Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 42 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
42
Dung lượng
821,96 KB
Nội dung
CHUYÊN ĐỀ UCLN VÀ BCNN DẠNG 1: Tìm tập hợp BC Bài 1: Tìm tập hợp sau tìm BC chúng: a, BCNN (60;280) b, BCNN(84;108) c, BCNN(13;15) d, BCNN(10;12;15) Bài 2: Tìm tập hợp sau tìm BC chúng: a, BCNN(8;9;11) b, BCNN(24;40;168) c, BCNN(40;52) d, BCNN(42;70;180) Bài 3: Tìm tập hợp sau tìm BC chúng: a, BCNN(770;220) b, BCNN(154;220) c, BCNN(12;36) d, BCNN(28;56;560) Bài 4: Tìm tập hợp sau tìm BC chúng: a, BCNN(25;39) b, BCNN(100;120;140) Bài 5: Tìm BCNN của: a, 51 ; 102 153; b, 15 ; 18 120; c, 600 ; 840 37800; d, 72 ; 1260 2520 Bài 6: Cho a = 15, b = 25 Hãy tìm: a, BCNN (a; b); b, BC (a; b) nhỏ 300 Bài 7: Cho số tự nhiên 16 , 25 32 So sánh a, BCNN (16; 25) BCNN (16; 32); b, BCNN (16; 25) BCNN (25; 32); c, BCNN (16; 32) BCNN (25; 32) Bài 8: Trong số sau đây, BCNN gấp lần UCLN a, 42; 63 105; b, 80; 120 1000? Bài 9: Tìm số tự nhiên a nhỏ khác biết a 15 a 18 Bài 10: Tìm BC nhỏ 200 30 45 Bài 11: Tìm số tự nhiên x biết x 12, x 21 x 28 150 x B(12) x 18 => x B(18) => x BC( 10 ;12 ; 18) = { ;180 ;360 ;540 : } Vì số sách khoẳng từ 200 đến 500 nên x = 360 Vậy số sách ban đầu 360 Bài 2: Hai bạn Tùng Hải thường đến thư viện đọc sách, Tùng ngày đến thư viện lần, Hải 10 ngày lần,Lần đầu hai bạn đến thư viện vào ngày.Hỏi sau ngày hai bạn lại đến thư viện? HD : Gọi x ( ngày) số ngày hai bạn Tùng hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 x nhỏ Khi ta có : x => x B(8) x 10 => x B(10) => x BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; ) Vì x nhỏ khác không nên x = 40 Vậy sau 40 ngày hai bạn lại đến thư viện vào ngày Bài 3: Học sinh lớp 6A xếp hàng 2, 3, 4, vừa đủ, biết số học sinh lớp khoảng từ 35 đến 60, Tính số học sinh? HD: Gọi x ( học sinh) số học sinh lớp 6A :=> x > 35 < x < 60 Khi ta có : x => x B(2) x => x B(3) x => x B(4) x => x B(8) => x BC( ;3 ;4 ;8) = { 0; 24; 48 ; 72 ; ) Vì x khoẳng từ 35 đến 60 nên x = 48 Vậy lớp 6A có 48 học sinh Bài 4: Hai bạn An Bách trực nhật, An 10 ngày lại trực nhật Bách 12 ngày lại trực nhật Hỏi sau ngày hai bạn lại trực nhật? HD: Gọi x ( ngày) số ngày hai bạn Tùng hải lại đến thư viện vào lần sau :=> x>0 x Khi ta có : x => x B(8) x 10 => x B(10) => x BC( 8; 10) = { 0; 40; 80; 120; ) Vì x nhỏ khác khơng nên x = 40 Vậy sau 40 ngày hai bạn lại đến thư viện vào ngày Bài 5: Số học sinh trường số có chữa số lớn 900, lần xếp hàng 3, 4, đủ Hỏi trường có học sinh? HD : Gọi số học sinh trường x( học sinh) => x N ,900 x 1000 Theo ta có : x 3, x 4, x => x BC(3 ;4 ;5) = B(60) B(60) = {0 ; 60 ; ; 600 ; 660 ; 840 ; 900 ; 960 ;1020 ; } Vì 900 < x < 1000 nên x = 960 Vậy số học sinh trường x = 960 học sinh GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 6: Ba bạn An Bảo Ngọc học trường lớp khác nhau, An ngày trực nhật lần, Bảo 10 ngày trực nhật lần Ngọc ngày trực nhật lần, Lần đầu ba bạn trực nhật vào ngày, Hỏi sau ngày ba bạn lại trực nhật, lúc bạn trực nhật lần HD : Gọi x ( ngày) số ngày ba bạn An , Bảo Ngọc lại trực nhật vào lần sau => x>0 x nhỏ Khi ta có : x => x B(5) x 10 => x B(10) x => x B(8) => x BC( 8; 10 ;5 ) = { 0; 40; 80; 120; ) Vì x nhỏ khác không nên x = 40 Vậy sau 40 ngày ba bạn lại trực nhật vào ngày Bài 7: Một trường THCS xếp hàng 20,25,30 dư 15 học sinh, xếp hàng 41 vừa đủ, Tính số học sinh trường biết số học sinh trường chưa đến 1000 HD : Gọi số học sinh trường x=> (0 x - 15 B(25) x - 15 30 => x - 15 B(30) => x - 15 BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; ) => x { 15; 315; 615;915; 1215; ) Thêm nữa, xếp hàng 41 vừa đủ nên x 41, Trong số < 1000 có số 615 chia hết cho 41 Vậy số học sinh trường 615 học sinh Bài 8: Một trường THCS xếp hàng 20, 25, 30 dư 13 học sinh xếp hàng 45 cịn dư 28 học sinh, Tính số học sinh trường biết số hs chưa đến 1000 HD: Gọi số học sinh trường x => (0 < x < 1000, x số tự nhiên ) Theo u cầu tốn ta có : x - 13 20 => x - 13 B(20) x - 13 25 => x - 13 B(25) x - 13 30 => x - 13 B(30) => x - 13 BC( 20; 25; 30 ) = { 0; 300; 600;900; 1200; ) => x { 13; 313; 613; 913; 1213; ) Thêm nữa, xếp hàng 45 cịn dư 28 học sinh nên x - 28 phải chia hết cho 45, Trong giá trị từ 13 đên 913 có: 613 chia cho 45 dư 28 học sinh Vậy số học sinh trường 613 học sinh Bài 9: Một đội thiếu niên xếp hàng 2, 3, 4, thừa người, Tính số đội viên biết số nằm khoảng 100 đến 150? HD: Gọi số thiếu niên đội x => (100 < x < 150, x số tự nhiên ) Theo u cầu tốn ta có : x - => x - B(2) x - => x - B(3) x - => x - B(4) x - => x - B(5) => x - BC ( 2; 3; 4; ) = { 0; 60; 120; 180; ) => x { 1; 61; 121; 181; ) Vì 100 < x < 150 nên x = 121 Vậy số đội viên đội 121 đội viên GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 10: Một khối hs xếp hàng 2, 3, 4, 5, thiếu người xếp hàng vừa đủ, biết số hs chưa đến 300, Tính số học sinh ? HD: Gọi số học sinh x => (0 < x < 300, x số tự nhiên ) Theo u cầu tốn ta có : x + => x + B(2) x + => x + B(3) x + => x + B(4) x + => x + B(5) x + => x + B(6) => x + BC( 2; 3; 4; 5;6 ) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; 360; ) => x {-1; 59; 119; 179; 239; 299; 359; ) Bên cạnh xếp hàng vừa đủ nên x chia hết cho Và < x < 300 nên có số 119, Vậy số học sinh khối 119 học sinh Bài 11: Số học sinh khối trường khoảng từ 200 - 400, xếp hàng 12 15, 18 thừa học sinh, Tính số hs HD: Gọi số học sinh trường x => (200 < x < 400, x số tự nhiên ) Theo yêu cầu tốn ta có : x - 12 => x - B(12) x - 15 => x - B(15) x - 18 => x - B(18) => x - BC( 12; 15; 18) = { 0; 180; 360; 540; ) => x {5; 185; 365; 545; ) Và 200 < x < 400 nên có số 365 thỏa mãn Vậy số học sinh khối trường 365 học sinh Bài 12: Hai dội công nhân, Trồng số nhau, công nhân đội I phải trồng cây, đội II phải trồng cây, Tính số đội phải trồng biết số khoảng từ 100 - 200 HD: Gọi x số đội phải trồng => 100 < x < 200 x số tự nhiên Theo ta có: x => x B(8) x => x B(9) => x BC( 8; ) = { 0; 72; 144; 216; ) Vì 100 < x < 200 nên x = 144 Vậy số phải trồng đội 144 Bài 13: Một phận máy có hai bánh xe cưa khớp với nhau, bánh xe có 18 cưa, bánh xe có 12 cưa, Hỏi bánh xe phải quay vòng để cưa khớp với lần đầu khớp với lần HD: Để hai hai bánh xe khớp với lần đầu lại khớp với lần số cưa bánh xe quay x : Khi x = BCNN(12;18)=36 Bánh xe quay 36:18=2 vòng Bánh xe quay 36:12 = vòng Bài 14: Số học sinh trường THCS số có ba chữ số lớn 800, lần xếp hàng 5, 6, 7, vừa đủ, hỏi trường có hs? HD : Gọi x ( học sinh) số học sinh trường => 800 < x < 1000 Theo ta có : x => x B(5) x => x B(6) x => x B(7) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức x => x B(8) => x BC( 5; ;7; ) = { 0; 840; 1680; ) Vì 800 < x < 1000 nên x = 840 Vậy số học sinh trường 840 học sinh Bài 15: Ba đội công nhân trồng số nhau, tính cơng nhân đội trồng cây, đội trồng cây, đội trồng cây, Tính số cơng nhân đội, biết số đội khoảng từ 100-200 HD: Gọi x số đội phải trồng => 100 < x < 200 x số tự nhiên Theo ta có: x => x B(7) x => x B(8) x => x B(6) => x BC( ; 8; ) = { ; 168 ; 336 ; ) Vì 100 < x < 200 nên x = 168 Vậy số phải trồng đội 168 Bài 16: Một cơng ty vận tải hàng hóa dùng ba ca nô để chở hàng, ca nô thứ ngày cập bến lần, ca nô thứ hai ngày cập bến lần, ca nô thứ ba ngày cập bến lần Hỏi ba ca nơ cập bến, sau ngày sau : a, Ca nô thứ ca nô thứ hai cập bến ? b, Ca nô thứ ca nô thứ ba lại cập bến ? c, Ca nô thứ hai ca nô thứ ba lại cập bến ? d, Cả ba ca nô cập bến ? HD : a, Gọi x số ngày ca nơ thứ ca nô thứ hai lại cập bến Khi ta có : x => x B(7) x => x B(6) x nhỏ nên => x = BCNN( 6; 7) = 42 => Vậy sau 42 ngày ca nơ ca nô giặp bến b, Gọi x số ngày ca nơ thứ ca nô thứ ba lại cập bến Khi ta có : x => x B(7) x => x B(8) x nhỏ nên => x = BCNN(8 ; 7) = 56 => Vậy sau 56 ngày ca nơ ca nô giặp bến c, Gọi x số ngày ca nơ thứ hai ca nơ thứ ba lại cập bến Khi ta có : x => x B(7) x => x B(8) x nhỏ nên => x = BCNN(8 ; 6) = 24 Vậy sau 24 ngày ca nơ ca nô giặp bến d, Gọi x số ngày ca nơ thứ hai ca nơ thứ ba lại cập bến Khi ta có : x => x B(6) x => x B(7) x => x B(8) x nhỏ nên => x = BCNN(8 ; ; 7) = 168 Vậy sau 168 ngày ba ca nơ giặp bến Bài 17: Một trường tổ chức cho khoảng 800 đến 900 học sinh tham quan, Tính số học sinh biết xếp 35 40 học sinh lên xe vừa đủ HD : Gọi số học sinh trường tham quan x=> 800< x< 900 x số tự nhiên theo ta có : x 35 => x B(35) x 40 => x B(40) => x BC(35 ; 40) = {0 ; 280 ; 560 ; 840 ; 1120 ; } Mà 800 < x < 900 nên x = 840 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Vậy số học sinh tham quan trường 840 học sinh Bài 18: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? HD : Gọi số đội đơn vị x => (x < 1000, x số tự nhiên ) Theo yêu cầu toán ta có : x - 15 20 => x - 15 B(20) x - 15 25 => x - 15 B(25) x - 15 30 => x - 15 B(30) => x - 15 BC( 20; 25; 30) = { 0; 300; 600; 900;1200; ) => x {15; 315; 615; 915; 1215; ) Mặt khác xếp hàng 41 vừa đủ x < 1000 nên số có 615 thỏa mãn Vậy số đội 615 người Bài 19: Trên đoạn đường dài 4800m, có cột điện trồng cách 60m, trồng lại cách 80m, Hỏi có cột điện khơng phải trồng lại, biết hai đầu đoạn đường có cột điện? HD: Khoảng cách hai cột điện liên tiếp khơng phải trồng lại (tính m) là: BCNN(60;80)=240, Số cột trồng lại là: (4800:240)+1=21 cột Bài 20: Ba ô tô chở khách khởi hành lúc 6h sáng từ bến xe theo ba hướng khác nhau, xe thứ quay bến sau 1h5 phút sau 10’ lại đi, xe thứ hai quay bến sau 56’ lại sau phút, xe thứ ba quay bến sau 48 phút sau phút lại đi, tính khoảng thời gian ngắn để xe xuất phát lần thứ hai ngày lúc giờ? HD: Gọi x thời gian xe xuất phát lần thứ hai bến, Theo ta có : Xe thứ sau 1h phút đến nơi thêm 10 phút sau đi, nên xe thứ 75 phút để tiếp chuyến thứ hai, : x 75 => x B(75) Tương tự ta có với xe thứ hai xe thứ ba x 60 => x B(60) x 50 => x B(50) Và x phải nhỏ nên x = BCNN (75; 60; 50) =300 phút =5h Vậy sau 5h ba xe lại lại xuất phát Bài 21: Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia Khi tổng huy cho xếp 5,6,8 hàng thấy lẻ người, Khi cho đồn xếp hàng 13 vừa vặn khơng thừa người Hỏi số người tham gia tập đồng diễn ? HD : Gọi số người tham gia tập diễn x => ( 350 < x < 500, x số tự nhiên ) Theo u cầu tốn ta có : x - => x - B(5) x - => x - B(6) x - => x - B(8) => x - BC( 5; 6; 8) = { 0; 120; 240; 360; 480; 600; ) => x {1; 121;241; 361; 481; 601; ) Mặt khác xếp hàng 13 vừa đủ 350 < x < 500 nên số có 481 thỏa mãn Vậy số người tham gia tập diễn 481 người Bài 22: Số học sinh tham gia nghi thức đội số có ba chữ số lớn 800 , Nếu xếp hàng 20 dư em, xếp hàng 25 dư 18 em, xếp hàng 15 thiếu em, hỏi có tất hs dự thi? Bài 23: Hai lớp 6A 6B thu nhặt số giấy vụn nhau, Trong lớp 6A, bạn thu 26kg, lại bạn thu 11 kg, Trong lớp 6B bạn thu 25kg lại bạn thu 10kg, Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200-300kg HD: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Gọi số giấy lớp thu x (kg): x − 26 11 Khi đó: = x − 15 BC (10;11) Ngoài 200 x 300 = x = 235 x − 25 10 Bài 24: Tìm số tự nhiên bé chia cho 2; 5; 11; 26 dư Bài 25: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4; 6; dư Bài 26: Tìm số tự nhiên n lớn có chữ số cho chia cho 3; 4; 5; 6; số dư theo thứ tự 1; 2; 3; 4; Bài 27: Nhân ngày 1- 6, Chị phụ trách chia kẹo sau, Nếu chia gói 10 gói có cái, chia gói gói cái, chia gói gói có cái, chia gói thừa cái, biết số kẹo từ 2000 – 3000 cái, Hỏi có kẹo? GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức DẠNG 3: Bài tốn BC có dư Bài 1: Bạn Nam nghĩ số có chữa số, bớt số số 7, bớt số số 8, bớt số 10 số 9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào? HD: Gọi x số bạn Nam nghĩ, ĐK: 99 a = 53 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 53 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5, 7, có số dư theo thứ tự 3, 4, HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a = 5m + 2a = 10m + 2a − Theo ta có: a = 7n + ( m, n, p N ) = 2a = 14n + = 2a − = 2a − 1 BC (9;5;7) a = p + 2a = 18 p + 10 2a − Vì a nhỏ nên 2a - nhỏ khác hay 2a - = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316 => a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 158 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 3, 4, có số dư 1, 3, HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a = 3m + 2a = 6m + 2a − Theo ta có: a = 4n + ( m, n, p N ) = 2a = 8n + = 2a − = 2a − BC (3; 4;5) a = p + 2a = 10 p + 2a − Vì a nhỏ nên 2a - nhỏ khác hay 2a - = BCNN( 3;4;5) = 60 => 2a = 62=> a = 31 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 31 Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia số cho 70, 140, 350 700 có số dư HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a # a − 70 a − 140 = a − BC ( 70;140;350;700 ) Theo ta có: a − 350 a − 700 Vì a nhỏ nên a - nhỏ hay a - = BCNN(70; 140; 350; 700) = 700 => a = 705, Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 705 Bài 6: Một số tự nhiên chia cho 2, 3, 4, 5, dư 1, chia cho khơng có dư, tìm số a nhỏ có tính chất HD : Gọi số tự nhiên cần tìm a: a # GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a − a − Theo ta có: a − = a − 1 BC ( 2;3; 4;5;6 ) = B(60) a − a − a - BCNN(2;3;4;5;6) = B(60) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; } => a {1; 61; 121; 181; 241; 301; } a chi hét cho a nhỏ nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 301 Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 4, 5, dư 1, tìm số biết số chia hết cho nhỏ 400 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a − Theo ta có: a − = a − 1 BC ( 4;5;6 ) = B ( 60 ) = 0;60;120;180; 240;300;360; 420; a − => a 1;61;121;181;241;301;361;421; Vì a cịn chia hết cho a nhỏ 400 nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 301 Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 6, 7, số dư : 2; 3; HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a − a − + 6 a + Theo ta có: a − = a − + 7 = a + = a + BC ( 6;7;9 ) a − a − + 9 a + Vì a nhỏ nên a + nhỏ Hay a + 4= BCNN (6;7;9) = 126 => a = 122 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm a = 122 Bài 9: Tìm số tự nhiên a cho số chia cho 17, 25 số dư theo thứ tự 16 HD: a − 17 a − + 17 17 a + 17 = = = a + BC (17; 25) Theo ta có: a − 16 25 a − 16 + 25 25 a + 25 => a + B ( 425) = 0;425;850;1275; = a 416;841;1266; Vậy tập số tự nhiên a cần tìm a 416;841;1266; Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, 35 số dư theo thứ tự 13 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: ĐK : a < 500 a − 15 a − + 30 15 a + 22 15 = = = a + 22 BC (15;35) Theo ta có: a − 13 35 a − 13 + 35 35 a + 22 35 => a + 22 B (105) = 0;105;210;315;420;525 = a 83;188;293;398; Vậy tập số tự nhiên a cần tìm a 83;188;293;398; Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 29 dư 5, chia cho 31 dư 28 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm x: Theo ta có: x = 29a + x = 31b + 28 => 29a + = 31b + 28 => 29a - 29b = 2b + 23 => 29(a - b) = 2b + 23 Vì VT 29 nên VP 29 => 2b + 23 29, Mà x nhỏ nên a, b nhỏ b = Thay b = vào ta x =31.3 + 28 = 121 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm 121 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 31 dư 15 chi cho 35 dư HD: Gọi số tự nhiên cần tìm x: Theo ta có: x = 31a + 15 x = 35b + 18 => 31a + 15 = 35b + 18 => 31a - 31b = 4b + => 31(a-b) = 4b + Vì VT 31 nên VP 31 => 4b + 31, Mà x nhỏ nên a, b nhỏ b = Thay b =7 vào ta x =35.7 + 18 = 263 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm 263 Bài 13: Tìm dạng chung số tự nhiên a chia cho dư 3, chia cho dư 4, chi dư chia hết cho HD: a − a − + 4 a + Theo ta có: a − = a − + 5 = a + = a + 1 BC ( 6;5; ) = a + 60 a − a − + 6 a + Và a + - 300 60 a 13=> a - 13.23 13 => a - 299 13 => a - 299 BCNN (60; 13) =780 => a = 780k +299 Vậy dạng chung số tự nhiên a = 780k + 299 Bài 14: Tìm số tự nhiên n lớn có ba chữ số, cho n chia dư 7, chia cho 31 dư 28 HD: n − n − + 72 n + 65 = = = n + 65 BC (8;31) Theo ta có: n − 28 31 n − 28 + 93 31 n + 65 31 n + 65 B ( 248) = 0;248;496;744;992; = n 183;431;679;927; Vì n số tự nhiên lớn có ba chữ số nên n = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài 15: Tìm số tự nhiên n cho 18n +3 Bài 16: Một số tự nhiên a chia cho dư 4, chia cho dư 6, tìm số dư chia a cho 63 HD : a − a − + 7 a + = = = a + 63 Vì UCLN( 7;9) =1 Theo ta có: a − a − + 9 a + Vậy a chia cho 63 dư 60 Bài 17: Chia số tự nhiên a cho dư 5, chia số b cho dư 3, chia số c cho dư Tìm số dư a, Chia a+b cho b, Chia a+b+c cho HD: Theo ta có: a = 7k + 5, b = 7h + c = 7m + 2, với k, h, m số tự nhiên Khi a + b = (7k + 5) + (7h + 3) =7(h + k) + chia dư Vậy a + b chia dư b, Ta có: a + b + c = (7k + 5) + (7h + 3) + (7m + 2) = 7(k + h + m) + 10 chia cho dư Vậy a + b + c chia dư Bài 18: Số nguyên lớn mà chia 13511, 13903, 14589 ta số dư, Tìm số ngun đó? HD: Gọi x số tự nhiên cần tìm, r số dư , 13903 − 13511 = x ( b − a ) = 392 13511 = x.a + r Ta có: 13903 = x.b+ r = 14589 − 13903 = x ( c − b ) = 686 = x UC ( 392;686;1078) 14589 = x.c+ r 14589 − 13511 = x ( c − a ) = 1078 với a, b, c thương phép chia Vì x số lớn nên x = UCLN(392; 686; 1078) = 98 Bài 19: Tìm số bé , mà chia số cho dư 2, chia dư 3, chi dư 4, chia dư HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 HD : Gọi UCLN( 9n+24 ; 3n+4)=d, => d N* Khi ta có : 9n + 24 d 9n + 24 d = = ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d = 12 d 3n + d 9n + 12 d => d U (12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 Do 3n+ d, Mà 3n+4 không chia hết cho 3, nên d=3, 6, 13 (loại) Do d = 1; 2; Để d=2 n phải chẵn Để d=4 n phải chia hết cho Để d =1 số lẻ, Vậy với n =4k+2 ( k N ) UCLN(9n+24 ; 3n+4) =2 Với n=4k ( k N ) UCLN( 9n+24 ; 3n+4) =4 Với n =2k+1 với ( k N ) UCLN( 9n+24 ; 3n+4) =1 Bài 8: Chứng minh với n N số sau ngyên tố a , 7n +10 5n +7 b , 2n +3 4n +8 HD : a, Gọi d= UCLN(7n+10 ; 5n+7), => d N* 7n + 10 d 35n + 50 d 5 ( 7n + 10 ) d Khi dó ta có : = = = ( 35n + 50 ) − ( 35n + 49 ) d = d 5n + d 35n + 49 d 7 ( 5n + ) d Do d=1 Vậy hai số 7n+10 5n+7 hai số nguyên tố b, Gọi d=UCLN(2n+3 ; 4n+8), => d N* 2n + d 4n + d 2 ( 2n + 3) d Khi ta có: = = = ( 4n + 8) − ( 4n + ) d = d = d 1;2 n + d n + d n + d Vì 2n+3 d, mà 2n+3 só lẻ nên d=2 (loại) Khi d=1, Vậy hai số 2n+3 4n+8 hai số nguyên tố Bài 9: Cho UCLN(a;b)=1 Chứng minh UCLN(a; a+b)=1 HD: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) =>d N* a + b d → a + b − a d → b d mà a d nên d UC(a;b) hay d U(1)=>d=1 a d Bài 10: Cho số 3n+1 5n+4 hai số khơng ngun tố nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) HD: Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d =>7 d => d=7 d=1 Mà d#1 nên d=7 Bài 11: Tìm UCLN 2n-1 9n +4 với n N HD : Gọi d=UCLN( 2n-1 ; 9n+4),=> d N* Khi ta có : 2n − d 18n − d 9 ( 2n − 1) d = = = (18n + 8) − (18n − ) d = 17 d 18 n + d n + d ( ) 9n + d = d U (17 ) = 1; 17 Do UCLN số dương nên ta có : d=1 d=17 Vậy UCLN( 2n-1 ; 9n+4) =1 17 Bài 12: Tìm ƯC (2n+1;3n+1) Bài 13: Tìm ƯCLN (9n+4; 2n-1) Bài 14: Tìm UC n+3 2n+5 GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 28 HD : Gọi d=UCLN( n+3 ; 2n+5), => d N* Khi ta có : n + d 2n + d ( n + 3) d = = = ( 2n + 6) − ( 2n + 5) d = d 2n + d 2n + d 2n + d = d U (1) = 1 Khi UC( n+3 ; 2n+5) =U(1) ={1 ; -1} Vậy UC ( n+3 ; 2n+5) ={1; -1} Bài 15: Số có phải UC n+1 2n +5 hay không? Bài 16: Tìm số chia thương phép chia, có số bị chia 145, số dư 12 biết thương khác HD: Gọi x số chia, a thương, ta có: 145 =a.x+12(x>12) =>145-12 =133=a.x =>x U(133) Lại có 133=7.19 =>x U(133) = 1;7;19;133 mà x>12 =>x=19 133 Nếu số chia =19 =>thương =7 Nếu số chia =133 =>thương =1 (loại) Bài 17: Tìm số x,y cho: a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1) e, x-3=y(x+2) Bài 18: Thay chữ số thích hợp ab.cb = ddd HD: Ta có: ab.cb = ddd = d 111 = d 3.37 mà hai số ab,cb có tích chia hết cho số ngun tố 37 nên tồn Tại số 31 Giả sử ab 37 ab 37;74 Nếu ab =37 => ab cd =37 c =999 => c =999:37 = 27 =>c=2 Nếu ab =74 74 c =666 c =666:74=9(loại) Vậy 37.27=999 Bài 19: Cho UCLN(a;b)=1,Tìm UCLN (11a+2b;18a+5b) HD: 11a + 2b d 18(11a + 2b) d → Gọi d =UCLN (11a+2b; 18a+5b) nên =>11(18a+5b)-18(11a+2b) d 11(18a + 5b) d 18a + 5b d =>19b d Và 5(11a+2b)-2(18a+5b) d => 19a d =>d=1 d=19 Bài 20: Tìm UCLN hai số TN a a+2 HD : Gọi d=UCLN( a ; a + 2), => d N* Khi ta có : a d = ( a + ) − a d = d = d U ( ) = 1; 2 a + d Vì d UCLN nên d=1 d=2 Vậy UCLN ( a; a+2) =1 Bài 21: Cho n số tự nhiên, Tìm UCLN a, 21n+5 14n+3 b, 18n+2 30n+3 c, 24n+7 18n+5 HD: a, Gọi d=UCLN( 21n+5; 14n+3),=> d N* 14n + d 42n + d 3 (14n + 3) d Khi ta có: => ( 42n + 9) − ( 42n + 8) d = d = = 42 n + d 21 n + d ( ) 21n + d Vậy UCLN( 21n; 14n+3) =1 b, Gọi UCLN( 18n+2; 30n+3), => d N* GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 29 18n + d 90n + 10 d 5 (18n + ) d Khi ta có: = = = d 90 n + d 30 n + d ( ) 30n + d Vậy UCLN( 18n+2; 30n+3) =1 c, Gọi d=UCLN( 24n+7; 18n+5), => d N* 24n + d 72n + 21 d 3 ( 24n + ) d Khi ta có: = = = d => d=1 18n + d 72n + 20 d 4 (18n + 5) d Vậy UCLN( 21n; 14n+3) =1 Bài 22: Cho m số tự nhiên lẻ, n số tự nhiên, CMR: m m.n+4 hai số nguyên tố HD: Giả sử: m vaø (m.n + 4) chia hết cho số tự nhiên d, ta có: m d m.n d = = d = d 2;4;1 , Do m d m lẻ => d= d= loại m.n + d m.n + d Vậy d=1 Khi m m.n+4 hai số nguyên tố Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 272 UCLN chúng 34 Bài 24: Tìm ƯCLN( 7n +3, 8n - 1) với (n N*) Khi hai số nguyên tố HD: Gọi d=UCLN( 7n+3; 8n-1),=> d N* 7n + d 56n + 24 d 8 ( 7n + 3) d Khi ta có: = = = 31 d => d=1 d=31 8n − d 56n − d 7 (8n − 1) d Để d=1 d khác 31 hay 7n+3 31 =>7n+3-31 31=>7n-28 31=>7(n-4) 31=>n-4 31 Hay n-4 31k=>n 31k+4 (k số tự nhiên) Vậy để 7n+3 8n-1 hai số nguyên tố n 31k+4 ( k số tự nhiên) Bài 25: Cho (a,b) = Chứng tỏ rằng: (8a + 3) (5b + 1) nguyên tố HD: Gọi UCLN( 8a+3; 5b+1) =d, => d N* 8a + 3b d 5(8a + 3b) d 40a + 15b d → = =>7b d 8(5a + b) d 40a + 8b d 5a + b d 8a + 3b d 8a + 3b d = = (15a + 3b ) − (8a + 3b ) d = 7a d 15a + 3b d 3( 5a + b ) d Vì (a; b) =1 Nên d=1 d=7 Bài 26: Tìm số n nhỏ để: n + 1; n + 3; n + nguyên tố Bài 27: Biết (a,b) = 95 Tìm (a + b, a - b) HD: Gọi UCLN( a+b; a - b) =d, => d N* a + b d = 2b d => d U(2) d U (b) a − b d a + b d = 2a d => d U(2) d U(a) a − b d mà UCLN( a ;b) =95, nên d=95 d=2 Vậy UCLN (a+b; a-b) =2 95 Bài 28: Tìm n để 9n + 24 3n + hai số nguyên tố (n N) HD: Gọi UCLN( 9n+24 ; 3n+4)=d, Khi ta có : 9n + 24 d 9n + 24 d = = ( 9n + 24 ) − ( 9n + 12 ) = d = 12 d 3n + d 9n + 12 d => d U (12) = 1; 2; 3; 4; 6; 12 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 30 Do 3n+ d, Mà 3n+4 không chia hết cho 3, nên d=3, 6, 13 (loại) Do d = 1; 2; Để d=2 n phải chẵn Để d=4 n phải chia hết cho Để d =1 n số lẻ, Vậy đẻ 9n+24 3n+4 hai số nguyên tố n lẻ Bài 29: Tìm n để: 18n + 21n + hai số nguyên tố HD : Gọi UCLN( 18n+3 ; 21n+7)=d, => d N* 18n + d 7 (18n + 3) d Khi ta có : = = (126n + 42 ) − (126n + 21) d = 21 d 21n + d 6 ( 21n + ) d => d U ( 21) = 1; 3; 7; 21 Do 21n+7 d, Mà 21n+7 không chia hết cho 3, nên d= d=7 Để hai số 18n+3 21n+7 hai số nguyen tố d khác hay 18n+3 =>18n+3-21 7=>18n-18 7=>18( n-1) 7=>n-1 7=>n-1 7k=>n 7k+1 Vậy n 7k +1 với k số tự nhiên 18n+3 21n+7 hai số nguyên tố Bài 30: Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: a 4n + 2n + b 7n + 13 2n + c 9n + 24 3n + d 18n + 21n + HD: a, Gọi UCLN( 4n+3; 2n+3) =d, => d N* 4n + d 4n + d → = ( 4n + ) − ( 4n + 3) d = d = d 1;3 4n + d 2n + d Để 4n+3 2n+3 hai số nguyê tố d khác hay 2n + = 2n = n = n 3k (k N ) Vậy n 3k (k N ) 4n+3 2n+3 hai số nguyên tố b, Gọi UCLN( 4n+3; 2n+3) =d, => d N* 4n + d 4n + d → = ( 4n + ) − ( 4n + 3) d = d = d 1;3 4n + d 2n + d Để 4n+3 2n+3 hai số nguyê tố d khác hay 2n + = 2n = n = n 3k (k N ) Vậy n 3k (k N ) 4n+3 2n+3 hai số nguyên tố 9n + 24 d = 12 d = d 1; 2; 3; 4; 6; 12 c, Gọi d = UCLN ( 9n + 24;3n + ) = 3n + d Nếu d 2; 4; 6; 12 = 9n + 24 chẵn và, 3n + chẵn => d 2; 4; 6; 12 loại Nếu d = 3 = 3n + Vô lý=> d=3(loại) Nếu d=1=> 9n + 24,3n + số lẻ => 9n+24 lẻ=> n lẻ 3n+4 lẻ => n lẻ Vậy n lẻ Bài 31: Cho (a, b) = Tìm: a (a + b, a - b) b.(7a + 9b, 3a + 8b) HD : b, Gọi d =UCLN (7a+9b; 3a+8b)=> d N* 7a + 9b d 3(7a + 9b) d 21a + 27b d → = = 29b d = d=1 d=29 Nên: 7(3a + 8b) d 21a + 56b d 3a + 8b d Tương tự: 7a + 9b d 8(7a + 9b) d 56a + 72b d → = = 291 d = d=1 d=29 9(3a + 8b) d 27a + 72b d 3a + 8b d Vì UCLN(a; b) =1 nên UCLN( 7a+9b; 3a+8b)=1 29 Vậy d=1 d=19 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 31 Bài 32: Tìm n để 18n+3 21n+7 số nguyên tố nhau: HD: 18n + d Gọi d = UCLN (18n + 3;21n + ) = = 21 d = d U ( 21) = 1;3;7;21 21n + d Nếu d = = 21n + (Vô lý) Nếu d 1;7 , để số nguyên tố d = 18n + = 18n + − 21 = n − = n 7k + Vậy với n 7k + 1( k N ) số nguyên tố Bài 33: Tìm số tự nhiên n để 4n + 3,2n + nguyên tố HD: Giả sử: 4n + 2n + chia hết cho số nguyên tố d, ( 2n + 3) − ( 4n + 3) d = d = d 1;3 Để số nguyên tố d = 4n + = 4n = n = n 3k ( k N ) Bài 34: Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: 7n + 13 2n + HD: Giả sử: 7n + 2n + chia hết cho số nguyên tố d, Ta có: ( 2n + 4) − ( 7n + 13) d = d = d 1;2 Để số nguyên tố d = 7n + 12 = n số chẵn Bài 35: Chứng minh rằng: có vơ số số tự nhiên n để n + 15 n + 72 số nguyên tố HD: Gọi d UC ( n + 15; n + 72) = 57 d , Do n + 15 d ,57 d , Nên tồn n cho n + 15 = 57k + d = 1, Với k=1; 2; 3;… Vậy có vơ số n Bài 36: CMR: UCLN (12n + 1;30n + 1) = với số tự nhiên n HD : Gọi UCLN ( 12n+1 ; 30n+1)= d, => d N* ta có : 12n + d 60n + d 5 (12n + 1) d = = = d = d 1;3 30n + d 60n + d 2 ( 30n + 1) d Vì 12n+1 số không chia hết d=3 loại Vậy d=1, UCLN( 12n+1 ; 30n+1) =1 Bài 37: Cho m,n hai số tự nhiên, Gọi A tập hợp ước số chung m n, B tập hợp ước số chung 11m + 5n 9m + 4n , CMR: A=B HD : Gọi d=UCLN( 11m+5n ;9m+4n) =>d N* 11m + 5n d 99m + 45n d 9 (11m + 5n ) d Khi ta có : (1) = = = n d 99 m + 44 n d 11 m + n d ( ) 9m + 4n d 11m + 5n d 44m + 20n d 4 (11m + 5n ) d Tương tự ta có : = = = m d 9m + 4n d 45m + 20n d 5 ( 9m + 4n ) d Từ (1) (2) ta có : d UC (m; n) => d U(A) B U(d)=U(A), Vậy A=B Bài 38: Cho n số tự nhiên, Tìm UCLN BCNN của: n n+2 HD : Gọi d=UCLN( n ; n+2) =>d N* n d = ( n + ) − n d = d =>d=1 d=2 n + d (2) Để d=2 n 2=> n chẵn, d=1 n lẻ GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 32 Ta có : UCLN(a ;b).BCNN(a ;b) = a.b TH1 : Nếu d=1 BCNN( n ;n+2) =n(n+2) TH2: Nếu d=2 BCNN( n; n+2) = n ( n + 2) Bài 39: Cho UCLN (a;b) = Chứng minh UCLN (a; a+b) = HD: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) => d N* a + b d → a + b − a d → b d mà a d nên d UC(a;b) hay d U(1)=>d=1 a d Vậy UCLN(a; a+b) =1 Bài 40: Tìm số chia thương phép chia, có số bị chia 145, số dư 12 biết thương khác HD: Gọi x số chia, a thương, Ta có: 145 = a.x + 12 (x > 12) => 145 - 12 = 133 = a.x => x U(133) Lại có 133 = 7.19 => x U(133) = 1;7;19;133 mà x > 12 => x = 19 133 Nếu số chia =19 => thương =7 Nếu số chia =133 =>thương =1 (loại) Vậy số chia cần tìm 19, thương Bài 41: Cho số 3n+1 5n+4 hai số không nguyên tố nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) HD: Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d => d N* 5 ( 3n + 1) d 3n + d 15n + d = = = (15n + 12 ) − (15n + 5) d => d=> d=1 d= 15 n + 12 d n + d ( ) 5n + d Vì 3n+1 5n+4 hai số không nguyên tố nên UCLN chúng Vậy UCLN( 3n+1; 5n+4) =7 Bài 42: Số có phải UC n+1 2n +5 hay không? HD: Gọi UCLN (n+1; 2n+5) = d => d N* n + d 2n + d 2 ( n + 1) d = = = ( 2n + 5) − ( 2n + ) d => d=> d=1 d= 2n + d 2n + d 2n + d Vì khơng ước n+1 2n+5 Bài 43: Cho a, b số nguyên tố nhau, CMR số sau nguyên tố : a, a a+b b, a a+b c, ab a+b HD: b, Giả sử a a+b chia hết cho số nguyên tố d Khi a d, b d => a, b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a;b)=1 Vậy a a+b số nguyên tố c, Giả sử a.b a+b chia hết cho số nguyên tố d => Tồn số a b chia hết cho d Khi a d => b d, Hoặc b d=>a d a b chia hết cho d, trái với (a; b) =1 Vậy a.b a+b nguyên tố Bài 44: Cho a,b số nguyên tố nhau, chứng minh số sau số nguyên tố : a, b a – b (a > b) b, a + b2 a.b HD: b d a d = = d UC ( a; b ) , Mà ( a; b ) = = d = a, Gọi d UC ( b; a − b ) = a − b d b d b, Giả sử a + b2 ab chia hết cho số nguyên tố d, Chứng minh điều vô lý Bài 45: Tìm UCLN (7n+3; 8n - 1) GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 33 HD: 8n − d 56n + 24 d Gọi d = UCLN (8n − 1;7n + 3) = = = 31 d = d 1;31 7n + d 56n − d Nếu d = 31 = 8n − 31 = 8n − − 31 31 = ( n − ) 31 = n = 31k + ( k N ) Thử lại Với n = 31k + = 8n − 31 7n + = 931k + 31 31 = UCLN (7n + 3;8n − 1) = 31 Nếu n 31k + = 8n − 31 = d = Bài 46: Tìm UCLN ( 9n + 13;3n + ) , ( n N ) Bài 47: Tìm UCLN ( 2n + 1;2n + 3) Bài 48: Cho UCLN ( a; b ) = 95, Tìm UCLN ( a + b; a − b ) Bài 49: Tìm UCLN ( 4n + 3;5n + ) , ( n N ) GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 34 CHUN ĐỀ VỀ UCLN VÀ BCNN Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 900 UCLN(a; b) = 10 HD : Do a b có vai trò nhau, Giả sử a b a = 10a1 Vì UCLN(a; b) =10=> ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 10b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 900.10 = 10a1.10b1 = a1.b1 = 90 Ta có bảng sau: 90 45 18 10 a1 a b1 b 900 450 180 100 10 20 50 90 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 10), (450; 20), (180; 50), (100; 90) (10; 900), (20; 450), (50; 180), (90; 100) Bài 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 240 UCLN(a; b)= 16 HD: Do a b có vai trò nhau, Giả sử a b a = 16a1 Vì UCLN(a; b) =16 => ( a1b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 16b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 240.16 = 16a1.16b1 = a1.b1 = 15 Ta có bảng sau: 15 a1 a b1 b 240 80 16 48 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (240; 16), (80; 48) (16; 240), (48; 80) Bài 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a.b = 4320 BCNN(a; b)= 360 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN ( a; b ) = a.b = 4320 : 360 = 12 BCNN (a; b) Khi ta có: Giả sử a b a = 12a1 UCLN(a; b) = 12 => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 12b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 12.360 = 12a1.12b1 = a1.b1 = 30 Ta có bảng sau: 30 15 10 a1 a b1 b 360 180 120 72 12 24 36 60 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (360; 12), (180; 24), (120; 36), (72; 60) đảo ngược Bài 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức a = 2, UCLN(a; b)= b 35 HD: Từ đầu ta có: a > b a = 5a1 Từ UCLN( a; b) =5 => ( a1 , b1 ) = 1, ( a1 b1 ) b = 5b1 a = 13 a 13 a 13 mà = 2, = = = = ( a1; b1 ) = b b1 b1 = Nên a = 65 b = 25 Bài 5: Tìm a,b biết a+ b= 42 bà BCNN(a; b)= 72 HD: a = d a1 Gọi UCLN ( a; b ) = d = ( a1; b1 ) = b = d b1 Giả sử: a b = a1 b1 = a + b = 42 = d ( a1 + b1 ) = 42 = d U ( 42) (1) Ta lại có: BCNN(a; b) UCLN(a; b) = a.b => 72.d = a.b = a1.d b1d = a1.b1.d = 72 = d U ( 72) (2) Từ (1) (2) => d UC(42;72) = 1;2;3;6 a + b = 42 TH1 : d = 1=> 1 (loại) a1.b1 = 72 a + b = 14 TH3: d = = 1 (loại) a1.b1 = 24 a + b = 21 TH2 : d = = 1 (loại) a1.b1 = 36 a + b = a = = a = 18 d = = 1 = a1.b1 = 12 b1 = = b = 24 Vậy a = 18, b = 24 a=24 b=18 Bài 6: Tìm a,b biết a - b =7 BCNN(a; b)= 140 HD: a = d a1 Gọi UCLN ( a; b ) = d = ( a1; b1 ) = b = d b1 = a − b = = d ( a1 − b1 ) = = d U ( ) Ta lại có: BCNN(a; b) UCLN(a; b) = a.b => 140.d = a.b = a1.d b1d = a1.b1.d = 140 = d U (140) (1) (2) Từ (1) (2) => d UC(7;140) = 1;7 a − b = a − b = a1 = = a = 35 = TH1 : d = 1=> 1 (loại) TH2 : d = = 1 a1.b1 = 20 b1 = = b = 28 a1.b1 = 140 Vậy a = 35, b = 28 Bài 7: Tìm hai số nguyên dương biết a+ 2b= 48 UCLN(a; b)+3.BCNN(a; b)= 114 HD: a = d a1 Gọi UCLN ( a; b ) = d = ( a1; b1 ) = b = d b1 Mà : a + 2b = 48 = da1 + 2db1 = 48 = d ( a1 + 2b1 ) = 48 = d U ( 48) (1) Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + UCLN(a; b) = 114 => d + 3.a1.b1.d = 114 = d (1 + 3a1.b1 ) = 114 = d U (114) (2) Từ (1) (2) => d UC(48;114) = 1;2;3;6 Mà : d (1 + 3a1.b1 ) = 114 = 3.38 = d = d = d = a1 + 2b1 = 16 a + 2b1 = 16 = TH1 : d = 3=> (loại) 1 + 3a1.b1 = 38 3a1.b1 = 37 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 36 a + 2b1 = a + 2b1 = a = = a = 12 = = TH2 : d = = 1 + 3a1.b1 = 19 a1.b1 = b1 = = b = 18 Vậy a = 12 b = 18 Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết :a.b= 180 BCNN(a; b)= 60 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) = 180: 60 = a = 3a1 Giả sử a b Vì UCLN(a; b) = => ( a1; b1 ) = 1, ( a1 b1 ) b = 3b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 3.60 = 3a1.3b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 a1 a b1 b 60 15 12 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (60;1), (15; 12) ,( 1; 60), (12; 15) Bài 9: Tìm hai số a, b biết 7a=11b UCLN(a; b)= 45 HD: Từ giả thiết => a > b a = 45a1 Từ UCLN(a; b) = 45=> ( a1; b1 ) = 1, ( a1 b1 ) b = 45b1 Mà: a = 11 a 11 a 11 = = = = ( a1; b1 ) = => b b1 b1 = a = 45.11 = 495 b = 45.7 = 315 Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315 Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)= 300 UCLN(a; b)= 15 HD : Do a b có vai trị nhau, Giả sử a b a = 15a1 Vì UCLN(a; b) = 15=> ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 15b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 300.15 = 15a1.15b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 a1 a b1 b 300 75 15 60 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 300; 15), (75; 60), (15; 300), (60; 75) Bài 11: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)= 72 UCLN(a; b)= 12 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a b a = 12a1 Vì UCLN(a; b) =12 => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 12b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 72.12 = 12a1.12b1 = a1.b1 = Ta có bảng sau: a1 a 72 36 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 37 b1 b 12 24 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 72; 12), (36; 24), (12; 72), (24; 36) Bài 12: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a.b= 2940 BCNN(a; b)= 210 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) =2940: 210 = 14 a = 14a1 Giả sử a b Vì UCLN(a; b) = 14=> ( a1; b1 ) = 1, ( a1 b1 ) b = 14b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 14.210 = 14a1.14b1 = a1.b1 = 15 Ta có bảng sau: a1 15 a 210 70 14 42 b1 b Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (210; 14), (70; 42) ,( 14; 210), (42; 70) Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a.b= 2700 BCNN(a; b)= 900 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) = 2700: 900 = a = 3a1 Giả sử a b Vì UCLN(a; b) = => ( a1; b1 ) = 1, ( a1 b1 ) b = 3b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 3.900 = 3a1.3b1 = a1.b1 = 300 Ta có bảng sau: 300 150 100 74 25 a1 a b1 b 900 450 300 222 75 12 12 36 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 3), (450; 6) , ( 300; 9), (222; 12), (75; 36) ngược lại Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= 15 BCNN(a; b)=300 a+15= b HD: Do a + 15 = b => a < b a = 15a1 Vì UCLN(a; b) = 15 => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 15b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 300.15 = 15a1.15b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 b1 b a1 300 75 a 15 60 Do cặp số (a; b) cần tìm là: (15; 300), (60; 75), Ngồi a + 15 = b => a = 60 cịn b = 75 Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b cho tổng UCLN BCNN 15 HD: Giả sử a < b GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 38 a = d a1 Gọi d=UCLN( a; b) => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = , d ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = , d < 55 b = d b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo ta có: d + a1.b1d = 55 = d (1 + a1.b1 ) = 55 = d U (55) = 1;5;11;55 , Mà d < 55, Nên a = = a = TH1 : d = = a1.b1 = 54 = b1 = 54 = b = 54 a = = a = TH2 : d = = a1.b1 = 10 = b1 = 10 = b = 50 a = = a = b1 = 27 = b = 27 a = = a = 10 b1 = = b = 25 a = = a = 11 TH3 : d = 11 = a1.b1 = = b1 = = b = 44 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;54), (2 ; 27), (5 ; 50),( 10 ; 25), (11;44) đảo ngược lại Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a, b cho hiệu BCNN UCLN 35 HD: Giả sử a < b a = d a1 Gọi d=UCLN( a; b) => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = , b = d b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo ta có: a1.b1d − d = 35 = d ( a1.b1 −1) = 35 = d U (35) = 1;5;7;35 , a1 = = a = TH1 : d = = a1.b1 = 36 = b1 = 36 = b = 36 a1 = = a = TH2 : d = = a1.b1 = = b1 = = b = 40 a1 = = a = b1 = = b = a1 = = a = 14 a1 = = a = TH3 : d = = a1.b1 = = b1 = = b = 42 b1 = = b = 21 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;36), (4 ; 9), (5 ; 40),( ; 42), (14: 21) đảo ngược lại Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a, b cho a+ b= 30 BCNN(a; b)=6.UCLN(a; b) HD: Giải sử a < b GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 39 a = d a1 Gọi UCLN(a; b) =d=> ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = => BCNN(a; b) = a1.b1.d b = d b1 Mà a+b=30=> ( a1 + b1 ) d = 30 , a1.b1.d = 6.d = a1.b1 = 6, Vì ( a1; b1 ) = , nên ta có TH sau: a = = a1 + b1 = = 7.d = 30 ( Loại) TH1: b1 = a = a = 12 = a1 + b1 = = 5.d = 30 = d = = TH2: b = 18 b1 = Vậy hai số a b cần tìm là: a = 12, b = 18 a = 18 b = 12 a Bài 19: Tìm a,b biết = BCNN(a; b)= 140 b HD: Theo giả thiết ta có: a < b a = a1.d (a1 ; b1 ) = 1, ( a1 b1 ) Gọi d=UCLN(a; b)=d=> b = b1.d Ta có: a = a = = , Mà: BCNN ( a; b ) = 140 = a1.b1.d = 20d = 140 = d = b b1 = => a = 28, b = 35 Vậy hai số cần tìm a=28 b=35 Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= BCNN(a; b)= 105 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a b a = 5a1 Vì UCLN(a; b) = 5=> ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 5b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b)= a.b => 5.105 = 5a1.5b1 = a1.b1 = 21 Ta có bảng sau: 21 a1 a b1 105 35 b 15 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 105; 5), (35; 15), (5; 105), (15; 35) Bài 21: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)- UCLN(a; b)= HD: Giả sử a < b a = d a1 Gọi d = UCLN( a; b) => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = , b = d b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo ta có: a1.b1d − d = = d ( a1.b1 −1) = = d U (5) = 1;5 , a1 = = a = TH1 : d = = a1.b1 = = b1 = = b = a = = a = TH2 : d = = a1.b1 = = b1 = = b = 10 a1 = = a = b1 = = b = Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;6), (2 ; 3), (5 ; 10),( ; 1), (3: 2), (10 ; 5) Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= 12 BCNN(a; b)= 240 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 40 HD : Do a b có vai trị nhau, Giả sử a b a = 12a1 Vì UCLN(a; b) = 12=> ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 12b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 12.240 = 12a1.12b1 = a1.b1 = 20 Ta có bảng sau: 20 a1 a b1 b 240 60 12 48 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 240; 12), (60; 48), (12;240), (48; 60) Bài 23: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)+ UCLN(a; b)= 19 HD: Giả sử a < b a = d a1 Gọi d = UCLN( a; b) => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = , d < 19 b = d b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo ta có: d + a1.b1d = 19 = d (1 + a1.b1 ) = 19 = d U (19) = 1;19 , Mà d < 19, Nên a = = a = a = = a = TH1 : d = = a1.b1 = 18 = b1 = 18 = b = 18 b1 = = b = Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;18), (2 ; 9), (18 ; 1),( ; 2), Bài 24: Tìm a, b biết UCLN(a; b)= 10 BCNN(a; b)= 120 HD: Do a b có vai trò nhau, Giả sử a b a = 10a1 Vì UCLN(a; b) = 10 => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = b = 10b1 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 10.120 = 10a1.10b1 = a1.b1 = 12 Ta có bảng sau: 12 a1 a b1 120 40 b 10 30 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 120; 10), (40; 30), (10; 120), (30; 40) Bài 25: Tìm a, b biết BCNN(a; b) + UCLN(a; b)= HD: Giả sử a < b a = d a1 Gọi d=UCLN( a; b) => ( a1 b1 ) , ( a1; b1 ) = , d < b = d b1 Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo ta có: d + a1.b1d = = d (1 + a1.b1 ) = = d U (3) = 1;3 , Mà d < 3, Nên a1 = = a = TH1 : d = = a1.b1 = = b1 = = b = Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;2), (2 ; 1) Bài 26: Cho BCNN(a;b)=60 a=12 Tìm b GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 41 Bài 27: Tìm số tự nhiên x,y biết: x.y=5880 BCNN(x;y)=420 Bài 28: Tìm số nguyên dương a, b biết ( a; b ) = 16 tổng chúng 448 GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 42 ... số 31 Giả sử ab 37 ab 37; 74 Nếu ab = 37 => ab cd = 37 c =999 => c =999: 37 = 27 =>c=2 Nếu ab =74 74 c =666 c =666 :74 =9(loại) V? ?y 37. 27= 999 Bài 19: Cho UCLN( a;b)=1,Tìm UCLN (11a+2b;18a+5b) HD:... ;33 ;44 ;55 Và 3y+ 2 chia hết cho 11 TH1: Với 2y+ 5=11=> y= 3=> 3y+ 2=11 11, Thỏa mãn TH2 : Với 2y+ 5=22=> 2y= 17= > (Loại) TH3 : Với 2y+ 5=33=> y= 14=> 3y+ 2=44 11,Thỏa mãn TH4 : Với 2y+ 5=44=> 2y= 39=> (Loại)... 3; ? ?7; 21 Do 21n +7 d, Mà 21n +7 không chia hết cho 3, nên d= d =7 Để hai số 18n+3 21n +7 hai số nguyen tố d khác hay 18n+3 =>18n+3-21 7= >18n-18 7= >18( n-1) 7= >n-1 7= >n-1 7k=>n 7k+1