Tên chuyên đề các DẠNG TOÁN về PHÉP đếm

- Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - Tác giả chuyên đề: NGUYỄN THỊ THANH HẢI - Chức vụ : Giáo viên Toán - Đơn vị công tác: Trường THPT Vĩnh Yên - Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12 - Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết I. HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: 1. Quy tắc cộng: Một công việc A được chia ra k công việc A1 , A2 ,..., Ak để thực hiện, mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó: + Công việc A1 có n1 cách thực hiện + Công việc A2 có n2 cách thực hiện ………………………………….. + Công việc Ak có nk cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1 + n2 + ... + nk ) cách. 2. Quy tắc nhân: Một công việc A được thực hiện lần lượt qua k giai đoạn A1 , A2 ,..., Ak , với mỗi cách thưck hiện ở giai đoạn này không trùng với bất kỳ cách thực hiện nà ở các giai đoạn còn lại. Trong đó: + Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện + Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện + Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện ………………………………….. + Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : ( n1.n2 .n3 ...nk ) cách. 3. Hoán vị: 3.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử ( n ≥ 1) . Mỗi cách sắp xếp có thức tự n phần tử của tập hợp A được gọi là một hoán vị của n phần tử đó. 3.2. Định lý: (Số hoán vị của n phần tử) - Nếu ký hiệu số hoán vị của n phần tử là Pn thì ta có Pn = n ! = 1.2.3... ( n − 1) .n *Chú ý: Quy ước 0! = 1 4. Chỉnh hợp: 4.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử. Một bộ gồm k phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) sắp xếp có thức tự của tập hợp A được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử của tập A. 4.2. Định lý: (Số chỉnh hợp chập k của n phần tử) - Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k của n phần tử là Ank thì ta có Ank = n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( n − k + 1) *Chú ý: n! k - Có thể viết Ank theo cách khác An = ( n − k ) ! - Nếu k=n thì Ank = Pn - Hai chỉnh hợp khác nhau là hai bộ có ít nhất 1 phần tử khác nhau hoặc các phần tử giống nhau nhưng thứ tự sắp xếp khác nhau. 5. Tổ hợp: 5.1. Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử. Mỗi tập con gồm k phần tử ( 1 ≤ k ≤ n ) của tập hợp A được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của tập A. 5.2. Định lý: (Số tổ hợp chập k của n phần tử) - Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k của n phần tử là Cnk thì ta có Cnk = n. ( n − 1) . ( n − 2 ) ... ( n − k + 1) n! = và quy ước Cn0 = 1 k! k !( n − k ) ! *Chú ý: - Hai tổ hợp khác nhau là hai tập con có ít nhất 1 phần tử khác nhau . II. DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG : 1. Bài toán 1: có sử dụng hoán vị của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Tất cả n phần tử đều có mặt. - Mỗi phần tử chỉ xuất hiện 1 lần. - Có sự sắp xếp thứ tự giữa các phần tử. - Khi đó số cách sắp xếp n phần tử là số hoán vị của n phần tử đó. Và có Pn = n! = 1.2.3....( n − 1) .n 2. Bài toán 2: có sử dụng chỉnh hợp chập k của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Có sự sắp xếp thứ tự giữa k phần tử đó. - Khi đó số cách chọn k phần tử có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số chỉnh hợp chập k của n phẩn tử đó. n! k Và có An = ( n − k ) ! = n ( n − 1) ... ( n − k + 1) 3. Bài toán 3: có sử dụng tổ hợp chập k của n phần tử . Chúng ta thường dựa trên dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước. - Không có sự sắp xếp thứ tự giữa k phần tử đó. - Khi đó số cách chọn k phần tử không có sắp xếp thứ tự từ n phần tử là số tổ hợp chập k của n phẩn tử đó. k Và có Cn = n! k !( n − k ) ! III. CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN 1. Bài toán đếm có sự sắp xếp Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách sắp xếp 7 bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào một chiếc ghế dài sao cho a- Bạn D ngồi vào chính giữa 7 bạn ? b- Hai bạn A và G ngồi ở 2 đầu ghế ? *Phân tích: a/Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho D chúng ta thấy rằng 6 bạn còn như 6 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1. b/Tương tư ta thấy: Sau khi sắp xếp vị trí ngồi cho A và G chúng ta thấy rằng 5 bạn còn như 5 phần tử đều có mặt và chỉ xuất hiện 1 lần . Mỗi cách sắp xếp có sự phân biệt thứ tự. Do đó ta sử dụng bài toán 1. *Lời giải: a/Sắp xếp D ngồi vào chính giữa: có 1 cách. Mỗi cách sắp xếp A, B, C, E, F vào 6 chỗ còn lại là một hoán vị của 6 phần tử nên có 6 cách sắp xếp A, B, C, E, F . Vậy có 1 × 6!=720 cách sắp xếp thoả mãn yên cầu bài toán. b/ sắp xếp 2 bạn A và G vào vị trí : có 2 cách. Sắp xếp các bạn còn lại : có 5! cách. vậy có 2! × 5!=240 cách sắp xếp thoả mãn yêu cầu bài toán . Ví dụ 2: Có 5 tem thư khác nhau và 6 bì thư cũng khác nhau. Người ta muốn chọn ra 3 tem thư và 3 bì thư và dán 3 tem thư ấy lên 3 bì thư đã chọn. Một bì thư chỉ dán một tem thư. Hỏi có bao nhiêu cách làm như vậy? *Lời giải : Chọn ra 3 tem thư từ 5 tem => có C53 cách chọn Chọn ra 3 bì thư từ 6 bì thư => có C63 cách chọn Mỗi cách dán 3 tem lên 3 bì thư vừa được chọn ra là một hoán vị của 3 nên có 3! cách dán. Vậy có C53 . C63 .3!=1200 cách làm. Ví dụ 3: Một thầy giáo có 12 quyển sách khác nhau, trong đó có 5 quyển văn học, 4 quyển âm nhạc và 3 quyển hội hoạ. Ông muốn lấy ra 6 quyển và đem tặng cho 6 học sinh khác nhau. Mỗi em chỉ được một quyển. a/ Giả sử thầy giáo chỉ muốn tặng cho các em học sinh trên những quyển sách văn học và âm nhạc. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? b/ Giả sử thầy giáo muốn rằng sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất một quyển. Hỏi có bao nhiêu cách tặng? *Lời giải : a/ Cách 1: Chọn 6 quyển sách bất kỳ từ 5 quyển sách văn học và 4 quyển âm nhạc là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử => có C96 cách chọn Với mỗi cách chọn như vậy sẽ có 6! cách tặng . Vậy số cách tặng là: C96 .6!=60480 cách tặng. Cách 2: Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6 của 9 phần tử . Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng. b/ Cách 1: Chọn 6 quyển sách bất kỳ từ 5 quyển sách văn học và 4 quyển âm nhạc là một tổ hợp chập 6 của 9 phần tử => có C96 cách chọn Với mỗi cách chọn như vậy sẽ có 6! cách tặng . Vậy số cách tặng là: C96 .6!=60480 cách tặng. Cách 2: Số cách tặng 6 quyển sách theo yêu cầu bài toán là một chỉnh hợp chập 6 của 9 phần tử . Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng. 2. Bài toán đếm không có sắp xếp Ví dụ 4: Đội thanh niên xung kích của trường X có 12 học sinh, gồm 5 học sinh lớp A, 4 học sinh lớp B và 3 học sinh lớp C. Cần chọn 4 học sinh đi làm nhiệm vụ sao cho: a/ 4 học sinh này thuộc cả 3 lớp trên. b/ 4 học sinh này thuộc không quá 2 trong 3 lớp. Hỏi có bao nhiêu cách chọn như vậy? *Phân tích: Số học sinh được chọn từ 12 học sinh không sắp xếp thứ tự gì nên ta có thể sử dụng bài toán 2. *Lời giải: a/Vì 4 học sinh được chọn cần ở cả 3 lớp nên ta có các trường hợp chia như sau: Học sinh lớp A Học sinh lớp B Học sinh lớp C Số cách chọn tương ứng 2 1 1 1 2 1 1 1 2 C52 .C41 .C31 = 120 cách C51.C42 .C31 = 90 cách C51.C41 .C32 = 60 cách Vậy có tất cả là 120+90+60=270 cách. b/ Số cách chọn 4 học sinh từ 12 học sinh đã cho là C124 = 495 Số cách chọn 4 học sinh mà mỗi lớp có 1 học sinh là 270 cách chọn . Nên số cách chọn 4 học sinh thuộc không quá 2 trong 3 lớp phải là : 495-270=225 cách chọn . Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004) Trong một môn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác nhau gồm 5 câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bìnhvà 15 câu hỏi dễ. Từ 30 câu hỏi đó có thể lập được bao nhiêu đề kiểm tra, mỗi đề gồm 5 câu hỏi khác nhau, sao cho trong mỗi đề nhất thiết phải có đủ 3 loại câu hỏi (khó, trung bình và dễ) và số câu hỏi dễ không ít hơn 2? *Lời giải : Ta có trường hợp như sau: số câu hỏi dễ số câu hỏi TB 2 1 2 2 3 1 số câu hỏi khó 2 1 1 Số cách lập đề dạng này 1 C152 .C10 .C52 = 10500 cách C152 .C102 .C51 = 23625 cách 1 C153 .C10 .C51 = 22750 cách Áp dụng quy tắc cộng có tất cả 10500+23625+22750=56875 đề được lập. Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005) Một đội thanh niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam và 3 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách phân công đội thanh niên tình nguyện đó về giúp đỡ 3 tỉnh miền núi sao cho mỗi tỉnh có 4 nam và 1 nữ? *Lời giải : Số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất là C31C124 . Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ hai là C21C84 . Với mỗi cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ nhất và tỉnh thứ hai ta có số cách phân công các thanh niên tình nguyện về tỉnh thứ ba là C11C44 . Vậy có tất cả các cách phân công thanh niên tình nguyện về ba tỉnh sẽ là: C31C124 × C21C84 × C11C44 =207900 cách. Ví dụ 7 : Một lớp có 30 học sinh gồm 18 nam và 12 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn một ban cán sự lớp gồm 5 người: a/ Mọi người đều vui vẻ tham gia. b/ Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau. c/ Cậu An và cô Hà không thể làm việc chung với nhau. *Lời giải : a/ Vì mọi người đều vui vẻ tham gia nên ta tuỳ ý chọn 5 trong số 30 người vào ban cán sự lớp. Mỗi cách chọn đó là một tổ hợp chập 5 của 30 phần tử . 5 Vậy có tất cả C30 = 30! = 142506 cách chọn . 5!25! b/ Cách 1: -Nếu cả Tâm và Bình cùng có mặt trong ban cán sự thì ta chỉ việc chọn 3 3 người trong 28 người vào ban cán sự => có C28 cách chọn -Nếu cả Tâm và Bình cùng không có mặt trong ban cán sự thì ta chọn 5 5 người trong 28 người vào ban cán sự => có C28 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là: 3 5 C28 + C28 =101556 cách chọn. Cách 2: -Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Tâm mà không có Bình =>có C284 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Bình mà không có Tâm =>có C284 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu Tâm và cô Bình không thể rời nhau là: C305 -( C284 + C284 )=101556 cách chọn. c/ Cách 1: 5 -Chọn 5 người trong đó không có An mà không có Hà =>có C28 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có An mà không có Hà =>có C284 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có Hà mà không có An =>có C284 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là: 5 C28 + C284 + C284 =139230 cách chọn. Cách 2: -Chọn 5 người tuỳ ý trong 30 người =>có C305 cách chọn . 3 -Chọn 5 người trong đó có cả An và Hà =>có C28 cách chọn . Vậy có tất cả số cách chọn ban cán sự để Cậu An và Hà không thể làm việc chung với nhau là: C305 − C283 =139230 cách chọn. Ví dụ 8: Một đội văn nghệ có 20 người trong đó có 10 nam và 10 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra đúng 5 người sao cho: a/ có đúng 2 nam. b/ có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ. *Lời giải : a/ Chọn bất kỳ 2 nam trong 10 nam => có C102 cách chọn Chọn bất kỳ 3 nữ trong 10 nữ => có C103 cách chọn Vậy số cách chọn 5 người có đúng 2 nam là: C102 . C103 =5400 cách chọn . b/ Cách 1: - Chọn 5 người trong đó có 2 nam và 3 nữ => có C102 . C103 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ => có C103 . C102 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 4 nam và 1 nữ => có C104 . C101 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: C102 . C103 + C103 . C102 + C104 . C101 =12900 cách chọn. Cách 2: 5 -Chọn 5 người tuỳ ý trong 20 người =>có C20 cách chọn . -Chọn 5 người trong đó có 1 nam và 4 nữ => có C101 . C104 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có C105 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C105 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: 5 C20 -( C101 . C104 + C105 + C105 )=12900 cách chọn. DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN +Số tự nhiên n = ab trong đó a, b ∈ { 0,1, 2,...,9} , a ≠ 0 +Số ab = 10a + b , abc = 100a + 10b + c +Số ab ≠ ba 1. Tính số các số tự nhiên liên quan đến so sánh các số, các chữ số: Ví dụ 9: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ số khác nhau và số đó a) Lớn hơn 400? b) Không nhỏ hơn 666? c) Nhỏ hơn 345? *Lời giải: a/ Gọi số cần tìm là x = abc Vì x>400 nên a ≥ 4 , suy ra a có 6 cách chọn và bc có A82 cách chọn . Vậy có tất cả 6 × A82 =336 số . b/ Gọi số cần tìm là x = abc Từ x ≥ 666 suy ra a ≥ 6 , ta có các trường hợp sau: *TH1: Với a ∈ { 7;8;9} khi đó b,c chọn tuỳ ý. Ta có : a có 3 cách chọn 2 bc có A8 cách chọn Suy ra có 3 × A82 =168 số. *TH2: Với a=6 khi đó b>6 và c chọn tuỳ ý. Ta có: a có 1 cách chọn b có 3 cách chọn c có 7 cách chọn Suy ra có 1.3.7=21 số. Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán . c/ Vì x1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần” ⇒ Công thức ( n + k − 1) ! k! số cần tìm BÀi 2: “ Cho n chữ số khác nhau chứa cả chữ số 0, 1 ≤ n ≤ 9 . Hỏi có bao nhiêu số tự nhiên có n+k chữ số trong đó một chữ số được lặp lại k lần ( k>1) còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần” ⇒ Công thức ( n + k − 1) !− ( n + k − 2 ) ! k! số cần tìm 5.Bài toán đếm liên quan đến tổng các chữ số và tính tổng các số tự nhiên vừa tìm được: Ví dụ 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên. Hãy tính tổng tất cả các số vùa tìm được. *Lời giải : Cách 1: Mỗi số cần tìm là một hoán vị của 5 phần tử do đó số các số cần tìm là 5! =120 số. Nhận thấy: Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a41 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 2 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 3 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 4 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 5 ⇒ Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5).120=360 Tương tự : Tổng các chữ số ở hàng chục là (1+2+3+4+5).10.120=3600 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)100.120=36000 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)1000.120=360000 Tổng các chữ số (1+2+3+4+5)10000.120=3600000 ở hàng đơn vị là Vậy tổng của 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960 Cách 2: Trong số 120 số n ta luôn tìm được cặp số n,n’ sao cho tổng của chúng n+n’=66666. chẳng hạn như 12345+54321=66666. Do đó tống tất cả 120 số vùa tìm được là: 66666. 120 =3999960 2 Ví dụ 22: Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số, mỗi số gồm 6 chữ số khác nhau và tổng các chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn bằng 8? *Lời giải : Gọi số cần tìm là abcdef . Theo giả thiết c+d+e=8. Suy ra c, d , e ∈ { 1;2;5} hoặc c, d , e ∈ { 1;3;4} . +Với c, d , e ∈ { 1;2;5} : Ta có 3! Cách chọn cde . Chọn 3 chữ số a,b,f trong 9 - 3=6 chữ số : có A63 cách chọn . Vậy có 3! × A63 =720 số + Với c, d , e ∈ { 1;3;4} : Tương tự ta cũng có 720 số. Vậy có tất cả là 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu bài toán . DẠNG 3: BÀI TOÁN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Ví dụ 23: chéo? a/ Cho một đa giác lồi n cạnh. Hỏi có bao nhiêu đường b/ Một đa giác lồi có bao nhiêu cạnh để số đường chéo bằng 35? *Phân tích: Mỗi đoạn thẳng tương ứng với 2 điểm thuộc n điểm , trong đó có cả cạnh và đường chéo của đa giác.Và ngược lại 2 điểm thuộc n điểm tạo được 1 đoạn thẳng có thể là cạnh hoặc đường chéo của đa giác. *Lời giải : a/ Đa giác có n cạnh => có n đỉnh. Mỗi đường chéo được tạo thành từ 2 đỉnh trong n đỉnh đó và ngược lại. Trừ đi n cạnh của đa giác. 2 Vậy có tất cả là : Cn − n = ( n − 1) n − n = n 2 − 3n n! −n = (đường chéo) 2!( n − 2 ) ! 2 2 b/ theo kết quả của phần a. ta có n∈N , n ≥ 3 Cn2 − n = 35 ⇔ n 2 − 3n − 70 = 0 ¬  → n = 10 Vậy đa giác lồi có 10 cạnh sẽ có 35 đường chéo. Ví dụ 24: Cho 2 đường thẳng a, b song song với nhau. Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, trên đường thẳng b có 15 điểm phân biệt. Hỏi có bao nhiêu tam giác có đỉnh thuộc 25 điểm kể trên? *Phân tích 1: Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm , nếu 3 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì không hình thành được tam giác. Lời giải 1: Chọn 3 điểm bất kỳ trong 25 điểm kể trên ta có: C253 cách chọn . Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : C103 cách chọn . Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : C153 cách chọn . Vậy có tất cả là : C253 - C103 - C153 =1725 tam giác. *Phân tích 2: Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm, bằng cách chọn 3 điểm không cùng thuộc một đường thằng nào ta có các trường hợp như sau: Lời giải 2: Tam giác tạo bởi một điểm nằm trên a và hai điểm nằm trên b ta có : C101 C152 tam giác Tam giác tạo bởi hai điểm nằm trên a và một điểm nằm trên b ta có: C102 C151 tam giác Vậy có tất cả số tam giác là: C101 C152 + C102 C151 =1725 tam giác. Ví dụ 25: Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a1 , a2 ,..., a20 song song với nhau từng đôi một và 30 đường thẳng phân biệt b1 , b2 ,..., b30 ( ) cùng vuông góc với các đường thẳng ai i = 1,20 . Tính số hình chữ nhật được tạo nên từ 50 đường thẳng đó? *Lời giải : Ta thấy cứ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai , a j ( 1 ≤ i, j ≤ 20, i ≠ j ) và 2 đường thẳng bm , bn ( 1 ≤ m, n ≤ 30, m ≠ n ) cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật . Ngược lại, mỗi hình chữ nhật đều được tạo thành từ 4 đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai , a j và 2 đường thẳng bm , bn . Do đó số hình chữ nhật cần tìm bằng số bộ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai , a j và 2 đường thẳng bm , bn . Có C202 cách chọn đường thẳng ai , a j . Có C302 cách chọn đường thẳng bm , bn . Vậy có C202 × C302 =82650 hình chữ nhật. Ví dụ 26: Cho đa giác đều A1 A2 ... A2 n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n . Tìm n? Lời giải : 3 Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n là C2n . Ta thấy ứng với hai đừơng chéo đi qua tâm O của đa giác A1 A2 ... A2 n cho tương ứng một hình chữ nhật có đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n . Do đó số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 ,..., A2 n là Cn2 . Theo giả thiết C23n = 20Cn2 ⇔ ( 2n ) ! 3!( 2n − 3) ! = 20 n! 2!( n − 2 ) ! 2n ( 2n − 1) ( 2n − 2 ) 20n ( n − 1) = 6 2 ⇔ n=8 ⇔ Ví dụ 27 : Cho lục giác lồi ABCDEF. a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của lục giác đã cho? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có canh không phải là cạnh của lục giác? Lời giải : a/ Nhận thấy rằng cứ 3 đỉnh của hình lục giác thì tạo thành một tam giác và ngược lại một tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của hình lục giác, do đó có : C63 = 6! = 20 tam giác. 3!3! b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:  số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là C61  số tam giác có 2 cạnh của đa giác là C61.C21 Vậy số tam giác có 1 hoăc 2 cạnh là cạnh của lục giác là: C61 + C61.C21 =18 tam giác. Vậy có tất cả số tam giác có cạnh không phải là cạnh của lục giác sẽ là : 20-18 =2 tam giác. *Ví dụ 28: Có thể trả lời câu hỏi như trên với bát giác ABCDEFGH. a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác ABCDEFGH? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác ABCDEFGH? Đáp số: 3 a/ có C8 = 8! = 56 tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác. 3!5! b/ có C81 + C81.C41 = C81.C51 = 40 tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của bát giác. Và có tất cả : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác . Từ đó giải quyết bài toán Tổng quát như sau: “ Cho đa giác lồi n cạnh A1 A2 ... An . a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A1 A2 ... An ? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác A1 A2 ... An ? ” Lời giải : a/ Số tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A1 A2 ... An là số tổ hợp chập 3 của n phần tử Cn3 = n! ( n − 2 ) ( n − 1) n = 3!( n − 3) ! 6 b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác A1 A2 ... An gồm 2 loại:  số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là Cn1  số tam giác có 2 cạnh của đa giác là Cn1 .Cn1−4 Vậy số tam giác có 1 hoăc 2 cạnh là cạnh của đa giác là: Cn1 + Cn1 .Cn1− 4 = n + n ( n − 4 ) = n ( n − 3) = nCn1−3 = Cn1.Cn1−3 Vậy có tất cả số tam giác có cạnh không phải là cạnh của đa giác sẽ là : Cn3 − Cn1 .Cn1−3 = = = ( n − 2 ) ( n − 1) n − n 6 ( n − 3) ( n − 2 ) ( n − 1) n − 6n ( n − 3) 6 n ( n 2 − 9n + 20 ) 6 Ví dụ 29: Cho n điểm trong không gian (không có điểm nào trùng nhau). Trong đó có m điểm đồng phẳng số còn lại không có 4 điểm nào đồng phẳng. Dựng tất cả các mặt phẳng chứa 3 trong n điểm đó. a/ Hỏi có bao nhiêu mặt phẳng khác nhau? b/ Hỏi có bao nhiêu tứ diện ? *Lời giải: a/ Mỗi mặt phẳng chứa 3 điểm trong n điểm kể trên nên số mặt phẳng là tổ hợp chập 2 của n : Cn3 Nhưng trong số đó có m điểm đồng phẳng khi đó m điểm này xác định chỉ 1 mặt phẳng . Số mặt phẳng tạo ra từ m điểm này là Cm3 và ta coi chúng chỉ là một mặt phẳng. Do đó số mặt phẳng cần tìm là: Cn3 - Cm3 +1 (mặt phẳng). b/ Chọn 4 điểm bất kỳ trong n điểm đã cho là tổ hợp chập 4 của n phần tử có: Cn4 Trong đó sẽ có chứa Cm4 không phải là tứ diện. Vì m điểm này đồng phẳng. Vậy có tất cả số tứ diện cần tìm là: Cn4 - Cm4 IV.CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI: 1. Lớp 11A có 40 học sinh , trong đó có 22 học sinh nam và 18 học sinh nữ. Giao viên chủ nhiệm muốn chọn ra một ban cán sự lớp gồm 1 lớp trưởng, một bí thư, một lớp phó văn nghệ, một lớp phó lao động. Hỏi có bao nhiêu cách chọn Ban cám sự lớp nếu: a. Ban cán sự lớp được chọn bất kỳ? b. Ban cán sự toàn con trai? c. Lớp trưởng phải là học sinh nam và lớp phó văn nghệ phải là học sinh nữ? 2. Một thầy giáo có 10 quyển sách khác nhau, trong đó có 4 quyển sách Toán,3 quyển sách Lý, 3 quyển sách Hoá. Thầy muốn lấy ra 5 quyển và tặng cho 5 học sinh A,B,C,D,E mỗi em một quyển. Hỏi thầy có bao nhiêu cách tặng nếu: a. Chỉ tặng cho học sinh các quyển sách Toán hoặc Hoá? b. Có ít nhất 1 quyển sách Toán được tặng? c. Sau khi tặng sách xong, mỗi loại còn ít nhất 1 quyển? 3. Một đội Văn nghệ có 18 người gồm 10 nam và 8 nữ. Hỏi có bao nhiêu cách lập 1 nhóm đồng ca gồm 6 người, biết rằng: a. Trong nhóm đó toàn là nữ? b. Trong nhóm đó có đúng 2 nam? c. Trong nhóm đó có ít nhất 5 nữ? d. Trong nhóm đó có ít nhất 1 nam? 4. Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 6 chữ số khác nhau và trong mỗi số đó tổng của 3 chữ số đầu nhỏ hơn tổng 3 chữ số cuối 1 đơn vị? 5. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên mà mỗi số có 6 chữ số khác nhau sao cho a. Hai chữ số 2 và 3 đứng cạnh nhau? b. Hai chữ số 2 và 3 không đứng cạnh nhau? 6. Có bao nhiêu số gồm 5 chữ số sao cho tổng các chữ số của mỗi số là số lẻ? 7. Từ các chữ số 0,1,6,7,8,9 . Hãy tìm tất cả các số chẵn có 4 chữ số khác nhau và lớn hơn 5000? 8. Từ các chữ số 0,1,2,3,4,5. Hãy tìm tất cả các số có 5 chữ số khác nhau sao cho a/ chữ số hàng trăm là 2. b/ Luôn có mặt chữ số 4 và chữ số hàng nghìn là 5. 9. Có bao nhiêu số chẵn gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ số đầu tiên là chữ số lẻ? 10. Có bao nhiêu số gồm 6 chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và chữ số chẵn? 11. Cho các chữ số 0,1,2,3,4. Hỏi có thể lập được bao nhiêu số có 7 chữ số trong đó chữ số 4 có mặt đúng 3 lần còn các chữ số khác có mặt đúng 1 lần? 12. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có mặt chữ số 0 nhưng không có mặt chữ số 1? 13. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 9 chữ số đôi một khác nhau biết rằng chữ số 2 có mặt đúng 2 lần , chữ số 3 có mặt 3 lần và các chữ số khác có mặt không quá 1 lần. 14. Từ các chữ số 0,1,2,5,6,7,8. Hãy tìm tất cả các số có 4 chữ số khác nhau sao cho a/ không tận cùng bằng 6. b/chia hết cho 5. 15. Trong mặt phẳng cho n điểm ( n ≥ 4 ), trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng và trong tất cả các đường thẳng nối 2 điểm bất kỳ, không có hai đường thẳng nào song song, trùng nhau hoặc vuông góc. Qua mỗi điểm vẽ các đường thẳng vuông góc với các đường thẳng được xác định bởi 2 trong n-1 điểm còn lại. Hỏi số giao điểm của các đường thẳng vuông góc giao nhau là bao nhiêu ? 16. Cho hình vuông ABCD. Trên mõ cạnh lấy 10 điểm phân biệt và không trùng với đỉnh. Hỏi có bao nhiêu tam giác mà ba đỉnh của nó chọn từ các điểm kể trên a. kể cả 4 đỉnh của hình vuông? b.Không tính các đỉnh hình vuông ? 17. Tìm số giao điểm tối đa của : a. 10 đường thẳng phân biệt? b. 6 đường tròn phân biệt? c. 10 đường thẳng và 6 đường tròn trên? [...]... có các TH sau: a, c ∈ { 1, 4} ⇒ có 2!cách b, d ∈ { 2,3} ⇒ có 2!cách TH1:  Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số a, c ∈ { 2, 4} ⇒ có 2!cách b, d ∈ { 1,5} ⇒ có 2!cách TH2:  Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số  a, c ∈ { 3, 4} ⇒ có 2!cách b, d ∈ { 2,5} ⇒ có 2!cách TH2:  Vậy số dạng này có 2!.2!.2=8 số Vậy có tất cả là 8+8+8=24 số cần tìm b/Vì xM25 nên n có dạng ab25 suy ra a có 3 cách chọn b có 2 cách... lẻ *Lời giải: Cách 1: Gọi x = a1a2 a3a4 a5 là số cần tìm Xét các TH sau: +Nếu a1 là số chẵn, a1 ∈ { 2, 4, 6} thì với mỗi cách chọn a1 ta thấy Có C32 cách chọn 2 chữ số chẵn còn lại Có C42 cách chọn 2 chữ số lẻ Có 4! hoán vị các chữ số đã chọn ⇒ có 3.4! C32 C42 =1296 số dạng này +Nếu a1 là số lẻ, a1 ∈ { 1,3,5, 7} thì với mỗi cách chọn a1 ta thấy Có C43 cách chọn 3 chữ số chẵn Có C31 cách chọn 1 chữ... tìm 5.Bài toán đếm liên quan đến tổng các chữ số và tính tổng các số tự nhiên vừa tìm được: Ví dụ 21: Từ các chữ số 1,2,3,4,5 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau đôi một được tạo thành từ các chữ số trên Hãy tính tổng tất cả các số vùa tìm được *Lời giải : Cách 1: Mỗi số cần tìm là một hoán vị của 5 phần tử do đó số các số cần tìm là 5! =120 số Nhận thấy: Có 24 số có dạng n=... có 9 cách chọn , bcd có A83 cách chọn Suy ra có 9 A83 =3024 số +TH2: Với e ≠ 0 Khi đó e có 4 cách chọn , a có 8 cách chọn , bcd có A83 cách chọn Suy ra có 4.8 A83 =10752 số Vậy có tất cả 3024+10752=13776 số cần tìm thoả mãn yêu cầu bài toán b/ Vì x chia hết cho 5 nên e ∈ { 0;5} +TH1: Với e=0: Khi đó a có 9 cách chọn, bcd có A83 cách chọn Suy ra có 9 A83 =3024 số +TH2: Với e=5: Khi đó a có 8 cách... là tập gồm 5 chữ số khác 0 Số cách chọn P là C95 Với mỗi cách chọn P như trên thì: c có 1 cách chọn abde có 4! cách chọn Do đó với mỗi tập P như trên ta được 4! số x cần tìm Vậy số x được lập trong trường hợp này là : C95 4! (số) *Gọi Q là tập chứa chữ số 0 và 4 chữ số khác 0 Số cách chọn Q là C94 Với mỗi cách chọn Qnhư trên thì: c có 1 cách chọn a có 3 cách chọn bde có 3 cách chọn Do đó với mỗi tập... a1a2 a3a41 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 2 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 3 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 4 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3a4 5 ⇒ Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5).120=360 Tương tự : Tổng các chữ số ở hàng chục là (1+2+3+4+5).10.120=3600 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)100.120=36000 Tổng các chữ số ở hàng đơn vị là (1+2+3+4+5)1000.120=360000 Tổng các chữ số (1+2+3+4+5)10000.120=3600000... ≥ 666 suy ra a ≥ 6 , ta có các trường hợp sau: *TH1: Với a ∈ { 7;8;9} khi đó b,c chọn tuỳ ý Ta có : a có 3 cách chọn 2 bc có A8 cách chọn Suy ra có 3 × A82 =168 số *TH2: Với a=6 khi đó b>6 và c chọn tuỳ ý Ta có: a có 1 cách chọn b có 3 cách chọn c có 7 cách chọn Suy ra có 1.3.7=21 số Vậy có tất cả 168+21=189 số thoả mãn yêu cầu bài toán c/ Vì x có C102 C103 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 3 nam và 2 nữ => có C103 C102 cách chọn - Chọn 5 người trong đó có 4 nam và 1 nữ => có C104 C101 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: C102 C103 + C103 C102 + C104 C101 =12900 cách chọn Cách 2: 5 -Chọn 5 người tuỳ ý trong 20 người =>có C20 cách... 0,1,2,3,4,5,5,5 Cách 1: a1 có 7 cách chọn (vì a1 khác 0) a2 có 7 cách chọn a3 có 6 cách chọn a4 có 5 cách chọn a5 có 4 cách chọn a6 có 3 cách chọn a7 có 2 cách chọn a8 có 1 cách chọn ⇒ có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 số Nhưng trong đó có chứa 3! số giống nhau khi ta giao hoán 3 chữ số chữ số 5 Vậy số các số cần tìm là 35280 = 5880 số 3! Cách 2: Chọn 8 chữ số vào 8 vị trí và hoán vị chúng ta được 8! số Trong đó... chọn -Chọn 5 người trong đó có 1 nam và 4 nữ => có C101 C104 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 0 nam và 5 nữ => có C105 cách chọn -Chọn 5 người trong đó có 5 nam và 0 nữ => có C105 cách chọn Vậy có tất cả số cách chọn 5 người sao cho có ít nhất 2 nam và ít nhất 1 nữ là: 5 C20 -( C101 C104 + C105 + C105 )=12900 cách chọn DẠNG 2: BÀI TOÁN ĐẾM CÓ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN +Số tự nhiên n = ab trong đó ... C96 cách chọn Với cách chọn có 6! cách tặng Vậy số cách tặng là: C96 6!=60480 cách tặng Cách 2: Số cách tặng sách theo yêu cầu toán chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách... chọn có 6! cách tặng Vậy số cách tặng là: C96 6!=60480 cách tặng Cách 2: Số cách tặng sách theo yêu cầu toán chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng b/ Cách 1: Chọn... chập k n phẩn tử k Và có Cn = n! k !( n − k ) ! III CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN Bài toán đếm có xếp Ví dụ 1: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào ghế