Phần I: Mở Đầu 1. Lý do chọn đề tài Bài tập lợng giác của chơng trình THPT rất đa dạng và phong phú. Riêng phần hệ thức lợng trong tam giác cũng lập thành một thể loại bài tập rất tốt trong việc củng cố kiến thức, rèn luyện kỹ năng giải toán cho học sinh. Đặc biệt phần Bất đẳng thức trong tam giác là phần tơng đối khó cho học sinh, SGK và SBT hiện nay có đề cập vấn đề này nhng còn ít. Đây là phần bài tập khó, cách giải các bài tập này không giống nhau, do đó trong quá trình giảng dạy tôi cố gắng phân loại cho học sinh theo một số dạng, hình thành phơng pháp chứng minh cho từng loại để học sinh dễ giải, dễ nhớ. Để làm đợc bài tập phần này, trớc hết học sinh cần nắm đợc các bài tập cơ bản về hệ thức lợng trong tam giác, các bài tập này đã đợc nêu trong SGK và đã hệ thống lại ở phần đầu của tài liệu này. Do năng lực còn hạn chế, bài viết chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong sự góp ý chân thành của các thầy cô, các đồng chí trong tổ cho chuyên đề hoàn thiện hơn. 2. Mục đích nghiên cứu Trong chuyên đề này tôi mong muốn làm cho học sinh nhìn nhận những bài toán khó của hệ thức lợng trong tam giác một cách đơn giản và có khả năng phân loại, tìm tòi cách giải cho các bài toán tơng tự. 3. Đối tợng nghiên cứu Học sinh lớp 11 trờng THPT Trần Phú. 4. Nhiệm vụ nghiên cứu Phân loại dạng toán sau đó đa ra lời giải cho các bài toán tổng quát, điển hình với các phơng pháp khác nhau. 5. Phạm vi và giới hạn của đề tài Chơng trình Toán lớp 11 THPT, phần Đại số: Lợng giác. 1 − C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ híng dÉn gi¶i. 2 Phần II: Nội Dung chuyên đề I. Một số hệ thức quan trọng trong tam giác. Trong các bài tập 5, 15 trang 49,51 - Các công thức lợng giác - Chơng I trong SGK đã có đợc những đẳng thức trong tam giác. 1. + + = A B C sin A sin B sinC 4cos cos cos 2 2 2 2. + + = sin2A sin2B sin2B 4sinAsin BsinC 3. + + = + A B C cosA cosB cosC 1 4sin sin sin 2 2 2 4. + + = cos2A cos2B cos2C 1 4cosA cosB cosC 5. + + =tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC 6. + + = A B B C C A tg tg tg tg tg tg 1 2 2 2 2 2 2 7. + + = A B C A B C cot g cot g cot g cot g cot g cot g 2 2 2 2 2 2 8. + + =cot gA.cotgB cot gB.cotgC cot gC.cot gA 1 Đây là các bài tập quan trọng, khi giảng dạy ta có thể rút ra ph- ơng pháp giải cho từng bài và từ đó có thể chứng minh các kết quả tổng quát hơn. 9. 1 sin 2 sin 2 sin 2 ( 1) 4sin .sin .sin n nA nB nC nA nB nC + + + = 10. 1 sin(2 1) sin(2 1) sin(2 1) ( 1) 4cos(2 1) cos(2 1) cos(2 1) 2 2 2 A B C n n A n B n C n n n + + + = 11. + + =tgnA tgnB tgnC tgnA.tgnB.tgnC 12. + + =cot gnA.cotgnB cot gnB.cotgnC cot gnC.cot gnA 1 từ các bài tổng quát trên ta có thể hớng dẫn học sinh tìm thêm các hệ thức tính + + 2 2 2 cos nA cos nB cos nC và đa ra các bài tập tơng tự những bài tập quen thuộc. ở đây tôi không đi vào phần chứng minh đẳng thức, mà dùng kết quả của các 3 bài tập 1->8 để giải quyết một số bài chứng minh Bất đẳng thức sau đây. II. Một số bài tập suy trực tiếp từ các hệ thức trên. Bài 1: Cho tam giác ABCbất kỳ. Đặt T= CBA 2 sin 2 sin 2 sin CM tam giác ABC nhọn >T 2 . Tìm điều kiện của T để ABC là tam giác tù, vuông. HDẫn: Dùng công thức hạ bậc, ta có [ ] = + + = + 1 T 3 (cos2A cos2B cos2C) T 2 2cosA cosB cosC 2 từ đó ta có : T = 2 = 2cosAcosB cosC 0 ABC vuông. T > 2 > 2cosAcosB cosC 0 ABC nhọn. T < 2 < 2cosA cosB cosC 0 ABC tù. Bài 2: CMR nếu tam giác ABC nhọn thì + + tgA tgB tgC 3 3 HDẫn: A, B, C nhọn >tgA,tgB,tgC 0 áp dụng BĐT Côsi + + 3 tgA tgB tgC 3 tgA.tgB.tgC mà + + =tgA tgB tgC tgA.tgB.tgC =T nên T 3 3 T T 3 3 ( chú ý rằng = + + >T tgA tgB tgC 0 ) dấu "=" xảy ra tgA = tgB = tgC A = B = C ABC đều. Bài 3: CMR + + 2 2 2 A B C tg tg tg 1 2 2 2 HDẫn: + + + + = 2 2 2 A B C A B C B A C tg tg tg tg .tg tg .tg tg .tg 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 đpcm dấu "=" xảy ra = = A B C tg tg tg 2 2 2 A=B=C ABC đều. 4 III. Một số bài tập về bất đẳng thức chứa sin, cosin trong tam giác. Trong phần này các bài tập dùng ký hiệu f(A), f(B), f(C) hoặc g(A), g(B), g(C) để chỉ hàm số có chứa sin, cosin của đối số A,B,C. Ta có thể phân loại ra một số dạng: Loại 1: f(A)+f(B)+f(C) a( a) (a hằng số) Ta rút ra cách giải qua các ví dụ: Bài 4: CMR 3 3 sin A sinB sinC 2 + + (1) HDẫn: 3 (1) T sinA sinB sinC 2 3 2 = + + + T sin A sinB sinC sin 2 3 3 = + + + . + + + + + + + + + + = . C C A B A B 3 3 Ta có T=2sin cos sin cos 2 2 2 2 C A B 3 2(sin sin ) 2 2 A B C A B C 3 3 4sin cos 2 2 4sin 2 3 3 đpcm. dấu "=" xảy ra A=B=C= 3 Bài 5: CMR 2 3 2 sin 2 sin 2 sin ++ CBA HDẫn: T= 6 sin 2 sin 2 sin 2 sin +++ CBA 3 3 2sin cos 2sin cos 4 4 4 4 3 2(sin sin ) 4sin 2 4 4 6 C C A B A B C A B + + = + + + + = đpcm. 5 Loại 2: f(A).f(B).f(C) ( ) a (a là hằng số) Bài 6: CMR trong tam giác ABC ta có 8 1 2 sin 2 sin 2 sin CBA HDẫn: Cách 1: Vì A, B, C là ba góc của một tam giác nên 0 2 sin, 2 sin, 2 sin > CBA áp dụng BĐT Côsi cho 3 số dơng ta có: 3 3 3 sin sin sin 1 2 2 2 2 sin sin sin 8 2 2 2 3 3 A B C A B C ữ ữ ữ ữ ữ ữ ữ + + = Ta có 2 3 2 sin 2 sin 2 sin ++ CBA đpcm. Dấu = xảy ra = = = A B C 1 sin sin sin 2 2 2 2 A= B = C, tam giác ABC đều Cách 2: Sử dụng biến đổi tơng đơng A B C 1 A B C sin sin sin 8sin sin sin 1 2 2 2 8 2 2 2 + A B C B C 4sin (cos cos ) 1 2 2 2 2 A B C A 4sin .cos 4sin 1 2 2 2 2 A B C A 4sin .cos 4sin 1 2 2 2 + 2 A A B C 4sin 4sin .cos 1 0 2 2 2 + 2 2 A B C B C (2sin cos ) sin 0 2 2 2 luôn đúng Dấu = xảy ra ABC là tam giác đều. Với cách biến đổi đa về tổng các bình phơng ta có thể áp dụng cho một số bất đẳng thức tơng tự: + + + + 2 2 2 3 1 9 cosA cosB cosC ; cosA.cosB.cosC ;sin a sin B sin C 2 8 4 ; 6 Bài 7: CMR: 3 9 cos 3 cos 3 cos 3 cos CBA HDẫn: Vì C, B, C là ba góc của tam giác theo BĐT Côsi, ta có: 3 3 3 cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 cos 3 cos ++ CBA CBA Ta có: 9 cos3 3 cos 3 cos 3 cos ++ CBA Thật vậy, ta có = + + + A B C T cos cos cos cos 4cos 3 3 3 9 9 đpcm. Loại 3: f(A).f(B).f(C)>=g(A).g(B).g(C) Bài 8: Cho tam giác ABC nhọn, cmr: sin 2 .sin 2 .sin 2 sin sin sinA B B A B C HDẫn: Ta có ( ) < = + 1 0 sin2A.sin2B cos2(A B) cos2(A B) 2 [ ] + = 1 2 1 cos2(A B) sin C 2 Tơng tự: ABC 2 sin2sin2sin0 < BCA 2 sin2sin2sin0 < Nhân các vế ta đpcm. Loại 4: Dạng f(A)+f(B)-f(C)>=a(<=a) (a- hằng số). Bài 9: CMR 2 3 2cos2cos2cos + CBA HDẫn: 01)( 2 cos 0 2 1 )cos(cos2 2 cos2 0 2 1 )12(cos)cos()cos(2 = ++ ++ BA BACC CBABA Do BĐT luôn đúng đpcm. Nhận xét: Với nhiều bài tập chứng minh bất đẳng thức có thể dùng định lý dấu tam thức bậc hai để chứng minh. Một số bài tập loại I, loại II, cũng chứng minh đợc bằng phơng pháp này. 7 Bài 10: CMR: 2 3 coscoscos ++ CBA HDẫn: 2 1 2 2 sin2 2 cos 2 cos2 2 3 coscoscos + =++ CBABA CBA = + = C C A B 1 2 2sin 2sin cos 2 2 2 2 A B 2 cos 1 0 (*) 2 Do BĐT (*) luôn đúng nên + C C A B 1 2 2sin 2sin cos 2 2 2 2 < 0 đpcm. áp dụng các bài toán cơ bản trên ta có một số bài tập sau đây: Bài tập áp dụng 1) CMR trong tam giác ABC, ta có 1 2 2 2 1) sin sin sin 2 A B C+ > 9 2 2 2 2) sin sin sin 4 A B C+ + 2) Cho tam giác ABC nhọn, cmr: a) cos(A-B) + cos(B-C)+cos(C-A) > cos A + cos B + cos C b) sinA + sinB + sinC > cosA + cosb +cosC c) tgA.tgB cotg 2 C 2 3) Chứng minh rằng trong mọi tam giác, ta có: a) A B C 4 3 cos cos .cos 2 2 2 9 b) + + < + + sin A sinB sinC 2 cosA cosB cosC 8 Phần III: Kết luận Trên đây là một số kinh nghiệm khi tôi giảng dạy phần Bất đẳng thức trong tam giác, với cách phân loại nh vậy học sinh đỡ lúng túng khi định hớng cách giải cho một số bài về Bất đẳng thức trong tam giác. Với mỗi bài tập này có thể có rất nhiều cách khác nhau để giải, nhng mỗi cách tạo ra một đờng lối riêng cho từng loại bài, đó là điều mà mỗi giáo viên cần cố gắng rút ra trong quá trình giảng dạy. Các ví dụ đều là các bài toán rất cơ bản, có tính vận dụng cao trong quá trình chứng minh trong các bài tập về chứng minh bất đẳng thức trong tam giác. Qua đó học sinh sẽ thuận lợi hơn trong việc chứng minh các Bất đẳng thức trong tam giác - Các bài toán th- ờng gặp trong các kỳ thi vào các trờng chuyên nghiệp. Với những gì đã trình bày trên đây đã đợc tôi vận dụng trong quá trình ôn tập cho học sinh, các em đón nhận một cách nhiệt tình và hứng khởi. Bớc đầu giúp các em bớt khó khăn với loại toán này. Tôi rất mong muốn đợc sự góp ý chân thành của các bạn đồng nghiệp để có đợc những kinh nghiệm quý báu cho giảng day; cùng tìm ra những phơng pháp giảng dạy tốt hơn. 9 . một số bài chứng minh Bất đẳng thức sau đây. II. Một số bài tập suy trực tiếp từ các hệ thức trên. Bài 1: Cho tam giác ABCbất kỳ. Đặt T= CBA 2 sin 2 sin 2 sin CM tam giác ABC nhọn >T 2 chí trong tổ cho chuyên đề hoàn thiện hơn. 2. Mục đích nghiên cứu Trong chuyên đề này tôi mong muốn làm cho học sinh nhìn nhận những bài toán khó của hệ thức lợng trong tam giác một cách đơn. giới hạn của đề tài Chơng trình Toán lớp 11 THPT, phần Đại số: Lợng giác. 1 − C¸c bµi tËp c¬ b¶n vµ híng dÉn gi¶i. 2 Phần II: Nội Dung chuyên đề I. Một số hệ thức quan trọng trong tam giác. Trong