Một công việc A được chia ra k công việc để thực hiện, mỗi công việc độc lập nhau. Trong đó: + Công việc có cách thực hiện + Công việc có cách thực hiện ………………………………….. + Công việc có cách thực hiện Khi đó số cách thực hiện công việc A là : cách.
Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - - Tên chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -Mơn/Nhóm Mơn: Tốn - Đối tượng học sinh bồi dưỡng: lớp 11, lớp 12 - Dự kiến số tiết bồi dưỡng: 10 tiết I HỆ THỐNG KIẾN THỨC SỬ DỤNG TRONG CHUYÊN ĐỀ: Quy tắc cộng: Một công việc A chia k công việc A1 , A2 , , Ak để thực hiện, công việc độc lập Trong đó: + Cơng việc A1 có n1 cách thực + Cơng việc A2 có n2 cách thực ………………………………… + Cơng việc Ak có nk cách thực Khi số cách thực cơng việc A : n1 n2 nk cách Quy tắc nhân: Một công việc A thực qua k giai đoạn A1 , A2 , , Ak , với cách thực giai đoạn không trùng với cách thực mà giai đoạn lại Trong đó: + Giai đoạn A1 có n1 cách thực + Giai đoạn A2 có n2 cách thực + Giai đoạn A3 có n3 cách thực ………………………………… + Giai đoạn Ak có nk cách thực Khi số cách thực cơng việc A : n1.n2 n3 nk cách Hoán vị: 3.1 Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử n �1 Mỗi cách xếp có thức tự n phần tử tập hợp A gọi hoán vị n phần tử Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM 3.2 Định lý: (Số hoán vị n phần tử) - Nếu ký hiệu số hoán vị n phần tử Pn ta có Pn n ! 1.2.3 n 1 n *Chú ý: Quy ước 0! Chỉnh hợp: 4.1 Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử Một gồm k phần tử �k �n xếp có thức tự tập hợp A gọi chỉnh hợp chập k n phần tử tập A 4.2 Định lý: (Số chỉnh hợp chập k n phần tử) k - Nếu ký hiệu số chỉnh hợp chập k n phần tử An ta có Ank n n 1 n n k 1 *Chú ý: n! k - Có thể viết Ank theo cách khác An n k ! - Nếu k=n Ank = Pn - Hai chỉnh hợp khác hai có phần tử khác phần tử giống thứ tự xếp khác Tổ hợp: 5.1 Định nghĩa: - Cho tập hợp A gồm n phần tử Mỗi tập gồm k phần tử �k �n tập hợp A gọi tổ hợp chập k n phần tử tập A 5.2 Định lý: (Số tổ hợp chập k n phần tử) - Nếu ký hiệu số tổ hợp chập k n phần tử Cnk ta có Cnk n n 1 n n k 1 n! Cn0 quy ước k! k ! n k ! *Chú ý: - Hai tổ hợp khác hai tập có phần tử khác Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM II DẤU HIỆU NHẬN BIẾT ĐẶC TRƯNG : Bài toán 1: có sử dụng hốn vị n phần tử Chúng ta thường dựa dấu hiệu đặc trưng sau: - Tất n phần tử có mặt - Mỗi phần tử xuất lần - Có xếp thứ tự phần tử - Khi số cách xếp n phần tử số hốn vị n phần tử Và có Pn n! 1.2.3 n 1 n Bài tốn 2: có sử dụng chỉnh hợp chập k n phần tử Chúng ta thường dựa dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước - Có xếp thứ tự k phần tử - Khi số cách chọn k phần tử có xếp thứ tự từ n phần tử số chỉnh hợp chập k n phẩn tử n! k Và có An n k ! n n 1 n k 1 Bài tốn 3: có sử dụng tổ hợp chập k n phần tử Chúng ta thường dựa dấu hiệu đặc trưng sau: - Phải chọn k phần tử từ n phần tử cho trước - Khơng có xếp thứ tự k phần tử - Khi số cách chọn k phần tử khơng có xếp thứ tự từ n phần tử số tổ hợp chập k n phẩn tử k Và có Cn n! k ! n k ! III CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP: Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - DẠNG 1: BÀI TỐN ĐẾM PHƯƠNG ÁN Bài tốn đếm có xếp Ví dụ 1: Có cách xếp bạn học sinh A, B, C, D, E, F, G vào ghế dài cho a- Bạn D ngồi vào bạn ? b- Hai bạn A G ngồi đầu ghế ? *Phân tích: a/Sau xếp vị trí ngồi cho D thấy bạn lại phần tử có mặt xuất lần Mỗi cách xếp có phân biệt thứ tự Do ta sử dụng toán b/Tương tự ta thấy: Sau xếp vị trí ngồi cho A G thấy bạn lại phần tử có mặt xuất lần Mỗi cách xếp có phân biệt thứ tự Do ta sử dụng tốn *Lời giải: a/Sắp xếp D ngồi vào giữa: có cách Mỗi cách xếp A, B, C, E, F vào chỗ lại hốn vị phần tử nên có cách xếp A, B, C, E, F Vậy có �6!=720 cách xếp thoả mãn yên cầu toán b/ Sắp xếp bạn A G vào vị trí : có cách Sắp xếp bạn lại : có 5! cách có 2! �5!=240 cách xếp thoả mãn u cầu tốn Ví dụ 2: Có tem thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn tem thư bì thư dán tem thư lên bì thư chọn Một bì thư dán tem thư Hỏi có cách làm vậy? Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM *Lời giải : Chọn tem thư từ tem => có C53 cách chọn Chọn bì thư từ bì thư => có C63 cách chọn Mỗi cách dán tem lên bì thư vừa chọn hoán vị nên có 3! cách dán Vậy có C53 C63 3!=1200 cách làm Ví dụ 3: Một thầy giáo có 12 sách khác nhau, có văn học, âm nhạc hội hoạ Ông muốn lấy đem tặng cho học sinh khác Mỗi em Giả sử thầy giáo muốn tặng cho em học sinh sách văn học âm nhạc Hỏi có cách tặng? *Lời giải : Cách 1: Chọn sách từ sách văn học âm nhạc tổ hợp chập phần tử => có C96 cách chọn Với cách chọn có 6! cách tặng Vậy số cách tặng là: C96 6!=60480 cách tặng Cách 2: Số cách tặng sách theo yêu cầu toán chỉnh hợp chập phần tử Vậy số cách tặng là: A96 =60480 cách tặng Bài tốn đếm khơng có xếp Ví dụ 4: Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Đội niên xung kích trường X có 12 học sinh, gồm học sinh lớp A, học sinh lớp B học sinh lớp C Cần chọn học sinh làm nhiệm vụ cho: a/ học sinh thuộc lớp b/ học sinh thuộc không lớp Hỏi có cách chọn vậy? *Phân tích: Số học sinh chọn từ 12 học sinh khơng xếp thứ tự nên ta sử dụng tốn *Lời giải: a/Vì học sinh chọn cần lớp nên ta có trường hợp chia sau: Học sinh lớp A Học sinh lớp B Học sinh lớp C Số cách chọn tương ứng 1 1 C52 C41 C31 120 cách C51.C42 C31 90 cách C51.C41 C32 60 cách Vậy có tất 120+90+60=270 cách b/ Số cách chọn học sinh từ 12 học sinh cho C124 495 Số cách chọn học sinh mà lớp có học sinh 270 cách chọn Nên số cách chọn học sinh thuộc không lớp phải : 495-270=225 cách chọn Ví dụ 5: (ĐH khối B-2004) Trong mơn học, thầy giáo có 30 câu hỏi khác gồm câu hổi khó, 10 câu hỏi trung bình 15 câu hỏi dễ Từ 30 câu hỏi lập đề kiểm tra, đề gồm câu hỏi khác nhau, cho đề thiết phải có đủ loại câu hỏi (khó, trung bình dễ) số câu hỏi dễ khơng 2? *Lời giải : Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Ta có trường hợp sau: số câu hỏi dễ số câu hỏi TB 2 số câu hỏi khó 1 Số cách lập đề dạng C152 C101 C52 10500 cách C152 C102 C51 23625 cách C153 C101 C51 22750 cách Áp dụng quy tắc cộng có tất 10500+23625+22750=56875 đề lập Ví dụ 6: (ĐH khối B-2005) Một đội niên tình nguyện có 15 người, gồm 12 nam nữ Hỏi có cách phân cơng đội niên tình nguyện giúp đỡ tỉnh miền núi cho tỉnh có nam nữ? *Lời giải : Số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ C31C124 Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ ta có số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ hai C21C84 Với cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ tỉnh thứ hai ta có số cách phân cơng niên tình nguyện tỉnh thứ ba C11C44 Vậy có tất cách phân cơng niên tình nguyện ba tỉnh là: C31C124 �C21C84 �C11C44 =207900 cách Ví dụ : Một lớp có 30 học sinh gồm 18 nam 12 nữ Hỏi có cách chọn ban cán lớp gồm người: a/ Mọi người vui vẻ tham gia b/ Cậu Tâm Bình rời c/ Cậu An cô Hà làm việc chung với *Lời giải : Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM a/ Vì người vui vẻ tham gia nên ta tuỳ ý chọn số 30 người vào ban cán lớp Mỗi cách chọn tổ hợp chập 30 phần tử Vậy có tất C30 30! 142506 cách chọn 5!25! b/ Cách 1: -Nếu Tâm Bình có mặt ban cán ta việc chọn người 28 người vào ban cán => có C28 cách chọn -Nếu Tâm Bình khơng có mặt ban cán ta chọn người 28 người vào ban cán => có C28 cách chọn Vậy có tất số cách chọn ban cán để Cậu Tâm Bình khơng thể rời là: C28 + C28 =101556 cách chọn Cách 2: -Chọn người tuỳ ý 30 người =>có C305 cách chọn -Chọn người có Tâm mà khơng có Bình =>có C284 cách chọn -Chọn người có Bình mà khơng có Tâm =>có C284 cách chọn Vậy có tất số cách chọn ban cán để Cậu Tâm Bình khơng thể rời là: C305 -( C284 + C284 )=101556 cách chọn c/ Cách 1: -Chọn người khơng có An mà khơng có Hà =>có C28 cách chọn -Chọn người có An mà khơng có Hà =>có C284 cách chọn -Chọn người có Hà mà khơng có An =>có C284 cách chọn Vậy có tất số cách chọn ban cán để Cậu An Hà làm việc chung với là: C28 + C284 + C284 =139230 cách chọn Cách 2: Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -Chọn người tuỳ ý 30 người =>có C305 cách chọn -Chọn người có An Hà =>có C28 cách chọn Vậy có tất số cách chọn ban cán để Cậu An Hà làm việc chung với là: C305 C28 =139230 cách chọn Ví dụ 8: Một đội văn nghệ có 20 người có 10 nam 10 nữ Hỏi có cách chọn người cho: a/ có nam b/ có nam nữ *Lời giải : a/ Chọn nam 10 nam => có C102 cách chọn Chọn nữ 10 nữ => có C103 cách chọn Vậy số cách chọn người có nam là: C102 C103 =5400 cách chọn b/ Cách 1: - Chọn người có nam nữ => có C102 C103 cách chọn - Chọn người có nam nữ => có C103 C102 cách chọn - Chọn người có nam nữ => có C104 C101 cách chọn Vậy có tất số cách chọn người cho có nam nữ là: C102 C103 + C103 C102 + C104 C101 =12900 cách chọn Cách 2: -Chọn người tuỳ ý 20 người =>có C20 cách chọn -Chọn người có nam nữ => có C101 C104 cách chọn -Chọn người có nam nữ => có C105 cách chọn Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM -Chọn người có nam nữ => có C105 cách chọn Vậy có tất số cách chọn người cho có nam nữ là: C20 -( C101 C104 + C105 + C105 )=12900 cách chọn DẠNG 2: BÀI TỐN ĐẾM CĨ LIÊN QUAN ĐẾN SỐ TỰ NHIÊN +Số tự nhiên n ab a, b 0,1, 2, ,9 , a +Số ab 10a b , abc 100a 10b c +Số ab �ba Tính số số tự nhiên liên quan đến so sánh số, chữ số: Ví dụ 9: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6,7,8,9 lập số có ba chữ số khác số a) Lớn 400? b) Khơng nhỏ 666? c) Nhỏ 345? *Lời giải: a/ Gọi số cần tìm x abc Vì x>400 nên a �4 , suy a có cách chọn bc có A82 cách chọn Vậy có tất �A82 =336 số b/ Gọi số cần tìm x abc Từ x �666 suy a �6 , ta có trường hợp sau: *TH1: Với a � 7;8;9 b,c chọn tuỳ ý Ta có : a có cách chọn bc có A8 cách chọn 10 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số khác a) Nhất thiết phải có mặt chữ số 3? b) Nhất thiết phải có mặt chữ số 4? *Lời giải : Gọi số có chữ số abcde , số tạo thành có chữ số vị trí a/ Xếp chữ số vào vị trí : có cách xếp Lấy chữ số chữ số xếp vào vị trí lại: có A54 cách Vậy có tất A54 =600 số thoả mãn yêu cầu toán b/ Xếp chữ số vào vị trí : có A52 cách xếp Lấy chữ số chữ số xếp vào vị trí lại: có A43 cách Vậy có tất A52 A43 =480 số thoả mãn yêu cầu toán Ví dụ 17: Cho tập A= 1,2,3,4,5,6,7,8 a/ Từ tập A lập số tự nhiên gồm chữ số khác mà số ln có mặt hai chữ số 7? b/ Trong số tìm câu a/ có số mà hai chữ số đứng kề nhau, chữ số đứng bên trái chữ số 7? *Lời giải : Một số gồm chữ số khác lập từ tập A có dạng abcde A; a b c ( với a, b, c, d , e ι��� d e ) a/ Ta có: Có A52 cách chọn chữ số chữ số vào vị trí Có A63 cách chọn chữ số lại vào vị trí lại Do số số tự nhiên cần tìm : 17 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM A52 �A63 =2400 (số) b/Nhận thấy : “ Số cách chọn hai chữ số đứng cạnh mà chữ số đứng bên trái chữ số dãy có vị trí cách chọn” Coi cặp số 17 phần tử kép Sẽ có cách xếp vị trí cho phần tử kép Với cách xếp có A63 cách chọn chữ số lại vào vị trí lại Khi ta có tất là: A63 = 480 số cần tìm Ví dụ 18: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7 Có thể lập số tự nhiên có chữ số khác đơi một, cho chữ số có chữ số chẵn chữ số lẻ *Lời giải: Cách 1: Gọi x a1a2 a3a4 a5 số cần tìm Xét TH sau: +Nếu a1 số chẵn, a1 � 2, 4, 6 với cách chọn a1 ta thấy Có C32 cách chọn chữ số chẵn lại Có C42 cách chọn chữ số lẻ Có 4! hốn vị chữ số chọn � có 3.4! C32 C42 =1296 số dạng +Nếu a1 số lẻ, a1 � 1,3,5, 7 với cách chọn a1 ta thấy Có C43 cách chọn chữ số chẵn Có C31 cách chọn chữ số lẻ lại Có 4! hốn vị chữ số chọn � có 4.4! C43 C31 =1152 số dạng Vậy có tất 1296+1152=2448 số cần tìm Cách 2: 18 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Có C43 cách chọn chữ số chẵn Có C42 cách chọn chữ số lẻ Có 5! Hốn vị chữ số chọn � có 5! C43 C42 =2880 số có chữ số khác có chữ số chẵn chữ số lẻ Trong có: C32 cách chọn chữ số chẵn C42 cách chọn chữ số lẻ Có 4! Hốn vị chữ số chọn � có 4! C32 C42 =432 số có chữ số chẵn chữ số lẻ bắt đầu chữ số Vậy có tất 2880-432=2448 số cần tìm 4.Tính số số tự nhiên có chứa chữ số lặp lại: Ví dụ 19: Có số tự nhiên gồm năm chữ số , chữ số có mặt lần, chữ số có mặt lần chữ số lại khác ? *Lời giải : Gọi số có chữ số abcde , số tạo thành có chữ số vị trí Chọn vị trí xếp chữ số 0: có C42 cách Chọn vị trí xếp chữ số 1: có cách Chọn chữ số chữ số (10 chữ số trừ chữ số 1) xếp vào vị trí lại : có A82 cách Vậy có tất C42 A82 =1008 số thoả mãn yêu cầu toán Ví dụ 20: Cho chữ số 0,1,2,3,4,5 Có số tự nhiên gồm chữ số , chữ số có mặt lần chữ số lại có mặt lần ? *Lời giải : Gọi x a1a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 số cần tìm 19 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Trong x chữ số có mặt lần nên ta ghi thêm : 0,1,2,3,4,5,5,5 Cách 1: a1 có cách chọn (vì a1 khác 0) a2 có cách chọn a3 có cách chọn a4 có cách chọn a5 có cách chọn a6 có cách chọn a7 có cách chọn a8 có cách chọn � có 1.2.3.4.5.6.7.7=35280 số Nhưng có chứa 3! số giống ta giao hoán chữ số chữ số Vậy số số cần tìm 35280 5880 số 3! Cách 2: Chọn chữ số vào vị trí hoán vị 8! số Trong có 7! Số có chữ số đứng đầu 3! Số giống hoán vị chữ số Vây nên ta có tất � Từ 8! 7! 5880 số cần tìm 3! có toán tổng quát: Bài 1: “ Cho n chữ số khác khác 0, �n �9 Hỏi có số tự nhiên có n+k chữ số chữ số lặp lại k lần ( k>1) chữ số khác có mặt lần” � Công thức n k 1 ! k! số cần tìm Bài 2: “ Cho n chữ số khác chứa chữ số 0, �n �9 Hỏi có số tự nhiên có n+k chữ số chữ số lặp lại k lần ( k>1) chữ số khác có mặt lần” 20 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM � Công thức n k 1 ! n k ! k! số cần tìm 5.Bài toán đếm liên quan đến tổng chữ số tính tổng số tự nhiên vừa tìm được: Ví dụ 21: Từ chữ số 1,2,3,4,5 lập số tự nhiên có chữ số khác đôi tạo thành từ chữ số Hãy tính tổng tất số vừa tìm *Lời giải : Cách 1: Mỗi số cần tìm hốn vị phần tử số số cần tìm 5!=120 số Nhận thấy: Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a41 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 Có 24 số có dạng n= a1a2 a3 a4 � Tổng chữ số hàng đơn vị (1+2+3+4+5).120=360 Tương tự : Tổng chữ số hàng chục (1+2+3+4+5).10.120=3600 Tổng chữ số hàng đơn vị (1+2+3+4+5)100.120=36000 Tổng chữ số hàng đơn vị (1+2+3+4+5)1000.120=360000 Tổng chữ số hàng đơn vị (1+2+3+4+5)10000.120=3600000 Vậy tổng 120 số n là: 360+3600+36000+360000+3600000=3999960 Cách 2: 21 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Trong số 120 số n ta ln tìm cặp số n,n’ cho tổng chúng n+n’=66666 chẳng hạn 12345+54321=66666 Do tống tất 120 số vùa tìm là: 66666 120 =3999960 Ví dụ 22: Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số, số gồm chữ số khác tổng chữ số hàng chục, hàng trăm, hàng nghìn 8? *Lời giải : Gọi số cần tìm abcdef Theo giả thiết c+d+e=8 Suy c, d , e � 1;2;5 c, d , e � 1;3;4 +Với c, d , e � 1;2;5 : Ta có 3! Cách chọn cde Chọn chữ số a,b,f - 3=6 chữ số : có A63 cách chọn Vậy có 3! �A63 =720 số + Với c, d , e � 1;3;4 : Tương tự ta có 720 số Vậy có tất 720+720=1440 số thoả mãn yêu cầu tốn DẠNG 3: BÀI TỐN ĐẾM LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Ví dụ 23: Cho n N , n a/ Cho đa giác lồi n cạnh Hỏi có đường chéo? b/ Một đa giác lồi có cạnh để số đường chéo 35? 22 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM *Phân tích: Mỗi đoạn thẳng tương ứng với điểm thuộc n điểm , có cạnh đường chéo đa giác.Và ngược lại điểm thuộc n điểm tạo đoạn thẳng cạnh đường chéo đa giác *Lời giải : a/ Đa giác có n cạnh => có n đỉnh Mỗi đường chéo tạo thành từ đỉnh n đỉnh ngược lại, trừ n cạnh đa giác Vậy có tất : Cn n n 1 n n n2 3n n! n (đường chéo) 2! n ! 2 b/ theo kết phần a ta có n N , n Cn2 n 35 � n 3n 70 ���� � n 10 Vậy đa giác lồi có 10 cạnh có 35 đường chéo Ví dụ 24: Cho đường thẳng a, b song song với Trên đường thẳng a có 10 điểm phân biệt, đường thẳng b có 15 điểm phân biệt Hỏi có tam giác có đỉnh thuộc 25 điểm kể trên? *Phân tích 1: Mỗi tam giác tương ứng với điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm , điểm thuộc đường thẳng khơng hình thành tam giác Lời giải 1: Chọn điểm 25 điểm kể ta có: C253 cách chọn Chọn điểm nằm đường thẳng a có : C103 cách chọn Chọn điểm nằm đường thẳng b có : C153 cách chọn Vậy có tất : C253 - C103 - C153 =1725 tam giác *Phân tích 2: Mỗi tam giác tương ứng với điểm không thẳng hàng thuộc 25 điểm, cách chọn điểm không thuộc đường thằng ta có trường hợp sau: 23 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Lời giải 2: Tam giác tạo điểm nằm a hai điểm nằm b ta có : C101 C152 tam giác Tam giác tạo hai điểm nằm a điểm nằm b ta có: C102 C151 tam giác Vậy có tất số tam giác là: C101 C152 + C102 C151 =1725 tam giác Ví dụ 25: Trong mặt phẳng cho 20 đường thẳng phân biệt a1 , a2 , , a20 song song với đôi 30 đường thẳng phân biệt b1 , b2 , , b30 vng góc với đường thẳng i 1,20 Tính số hình chữ nhật tạo nên từ 50 đường thẳng đó? *Lời giải : Ta thấy bốn đường thẳng gồm đường thẳng , a j �i, j �20, i �j đường thẳng bm , bn �m, n �30, m �n cắt tạo thành hình chữ nhật Ngược lại, hình chữ nhật tạo thành từ đường thẳng gồm đường thẳng , a j đường thẳng bm , bn Do số hình chữ nhật cần tìm số bốn đường thẳng gồm đường thẳng , a j đường thẳng bm , bn Có C202 cách chọn đường thẳng , a j Có C302 cách chọn đường thẳng bm , bn Vậy có C202 �C302 =82650 hình chữ nhật Ví dụ 26: Cho đa giác A1 A2 A2 n , n N , n nội tiếp đường tròn tâm O Biết số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n gấp 20 lần so với số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Tìm n ? Lời giải : Số tam giác có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n C2n 24 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Ta thấy ứng với hai đừơng chéo qua tâm O đa giác A1 A2 A2 n cho tương ứng hình chữ nhật có đỉnh điểm 2n điểm A1 , A2 , , A2 n ngược lại hình chữ nhật cho tương ứng hai đường chéo qua tâm O đa giác Mà số đường chéo qua tâm đa giác n Do số hình chữ nhật có đỉnh 2n điểm A1 , A2 , , A2 n Cn2 Theo giả thiết C23n 20Cn2 � 2n ! 3! 2n 3 ! 20 n! 2! n ! 2n 2n 1 2n 20n n 1 � n8 � Ví dụ 27 : Cho lục giác lồi ABCDEF a/Có tam giác có đỉnh đỉnh lục giác cho? b/ Trong tìm câu a/ có tam giác có canh khơng phải cạnh lục giác? Lời giải : a/ Nhận thấy đỉnh hình lục giác tạo thành tam giác ngược lại tam giác tạo thành từ đỉnh hình lục giác, có : C63 6! 20 tam giác 3!3! b/ Số tam giác có cạnh cạnh đa giác gồm loại: số tam giác có cạnh đa giác C61 số tam giác có cạnh đa giác C61.C21 Vậy số tam giác có hoăc cạnh cạnh lục giác là: C61 + C61.C21 =18 tam giác Vậy có tất số tam giác có cạnh khơng phải cạnh lục giác : 25 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM 20-18 =2 tam giác *Ví dụ 28: Có thể trả lời câu hỏi với bát giác ABCDEFGH a/Có tam giác có đỉnh đỉnh bát giác ABCDEFGH? b/ Trong tìm câu a/ có tam giác có cạnh cạnh bát giác ABCDEFGH? Đáp số: a/ có C8 8! 56 tam giác có đỉnh đỉnh bát giác 3!5! b/ có C81 C81.C41 C81.C51 40 tam giác có cạnh cạnh bát giác Và có tất : 50 – 40 = 10 tam giác có cạnh khơng phải cạnh bát giác Từ giải tốn Tổng qt sau: “ Cho đa giác lồi n cạnh A1 A2 An n �N , n a/Có tam giác có đỉnh đỉnh đa giác A1 A2 An ? b/ Trong tìm câu a/ có tam giác có cạnh khơng phải cạnh đa giác A1 A2 An ? ” Lời giải : a/ Số tam giác có đỉnh đỉnh đa giác A1 A2 An số tổ hợp chập n phần tử Cn3 n! n n 1 n 3! n 3 ! b/ Số tam giác có cạnh cạnh đa giác A1 A2 An gồm loại: số tam giác có cạnh đa giác Cn1 số tam giác có cạnh đa giác Cn1 Cn14 Vậy số tam giác có hoăc cạnh cạnh đa giác là: Cn1 + Cn1 Cn14 = n n n n n 3 nCn13 Cn1 Cn13 26 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Vậy có tất số tam giác có cạnh khơng phải cạnh đa giác : Cn3 Cn1 Cn13 n n 1 n n n 3 n n 1 n 6n n 3 n n 9n 20 Ví dụ 29: Cho n điểm phân biệt không gian Trong có m điểm đồng phẳng số lại khơng có điểm đồng phẳng Dựng tất mặt phẳng chứa n điểm n, m �N , n 4, m 3 a/ Hỏi có mặt phẳng khác nhau? b/ Hỏi có tứ diện ? *Lời giải: a/ Mỗi mặt phẳng chứa điểm n điểm kể nên số mặt phẳng tổ hợp chập n : Cn3 Nhưng số có m điểm đồng phẳng m điểm xác định mặt phẳng Số mặt phẳng tạo từ m điểm Cm3 ta coi chúng mặt phẳng Do số mặt phẳng cần tìm là: Cn3 - Cm3 +1 (mặt phẳng) b/ Chọn điểm n điểm cho tổ hợp chập n phần tử có: Cn4 Trong có chứa Cm4 khơng phải tứ diện Vì m điểm đồng phẳng Vậy có tất số tứ diện cần tìm là: Cn4 - Cm4 27 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - V.CÁC BÀI TẬP TỰ GIẢI: Lớp 11A có 40 học sinh , có 22 học sinh nam 18 học sinh nữ Giao viên chủ nhiệm muốn chọn ban cán lớp gồm lớp trưởng, bí thư, lớp phó văn nghệ, lớp phó lao động Hỏi có cách chọn Ban cám lớp nếu: a Ban cán lớp chọn bất kỳ? b Ban cán toàn trai? c Lớp trưởng phải học sinh nam lớp phó văn nghệ phải học sinh nữ? Một thầy giáo có 10 sách khác nhau, có sách Tốn,3 sách Lý, sách Hoá Thầy muốn lấy tặng cho học sinh A,B,C,D,E em Hỏi thầy có cách tặng nếu: a Chỉ tặng cho học sinh sách Toán Hố? b Có sách Tốn tặng? c Sau tặng sách xong, loại quyển? Một đội Văn nghệ có 18 người gồm 10 nam nữ Hỏi có cách lập nhóm đồng ca gồm người, biết rằng: a Trong nhóm tồn nữ? b Trong nhóm có nam? c Trong nhóm có nữ? d Trong nhóm có nam? Từ chữ số 1,2,3,4,5,6 lập số tự nhiên có chữ số khác số tổng chữ số đầu nhỏ tổng chữ số cuối đơn vị? 28 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 lập số tự nhiên mà số có chữ số khác cho a Hai chữ số đứng cạnh nhau? b Hai chữ số khơng đứng cạnh nhau? Có số gồm chữ số cho tổng chữ số số số lẻ? Từ chữ số 0,1,6,7,8,9 Hãy tìm tất số chẵn có chữ số khác lớn 5000? Từ chữ số 0,1,2,3,4,5 Hãy tìm tất số có chữ số khác cho a/ chữ số hàng trăm b/ Ln có mặt chữ số chữ số hàng nghìn Có số chẵn gồm chữ số khác đơi chữ số chữ số lẻ? 10 Có số gồm chữ số khác đôi có chữ số lẻ chữ số chẵn? 11 Cho chữ số 0,1,2,3,4 Hỏi lập số có chữ số chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt lần? 12 Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác có mặt chữ số khơng có mặt chữ số 1? 13 Có số tự nhiên gồm chữ số đơi khác biết chữ số có mặt lần , chữ số có mặt lần chữ số khác có mặt khơng lần 14 Từ chữ số 0,1,2,5,6,7,8 Hãy tìm tất số có chữ số khác cho a/ không tận b/chia hết cho 15 Trong mặt phẳng cho n điểm ( n �4 ), khơng có điểm thẳng hàng tất đường thẳng nối điểm bất kỳ, khơng có hai đường thẳng song song, trùng vng góc Qua điểm vẽ đường thẳng vuông 29 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM góc với đường thẳng xác định n-1 điểm lại Hỏi số giao điểm đường thẳng vng góc giao ? 16 Cho hình vng ABCD Trên mõ cạnh lấy 10 điểm phân biệt khơng trùng với đỉnh Hỏi có tam giác mà ba đỉnh chọn từ điểm kể a kể đỉnh hình vng? b.Khơng tính đỉnh hình vng ? 17 Tìm số giao điểm tối đa : a 10 đường thẳng phân biệt? b đường tròn phân biệt? c 10 đường thẳng đường tròn trên? 30 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - V- KẾT QUẢ THỰC HIỆN: Kết thử nghiệm cuối học kỳ I năm học 2014- 2015, chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A,D khảo sát kết cụ thể sau : Trước thực đề tài: Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 11A1 0% 16.7% 15 50% 10 33.3% 12A7 0% 10% 16 53.3% 11 36.7% Kết thử nghiệm sau thực đề tài , chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A,D khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Khá Trung bình Yếu 11A1 16.7% 12 40 % 11 36.7 % 6.6% 12A7 3.3% 26.7% 15 50% 20% Rõ ràng qua 01 năm thực đề tài, kết học sinh có nhiều tiến mảng kiến thức đề cập đề tài 31 ... Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM - DẠNG 1: BÀI TOÁN ĐẾM PHƯƠNG ÁN Bài tốn đếm có xếp Ví dụ 1: Có cách xếp bạn học sinh... 11 Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM *Gọi P tập gồm chữ số khác Số cách chọn P C95 Với cách chọn P thì: c có cách chọn abde có 4! cách... Chuyên đề: CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHÉP ĐẾM *Lời giải : Chọn tem thư từ tem => có C53 cách chọn Chọn bì thư từ bì thư => có C63 cách chọn Mỗi cách