Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng a có : 3
10
C cách chọn . Chọn 3 điểm cùng nằm trên đường thẳng b có : 3
15C cách chọn . C cách chọn . Vậy có tất cả là : 3 25 C - 3 10 C - 3 15 C =1725 tam giác.
*Phân tích 2: Mỗi tam giác tương ứng với 3 điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm, bằng cách chọn 3 điểm không cùng thuộc một đường thằng nào ta có các trường hợp như sau:
Lời giải 2:
Tam giác tạo bởi một điểm nằm trên a và hai điểm nằm trên b ta có :
1 210 15 10 15
C C tam giác
Tam giác tạo bởi hai điểm nằm trên a và một điểm nằm trên b ta có:
2 110 15 10 15
C C tam giác
Vậy có tất cả số tam giác là: 1 2 10 15
C C + 2 110 15 10 15
C C =1725 tam giác.
Ví dụ 25:
Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a a1, ,...,2 a20song
song với nhau từng đôi một và 30 đường thẳng phân biệt b b1, ,...,2 b30
cùng vuông góc với các đường thẳng ai (i=1,20) . Tính số hình chữ nhật được tạo nên từ 50 đường thẳng đó?
*Lời giải :
Ta thấy cứ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai,aj (1≤i j, ≤20,i≠ j) và 2 đường thẳng b bm, n (1≤m n, ≤30,m n≠ ) cắt nhau tạo thành một hình chữ nhật . Ngược lại, mỗi hình chữ nhật đều được tạo thành từ 4 đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai,a j và2 đường thẳng b bm, n. Do đó số hình chữ nhật cần tìm bằng số bộ bốn đường thẳng gồm 2 đường thẳng ai,ajvà2 đường thẳng b bm, n. Có 2 20 C cách chọn đường thẳng ai,a .j Có C302 cách chọn đường thẳng b bm, n. Vậy có 2 20 C × 2 30 C =82650 hình chữ nhật. Ví dụ 26:
Cho đa giác đều A A A1 2... 2n nội tiếp trong đường tròn tâm O. Biết
rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, ,...,2 A2n gấp 20 lần so
với số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A A1, ,...,2 A2n. Tìm n?
Lời giải :
Số tam giác có các đỉnh là 3 trong 2n điểm A A1, ,...,2 A2n là 3 2n
C .
Ta thấy ứng với hai đừơng chéo đi qua tâm O của đa giác A A A1 2... 2n cho tương ứng một hình chữ nhật có đỉnh là 4 điểm trong 2n điểm
1, ,...,2 2n
A A A và ngược lại mỗi hình chữ nhật như vậy sẽ cho tương ứng
hai đường chéo đi qua tâm O của đa giác. Mà số đường chéo đi qua tâm của đa giác là n .
Do đó số hình chữ nhật có đỉnh là 4 trong 2n điểm A A1, ,...,2 A2n là 2
n
C . Theo giả thiết
( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 2 2 ! ! 20 20 3! 2 3 ! 2! 2 ! 2 2 1 2 2 20 1 6 2 8 n n n n C C n n n n n n n n = ⇔ = − − − − − ⇔ = ⇔ = Ví dụ 27 :
Cho lục giác lồi ABCDEF.
a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của lục giác đã cho?
b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có canh không phải là cạnh của lục giác?
Lời giải :
a/ Nhận thấy rằng cứ 3 đỉnh của hình lục giác thì tạo thành một tam giác và ngược lại một tam giác được tạo thành từ 3 đỉnh của hình lục giác, do đó có : 3 6 6! 20 3!3! C = = tam giác.
b/ Số tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của đa giác gồm 2 loại:
số tam giác chỉ có 1 cạnh của đa giác là 1 6
C
số tam giác có 2 cạnh của đa giác là 1 1 6. 2
C C
Vậy số tam giác có 1 hoăc 2 cạnh là cạnh của lục giác là: 1
6
C + 1 1 6. 2
C C =18 tam giác.
Vậy có tất cả số tam giác có cạnh không phải là cạnh của lục giác sẽ là : 20-18 =2 tam giác.
*Ví dụ 28:
Có thể trả lời câu hỏi như trên với bát giác ABCDEFGH.
a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác ABCDEFGH? b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác ABCDEFGH?
Đáp số:
a/ có 83 8!
56 3!5!
C = = tam giác có đỉnh là đỉnh của bát giác.
b/ có C81+C C81. 41 =C C81. 51=40tam giác có ít nhất 1 cạnh là cạnh của bát giác.
Và có tất cả : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh không phải là cạnh của bát giác .
Từ đó giải quyết bài toán Tổng quát như sau: “ Cho đa giác lồi n cạnh A A A1 2... n.
a/Có bao nhiêu tam giác có đỉnh là đỉnh của đa giác A A A1 2... n?
b/ Trong các tìm được câu a/ có bao nhiêu tam giác có cạnh khôngphải là cạnh của đa giác A A A1 2... n? ”