau: 565; 676; 34; 55; 780; số nào chia hết cho 5?
Bài làm : Trong các số trên số chia hết cho 5 là : 565; 55; 780 (chúng có chữ số tận cùng là 0; 5)
* Dấu hiệu chia hết cho 3
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 3 thì chia hết cho 3
- Những số chia hết cho 3 thì có tổng các chữ số của nó chia hết cho 3
Ví dụ : Trong các số sau số nào chia hết cho 3: 345, 455, 890, 336,123
Bài làm : Số chia hết cho 3 là: 345, 336, 123 (vì chúng đều có tổng các chữ số là một số chia hết cho 3)
* Dấu hiệu chia hết cho 9
- Những số có tổng các chữ số chia hết cho 9 thì chia hết cho 9
- Những số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó là một số chia hết cho 9 Ví dụ : Cho số 7467* tìm chữ số thích hợp để điền vào dấu * để được số chia hết cho 9
Bài làm : Vì số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số của nó là một số chia hết cho 9 nên ta có tổng của (7 + 4 + 6 + 7 + *) phải là một số chia hết cho 9 Chữ số cần tìm là 3 vì (7+4+6+ 7+3) = 27 chia hết cho 9
* Dấu hiệu chia hết cho 4
- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành một số chia hết cho 4 thì chia hết
cho 4
- Những số chia hết cho 4 thì 2 chữ số tận cùng của nó tạo thành một số chia hết cho 4
Trang 24344 (vì 44: 4= 11) 784 (vì 84:4= 22)
* Dầu hiệu chia hết cho 6
- Những số chia hết cho 6 là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 - Những số chia hết cho 6 thì chia hết cho 2 và cho 3
Vi du : Cho các chữ số 3, 4, 2, 0, Hãy viết tất cả các số có 3 chữ số khác nhau
chia hết cho 6?
Bài làm: Số chia hết cho 6 là số vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên các số này phái có tận cùng là 2, 4 và có tổng 3 chữ số là một số chia hết cho 3
Vậy các số cần tìm là : 342, 324, 924, 942, * Dấu hiệu chia hết cho 8
- Trong các số tự nhiên có nhiều chữ số thì nếu 3 chữ số tận cùng chia hết cho
thì số đó chia hết cho 8
- Số chia hết cho 8 thì có 3 chữ số tận cùng chia hết cho 8
Ví dụ: Trong các số sau: 12345, 5678, 13344; số nào chia hết cho 8? Bài làm: Số chia hết cho 8 là: 13344 (vì 344 : 8 = 43)
* Dấu hiệu chia hết cho II
- Những số có hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ và tổng các chữ số ở vị trí
chẵn bằng 0 hoặc là một số chia hết cho 11 thì chia hết cho 11
- Những số chia hết cho 11 thì có hiệu giữa tổng các chữ số ở vị trí lẻ với tổng các chữ số ở hàng chẵn bằng 0 hoặc là một số chia hết cho 11
Ví dụ: Hãy cho biết số 1234567895 có chia hết cho 11 không?
Bài làm: Ta thấy (I + 3+ 5+7+9)—-(2+4+6+8+5)=0 nên số 1234567895 có chia hết cho 11
Thử lại : 1234567895 : 11 = 112233445
* Dấu hiệu chia hết cho 25
- Những số có hai chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 25 thì số đó chia
Trang 25- Những số chia hết cho 25 thì có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25
Ví dụ: Hãy cho biết số 1234525 có chia hết cho 25 khơng? Giải thích cách
làm?
Bài làm: Số 1234525 có chia hết cho 25 vì nó có hai chữ số tận cùng chia hết cho 25
* Dấu hiệu chia hết cho 125
- Những số có ba chữ số tận cùng tạo thành số chia hết cho 125 thì số đó chia hết cho 125
- Những số chia hết cho 125 thì có ba chữ số tận cùng chia hết cho 125 Ví dụ: Số 4250 có chia hết cho 125 hay khơng? Vì sao?
Bài làm: Số 4250 có chia hết cho 125 vì nó có ba chữ số tận cùng là 250 chia
hết cho 125
* Một số dấu hiệu nhận biết khác
- Những số mà vừa chia hết cho 3 vừa chia hết cho 4 thì số đó chia hết cho 12
- Những số vừa chia hết cho 5 vừa chia hết cho 3 thì số đó chia hết cho 15 - Những số chia hết cho 2 va cho 8 thi sé dé chia hét cho 16
2.2 Dạy học bồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính
2.2.1 Các dạng bài tập vận dụng tính chất các phép tính 2.2.1.1 Dạng bài: nhận dạng tính chất các phép tính
* Nội dung: Trong chương trình mơn tốn ở Tiểu học, dạng tổng quát về tính
chất các phép tính được chính thức nói đến (gọi tên tính chất, có bài dạy riêng, phát biểu bằng chữ, ) ở giai đoạn 2 (lớp 4, 5) Còn ở giai đoạn đầu bậc học, tính chất của các phép tính chỉ được thể hiện thông qua các bài tập cụ thê để học sinh có được
những nhận biết cơ bản, ban đầu về tính chất các phép tính
Trang 26của phép tính dưới các bài tập cụ thể Các bài tập này đơn thuần là giúp học sinh nhìn ra cách làm nhanh và chính xác
Ví dụ:
Khi học sinh thực hiện so sánh 2 phép tính 4 + 5 5 + 4 các em sẽ thấy rằng khi ta thay đổi vị trí các số hạng trong một tổng thì tổng của chúng bằng nhau, chứ khơng gọi đây là tính chất giao hoán
+ Phương pháp:
GV hướng dẫn HS quan sát các số liệu (có giống nhau khơng), vị trí của các
số (có thay đổi không), nhận xét kết quả Từ đó giúp HS bước đầu nhận ra một vài
đặc điêm đơn giản và vận dụng vào các trường hợp cịn lại Ví dụ: hướng dẫn HS làm bài tập trên
* Lưu ý:
- GV nên đề HS chủ động nhận biết các đặc điểm
- Uốn nắn những sai lầm khi học sinh mắc phải
- Cho học sinh làm nhiều ví dụ tương tự để học sinh thấy được điều mình rút
ra là đúng
* Một số dạng bài tập cơ bản để giúp học sinh làm quen với các tính chất của phép tính A, Tính 2+3= 123 - 100 = 3+2= (123 + 12)- (100 + 12) = 13+(2+5)= (456 +20)— 16 = (13+2)+5= (456 — 16) + 20 = 0+5= 2x5= 5+0= 5x2=
Trang 275+3 3+5 34+(+5) 3+2)+5 44+2 2+4 86 — (53 + 6) (86 — 6) — 53 0+7 7+0 120 — 89 (120 + 30) — (89 + 30) 5x4 4x5 12:6 (12x2):(6x2) 2x(15+2) (2x15)+(2x2) 2.2.1.2 Dạng tốn hình thành kỹ năng vận dụng tính chất các phép tính + Nội dung:
Dạng toán này gồm các bài tập yêu cầu học sinh vận dụng thành thạo các tính chất của phép tính đã được học để giải quyết bài toán Những bài tập này thường có trong sách giáo khoa toán 4, 5 khi HS đã được giới thiệu một cách chính thức về các tính chất Thơng qua các bài tập này, HS được rèn luyện kĩ năng vận dụng tính chất các phép tính trong các trường hợp khác nhau
* Phuong pháp :
Để giúp HS làm tốt các dạng bài tập này GV cần tổ chức cho HS nhắc lại kiến thức về các tính chất cơ bản có liên quan, sau đó GV hướng dẫn HS giải mẫu một ví đụ và cho HS tiến hành làm bài tương tự Cuối cùng, GV uốn nắn những sai
lầm mà HS có thể mắc phải trong quá trình làm bài * Vi du:
Dạng bài hình thành kỹ năng vận dụng tính chất các phép tính thường gặp trong các trường hợp sau:
a Các bài tập yêu cầu tính bằng cách thuận tiện nhất
Ví dụ : Tính bằng cách thuận tiện nhất
a) 3254 + 146 + 1698 b) 4376 + 199 +211 c) 4444 + 2143 + 2882
Trang 28bài
Với dang bai nay HS chi can van dung tinh chat két hợp của phép cộng đề làm
b Cac bai tap yéu cau tinh bang 2 cach Ví dụ : Tính bằng 2 cách a) 36 x (6+4); Cách 1: 36 x (6 + 4) = 36 x 10 = 360 Cách 2: 36 x (6+ 4) =36x6+36x4 = 216+ 144 = 360 b) 136 x 3 + 136 x2 Cách I: 136 x 3 + 136 x2 =408§ + 272 = 680 Cach 2: 136 x 3 + 136 x 2 = 136 x (3 + 2) = 136 x 5 = 680 c Các bài tập yêu cầu điền quan hé >, <, =
Vị dụ I: Tính và so sánh giá trị của hai biểu thức sau
a) (25 x20): 5 b)25x(0:5) c)(25:5)x20 Ta có: (25 x 20): 5 = 100 25 x (20: 5) =25 x 4= 100 (25 : 5) x 20 = 100 Vậy (25 x 20): 5 = 25 x (20: 5) = (25: 5) x 20 Vi du 2: Dién dau >, <, = a) 12 x (30: 6) (12 x 30): 6 b) (126: 6):3 (126:3):6
* Một số bài tập rèn luyện kỹ năng vận dụng tính chất các phép tinh Bài 1: Tính bằng hai cách
Trang 29Bài 2 : Áp đụng tính chất nhân một số với một tổng để tính theo mẫu Mẫu: 56 x 11 =56 x (10 + 1) =56 x 10+ 56 x I = 560 + 56 = 616 a) 36x11 b) 324 x 11 76 x 101 123 x 101
Bai 3: Tinh bang 3 cach 1800 : (20 x 45)
Bài 4: Khơng thực hiện phép tính, hãy tìm x (xx3856): 5 = (45 x 3856): 5 Bài 5: Tính nhanh a) 2567 + 3284 + 433 b) 2803 + 4591 + 197 + 409 c) 13276 — (4500 + 3276) d) 58264 + 4723 — 8264 — 723
Bai 6: Tìm x biết x là số chia hết cho 5
x:5<25:5
Bai 7: Tinh nham a) 385+87 b) 406x105 c) 720x99
2.2.1.3 Dạng toán thực hiện nhanh một dãy phép tính + Nội dung:
Trang 30tính cộng, trừ, nhân, chia một cách nhanh nhất Trong biểu thức đó có thể có dấu
ngoặc hoặc khơng có đấu ngoặc
Ví dụ: Tính giá trị của biểu thức sau: 910— 108 x5+218x4—699: 3 + Phương pháp dạy
+) Khi giáng các bài toán thực hiện một dãy các phép tính GV cho HS nhắc
lại các quy tắc về thứ tự thực hiện các phép tính trong một biểu thức
- Nếu trong biểu thức khơng có dấu ngoặc đơn ( ) mà chỉ có phép cộng, trừ hoặc chỉ có phép nhân, chia thì ta thực hiện các phép tính theo thứ tự đã chỉ ra trong biểu thức (từ trái sang phải)
- Nếu trong biểu thức không có đấu ngoặc đơn và có các phép tính cộng, trừ, nhân, chia thì thực hiện theo quy tắc “nhân chia trước, cộng trừ sau”
- Nếu trong biểu thức có dấu ngoặc đơn thì theo thứ tự thực hiện các phép tính trong đấu ngoặc đơn trước
- Nếu trong biểu thức mà có nhiều dấu ngoặc lồng vào nhau thì theo thứ tự thực hiện các phép tính trong từng ngoặc từ trong ra ngoài
+) GV hướng dẫn HS quan sát bài toán trước khi làm bài và áp dụng các tính chất các phép tính
- Hướng dẫn HS cách tách, ghép các số để có nhân tử chung
- Hướng dan HS dua về dạng thực hiện tính tốn với các số tròn chục
+) GV giải mẫu một ví dụ và cho HS áp dụng +) GV uốn nắn những sai lầm mà HS mắc phái
* Ví dụ: Tính nhanh biểu thức sau:
Trang 31= 0
* Một số bài tập
Bai 1: Tinh nhanh giá trị các biểu thức sau
Trang 320,8 x 0,04 x 1,25 x 0,25 + 0,6524 + 0,3476
10x 125x4x25x8
Bai 4: Tinh nhanh két qua phép chia va giai thich cach lam: 32 x 53-21
53 x 31 +32 Bai 5: Tinh nhanh
120 - 0,5 x 40 x 5 x 0,2 x 20 x 0,25 — 20 I+5+9+ +33+37 Bài 6: Tính nhanh 1978 x 1979 + 1980 x 21 + 1958 ~ 1980 x 1979-1978 x 1979 -
Bai 7: Tinh nhanh
50—0,5 x 20 x 8 x 0,1 x 10 x 0,25 - 30
I+3+5+7+ +57+59
Bài 8: Cho I, 3, 5, 7 là một dãy số lẻ liên tiếp Hỏi 1981 là số hạng thứ bao
nhiêu trong đãy số này? Giải thích cách làm Bài 9: Cho dãy tính
128:8x16x4+52:4
Hãy thêm ngoặc đơn ( ) vào dãy tính trên sao cho: a, Kết quả là số nguyên nhỏ nhất
b, Kết quả là số nguyên lớn nhất Giải thích cách làm
Bài 10: Tính nhanh
(45900 — 45900 x 10 : 100 — 41310000 : 1000) : 25 x 59 x 4 Bai 11: So sanh hai tich sau
Trang 33Hãy giải thích cách làm
Bài 12: Bạn Tân đồ bạn Mùi : “Hãy lấy số 1991 rồi thực hiện liên tiếp 3 phép
tính: nhân với I1, chia cho I1, cộng với 11 theo bất cứ thứ tự nào Hỏi kết quả được
bao nhiêu số khác nhau và là những số nào?”
Bài 13: Viết liên tiếp các số lẻ từ số 335 dén sé 111 theo thứ tự giảm dần Hãy
đặt trước mỗi số lẻ đó dấu cộng (+) hoặc trừ (-) sao cho sau khi thực hiện các phép tính ta sẽ được kết quả đúng bằng số lẻ đầu tiên 335
Bài 14: Cho A = 1993 x 427 và B = 477 x 1993 Tính hiệu B — A mà khơng tính riêng tích A và tích B
Bài 15: Hãy viết tất cá các phân số có: a) Tổng của tử số và mẫu số bằng 10 b) Tích của tử số và mẫu số bằng 100
2.2.1.4 Dạng toán về dấu hiệu chia hết
* Nội dung
Dạng tốn này thường có nội dung về vận dụng dấu hiệu chia hết để viết các
số tự nhiên, để xác định các chữ số chưa biết của một số tự nhiên và bài tốn về vận dụng tính chất chia hết của một tổng hoặc một hiệu
+ Phương pháp
- Khi giải các bài toán về vận dụng dấu hiệu chia hết để viết các số tự nhiên GV giúp HS nhắc lại các kiến thức cơ bản về các dấu hiệu chia hết
- Khi giải các bài toán về vận dụng dấu hiệu chia hết để xác định các chữ số chưa biết của một số tự nhiên ta phải làm như sau:
+) Nếu các số phải tìm chia hết cho 2 hoặc 5 thì trước hết ta dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2 và 5 để xác định chữ số hàng đơn vị
+) Tiếp đó dùng phương pháp thử chọn kết hợp với các đấu hiệu chia hết để xác định các chữ số còn lại
Trang 34+) Nếu mỗi số hạng của một tổng đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng cũng chia hết cho 2
+) Nếu số bị trừ và số trừ đều chia hết cho 2 thì hiệu của chúng cũng chia hết cho 2
+) Nếu một số hạng không chia hết cho 2 và các số hạng còn lại đều chia hết cho 2 thì tổng của chúng khơng chia hết cho 2
+) Hiệu giữa một số không chia hết cho 2 và một số chia hết cho 2 là một số
không chia hết cho 2
+) Cũng có các tính chất tương tự đối với các trường hợp chia hết cho 3, 4, 5
và 9
- Khi giải các bài toán về phép chia có dư GV cần cung cấp cho HS các kiến thức sau :
+) Nếu a chia cho 2 dư I thì chữ số tận cùng của nó bằng 1,3, 5, 7 hoặc 9
+) Nếu a chia cho 5 dư 1 thì chữ số tận cùng của nó bằng 1 hoặc 6, dư 2 thì
chữ số tận cùng bằng 2 hoặc 7; dư 3 thì chữ số tận cùng bằng 3 hoặc 8; dư 4 thì chữ
số tận cùng bằng 4 hoặc 9
+) Nếu a và b có cùng số dư khi chia cho 2 thì hiệu của chúng chia hết cho 2;
cũng có tính chất tương tự đối với các trường hợp khi chia cho 3,4,5 hoặc 9
+) Nếu a chia cho b dư b - 1 thì a +1 chia hết cho b +) Nếu a chia cho b du I thì a— 1 chia hết cho b
- GV hướng dẫn HS vận dụng tính chất chia hết và phép chia co du dé giải các
bài tốn có lời văn thơng qua các ví dụ cụ thể
- GV uốn nắn, sửa chữa những sai lầm HS cịn mắc phải
* Ví dụ
Vi du 1: Hay viết tất cả các số có ba chữ số khác nhau từ 4 chữ số 0, 4, 5 và 9 thỏa mãn điều kiện
Trang 35- Chia hết cho 4 - Chia hết cho 2 và 5
Giải:
- Các số chia hết cho 2 lập từ bốn chữ số đã cho phải có tận cùng bằng 0 hoặc
4 Mặt khác mỗi số đều có chữ số khác nhau nên các số viết được là:
540, 940, 450, 950, 490, 590, 504, 904, 954, 594
- Tương tự các số chia hết cho 4 lập từ các số đã cho phái có 3 chữ số cuối cùng chia hết cho 4 và các chữ số khác nhau nen ta có các số sau:
540, 504, 940, 904
- Số chia hết cho 2 và 5 phải có tận cùng bằng 0 Vậy các số cần tìm là: 540, 940, 450, 950, 490, 590
Ví dụ 2: Hãy viết thêm vào bên trái là số 123 một chữ số và bên phải 2 chữ số đề nhận được số bé nhất có 6 chữ số khác nhau chia hết cho 5 và 92
Giải:
Gọi chữ số viết thêm vào bên trái là a ; bên phải là b và c Số cần tìm có dạng
N=a123bc Vì N chia hết cho 5 nên c bằng 0 hoặc 5
- Nếu c = 0 thi N =aT23b0
Vì N chia hết cho 9 nên a + I +2 +3+b+0=a+ b + 6 chia hết cho 9 Suy ra
a +b bằng 3 hoặc 12
+) Nếu a +b =3 Số 3 có thê phân tích thành tổng của 0 và 3 ; 1 và 2 Vì N có
6 chữ số khác nhau nên ta loại trường hợp này
+) Nếu a + b = 12 Số 12 có thể phân tích thành tổng của 3 và 9; 4 va 8; 5 va 7; 6 và 6
Kết hợp với điều kiện N có sáu chữ số khác nhau ta được các số 412380;
812340; 512370; 712350
- Nếu c= 5 thi N=al23b5
Trang 36a +b bằng 7 hoặc l6
+) Nếu a + b= 7 Số 7 có thể phân tích thành tổng của 0 và 7; I và 6; 2 và 5 ;
3 và 4 Vì N có 6 chữ số khác nhau nên ta được số 712305
+) Nếu a +b = l6 Số 16 có thể phân tích thành tổng của 7 va 9; 8 va 8 Ta
được các số : 712395; 912375
Vậy số bé nhất thỏa mãn yêu cầu bài toán là 412380
Ví dụ 3: Khơng làm phép tính, hãy cho biết tổng và hiệu sau có chia hết cho 3 hay không? a) 240 + 123 b) 240- 123 c) 459 +690 + 1236 d) 24544374 e) 2454-374 f) 541 + 690 + 1236 Giai:
Vi 240 va 123 déu chia hét cho 3 nén 240 + 123 va 240 — 123 déu chia hét cho 3
Vi 459, 690, 1236 déu chia hét cho 3 nén 459 + 690 + 1236 chia hét cho 3
Vì số 374 khơng chia hết cho 3 nên 2454 + 374 và 2454 — 374 đều không chia hết cho 3
Vì 541 khơng chia hết cho 3 nên 541 + 690 + 1236 không chia hết cho 3
Ví dụ 4: Cho M là một số có ba chữ số và N là số có ba chữ số viết theo thứ tự
ngược lại của M Biết M lớn hơn N Hãy chứng tỏ rằng hiệu của M và N chia hết
cho 3
Phân tích:
Trang 37chất này ta chứng tỏ hiệu chia hết cho một số nào đó bằng cách chứng tỏ số bị trừ và
số trừ có cùng số đư khi chia cho số đó Giải :
Đặt M = abc thì N = cba (a > e > 0; a, b, c là chữ số)
Khi do M - N = abc - cba Giả sử cba chia cho 3 dư r (0 <r<3) thì a+b+c chia cho 3 cũng dư r Do a+b +c=c+b +a nên cba chia cho 3 cũng có số dư r
Vậy hiệu M - N chia hết cho 3
Ví dụ 5: Nếu đem số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số thì ca hai phép chia đều có số dư bằng nhau Hãy tìm số dư của hai phép chia đó
Phân tích:
Nếu hai số chia cho số nào đó có cùng số dư thì hiệu của chúng sẽ chia hết cho số đó Vì số 31513 và 34369 chia cho số có ba chữ số có số dư bằng nhau nên hiệu của chúng chia hết cho số có ba chữ số đó Từ đó ta tìm được số chia dé suy ra số dư
Giải:
Gọi số chia của hai số đã cho là abc (a > 0; a, b, c< 10) Vì hai số đã cho chia cho số abc đều có số dư bằng nhau nên (34369 - 31513) chia hết cho abc hay 2856 chia hết cho abc Do 2856 = 4 x 714 nên abc = 714 Thực hiện phép tính ta có: 31513 : 714 = 44 (dư 97) ; 34369 : 714 = 48 (dư 97) Vậy số dư của hai phép chia đó là 97
Ví dụ 6 : Tìm thương và số đư của phép chia sau: (Ix2x3x4x5x xI5+200): 182 Phân tích :
Trang 38Vậy ta xét xem mỗi số hạng của tổng đó chia cho số chia có số dư là bao nhiêu Từ đó ta tính được thương và số dư của phép chia đó
Giải :
Vì 182 = 2 x 7 x 13 nên số hạng thứ nhất của tổng (1 x2x 3x 4x §x x 15)
chia hết cho 182 Vì 200 : 182 = 1 (dư 18) nên số hạng thứ hai của tổng chia cho 182
được I và dư 1§ Vậy số dư trong phép chia đó chính là 18 và thương trong phép chia đó chính là kết quả của phép tính :
Ix3x4x5x6x8x9xI0x1lIx12x14xIS+l
Vĩ dụ 7 : Một người hỏi anh chàng chăn cừu: “Anh có bao nhiêu con cừu ?” Anh chăn cừu trả lời: “Số cừu của tôi nhiều hơn 4000 con nhưng không quá 5000 con Nếu chia số cừu cho 9 thì đư 3, chia cho 6 cũng dư 3 còn chia cho 25 thì dư
19” Hỏi anh đó có bao nhiêu con cừu ? Phân tích :
Vì số cừu của anh chia cho 9 dư 3 còn chia cho 25 dư 19
Mà 3 + 6 = 9 và 19 + 6 = 25 nên nếu thêm 6 con cừu vào số cừu của anh thì
số cừu lúc này sẽ chia hết cho 9 và 25 Ta lại có 9 x 25 = 225 nên số cừu đó chia hết
cho 225 Từ đó ta tìm các số lớn hơn 4000 + 6 và không vượt quá 5000 + 6 chia hết cho 225 rồi thử thêm điều kiện chia cho 6 du 3 để tìm được số cừu của anh chăn cừu
Giải :
Vì số cừu của anh chăn cừu chia cho 9 dư 3 và chia cho 25 dư 19 nên nếu
thêm 6 con cừu vào số cừu của anh chăn cừu thì số cừu lúc này chia hết cho 9 và 25
Do đó số cừu đó chia hết cho 225 (vì 9 x 25 = 225) Số cừu sau khi thêm 6 con phải
lớn hơn : 4000 + 6 = 4006 và không vượt quá 5000 + 6 = 5006 Do vậy số cừu sau
khi thêm có thê là 4950 con, 4725 con, 4500 con Vì số cừu sau khi thêm 6 con chia cho 6 vẫn đư 3 nên chỉ có 4725 là thỏa mãn đầu bài Vậy số cừu hiện có của anh là:
Trang 391 Cho 4 chữ số 0, 1, 5 và 8 Hãy thiết lập các số có 3 chữ số khác nhau thoả
mãn điều kiện:
a) Chia hết cho 6
b) Chia hết cho 15
2 Hãy tìm số tự nhiên bé nhất có 7 chữ số chia hết cho 5
3 Tìm số chẵn lớn nhất có 4 chữ số khác nhau sao cho tổng các chữ số của nó
bằng 30 và khi chia số đó cho 25 thì dư I
4 Hãy viết thêm vào bên phải và bên trái số 1996 mỗi bên một chữ số để được
số chia hết cho 2, 5 và 9
5 Hãy xác định các chữ số a, b để thay vào số 6a49b ta được số: a) Chia hết cho 2, 5 và 9
b) Chia hết cho 2 và 9
6 Tìm một số có bốn chữ số chia hết cho 2, 3 và 5 Biết rằng khi đổi vị trí các
chữ số hàng đơn vị với hàng trăm hoặc hàng chục với hàng nghìn thì số đó khơng thay đổi
7 Tìm một số có 5 chữ số chia hết cho 25 biết rằng khi đọc các chữ số của nó
theo thứ tự ngược lại hoặc khi đổi chỗ các chữ số hàng trăm với hàng đơn vị thì số đó khơng thay đổi
§ Khơng làm phép tính, hãy xem xét các tổng và hiệu dưới đây có chia hết
cho 3 hay không ?
a) 3693 + 459 b) 3693 - 459
c) 92616 + 48372 d) 92616 — 48372
e) 1236 + 2155 + 42702 g) 3216 + 6522 + 70242
9 Cho a là số tự nhiên có 3 chữ số Viết các chữ số của a theo thứ tự ngược lại ta được số tự nhiên b Hỏi hiệu hai số đó có chia hết cho 3 hay không? Tại sao?
Trang 40nói ngay “Cơ tính sai rồi!” Bạn hãy cho biết Minh nói đúng hay sai? Giải thích tại
sao Biết giá tiền mỗi gói bánh, kẹo là một số nguyên đồng
11 Cho a = 5xly hay thay x,y bởi những số thích hợp để nhận được số có bốn
chữ số khác nhau chia hết cho 2, 3 và cho 5 dư 4
12 Tìm số tự nhiên bé nhất sao cho khi chia số đó cho 3, 4, 5 đều dư 1 và chia hết cho 7
14 Hãy viết thêm 3 chữ số vào bên phải số 2754 để được một số chẵn có 7
chữ số khác nhau; khi chia số đó cho 5, 9 déu du 1
15 Có 30 que, độ dài của mỗi que thứ tự lần lượt là: lem, 2cm, 3em, ,
30cm Hỏi có thể ghép các que đó thành các hình sau hay khơng? Tại sao? a) Một hình vng
b) Một hình chữ nhật
Biết rằng khi xếp ta dùng tắt cả 30 que và không thay đôi độ dài mỗi que 16 Công ty X có một số cơng nhân hưởng mức lương 1 260 000 đồng Một số
khác hưởng mức lương I 890 000 đồng Sau khi phát lương tháng 7 cho số công
nhân này, cơ kế tốn cộng sô hết 57 281 000 đồng Hỏi cô kế toán cộng đúng hay
sai? Giải thích tại sao?
2.2.2 Cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi toán 4, 5 qua chuyên đề vận dụng tính chất các phép tính
2.2.2.1 Hình thức tổ chức dạy học bồi dưỡng học sinh gidi
Dé đạy học và bồi dưỡng HS giỏi Tốn hình đạt được hiệu quá tốt thì người
GV phái biết kết hợp nhiều hình thức tổ chức dạy học khác nhau Ví dụ như các
hình thức sau:
a Tổ chúc dạy học theo nhóm:
Việc HS học tập theo nhóm sẽ giúp các em có cơ hội đưa ra giải pháp trình bày cách giải quyết, hướng suy nghỉ của mỗi cá nhân về nội dung học tập