thanhtintv Chuyên đề toán véc tơ Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ A. Ph ơng pháp *C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại. *C2: Biến đổi tơng đơng. (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn đúng) *C3: Xuất phảt từ một ĐT luôn đúng biến đổi đa về ĐT cần chứng minh. *C4: Tạo dựng hình phụ. Dựa vào các quy tắc đã học: - Quy tắc ba điểm - Quy tắc hình bình hành - Quy tắc trung điểm B. Một số ví dụ VD1: Cho tứ giác ABCD. Gọi E, F lần lợt là trung điểm của AB, CD và O là trung điểm của EF. 1. CMR : AD + BC = 2 EF ; 2. CMR : OA + OB + OC + OD = 0 ; 3. CMR : MA + MB + MC + MD = 4 MO (với M tùy ý) VD2: Cho ABC. Trên hai cạnh AB, AC lấy 2 điểm D và E sao cho AD = 2 DB , CE = 3 EA . Gọi M là trung điểm DE và I là trung điểm BC. CMR : 1. AM = 3 1 AB + 8 1 AC ; 2. MI = 6 1 AB + 8 3 AC . VD3: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ABC. CMR: . . . 0a IA b IB c IC+ + = uur uur uur r . C. Bài tập Bài 1: Cho 4 điểm A, B, C, D. Chứng minh rằng: AB CD AD CB+ = + uuur uuur uuur uuur . Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và M là một điểm bất kì. Chứng minh rằng: 1. GA GB GC 0+ + = uuur uuur uuur r 2. MA MB MC 3MG+ + = uuuur uuur uuur uuuur Bài 3: Cho tam giác ABC. Gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Chứng minh rằng: AM BN CP 0+ + = uuuur uuur uuur r . Bài 4: Cho hai tam giác ABC, ABC lần lợt có trọng tâm là G, G. CMR: AA ' BB' CC' 3GG '+ + = uuuur uuuur uuuur uuuur . Bài 5: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC : NC=2NA. Gọi K là trung điểm của MN. 1. CMR: 1 1 AK AB AC 4 6 = + uuur uuur uuur ; 2. Gọi D là trung điểm của BC. CMR: 1 1 KD AB AC 4 3 = + uuur uuur uuur . Bài 6: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và H là điểm đối xứng với B qua G. 1. Chứng minh rằng: ( ) 2 1 1 AH AC AB ; CH AB AC 3 3 3 = = + uuur uuur uuur uuur uuur uuur 2. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng: 1 5 MH AC AB 6 6 = uuuur uuur uuur Bài 7: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI. Gọi J là điểm trên đờng BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. 1. Chứng minh rằng: 3 2 5 2 AI AB AC ; AJ AB AC 5 5 3 3 = + = uur uuur uuur uur uuur uuur - 1 - thanhtintv 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Chứng minh: 35 1 AG AI AJ 48 16 = uuur uur uur Bài 8: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm tam giác ABC. Gọi I là tâm đờng tròn đi qua trung điểm của 3 cạnh tam giác ABC. 1. Chứng minh rằng: HA HB HC 2HO+ + = uuur uuur uuur uuur 2. Chứng minh rằng 2 HG HO 3 = uuur uuur . Từ đó suy ra H, G, O thẳng hàng. 3. Chứng minh rằng: OA OB OC OH 3OG+ + = = uuur uuur uuur uuur uuur 4. Chứng minh rằng: OH 2OI= uuur uur 5. Gọi A, B, C là trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A 1 ; B 1 ; C 1 là chân đờng cao hạ từ A, B, C. Các điểm M, N, P là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng 9 điểm A, B, C; A 1 ; B 1 ; C 1 ; M, N, P nằm trên đờng tròn R I; 2 ữ (với R là bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC) (đờng tròn này gọi là đờng tròn Ơle) Bài 9: Cho tứ giác ABCD.Chứng minh rằng tồn tại duy nhất điểm G : GA GB GC GD 0+ + + = uuur uuur uuur uuur r (1) Điểm G thoả mãn (1) gọi là trọng tâm của tứ giác ABCD hay cũng gọi là trọng tâm của hệ 4 điểm Bài 10: Cho tam giác đều ABC tâm O. M là một điểm tuỳ ý bên trong tam giác. 1. Chiếu M xuống 3 cạnh của tam giác thành D, E, F. Chứng minh rằng: 3 MD ME MF MO 2 + + = uuuur uuur uuur uuuur 2. Gọi A 1 ; B 1 ; C 1 là các điểm đối xứng của M qua các cạnh BC, CA, AB. Chứng minh rằng hai tam giác ABC và A 1 B 1 C 1 có cùng trọng tâm. Bài 11: Cho tam giác ABC, gọi H là trực tâm của tam giác. CMR: tan A.HA tan B.HB tan C.HC 0+ + = uuur uuur uuur r . Bài 12: Cho tam giác ABC, gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC. CMR: sin A.IA sin B.IB sin C.IC 0+ + = uur uur uur r . Bài 13: Cho tam giác ABC, gọi M là một điểm bất kì thuộc miền trong của tam giácABC. CMR: MBC MAC MAB S .MA S .MB S .MC 0 + + = uuuur uuur uuur r . Dạng 2: Biểu diễn véc tơ A. Ph ơng pháp Định lý: Cho trớc hai véc tơ , 0a b r r r và không cùng phơng. Với mọi véc tơ c r luôn tồn tại duy nhất cặp số thực , sao cho c a b = + r r r . *C1: Từ giả thiết xác định tính chất hình học, từ đó khai triển véc tơ cần biểu diễn bằng phơng pháp xen điểm hoặc hiệu. *C2: Từ giả thiết thiết lập mối quan hệ giữa các đối tợng, từ đó khai triển biểu thức này. Dựa vào các quy tắc đã học: - Quy tắc ba điểm; - Quy tắc hình bình hành; - Quy tắc trung điểm. B. Một số ví dụ VD1: Cho tam giác ABC, gọi M, N, P lần lợt là trung điểm của BC, CA, AB. Hãy biểu diễn các véc tơ , ,AB BC CA uuur uuur uuur theo hai véc tơ ,BN CP uuur uuur . VD2: Cho ABC, lấy M, N, P sao cho MB = 3 MC ; NA +3 NC = 0 và PA + PB = 0 . Hãy biểu diễn PM , PN theo hai véc tơ AB và AC . C. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, gọi G là trọng tâm của tam giác và B là điểm đối xứng với B qua G. Hãy biểu diễn các véc tơ ', ', 'CB AB MB uuur uuuur uuuur (M là trung điểm của BC) theo hai véc tơ ,a AB b BC= = r uuur r uuur . Bài 2 : Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC sao cho 2CI = 3BI, gọi J là điểm trên BC kéo dài sao cho 5JB = 2JC. - 2 - thanhtintv 1. Biểu diễn , ,AI AJ theo AB AC uur uur uuur uuur ; 2. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC . Biểu diễn AG uuur theo AI uuur và AJ uur . Bài 3: Cho tam giác ABC, gọi I là điểm trên cạnh BC kéo dài sao cho IB=3IC. 1. Biểu diễn AI uur theo hai véc tơ ,AB AC uuur uuur ; 2. Gọi J, K lần lợt là các điểm thuộc cạnh AC, AB sao cho JA=2JC, KB=3KA. Hãy biểu diễn JK uuur theo ,AB AC uuur uuur ; 3. Biểu diễn BC uuur theo AI uur , JK uuur . Bài 4: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Hãy biểu diễn các véc tơ AI uur (I là trung điểm BO), BG uuur (G là trọng tâm của tam giác OCD) theo hai véc tơ ,AB AD uuur uuur . Bài 5: Cho lục giác đều ABCDEF. Hãy biểu diễn các véc tơ , , ,AC AD AF EF uuur uuur uuur uuur theo hai véc tơ ,AB AE uuur uuur . Dạng 3: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài A. Ph ơng pháp - Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng OM v= uuuur r hoặc dạng OM v= uuuur r trong đó O là điểm cố định; v r là véc tơ cố định. B. Một số ví dụ VD1: Cho tam giác ABC, tìm các điểm I, J, K lần lợt thoả mãn các đẳng thức véctơ sau: 1. 2 0IA IB+ = uur uur r ; 2. 2JA JB CB+ = uur uur uuur ; 3. KA KB 2KC 0+ + = uuur uuur uuur r . VD2: Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau : 1. 3 + + = + 2 uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur MC MC ; 2. + 3 = uuuur uuuur uuuur uuuur uuur uuuur 2 2MC MB MC . C. Bài tập Bài 1: Cho hai điểm A, B. Xác định điểm M thoả mãn: 2 3 0MA MB = uuur uuur r . Bài 2: Cho tam giác ABC, gọi M là trung điểm của AB và N là một điểm trên cạnh AC sao cho NC=2NA. 1. Xác định K sao cho 3AB 2AC 12AK 0+ = uuur uuur uuur r ; 2. Xác định D sao cho 3AB 4AC 12KD 0+ = uuur uuur uuur r . Bài 3 : Cho tam giác ABC, tìm tập hợp các điểm M thoả mãn từng điều kiện sau : 1. = uuur uuur MA MB ; 2. + + = uuur uuur uuuur ur MA MB MC O ; 3. + = + uuuur uuuur uuuur uuuur C ; 4. 3 + = 2 uuuur uuur uuuur uuuur C ; 5. + = uuuur uuur uuuur uuuur C . Bài 4: Cho ABC, xác định điểm M thoả mãn: 1. MA MB MC 0 + = uuuur uuur uuur r ; 2. MA 2MB 0+ = uuuur uuur r ; 3. MA 2MB CB+ = uuuur uuur uuur ; 4. MA MB 2MC 0+ + = uuuur uuur uuur r ; 5. MA MB MA MC+ = + uuuur uuur uuuur uuur . Bài 5: Cho ABC và một điểm M bất kì. 1. Chứng minh rằng v 3MA 5MB 2MC= + r uuuur uuur uuur không đổi; 2. Xác định điểm I thoả mãn 3IA 2IB IC 0 + = uur uur uur r ; - 3 - thanhtintv 3. Xác định điểm M thoả mãn: a. 3MA 2MB MC MB MA + = uuuur uuur uuur uuur uuuur ; b. 2 MA MB MC 3 MB MC+ + = + uuuur uuur uuur uuur uuur ; c. ( ) 2MA MB MC k MB MC + = uuuur uuur uuur uuur uuur . Bài 6: Cho ABC, xác định điểm M thoả mãn: 1. 3 MA MB MC MB MC 2 + + = + uuuur uuur uuur uuur uuur ; 2. MA 3MB 2MC 2MA MB MC+ = uuuur uuur uuur uuuur uuur uuur . Dạng 4: Chứng minh ba điểm thẳng hàng A. Ph ơng pháp - Để chứng minh ba điểm A, B, C thẳng hàng ta đi chứng minh ( )AB k AC k R= uuur uuur *C1: Sử dụng các quy tắc biến đổi véc tơ đã biết. *C2: Xác định các véc tơ ,AB AC uuur uuur thông qua một tổ hợp véc tơ trung gian. Chú ý: , , (1 ) , A B C MC MA MB M = + uuuur uuur uuur B. Một số ví dụ VD1: Cho tam giác ABC, trọng tâm G. Lấy các điểm I, J sao cho 2IA 3IC 0, 2JA 5JB 3JC 0+ = + + = uur uur r uur uur uur r 1. Chứng minh rằng: , ,M N J với M, N theo thứ tự là trung điểm của AB, BC; 2. Chứng minh rằng J là trung điểm của BI; 3. Gọi E thuộc AB sao cho AE k AB= uuur uuur . Xác định k để , ,C E J . C. Bài tập Bài 1: Cho tam giác ABC, lấy các điểm I, J sao cho 2 ,3 2 0IA IB JA JC= + = uur uur uur uuur r . Chứng minh rằng IJ đi qua trọng tâm G của tam giác ABC. Bài 2: Cho tam giác ABC, lấy M, N, P thoả mãn 0,3 2 0, 2MA MB AN AC PB PC+ = = = uuur uuur r uuur uuur r uuur uuur . Chứng minh rằng , ,M N P . Bài 3: Cho hình bình hành ABCD tâm O. Lấy I, J sao cho 3 2 2 0IA IC ID+ = uur uur uur r 2 2 0JA JB JC + = uur uur uuur r . Chứng minh rằng , ,I J O . Bài 4: Cho tam giác ABC, gọi O, G, H lần lợt là tâm đờng tròn ngoại tiếp, trọng tâm, trực tâm của tam giác ABC. Chứng minh rằng , ,O G H . Dạng 5: Bất đẳng thức véc tơ và ứng dụng A. Ph ơng pháp *Cho hai véctơ ,a b r r (Trong mặt phẳng hoặc không gian). Khi đó ta có | | | | | | (1)a b a b+ + r r r ur - Dấu = xảy ra * :a b k a kb + = r r r r Z Z Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . Tổng quát: * 1 1 | | | | ( ) n n i i i i a a n + = = ur ur  | | | | | | (2)a b a b + r r r ur - Dấu = xảy ra * :a b k a kb = r r r r Z [ Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . | | .| | . | | .| | (3)u v u v u v r r r r r r - 4 - thanhtintv - Dấu =thứ nhất xảy ra * :a b k a kb = r r r r Z [ Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r - Dấu = thứ hai xảy ra * :a b k a kb + = r r r r Z Z Ă hoặc một trong hai véctơ bằng 0 r . B. Một số ví dụ VD1: Giải phơng trình 2 2 2 2 2 4 12 25 9 12 29x x x x x x + + + + = + + . VD2: Chứng minh rằng , ,x y z Ă ta có 2 2 2 2 2 2 x xy y x xz z y yz z + + + + + + + . VD3: Cho các số thực dơng a, b, c thoả mãn ab + bc + ca = abc Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 a b b c c a ab bc ca + + + + + . C. Bài tập Giải các ph ơng trình, bất ph ơng trình, hệ ph ơng trình Bài 1: Giải phơng trình 2 2 2 5 2 10 29x x x x + + + + = Bài 2: Giải phơng trình 2 1 3 2 1 0x x x x+ + + = Bài 3: Tìm m để phơng trình sau có nghiệm 2 4 x x m + = Bài 4: Giải hệ phơng trình 2 2 2 3 3 3 3 3 3 x y z x y z x y z + + = + + = + + = Bài 5: Giải bất phơng trình 2 1 3 2( 3) 2 2x x x x + + Chứng minh bất đẳng thức Bài 6: Chứng minh rằng ,x y Ă ta có 2 2 2 2 2 2 4cos cos sin ( ) 4sin sin sin ( ) 2x y x y x y x y + + + . Bài 7: Chứng minh rằng * , ,x y z + Ă ta có 2 2 2 2 2 2 3( )x xy y x xz z y yz z x y z + + + + + + + + + + . Bài 8: Chứng minh rằng , , 0, 1x y z x y z > + + ta có 2 2 2 2 2 2 1 1 1 82x y z y z x + + + + + . Bài 9: Chứng minh rằng , , , 1a b c abc =Ă ta có 2 2 2 2 2 2 3 2 bc ca ab a b a c b c b a c a c b + + + + + . - 5 - . thanhtintv Chuyên đề toán véc tơ Dạng 1: Chứng minh các đẳng thức véc tơ A. Ph ơng pháp *C1: Biến đổi một vế chỉ ra bằng vế còn lại. *C2: Biến đổi tơng đơng. (Đa ĐT cần chứng minh về một ĐT luôn. hai véc tơ ,AB AE uuur uuur . Dạng 3: Tìm điểm M thoả mãn một đẳng thức véc tơ, độ dài A. Ph ơng pháp - Biến đổi đẳng thức véc tơ đã cho về dạng OM v= uuuur r hoặc dạng OM v= uuuur r trong đó. rằng: OH 2OI= uuur uur 5. Gọi A, B, C là trung điểm của BC, CA, AB. Các điểm A 1 ; B 1 ; C 1 là chân đờng cao hạ từ A, B, C. Các điểm M, N, P là trung điểm của HA, HB, HC. Chứng minh rằng 9 điểm