CHUYÊN đề bất ĐẲNG THỨC LOẠI KHÓ -ÔN THI HSG

TRNG THPT CHUYÊN LÝ T TRNG  TOÁN − TIN HC Chuyên  B B   T T     N N G G T T H H   C C Thc hin: Võ Quc Bá Cn c sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 − 2006 TPCT − 2006 1 i nói u oOo t ng thc là mt trong nhng vn  hay và khó nht ca chng trình toán ph thông bi nó có mt trên hu khp các lnh vc ca toán hc và nó òi hi chúng ta phi có mt vn kin thc tng i vng vàng trên tt c các lnh vc. i ngi chúng ta, c bit là các bn yêu toán, dù ít dù nhiu thì cng ã tng au u trc mt bt ng thc khó và cng ã tng có c mt cm giác t hào khi mà mình chng minh c bt ng thc ó. Nhm “kích hot” nim say mê t ng thc trong các bn, tôi xin gii thiu vi vi các bn cun sách “chuyên  t ng thc”. Sách gm các phng pháp chng minh bt ng thc mi mà hin nay cha c ph bin cho lm. Ngoài ra, trong sách gm mt s lng ln bt ng thc do tôi  sáng tác, còn li là do tôi ly  toán trên internet nhng cha có li gii hoc có i gii nhng là li gii hay, l, p mt. Phn ln các bài tp trong sách u do tôi  gii nên không th nào tránh khi nhng ng nhn, sai lm, mong các bn thông m. Hy vng rng cun sách s giúp cho các bn mt cái nhìn khác v bt ng thc và mong rng qua vic gii các bài toán trong sách s giúp các bn có th tìm ra phng pháp ca riêng mình, nâng cao c t duy sáng to. Tôi không bit các n ngh sao nhng theo quan m ca bn thân tôi thì nu ta hc tt v bt ng thc thì cng có th hc tt các lnh vc khác ca toán hc vì nhã nói  trên bt ng thc òi hi chúng ta phi có mt kin thc tng hp tng i vng vàng. Tôi không nói suông âu, chc hn bn cng bit n anh Phm Kim Hùng, sinh viên h CNTN khoa toán, trng HKHTN, HQG Hà Ni, ngi ã c tham  hai k thi IMO và u t kt qu cao nht trong i tuyn VN. Bn bit không? Trong thi hc ph thông, anh y ch chuyên tâm rèn luyn bt ng thc thôi. (Các bn lu ý là tôi không khuyn khích bn làm nh tôi và anh y âu nhé!) 2 c dù ã c gng biên son mt cách tht cn thn, nhng do trình  có hn nên không th tránh khi nhng sai sót, mong các bn thông cm và góp ý cho tôi  cun sách ngày càng c hoàn thin hn. Chân thành cm n. i óng góp xin gi v mt trong các a ch sau: + Võ Quc Bá Cn, C65 khu dân c Phú An, phng Phú Th, qun Cái Rng, thành ph Cn Th. (071.916044 + Email. babylearnmath@yahoo.com Kính tng các thy ng Bo Hòa, Phan i Nhn, Trn Diu Minh, Hunh Bu Tính, cô T Thanh Thy Tiên và toàn th các thy cô giáo trong t Toán Tin, thân ng các bn cùng lp. 3 T S BT NG THC THÔNG DNG 1. Bt ng thc AM-GM. u 12 , , , n aaa là các s thc không âm thì 12 1 1 . n n in i a aaa n = ≥ ∑ ng thc xy ra khi và ch khi 12 n aaa = == . 2. Bt ng thc AM-HM. u 12 , , , n aaa là các s thc dng thì 1 1 11 . 11 . n i n i i i a n na = = ≥ ∑ ∑ ng thc xy ra khi và ch khi 12 n aaa = == . 3. Bt ng thc Bunhiacopxki. Cho 2 n s thc 12 , , , n aaa và 12 , , , n bbb . Khi ó, ta có 2222222 1 2 1 2 11 22 ( )( ) ( ) n n nn a a a b b b ab ab ab + ++ + ++ ≥ + ++ ng thc xy ra khi và ch khi 12 12 n n a aa bbb = == 4. Bt ng thc Minkowski. Cho 2 n s thc dng 12 , , , n aaa và 12 , , , n bbb . Khi ó vi mi 1, r ≥ ta có 1 11 1 11 () n nn r rr r rr ii ii i ii ab ab = ==   +≤+     ∑ ∑∑ 5. Bt ng thc AM-GM m rng. u 12 , , , n aaa là các s thc không âm và 12 , , , n βββ là các s thc không âm có tng bng 1 thì 12 11 22 12 n nnn a a a aaa β ββ ββ β+++≥ 6. Bt ng thc Chebyshev. Cho 2 n s thc 12 n aaa ≤ ≤≤ và 12 , , , n bbb . Khi ó a) Nu 12 n bbb ≤ ≤≤ thì 1 11 . n nn ii ii i ii nab ab = ==  ≥   ∑ ∑∑ a) Nu 12 n bbb ≥ ≥≥ thì 1 11 . n nn ii ii i ii nab ab = ==  ≤   ∑ ∑∑ 4 ng thc xy ra khi và ch khi 12 12 n n aaa bbb = ==   = ==  7. Bt ng thc Holder. Cho 2 n s thc không âm 12 , , , n aaa và 12 , , , n bbb . Khi ó vi mi ,1 pq > tha 11 1, pq += ta có 11 111 nnn pq pq iiii iii abab ===  ≤   ∑∑∑ 8. Bt ng thc Schur. i mi b ba s không âm ,, abc và 0, r ≥ ta luôn có bt ng thc ( )( ) ( )( ) ( )( ) 0 rrr aabac bbcba ccacb −−+−−+−−≥ ng thc xy ra khi và ch khi abc == hoc ,0 a bc == và các hoán v. 9. Bt ng thc Jensen. Gi s () fx là mt hàm li trên [,] ab . Khi ó, vi mi 12 , , , [ , ] n x x x ab ∈ và 12 , , , 0 n αα α≥ tha 12 1 n αα α+++= ta có bt ng thc 11 () nn ii ii ii f x fx αα ==  ≥   ∑∑ 10. Bt ng thc sp xp li. Cho 2 dãy n u cùng tng 12 n aaa ≤ ≤≤ và 12 n bbb ≤ ≤≤ . Khi ó, vi 12 , , , n iii là mt hoán v bt kì ca 1,2, , n ta có 11 22 1122 1211 nn nniiiiiinnn ab ab ab ab ab ab ab ab ab − + ++ ≥ + ++ ≥ + ++ 11. Bt ng thc Bernulli. i 1 x >− , ta có + u 10 rr ≥∨≤ thì (1)1 r x rx + ≥+ + u 10 r >> thì (1)1 r x rx + ≤+ 5 T NG THC THUN NHT 1. Mu. u ht các bt ng thc cn (AM-GM, Bunhiacopxki, Holder, Minkowsky, Chebyshev ) u là các bt ng thc thun nht. u này hoàn toàn không ngu nhiên. V logíc, có th nói rng, ch có các i lng cùng bc mi có th so sánh i nhau mt cách toàn cc c. Chính vì th, bt ng thc thun nht chim mt t l rt cao trong các bài toán bt ng thc, c bit là bt ng thc i s (khi các hàm s là hàm i s, có bc u hn). i vi các hàm gii tích (m, lng giác, logarith), các bt ng thc ng c coi là thun nht vì các hàm s có bc ∞ (theo công thc Taylor). Trong bài này, chúng ta s cp ti các phng pháp c bn  chng minh bt ng thc thun nht, cng nh cách chuyn t mt bt ng thc không thun nht  mt bt ng thc thun nht. Nm vng và vn dng nhun nhuyn các phng pháp này, chúng ta có th chng minh c hu ht các bt ng thc s cp. 2. Bt ng thc thun nht. Hàm s 12 ( , , , ) n fxxx ca các bin s thc 12 , , , n xxx c là hàm thun nht bc α nu vi mi s thc t ta có 1 2 12 (, , , ) (,, ,) nn f tx tx tx t f x x x α = t ng thc dng 12 (,, ,)0 n fxxx ≥ i f là mt hàm thun nht c gi là bt ng thc thun nht (bc α ). Ví d các bt ng thc AM-GM, bt ng thc Bunhiacopxki, bt ng thc Chebyshev là các bt ng thc thun nht. Bt ng thc Bernoulli, bt ng thc sin xx < vi 0 x > là các bt ng thc không thun nht. www.VNMATH.com 6 3. Chng minh bt ng thc thun nht. 3.1. Phng pháp dn bin. c m ca nhiu bt ng thc, c bit là các bt ng thc i s là du bng y ra khi tt c hoc mt vài bin s bng nhau (xut phát t bt ng thc c bn 2 0 x ≥ !). Phng pháp dn bin da vào c m này  làm gim s bin s ca t ng thc, a bt ng thc v dng n gin hn có th chng minh trc tip ng cách kho sát hàm mt bin hoc chng minh bng quy np.  chng minh bt ng thc 12 ( , , , ) 0 (1) n fxxx ≥ Ta có th th chng minh 1212 12 ( , , , ) , , , (2) 22 nn xxxx fxxxfx ++  ≥   hoc ( ) 1 2 12 12 ( , , , ) , , , (3) nn f x x x f xx xx x≥ Sau ó chuyn vic chng minh (1) v vic chng minh bt ng thc 113 13 ( , , , , ) ( , , , ) 0 (4) nn fxxx x gxx x =≥ c là mt bt ng thc có s bin ít hn. D nhiên, các bt ng thc (2), (3) có th không úng hoc chúng trong mt su kin nào ó. Vì ta ch thay i 2 bin s nên thông thng thì tính úng n ca bt ng thc này có th kim tra c d dàng. Ví d 1. Cho ,,0 abc > . Chng minh bt ng thc 333 222 222 3 a b c abc a b b c c a ab bc ca +++ ≥+++++ Chng minh. Xét hàm s 333 222 222 (,,)3() f a b c a b c abc a b b c c a ab bc ca =+++ − +++++ Ta có 2 5 (,,) , , () 224 bcbc a f abc f a b c b c ++   − =+−−     www.VNMATH.com 7 Do ó, nu min{ , , } a abc = (u này luôn có th gi s) thì ta có (,,) ,, 22 bcbc f abc f a ++  ≥   Nh vy,  chng minh bt ng thc u bài, ta ch cn chng minh (,,)0 f abb ≥ Nhng bt ng thc này tng ng vi 33 2222323 322 2 2 3 ( )0 20 ( )0 a b ab ab ab ba b ba b a ab ab aab ++ − +++++≥ ⇔+−≥ ⇔ −≥ Ví d 2. (Vietnam TST 1996) Cho ,, abc là các s thc bt k. Chng minh rng 4 4 4 444 4 (,,)( ) ( ) ( ) .( )0 7 Fabc ab bc ca abc =+++++− ++≥ i gii. Ta có 4 4 4 444 44 44 4 4 4 4 44 33 3 222 (,,) , , 22 4 ( )( )( ) .( ) 7 4 2 ().2 2 72 4() ( )( )2 . 2 78 (4 4 ( ) ) 3 (2 2 ( bcbc Fabc Fa ab bc ca abc bc bc a bca bc bc ab ca a bc ab c bc a b c bc ++  −=   =+++++− ++−  ++    −+ −+++           ++  =+ ++ − + + −−     = + −+ + + −+ 4 2 44 22 2 222 2 222 3 () )) 78 3 3()()3() ()(7710) 56 3 3( )() ()(7710) 56 bc bc abcbc abc bc b c bc aabcbc bc b c bc  + + +−   = + −+ −+ − ++ = ++ −+ − ++ www.VNMATH.com 8  hng 222 3 ( )(7 7 10) 56 b c b c bc − ++ luôn không âm. Nu ,, abc cùng du thì bt ng thc cn chng minh là hin nhiên. Nu ,, abc không cùng du thì phi có ít nht 1 trong ba s ,, abc cùng du vi abc ++ . Không mt tính tng quát, gi s ó là a .  ng thc trên suy ra (,,) , , 22 bcbc Fabc Fa ++  ≥   . Nh vy ta ch còn cn chng minh 4 4 44 (,,)0, 4 2( ) (2 ) .( 2 ) 0 , 7 Fabb ab a b b a b ab ≥∀∈ ⇔ ++ − + ≥∀∈ R R u 0 b = thì bt ng thc là hin nhiên. Nu 0 b ≠ , chia hai v ca bt ng thc cho 4 b ri t a x b = thì ta c bt ng thc tng ng 44 4 2( 1) 16 .( 2) 0 7 xx + +− +≥ t ng thc cui cùng có th chng minh nh sau Xét 44 4 ( ) 2( 1) 16 .( 2) 7 fxxx =++−+ Ta có / 33 / 3 16 ()8(1). 7 2 ( ) 0 1 . 2.9294 7 ( 2.9294) 0.4924 0 min fxxx fx x xx ff = +− = ⇔ + = ⇔ =− =−=> (Các phn tính toán cui c tính vi  chính xác ti 4 ch s sau du phy. Do min f tính c là 0.4924 nên nu tính c sai s tuyt i thì giá tr chính xác ca min f vn là mt s dng. Vì ây là mt bt ng thc rt cht nên không th tránh www.VNMATH.com 9 c các tính toán vi s l trên ây. Chng hn nu thay 4 7 bng 16 27  3 min x =− thì * min f có giá tr âm! ây * 44 4 ( ) 2( 1) 16 .( 2) 7 fxxx =++−+ .) 3.2. Phng pháp chun hóa. ng thng gp ca bt ng thc thun nht là 12 12 ( , , , ) ( , , , ) nn fxxxgxxx ≥ trong ó f và g là hai hàm thun nht cùng bc. Do tính cht ca hàm thun nht, ta có th chuyn vic chng minh bt ng thc trên v vic chng minh bt ng thc 12 ( , , , ) n fxxxA ≥ vi mi 12 , , , n xxx tha mãn u kin 12 ( , , , ) n gxxxA = . Chun hóa mt cách thích hp, ta có th làm n gin các biu thc ca bt ng thc cn chng minh, tn dng c mt s tính cht c bit ca các hng s. Ví d 3. (Bt ng thc v trung bình ly tha) Cho b n s thc dng 12 ()(,, ,) n xxxx = . Vi mi s thc r ta t 1 12 () rrr r n r xxx Mx n  + ++ =   Chng minh rng vi mi 0 rs >> ta có () (). rs Mx Mx ≥ i gii. Vì ( ) () rr M tx tM x = vi mi 0 t > nên ta ch cn chng minh bt ng thc úng cho các s thc dng 12 , , , n xxx tho mãn u kin ()1 s Mx = , tc là cn chng minh ()1 r Mx ≥ vi mi 12 , , , n xxx tho mãn u kin ()1 s Mx = . u này có th vit n gin li là Chng minh 12 rrr n xx xn +++≥ vi 12 sss n xx xn +++= .  chng minh bt ng thc cui cùng, ta áp dng bt ng thc Bernoulli ( ) (1 ( 1)) 1 .( 1) 1, rr rsss ss iiii r xx x x in s = = + − ≥ + − ∀= ng các bt ng thc trên li, ta c u phi chng minh. www.VNMATH.com [...]... (ví d th bình ph hóa b t ng kh c n) Ta th c hi n phép chu n hóa ng th c ã cho N u x 2 + y 2 + z 2 = 0 , thì x = y = z = 0 , b t ng th c N u x 2 + y 2 + z 2 > 0 , do b t thành th gi s i tr c ti p s r t khó n gi n ng th c tr ng th c ã cho là thu n nh t, ta có x 2 + y 2 + z 2 = 9 Ta c n ch ng minh 2( x + y + z ) ≤ xyz + 10 v i x2 + y2 + z 2 = 9 ch ng minh u ki n u này, ta ch c n ch ng minh [2( x + y... , chúng r t h u hi u trong vi c ch ng minh các b t ng th c thu n nh t Tuy nhiên, do u ki n x y ra d u b ng c a các b t ng th c này r t nghiêm ng t nên vi c áp d ng m t cách tr c ti p và máy móc ôi khi khó em l i t qu áp d ng t t các b t ki n x y ra d u b ng và áp d ng ph ng th c này, chúng ta ph i nghiên c u k u ng pháp tr ng s Ví d 6 Ch ng minh r ng n u x, y , z là các s th c không âm thì 3 6(− x... 7 9 4 x yz = 81xyz (6.2) 48 ng th c c n ch ng minh Trong ví d trên, chúng ta ã s d ng c b t ng th c Bunhiacopxki và b t th c AM-GM có tr ng s L i gi i r t hi u qu và n t công c a l i gi i trên n m ó, khó có th thu hai dòng ng n ng i c k t qu mong mu n D ch n các tr ng s thích h p b ng ph ra d u b ng ng ng Tuy nhiên, s thành u Không có « c oán » i ây ta s xét m t ví d v vi c ng pháp h s b t nh các u... ta v trái Tuy nhiên, n u áp d ng c 13( x 2 + y 2 − x 2 ) 9( x 2 + y 2 + x 2 ) VT ≤ + = 9 x 2 + 11 y 2 2 2 ây không ph i là không thu u mà ta c n (T ây ch có th suy ra VT ≤ 20 y 2 ) S d ta c ánh giá c n thi t là vì d u b ng không th n áp d ng b t (7.1) ng th c AM-GM u ch nh, ta nh sau 16 ng th i x y ra a vào các h s d hai ng a, b www.VNMATH.com 1 2 2 x ) 1 2 2 x ) 13( ax)( y − 9(by )( y + + a b 2 2 2... thù c a bài toán, và ôi khi l ng thì, b c th nh t trong 2 b n ph i làm vi c v i các ng d n bi n th II Ph i m t và th cl ng là d ch ng minh ng trung bình nào ng t khá c chính d n bi n tùy c bi t trên là khó h n c vì th c ch t ta ng có ít nh t là ba bi n s Sau ây là m t vài ng g p ng pháp d n bi n trong is 1 D n bi n ba bi n s ây là ph n ph n gi n nh t c a ph ng pháp d n bi n Và ng ng pháp d n bi n... = c Cách là trên là m t ý t ng có th nói là khá c áo và là c s hình thành nên cách th c d n bi n b n bi n s mà chúng ta s xét ngay bây gi 2 D n bi n b n bi n s Khác v i ba bi n s d n bi n b n bi n s khó kh n và ph c t p h n nhi u Trong tr ng h p này ki u d n bi n thông th ng Và ví d 1.3 chính là ti n quy t các bài b t ng mà chúng ta v n làm v i ba bi n vô tác xây d ng nên ng l i t ng quát ng th c . TRNG THPT CHUYÊN LÝ T TRNG  TOÁN − TIN HC Chuyên  B B   T T     N N G G T T H H   C C Thc hin: Võ Quc Bá Cn c sinh chuyên Toán, niên khóa 2004 − 2006 TPCT. “kích hot” nim say mê t ng thc trong các bn, tôi xin gii thiu vi vi các bn cun sách chuyên  t ng thc”. Sách gm các phng pháp chng minh bt ng thc mi mà hin nay cha. t kt qu cao nht trong i tuyn VN. Bn bit không? Trong thi hc ph thông, anh y ch chuyên tâm rèn luyn bt ng thc thôi. (Các bn lu ý là tôi không khuyn khích bn làm nh tôi