Dạng 3: BÀI TOÁN BC CÓ DƯ Bài 1: Bạn Nam nghĩ 1 số có 3 chữa số, nếu bớt số đó đi 8 thì được 1 số 7, nếu bớt số đó đi 9 thì được 1 số 8, nếu bớt số đó đi 10 thì được 1 số 9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào? HD: Gọi x là số bạn Nam đã nghĩ, ĐK: 99 a = 53 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 53 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 5, 7, 9 có số dư theo thứ tự là 3, 4, 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: Vì a nhỏ nhất nên 2a - 1 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 1 = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316 => a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 158 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất chia cho 3, 4, 5 có số dư là 1, 3, 1 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: Vì a nhỏ nhất nên 2a - 2 nhỏ nhất khác 0 hay 2a - 2 = BCNN( 3;4;5) = 60 => 2a = 62=> a = 31 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 31 Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khác 5 sao cho khi chia số đó cho 70, 140, 350 và 700 có cùng số dư là 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a # 5 Theo bài ra ta có: Vì a nhỏ nhất nên a - 5 nhỏ nhất hay a - 5 = BCNN(70; 140; 350; 700) = 700 => a = 705, Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 705 Bài 6: Một số tự nhiên khi chia cho 2, 3, 4, 5, 6 đều dư 1, nhưng khi chia cho 7 thì không có dư, tìm số a nhỏ nhất có tính chất trên HD : Gọi số tự nhiên cần tìm là a: a # 5 Theo bài ra ta có: = B(60) a - 1 BCNN(2;3;4;5;6) = B(60) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; ....} => a {1; 61; 121; 181; 241; 301;....} và a còn chi hét cho 7 và a nhỏ nhất nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 301 Bài 7: Tìm 1 số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 4, 5, 6 đều dư 1, tìm số đó biết rằng số đó chia hết cho 7 và nhỏ hơn 400 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: => Vì a còn chia hết cho 7 và a nhỏ hơn 400 nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 301 Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia nó cho 6, 7, 9 được các số dư lần lượt là : 2; 3; 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: Vì a nhỏ nhất nên a + 4 nhỏ nhất Hay a + 4= BCNN (6;7;9) = 126 => a = 122 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là a = 122 Bài 9: Tìm số tự nhiên a sao cho số đó chia cho 17, 25 được các số dư theo thứ tự là 8 và 16 HD: Theo bài ra ta có: => Vậy tập số tự nhiên a cần tìm Bài 10: Tìm 1 số tự nhiên nhỏ hơn 500 sao cho chia nó cho 15, 35 được các số dư theo thứ tự là 8 và 13 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: ĐK : a < 500 Theo bài ra ta có: => Vậy tập số tự nhiên a cần tìm Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 29 dư 5, chia cho 31 dư 28 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là x: Theo bài ra ta có: x = 29a + 5 và x = 31b + 28 => 29a + 5 = 31b + 28 => 29a - 29b = 2b + 23 => 29(a - b) = 2b + 23 Vì VT 29 nên VP 29 => 2b + 23 29, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đó b = 3 Thay b = 3 vào ta được x =31.3 + 28 = 121 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 121 Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho chia nó cho 31 dư 15 và chi cho 35 dư 1 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là x: Theo bài ra ta có: x = 31a + 15 và x = 35b + 18 => 31a + 15 = 35b + 18 => 31a - 31b = 4b + 3 => 31(a-b) = 4b + 3 Vì VT 31 nên VP 31 => 4b + 3 31, Mà x nhỏ nhất nên a, b cũng nhỏ nhất khi đó b = 7 Thay b =7 vào ta được x =35.7 + 18 = 263 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm là 263 Bài 13: Tìm dạng chung cả các số tự nhiên a chia cho 4 thì dư 3, chia cho 5 thì dư 4, chi 6 thì dư 5 và chia hết cho 3 HD: Theo bài ra ta có: Và a + 1 - 300 60 và a 13=> a - 13.23 13 => a - 299 13 => a - 299 BCNN (60; 13) =780 => a = 780k +299 Vậy dạng chung của số tự nhiên trên là a = 780k + 299 Bài 14:Tìm số tự nhiên n lớn nhất có ba chữ số, sao cho n chia 8 dư 7, chia cho 31 dư 28 HD: Theo bài ra ta có: Vì n là số tự nhiên lớn nhất có ba chữ số nên n = 927 Vậy số cần tìm là 927 Bài 15: Tìm số tự nhiên n sao cho 18n +3 7 Bài 16: Một số tự nhiên a khi chia cho 7 dư 4, chia cho 9 dư 6, tìm số dư khi chia a cho 63 HD : Theo bài ra ta có: Vì UCLN( 7;9) =1 Vậy a chia cho 63 dư 60 Bài 17: Chia số tự nhiên a cho 7 dư 5, chia số b cho 7 dư 3, chia số c cho 7 dư 2. Tìm số dư khi a, Chia a+b cho 7 b, Chia a+b+c cho 7 HD: Theo bài ra ta có: a = 7k + 5, b = 7h + 3 và c = 7m + 2, với k, h, m là các số tự nhiên Khi đó a + b = (7k + 5) + (7h + 3) =7(h + k) + 8 chia 7 dư 1 Vậy a + b chia 7 dư 1 b, Ta có: a + b + c = (7k + 5) + (7h + 3) + (7m + 2) = 7(k + h + m) + 10 chia cho 7 dư 3 Vậy a + b + c chia 7 dư 3 Bài 18: Số nguyên lớn nhất mà khi chia 13511, 13903, 14589 ta được cùng 1 số dư, Tìm số nguyên đó? HD: Gọi x là số tự nhiên cần tìm, r là số dư , Ta có: với a, b, c là thương của các phép chia Vì x là số lớn nhất nên x = UCLN(392; 686; 1078) = 98 Bài 19: Tìm số bé nhất , mà khi chia số đó cho 3 dư 2, chia 4 dư 3, chi 5 dư 4, chia 6 dư 5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: Vì a nhỏ nhất nên a + 1 nhỏ nhất hay a + 1 = BCNN(3;4; 5; 6) = 60 => a= 59 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 59 Bài 20:Tìm số có ba chữ số, biết khi chia số đó cho 5 dư 3, chia 2 dư 1, chia 3 vừa đủ và chữ số hàng trăm của nó là số chẵn lớn nhất HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là Do chia 2 dư 1 nên là 1 số lẻ, mà chia 5 dư 3 nên c = 3 hoặc c = 5, mà c lẻ nên c = 3 Khi đó ta có: mà số hàng trăm là số chẵn lớn nhất => a = 8 Ta được số lại chia hết cho 3 nên b = 1 hoặc b = 4 hoặc b = 7 Vậy ta có 3 số thỏa mãn đầu bài: 813 hoặc 843 hoặc 873 Bài 21: Tìm số tự nhiên bé nhất khi chia cho 2; 5; 11 và 26 đều dư 1. HD: Gọi số tự nhiên cần tìm là a: Theo bài ra ta có: Vì a nhỏ nhất nên a - 1 nhỏ nhất hay a - 1 = BCNN(2; 11; 5; 26 ) = 1430 => a = 1431 Vậy số tự nhiên nhỏ nhất cần tìm là 1431 Bài 22: Tìm các số tự nhiên a, b biết: ƯCLN(a,b) = 5 và BCNN(ab) = 105 Bài 23: Tìm số tự nhiên nhỏ nhất khi chia cho 8 dư 6, chia ch
CHUYÊN ĐỀ UCLN VÀ BCNN Bài 7: Một trường THCS xếp hàng 20,25,30 dư 15 học sinh, xếp hàng 41 vừa đủ, Tính số học sinh trường biết số học sinh trường chưa đến 1000 Bài 8: Một trường THCS xếp hàng 20, 25, 30 dư 13 học sinh xếp hàng 45 cịn dư 28 học sinh, Tính số học sinh trường biết số hs chưa đến 1000 Bài 9: Một đội thiếu niên xếp hàng 2, 3, 4, thừa người, Tính số đội viên biết số nằm khoảng 100 đến 150? Bài 10: Một khối hs xếp hàng 2, 3, 4, 5, thiếu người xếp hàng vừa đủ, biết số hs chưa đến 300, Tính số học sinh ? Bài 11: Số học sinh khối trường khoảng từ 200 - 400, xếp hàng 12 15, 18 thừa học sinh, Tính số hs Bài 13: Một phận máy có hai bánh xe cưa khớp với nhau, bánh xe có 18 cưa, bánh xe có 12 cưa, Hỏi bánh xe phải quay vòng để cưa khớp với lần đầu khớp với lần Bài 14: Số học sinh trường THCS số có ba chữ số lớn 800, lần xếp hàng 5, 6, 7, vừa đủ, hỏi trường có hs? Bài 15: Ba đội công nhân trồng số nhau, tính cơng nhân đội trồng cây, đội trồng cây, đội trồng cây, Tính số cơng nhân đội, biết số đội khoảng từ 100-200 Bài 18: Một đơn vị đội xếp hàng, hàng có 20 người, 25 người, 30 người thừa 15 người Nếu xếp hàng 41 người vừa đủ (khơng có hàng thiếu, khơng có ngồi hàng) Hỏi đơn vị có người, biết số người đơn vị chưa đến 1000? Bài 21: Một buổi tập đồng diễn thể dục có khoảng từ 350 đến 500 người tham gia Khi tổng huy cho xếp 5,6,8 hàng thấy lẻ người, Khi cho đồn xếp hàng 13 vừa vặn không thừa người Hỏi số người tham gia tập đồng diễn ? HD : Gọi số người tham gia tập diễn x => ( 350 < x < 500, x số tự nhiên ) Theo u cầu tốn ta có : x - M5 => x - �B(5) x - M6 => x - �B(6) x - M8 => x - �B(8) => x - �BC( 5; 6; 8) = { 0; 120; 240; 360; 480; 600; ) => x �{1; 121;241; 361; 481; 601; ) Mặt khác xếp hàng 13 vừa đủ 350 < x < 500 nên số có 481 thỏa mãn Vậy số người tham gia tập diễn 481 người Bài 22: Số học sinh tham gia nghi thức đội số có ba chữ số lớn 800 , Nếu xếp hàng 20 dư em, xếp hàng 25 dư 18 em, xếp hàng 15 thiếu em, hỏi có tất hs dự thi? Bài 23: Hai lớp 6A 6B thu nhặt số giấy vụn nhau, Trong lớp 6A, bạn thu 26kg, lại bạn thu 11 kg, Trong lớp 6B bạn thu 25kg cịn lại bạn thu 10kg, Tính số học sinh lớp biết số giấy lớp thu khoảng 200-300kg HD: Gọi số giấy lớp thu x (kg): 11 �x 26M x 15 �BC 10;11 � 10 Khi đó: �x 25M Ngoài 200 �x �300 x 235 Bài 24: Tìm số tự nhiên bé chia cho 2; 5; 11; 26 dư Bài 25: Tìm số tự nhiên nhỏ có chữ số biết số chia cho 4; 6; dư Bài 26: Tìm số tự nhiên n lớn có chữ số cho chia cho 3; 4; 5; 6; số dư theo thứ tự 1; 2; 3; 4; Bài 27: Nhân ngày 1- 6, Chị phụ trách chia kẹo sau, Nếu chia gói 10 gói có cái, chia gói gói cái, chia gói gói có cái, chia gói thừa cái, biết số kẹo từ 2000 – 3000 cái, Hỏi có kẹo? Dạng 3: BÀI TỐN BC CÓ DƯ Bài 1: Bạn Nam nghĩ số có chữa số, bớt số số M7, bớt số số M8, bớt số 10 số M9, Hỏi bạn Nam nghĩ số nào? HD: Gọi x số bạn Nam nghĩ, ĐK: 99 a = 53 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 53 Bài 3: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 5, 7, có số dư theo thứ tự 3, 4, HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 5m 2a 10m 2a 1M � � � � � � a 7n m, n, p �N � 2a 14n � 2a 1M7 2a �BC (9;5;7) � � � � a 9p 5 2a 18 p 10 2a 1M � � Theo ta có: � Vì a nhỏ nên 2a - nhỏ khác hay 2a - = BCNN( 9; 5; 7) = 315 => 2a = 316 => a = 158 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 158 Bài 4: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 3, 4, có số dư 1, 3, HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 3m 2a 6m 2a M � � � � � � a 4n m, n, p �N � 2a 8n � 2a 2M4 2a �BC (3; 4;5) � � � � a p 1 2a 10 p 2a M � � Theo ta có: � Vì a nhỏ nên 2a - nhỏ khác hay 2a - = BCNN( 3;4;5) = 60 => 2a = 62=> a = 31 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 31 Bài 5: Tìm số tự nhiên nhỏ khác cho chia số cho 70, 140, 350 700 có số dư HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a # a 5M70 � � a 5M 140 � a �BC 70;140;350; 700 � a M 350 � � a 5M700 Theo ta có: � Vì a nhỏ nên a - nhỏ hay a - = BCNN(70; 140; 350; 700) = 700 => a = 705, Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 705 Bài 6: Một số tự nhiên chia cho 2, 3, 4, 5, dư 1, chia cho khơng có dư, tìm số a nhỏ có tính chất HD : Gọi số tự nhiên cần tìm a: a # a 1M2 � � a 1M3 � � a 1M4 a 1�BC 2;3; 4;5; � � a 1M5 � a 1M6 � Theo ta có: � = B(60) a - �BCNN(2;3;4;5;6) = B(60) = { 0; 60; 120; 180; 240; 300; } => a �{1; 61; 121; 181; 241; 301; } a chi hét cho a nhỏ nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 301 Bài 7: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 4, 5, dư 1, tìm số biết số chia hết cho nhỏ 400 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 1M4 � � a 1M5 a �BC 4;5;6 B 60 0;60;120;180; 240;300;360; 420; � � a 1M6 Theo ta có: � a � 1;61;121;181; 241;301;361; 421; => Vì a cịn chia hết cho a nhỏ 400 nên a = 301 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 301 Bài 8: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho 6, 7, số dư : 2; 3; HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 2M6 a 6M6 a 4M6 � � � � � � a 3M7 � a M7 � a 4M7 a �BC 6; 7;9 � � � � a 5M9 a 9M9 a 4M9 � � Theo ta có: � Vì a nhỏ nên a + nhỏ Hay a + 4= BCNN (6;7;9) = 126 => a = 122 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm a = 122 Bài 9: Tìm số tự nhiên a cho số chia cho 17, 25 số dư theo thứ tự 16 HD: a 8M 17 17 a 9M 17 � �a 17M � � � a �BC 17; 25 � a 16 M 25 a 16 25 M 25 a M 25 � � � Theo ta có: a �B 425 0; 425;850;1275; a � 416;841;1266; => a � 416;841;1266; Vậy tập số tự nhiên a cần tìm Bài 10: Tìm số tự nhiên nhỏ 500 cho chia cho 15, 35 số dư theo thứ tự 13 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: ĐK : a < 500 a 8M 15 a 30M 15 a 22M 15 � � � � � a 22 �BC 15;35 � a 13 M 35 a 13 35 M 35 a 22 M 35 � � � Theo ta có: a 22 �B 105 0;105; 210;315; 420;525 a � 83;188; 293;398; => a � 83;188; 293;398; Vậy tập số tự nhiên a cần tìm Bài 11: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 29 dư 5, chia cho 31 dư 28 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm x: Theo ta có: x = 29a + x = 31b + 28 => 29a + = 31b + 28 => 29a - 29b = 2b + 23 => 29(a - b) = 2b + 23 Vì VT M29 nên VP M29 => 2b + 23 M29, Mà x nhỏ nên a, b nhỏ b = Thay b = vào ta x =31.3 + 28 = 121 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm 121 Bài 12: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 31 dư 15 chi cho 35 dư HD: Gọi số tự nhiên cần tìm x: Theo ta có: x = 31a + 15 x = 35b + 18 => 31a + 15 = 35b + 18 => 31a - 31b = 4b + => 31(a-b) = 4b + Vì VT M31 nên VP M31 => 4b + M31, Mà x nhỏ nên a, b nhỏ b = Thay b =7 vào ta x =35.7 + 18 = 263 Vậy tập số tự nhiên x cần tìm 263 Bài 13: Tìm dạng chung số tự nhiên a chia cho dư 3, chia cho dư 4, chi dư chia hết cho HD: a 3M4 � �a 4M4 �a 1M4 � � � a 4M5 �a 5M5 �a 1M5 a �BC 6;5; a 1M60 � � �a 6M6 �a 1M6 a 5M6 � � Theo ta có: � Và a + - 300 M60 a M13=> a - 13.23 M13 => a - 299 M13 => a - 299 MBCNN (60; 13) =780 => a = 780k +299 Vậy dạng chung số tự nhiên a = 780k + 299 Bài 14:Tìm số tự nhiên n lớn có ba chữ số, cho n chia dư 7, chia cho 31 dư 28 HD: n 72M8 �n M8 � �n 65M � � n 65 �BC 8;31 � n 28 M 31 n 28 93 M 31 n 65 M 31 � � � Theo ta có: n 65 �B 248 0; 248; 496; 744;992; n � 183; 431; 679;927; Vì n số tự nhiên lớn có ba chữ số nên n = 927 Vậy số cần tìm 927 Bài 15: Tìm số tự nhiên n cho 18n +3 M7 Bài 16: Một số tự nhiên a chia cho dư 4, chia cho dư 6, tìm số dư chia a cho 63 HD : a 4M7 a M7 � � �a 3M7 � � a 3M63 � a M a M a M � � � Theo ta có: Vì UCLN( 7;9) =1 Vậy a chia cho 63 dư 60 Bài 17: Chia số tự nhiên a cho dư 5, chia số b cho dư 3, chia số c cho dư Tìm số dư a, Chia a+b cho b, Chia a+b+c cho HD: Theo ta có: a = 7k + 5, b = 7h + c = 7m + 2, với k, h, m số tự nhiên Khi a + b = (7k + 5) + (7h + 3) =7(h + k) + chia dư Vậy a + b chia dư b, Ta có: a + b + c = (7k + 5) + (7h + 3) + (7m + 2) = 7(k + h + m) + 10 chia cho dư Vậy a + b + c chia dư Bài 18: Số nguyên lớn mà chia 13511, 13903, 14589 ta số dư, Tìm số ngun đó? HD: Gọi x số tự nhiên cần tìm, r số dư , � 13903 13511 x b a 392 13511 x.a r � � � 13903 x.b r � 14589 13903 x c b 686 x �UC 392;686;1078 � � � 14589 x.c r 14589 13511 x c a 1078 � � Ta có: với a, b, c thương phép chia Vì x số lớn nên x = UCLN(392; 686; 1078) = 98 Bài 19: Tìm số bé , mà chia số cho dư 2, chia dư 3, chi dư 4, chia dư HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 2M3 a 3M3 � � � � a 3M4 a 4M4 � � � a 1�BC 3; 4;5; � a 4M5 a 5M5 � � � � a 5M6 a 6M6 � Theo ta có: � Vì a nhỏ nên a + nhỏ hay a + = BCNN(3;4; 5; 6) = 60 => a= 59 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 59 Bài 20:Tìm số có ba chữ số, biết chia số cho dư 3, chia dư 1, chia vừa đủ chữ số hàng trăm số chẵn lớn HD: Gọi số tự nhiên cần tìm abc Do abc chia dư nên abc số lẻ, mà abc chia dư nên c = c = 5, mà c lẻ nên c = Khi ta có: ab3 mà số hàng trăm số chẵn lớn => a = Ta số 8b3 lại chia hết b = b = b = Vậy ta có số thỏa mãn đầu bài: 813 843 873 Bài 21: Tìm số tự nhiên bé chia cho 2; 5; 11 26 dư HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 1M2 � � a 1M5 � a �BC 2;11;5; 26 � a 1M 11 � � a 1M26 Theo ta có: � Vì a nhỏ nên a - nhỏ hay a - = BCNN(2; 11; 5; 26 ) = 1430 => a = 1431 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 1431 Bài 22: Tìm số tự nhiên a, b biết: ƯCLN(a,b) = BCNN(ab) = 105 Bài 23: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 6, chia cho 12 dư 10, chia cho 15 dư 13 cxhia hết co 23 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: Theo ta có: a 6M a 8M � � � � a 10M 12 � a 10 12M 12 a �BC 8;12;15 B 120 0;120; 240;360; 480; 600; 720; � � � a 13M 15 a 13 15M 15 � � = a � 118; 238;358; 478;598;718; > Vì a chia hết 23 a nhỏ nên a = 598 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 598 Bài 24: Tìm hai số có chữ số biết tổng chúng bội 504 thương số lớn chia cho số nhỏ bội Bài 25: Cho BCN(a,b) = 60 a = 12 Tìm b? Bài 26: Cho số A chia hết cho chia A ho hoặc dư Tìm A biết A < 400 HD: �A 1M4 A �BC 4;6 B 12 0;12; 24;36; 48; 60; 72;84; � A M � Theo ta có: A� 1;13; 25;37; 49; 61;73;85; => , Mặt khác a chia hết cho A < 400, nên A = 49, 133, Vậy số tự nhiên cần tìm 49, 133, Bài 27: Tổng số học sinh khối cua trường có khoảng từ 235 đến 250 em, chia cho dư 2, chia cho dư 3, chia cho dư 4, chia cho dư 5, chia 10 dư tìm số học sinh khối HD: Gọi số học sinh khối cần tìm a: => 235 < a < 250 Theo ta có: a 2M3 � �a 3M3 � �a 4M4 a 3M4 � � � � a M � �a 5M5 a �BC 3; 4;5;6;10 B 60 0;60;120;180; 240;300; � �a 6M6 a 5M6 � � a M 10 10 � � � �a 10M a � 59;119;179; 239; 299; => Vì 235 < a < 250 => a = 239 Vậy số học sinh khối trường 239 học sinh Bài 28: Tìmsốtựnhiênnhỏnhấtkhichiacho5thìdư1cịnchiacho7thìdư5 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a: Theo ta có: a 5n m 5n 5m 2m n m 2m 4M5 2m �B 0;5;10;15; 2m � 1;6;11; m � 3; => , Vì a nhỏ nên m nhỏ m = => a = 7.3 + = 26 Bài 29: Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư chia cho dư chia cho 19 dư 11 HD : Gọi số tự nhiên cần tìm a: a 6M 11 a 33M 11 � � � � a 1M4 � a 28M4 a 27 �BC 11; 4;19 � � � a 11M 19 a 11 38M 19 � Theo ta có: � Vì a nhỏ nhất, nên a + 27 = BCNN(11;4;19) = 836 => a = 809 Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 809 Bài 30: Số học sinh tham gia nghi thức đội số có ba chữ số lớn 800 , Nếu xếp hàng 20 dư em, xếp hàng 25 dư 18 em, xếp hàng 15 thiếu em, hỏi có tất hs dự thi? Bài 31: Số học sinh tham quan trường khoảng từ 1200 đến 1500 em, Nếu thuê xe 30 chỗ thừa 21 ghế, thuê xe 35 chỗ thừa 26 chỗ, thuê xe 45 chỗ thiếu ghế, Hỏi có tất hs tham quan? HD: Gọi số học sinh tham quan a: ta có : 1200 < a < 1500 a số tự nhiên a 21M30 a 21 30M 30 30 � � �a 9M � � � a 26M35 � a 26 35M 35 �a 9M 35 a �BC 30;35; 45 � � � �a 9M45 a 9M45 a 9M45 � � Theo ta có: � a �B 630 0;630;1260;1890; a � 9;639;1269;1899; => Vì 1200 < a < 1500 nên a = 1269 Vậy số học sinh tham quan 1269 học sinh Bài 32: Cho a chia cho 13 dư 3, a chia 19 dư 7, a chia 247 dư bao nhiêu? HD: Theo ta có: a = 13k + 3, a = 19h + 7, => a + 88 = 13k + 91 = 13(k + 7) Và a + 88 = 19h + + 88 = 19h + 95 = 19(k + 5), Như a + 88 chia hết cho 13 19, Vì UCLN(13 ;19) =1 Nên a + 88 chia hết cho 13.19 = 247 Vậy a chia cho 247 dư 159 Bài 33: Tìm số tự nhiên a lớn có ba chữ số cho chia a cho dư 2, chia dư chia dư HD: a 2M5 a 5M5 a 3M � � � � � � a 4M7 � a 7M7 � a 3M7 a �BC 5;7;9 � � � � a 6M a 9M9 a 3M � � Theo ta có: 99 < a < 1000 � a �B 315 0;315;630;945;1260 a � 312;627;942;1257; => Vì 99 < a < 1000 a số lớn nhỏ hoen 1000 nên a = 942 Vậy số tự nhiên cần tìm a = 942 Bài 34: Tìm số tự nhiên a nhỏ cho chia a cho dư 3, chia a cho dư HD : Ta có: a = 5q + a = 7p + Xét a + 17 = 5q + 20 = 7p + 21 => a + 17 chia hết cho hay a + 17 bội chung a 17 �B 35 0;35;70;105; a � 18;53;88; => vi a nhỏ nên a = 18 Vậy số tự nhiên cần tìm 18 Bài 35: Tìm số tự nhiên có chữ số, biết chia số cho 25, 28, 35 số dư 5, 8, 15 HD: Gọi số tự nhiên cần tìm a, 99 < a < 1000 a 5M25 a 25M25 a 20M25 � � � � � � a 8M28 � a 28M28 � a 20M28 a 20 �BC 25; 28;35 � � � � a 15M35 a 15 35M35 a 20M35 � � Từ giả thiết ta có : � a 20 �B 700 0;700;1400; a � 680;1380; => Vì a nhỏ 1000 nên a = 680 Vậy số tự nhiên cần tìm a = 680 Bài 36: Tìm số tự nhiên a nhỏ có ba chữ số biết chia a cho dư 3, chia a cho 11 dư 8, HD: �a 3M7 �a 28M7 �a 25M7 � � a 25 �BC 11; � a 8M 11 �a 33M 11 �a 25M 11 Theo ta có: 99 < a < 1000 � a 25 �B 77 0;77;154; 231;308; a � 52;129; 206; Ta có: Vì a nhỏ có ba chữ số nên a = 129, Vậy số tự nhiên nhỏ cần tìm 129 Bài 37: Tìm số lớn có chữ số n biết n chia dư chia 31 dư 28 Bài 38: Khi số tự nhiên a chia dư 3, chia cho 17 dư cịn chia cho 19 dư 13 số a chia 1292 có số dư ? HD: Theo ta có: a = 4x + 3, a = 17y + a = 19z + 13 Hay a + 25 = 4(x + 7) = 17(y + 2) = 19(z + 2) Như a + 25 đồng thời chia hết cho ; 17 ; 19, hay a + 25 M1292 => a chia cho 1292 dư 1267 Bài 39: Một số tự nhiên chia dư 1, chia dư 2, chia dư 3, chia dư chi hết cho 13 a, Tìm số nhỏ có tính chất b, Tìm dạng chung tất số có tính chất HD: a, Gọi số tự nhiên cần tìm a Khi ta có : a 2M3;4;5;6 a M13 a �BCNN 3;4;5;6 60 a 60n a 60n n 1;2;3; 13 Nên aM � a 2M60 1 � � aM 13 b, Số phải tìm thỏa mãn điều kiện : � 1 x 182M60 Từ x 182M13 vi 60;13 x 182 780k x 780k 182 k 1;2;3; Từ Bài 40: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho ; 10 ; 15 ; 20 số dư theo thứ tự : ; ; 12 ; 17 Bài 41: Tìm số tự nhiên nhỏ chia cho dư 6, chia 12 dư 10, chia 15 dư 13 chia hết cho 23 HD : Gọi số tự nhiên cần tìm a 8;12;15 a M23 Ta có : a 2M Bài 42: Tổng số học sinh khối trường khoảng 235 đến 250 em, Biết lấy số học sinh đem chia cho dư mà chia dư 3, chia dư 4, chia dư chia 10 dư 9, Tìm số học sinh khối Bài 43: Tìm số bé mà chia số cho dư 2, chia dư 3, chia dư chia dư Bài 44: Tìm số tự nhiên chia cho 120 dư 58, chia 135 dư 88 số số bé Bài 45: Tìm số tự nhiên a nhỏ chia cho ; ; 12 số dư : : Bài 46: Tìm số tự nhiên có chữ số biết chia dư 5, chia 25 dư 19 Bài 47: Tìm số tự nhiên lớn có chữ số, biết chia cho 10 dư 3, chia 12 dư 5, chia 15 dư M19 Dạng 3: BÀI TỐN UC CĨ DƯ Bài 1: Tìm số tự nhiên a biết chia 24 cho a dư 3,và chia 38 cho a dư HD : Vì 24 chia a mà dư 24 - = 21 chia hết cho a => a �U(21) a > Tương tự 38 chia a dư nên 38 - = 35 chia hết cho a => a �U(35) a > Như a �UC(21 ;35) a > Bài 2: Tìm số tự nhiên a biết 156 chia a dư 12 280 chia a dư 10 HD: Vì 156 : a dư 12 nên 156-12=144 chia hết cho a a > 12 Và 280 chia a dư 10 nên 280 - 10 = 270 chia hết cho a a > 10 Như a �UC(144 ; 270) đồng thời a > 12 Bài 3: Tìm số tự nhiên n biết 288 chia n dư 38 414 chia n dư 14 HD: Vì 288 : a dư 38 nên 288 - 38 = 250 chia hết cho a a > 38 Và 414 chia a dư 14 nên 414 - 14 = 400 chia hết cho a a > 14 Như a �UC(38 ;400) đồng thời a > 38 Bài 4: Tìm số tự nhiên a lớn thỏa mãn 543, 4539, 3567 chia cho a dư HD: Vì 543 chia a dư nên 543 - = 540 chia hết cho a hay a �U(540) Tương tự a �U(4536) a �U(3564), a số tự nhiên lớn nên: a = UCLN( 540 ; 4536 ; 3564) Bài 5: Tìm số tự nhiên a biết 398 chia a dư 38, 450 chia a dư 18 HD: Vì 398 chia a dư 38 nên 398 - 38 = 360 chia hết cho a hay a �U(360) a > 38 Tương tự a �U(432) a > 18, a �UC( 360; 432) a > 38 Bài 6: Tìm số tự nhiên a biết 350 chia a dư 38 320 chia a dư 26 HD: Vì 350 chia a dư 38 nên 350 - 38= 312 chia hết cho a hay a �U(312) a > 38 Tương tự a �U(304) a > 18, a �UC( 312; 304) a > 38 Bài 7: Tìm số tự nhiên a biết 264 chia a dư 24 363 chia a dư 43 HD: Vì 264 chia a dư 24 nên 264 - 24 =240 chia hết cho a hay a �U(240) a > 24 Tương tự a �U(320) a > 43, a �UC( 240; 320 ) a > 43 Bài 8: Tìm số tự nhiên a biết chia 111 cho a dư 15 cịn chia 180 cho a dư 20 HD: Vì 111 chia a dư 15 nên 111 - 15 = 96 chia hết cho a hay a �U(96) a > 15 Tương tự a �U(160 ) a > 20, a �UC( 96; 160 ) a > 20 Bài 9: Nếu ta chia số 3972 170 cho số số dư tương ứng 42 Hỏi số chia bao nhiêu? HD: Gọi số chia cần tìm a, Ta có số chia ước (3972 - 4) (170 - 42) a 64 � 42 a 170 � a �UC 3968;128 a 128 � Hay , đồng thời Bài 10: Tìm số tự nhiên a biết rằng: 398 : dư 38, cịn 450 chia cho a dư 18 HD: Vì 147 chia a dư 17 nên 147 - 17 = 130 chia hết cho a hay a �U(130) a > 17 Tương tự a �U(182 ) a > 11, a �UC( 130; 182 ) a > 17 Bài 11: Tìm số tự nhiên n biết chia 147 193 cho n có số dư 17 11 Bài 12: Tìm số tự nhiên a biết rằng, 350 chia cho a dư 14, 320 chia cho a dư 26 Bài 13: Nếu ta chia số 3972 170 cho số số dư tương tứng 42, Hỏi số chia bao nhiêu? Bài 14: Tìm số tự nhiên n lớn cho chia 364, 414, 539 cho n ta số dư HD: Ta có: Vì số 364, 414, 539 chia n có số dư, nên hiệu số chia hết cho số đó: 414 364Mn � � � 539 414Mn n �UCLN 125;50;175 � 539 364Mn � Bài 15: Tìm số tự nhiên a biết 1960, 2002 chia a có số dư 28 Dạng TÌM HAI SỐ KHI BIẾT TỔNG VÀ UCLN Bài 1: Tìm hai số tự nhiên a b biết a+b=48 UCLN (a;b)=6 HD: �a 6a1 � b 6b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a b 48 6a1 6b1 48 a1 b1 48 a b 8 Nên 1 Mà ( a1:b1) = Nên ta có bẳng sau: a1 a b1 b 7 18 30 42 42 30 18 Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (6 ; 42), (18 ; 30), (30 ; 18), (42 ; 6) Bài 2: Tìm hai số tự nhiên a b có tổng 224, biết UCLN chúng 28 HD: a 28a1 � � b 28b1 Vì UCLN( a; b) = 28 nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a b 224 28a1 28b1 224 28 a1 b1 224 a b 8 Nên 1 Mà ( a1:b1) = Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (28 ; 196), (84 ; 140), (140 ; 84), (196 ; 28) Bài 3: Tìm hai số tự nhiên biết UCLN chúng 36 tổng chúng 432 HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm a b, ta có: �a 36a1 � b 36b1 Vì UCLN( a; b) = 36 nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a b 432 36a1 36b1 432 36 a1 b1 432 a b 12 Nên 1 Mà ( a1:b1) = Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (36 ; 396), (180 ; 252), (252 ; 180), (396 ; 36) Bài 4: Tìm hai số tự nhiên biết UCLN chúng tổng 66,đồng thời có số chia hết cho HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm a b, ta có: a 6a1 � � b 6b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a b 66 6a1 6b1 66 a1 b1 66 a b 11 Nên 1 Mà ( a1:b1) = Tuy nhien hai số chia hết cho Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (6 ; 60), (30; 36), (36; 30), (60; 6) Bài 5: Tìm hai số tự nhiên biết tích chúng 864 UCLN HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm a b, ta có: �a 6a1 � b 6b1 � Vì UCLN( a; b) = nên ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 864 6a1.6b1 864 36.a1.b1 864 Nên a1.b1 24 Mà ( a :b ) = 1 Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (6 ; 144), (18 ; 48), (48 ; 18), (144 ; 6) Bài 6: Tìm hai số tự nhiên a,b (a>b)có tích 1994 UCLN chúng 18 HD : a 18a1 � � b 18b1 Vì UCLN( a; b) = 18 nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 1944 18a1.18b1 1944 324a1.b1 1944 a b Nên 1 a b Mà ( a1:b1) = a> b nên 1 Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (108 ; 18), (54; 36) Bài 7: Tìm hai số tự nhiên khác biết a+b=224 UCLN (a;b) =56 HD : a 56a1 � � b 56b1 Vì UCLN( a; b) = 56 nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a b 224 56a1 56b1 224 56 a1 b1 224 Nên a1 b1 Mà ( a :b ) = Vậy cặp số 1 tự nhiên (a ; b) cần tìm : (56 ; 168), (168; 56) Bài 8: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a.b= 6144 UCLN (a;b)=32 HD: �a 32a1 � b 32b1 Vì UCLN( a; b) = 32 nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 6144 32a1.32b1 6144 a1.b1 a b Mà ( a1:b1) = a> b nên 1 Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (32; 192), (64; 96), (96 ; 64), (192 ; 32) Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a.b =72 UCLN (a;b)=6 HD : a 6a1 � � b 6b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 72 6a1.6b1 72 a1.b1 a b Mà ( a1:b1) = a> b nên 1 Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (6 ; 12), (12 ; 6) Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a.b =3750 UCLN (a;b)=25 HD: �a 25a1 � b 25b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 3750 25a1.25b1 3750 a1.b1 Mà ( a1:b1) = Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (25 ;650) ,(50 ; 75), ( 75 ; 50), (150 ;25) Bài 11: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a.b 24300 UCLN (a;b)=45 HD: �a 45a1 � b 45b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 24300 45a1.45b1 24300 a1.b1 12 Mà ( a1:b1) = Vậy cặp số tự nhiên (a ; b) cần tìm : (45 ; 540) ,(135; 180), ( 180 ; 135), (540 ;45) a 15 b1 12 l TH5 : Bài 16: Tìm số tự nhiên biết rằng: a b 48 UCLC(a;b)=12 HD: a 12a1 � UCLN a; b 12 � a1; b1 1 a b 48 a1 b1 a1 b1 b 12b1 � Từ 12a1;12b1 , a1 b1 a1; b1 Vậy số có dạng: a b 84,UCLN a; b Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a,b biết rằng: a.b 216,UCLN a; b Bài 18: Tìm số tự nhiên a,b>0, biết a b 128,UCLN a; b 16 Bài 19: Tìm số tự nhiên a,b>0 biết a b 128,UCLN a; b 16 Bài 20: Tìm số tự nhiên a,b>0 biết: chúng có chữ số hàng đơn vị giống a b 288,UCLN a; b 24 Bài 21: Tìm số tụ nhiên a,b biết a b 192,UCLN a; b 18 Bài 22:Tìm số tự nhiên a,b biết Bài 23: Tìm số tự nhiên a,b nhỏ 56, biết hiệu chúng 28 UCLN(a; b) = 14 Bài 24: Giả sử số tự nhiên có hiệu 84, UCLN chúng 12, Tìm số đó, biết số nhỏ 200 Bài 25: Cho số tự nhiên nhỏ 200, biết hiệu chúng 90, UCLN chủa chúng 15, tìm số Bài 26: Tìm số tự nhiên biết tích chúng 180 UCLN củ chúng Bài 27: Tìm số tự nhiên biết tích chúng 8748 UCLN chúng 27 Bài 28: UCLN số 45, Số lớn 270, Tìm số nhỏ? HD: Gọi số cần tìm a (a < 270) �a 45.a1 UCLN a; 270 45 � a1;6 270 45.6 � Ta có : , Mà a 270 45a1 270 a1 a1 1;5 , số bé 45.1=45 45.5 Bài 29: Cho UCLN số 4, số nhỏ 8, tìm số lớn HD: a 4a1 � UCLN a;8 � a 2, a1 ;2 4.2 � Gọi số lớn a, (a>8) , mà 2k 1 , k �N * a1 2k Vậy số cần tìm có dạng : Bài 30: Tìm số tự nhiên biết tổng chúng 272 UCLN 34 Bài 31: Tìm số tự nhiên a b biết : a b 72,UCLN a; b a.b 448,UCLN a; b a, b, a b 96,UCLN a; b 16 a b 30,UCLN a; b 15 c, d, Dạng CHỨNG MINH HAI SỐ LÀ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU Bài 1: Chứng minh số n+1 3n+4 (n � N) hai số nguyên tố HD: Gọi d = UCLN(n+1;3n+4) => d �N*, nên ta có �n 1Md 3n 3Md � �� � 3n 4Md 3n 4Md � � nên (3n+4)-(3n+3) Md => Md Vậy hai số : n+1 3n+4 hai số nguyên tố với (n � N) Bài 2: Cho n � N, Chứng minh UCLN (n;n+1)=1 HD : Gọi d=UCLN(n ; n+1),=> d �N* Khi ta có : nMd � (n 1) n Md 1Md � n 1Md � Vậy hai số n n+1 hai số nguyên tố Bài 3: Chứng minh 2n+1 2n+3 hai số nguyên tố HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 2n+3)=> d �N* 2n 1Md � 2n 3 2n 1 Md 2Md d �U 1; 2 � n M d � Khi ta có : Mà ta lại có 2n+1 Md mà 2n+1 số lẻ nên d=2( loại), d=1 Vậy hai số 2n+1 2n+3 hai số nguyên tố Bài 4: Chứng minh 14n+3 21n +4 (n �N )là hai số nguyên tố HD : Gọi d=UCLN( 14n+3 ; 21n+4),=> d �N* Khi ta có : 14 n Md � 14n 3Md 42n 9Md � � � � � � 21n 4Md 42n 8Md 21n Md 42n 42n 8 Md 1Md � � � => Vậy hai số 14n+3 21n+4 hai số nguyên tố Bài 5: Chứng minh 2n+1 6n+5 hai số nguyên tố HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 6n+5), => d �N* Khi ta có : 2n 1 Md 2n 1Md 6n 3Md � � � � � 6n 6n 3 Md � 6n 5Md 6n 5Md 2Md d �U 1;2 6n 5Md � � � => Do 2n+1 Md, mà 2n+1 lại số lẻ nên d=2 loại, d=1 Vậy hai số 14n+3 21n+4 hai số nguyên tố Bài 6: Tìm UC 2n+1 3n+1 với n �N HD : Gọi d=UCLN( 2n+1 ; 3n+1),=> d �N* Khi ta có : n 1 Md � 2n 1Md 6n 3Md � � � � � 6n 6n 3 Md 1Md d �U 1 1; 1 � 3n 2Md 6n 4Md 3n Md � � � Do UC( 2n+1 ; 3n+1) ước d, ước Vì ước hay ước -1 có chung tập hợp Vậy UC( 2n+1 ; 3n+1) = U(1) = { ; -1) Bài 7: Tìm UCLN 9n +24 3n +4 HD : Gọi UCLN( 9n+24 ; 3n+4)=d, => d �N* Khi ta có : 9n 24Md 9n 24Md � � � 9n 24 9n 12 d 12Md � 3n 4Md 9n 12Md � � d �U 12 �1; �2; �3; �4; �6; �12 => Do 3n+ Md, Mà 3n+4 không chia hết cho 3, nên d=3, 6, 13 (loại) Do d = 1; 2; Để d=2 n phải chẵn Để d=4 n phải chia hết cho Để d =1 số lẻ, Vậy với n =4k+2 ( k �N ) UCLN(9n+24 ; 3n+4) =2 Với n=4k ( k �N ) UCLN( 9n+24 ; 3n+4) =4 Với n =2k+1 với ( k �N ) UCLN( 9n+24 ; 3n+4) =1 Bài 8: Chứng minh với n �N số sau ngyên tố a , 7n +10 5n +7 b , 2n +3 4n +8 HD : a, Gọi d= UCLN(7n+10 ; 5n+7), => d �N* � 7n 10 Md n 10Md 35n 50Md � � � � � 35n 50 35n 49 Md 1Md � 5n 7Md 35n 49Md 5n Md � � � Khi dó ta có : Do d=1 Vậy hai số 7n+10 5n+7 hai số nguyên tố b, Gọi d=UCLN(2n+3 ; 4n+8), => d �N* 2n 3 Md � 2n 3Md 4n 6Md � � � � 4n 4n Md 2Md d � 1;2 � 4n 8Md 4n 8Md 4n 8Md � � � Khi ta có: Vì 2n+3 Md, mà 2n+3 só lẻ nên d=2 (loại) Khi d=1, Vậy hai số 2n+3 4n+8 hai số nguyên tố Bài 9: Cho UCLN(a;b)=1 Chứng minh UCLN(a; a+b)=1 HD: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) =>d �N* a b Md � � a b a Md � bMd � � a Md mà a Md nên d �UC(a;b) hay d �U(1)=>d=1 Bài 10: Cho số 3n+1 5n+4 hai số khơng ngun tố nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) HD: Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d =>7 Md => d=7 d=1 Mà d#1 nên d=7 Bài 11: Tìm UCLN 2n-1 9n +4 với n �N HD : Gọi d=UCLN( 2n-1 ; 9n+4),=> d �N* Khi ta có : n 1 Md � 2n 1Md 18n 9Md � � � � � 18n 18n Md 17Md � 9n 4Md 18n 8Md n Md � � � d �U 17 �1; �17 Do UCLN số dương nên ta có : d=1 d=17 Vậy UCLN( 2n-1 ; 9n+4) =1 17 Bài 12: Tìm ƯC (2n+1;3n+1) Bài 13: Tìm ƯCLN (9n+4; 2n-1) Bài 14: Tìm UC n+3 2n+5 HD : Gọi d=UCLN( n+3 ; 2n+5), => d �N* Khi ta có : �2 n 3 Md n 3Md 2n 6Md � � � � 2n 2n Md 1Md � 2n 5Md 2n 5Md �2n 5Md � � d �U 1 �1 Khi UC( n+3 ; 2n+5) =U(1) ={1 ; -1} Vậy UC ( n+3 ; 2n+5) ={1; -1} Bài 15: Số có phải UC n+1 2n +5 hay khơng? Bài 16: Tìm số chia thương phép chia, có số bị chia 145, số dư 12 biết thương khác HD: Gọi x số chia, a thương, ta có: 145 =a.x+12(x>12) =>145-12 =133=a.x =>x U(133) 1; 7;19;133 mà x>12 =>x=19 133 Lại có 133=7.19 =>x�U(133) = Nếu số chia =19 =>thương =7 Nếu số chia =133 =>thương =1 (loại) Bài 17: Tìm số x,y cho: a, (2x+1)(y-3)=10 b, (3x-2)(2y-3)=1 c, (x+1)(2y-1)=12 d,(x+6)=y(x-1) e, x-3=y(x+2) Bài 18: Thay chữ số thích hợp ab.cb ddd HD: Ta có: ab.cb ddd d 111 d 3.37 mà hai số ab,cb có tích chia hết cho số ngun tố 37 nên tồn Tại � 37; 74 số M31 Giả sử ab M37 ab Nếu ab =37 => ab cd =37 c7 =999 => c7 =999:37 = 27 =>c=2 Nếu ab =74 74 c =666 c =666:74=9(loại) Vậy 37.27=999 Bài 19: Cho UCLN(a;b)=1,Tìm UCLN (11a+2b;18a+5b) HD: � 11a 2bMd � 18(11a 2b) Md �� � 18a 5bMd � 11(18a 5b) Md Gọi d =UCLN (11a+2b; 18a+5b) nên � =>11(18a+5b)-18(11a+2b) Md =>19b Md Và 5(11a+2b)-2(18a+5b) Md => 19a Md =>d=1 d=19 Bài 20: Tìm UCLN hai số TN a a+2 HD : Gọi d=UCLN( a ; a + 2), => d �N* Khi ta có : �aMd a a Md 2Md d �U �1; �2 � �a 2Md Vì d UCLN nên d=1 d=2 Vậy UCLN ( a; a+2) =1 Bài 21: Cho n số tự nhiên, Tìm UCLN a, 21n+5 14n+3 b, 18n+2 30n+3 c, 24n+7 18n+5 HD: a, Gọi d=UCLN( 21n+5; 14n+3),=> d �N* 14n 3 Md � 14n 3Md 42n 9Md � � � � � � 21n 4Md 42n 8Md 21n Md 42n 42n 8 Md 1Md � � Khi ta có: � => Vậy UCLN( 21n; 14n+3) =1 b, Gọi UCLN( 18n+2; 30n+3), => d �N* 18n Md � 18n 2Md 90n 10Md � � � � � 1Md � 30n 3Md 90n 9Md 30n 3 Md � � � Khi ta có: Vậy UCLN( 18n+2; 30n+3) =1 c, Gọi d=UCLN( 24n+7; 18n+5), => d �N* 24n Md � 24n 7Md 72n 21Md � � � � � 1Md � 18n 5Md 72n 20Md 18n Md � � � Khi ta có: => d=1 Vậy UCLN( 21n; 14n+3) =1 Bài 22:Cho m số tự nhiên lẻ, n số tự nhiên, CMR: m m.n+4 hai số nguyên tố HD: Giả sử: m vaø (m.n + 4) chia hết cho số tự nhiên d, ta có: mMd m.n Md � � � 4Md d � 2;4;1 � m.n 4Md m.n 4Md � � , Do m Md m lẻ => d= d= loại Vậy d=1 Khi m m.n+4 hai số nguyên tố Bài 23: Tìm hai số tự nhiên biết tổng chúng 272 UCLN chúng 34 Bài 24: TìmƯCLN(7n+3,8n-1)với(n �N*).Khinàothìhaisốđónguntốcùngnhau HD: Gọi d=UCLN( 7n+3; 8n-1),=> d �N* � 7n 3 Md n 3Md 56n 24Md � � � � � 31Md � 8n 1Md 56n 7Md 8n 1 Md � � � Khi ta có: => d=1 d=31 31 =>7n+3-31 M 31=>7n-28 M 31=>7(n-4) M 31=>n-4 M 31 Để d=1 d khác 31 hay 7n+3 M � � Hay n-4 31k=>n 31k+4 (k số tự nhiên) Vậy để 7n+3 8n-1 hai số nguyên tố n �31k+4 ( k số tự nhiên) Bài25:Cho(a,b)=1.Chứngtỏrằng:(8a+3)và(5b+1)lànguyêntốcùngnhau HD: Gọi UCLN( 8a+3; 5b+1) =d, => d �N* � 8a 3bMd � 5(8a 3b)Md �40a 15bMd �� � � �8(5a b)Md �40a 8bMd =>7b Md �5a bMd 8a 3bMd 8a 3bMd � � � 15a 3b 8a 3b Md a Md � 5a b Md 15a 3bMd � � Vì (a; b) =1 Nên d=1 d=7 Bài26:Tìmsốnnhỏnhấtđể:n+1;n+3;n+7đềulànguyêntố Bài27:Biết(a,b)=95.Tìm(a+b,a-b) HD: Gọi UCLN( a+b; a - b) =d, => d �N* a bMd � 2b Md � a bMd � => d �U(2) d �U (b) a bMd � 2a Md � a b M d � => d �U(2) d �U(a) mà UCLN( a ;b) =95, nên d=95 d=2 Vậy UCLN (a+b; a-b) =2 95 Bài28:Tìmnđể9n+24và3n+4làhaisốnguyêntốcùngnhau(n �N) HD: Gọi UCLN( 9n+24 ; 3n+4)=d, Khi ta có : 9n 24Md 9n 24Md � � � 9n 24 9n 12 d 12Md � 3n 4Md 9n 12Md � � d �U 12 �1; �2; �3; �4; �6; �12 => Do 3n+ Md, Mà 3n+4 không chia hết cho 3, nên d=3, 6, 13 (loại) Do d = 1; 2; Để d=2 n phải chẵn Để d=4 n phải chia hết cho Để d =1 n số lẻ, Vậy đẻ 9n+24 3n+4 hai số nguyên tố n lẻ Bài29:Tìmnđể:18n+3và21n+7làhaisốnguyêntốcùngnhau HD : Gọi UCLN( 18n+3 ; 21n+7)=d, => d �N* 18n 3 Md � 18n 3Md � � � 126n 42 126n 21 Md 21Md � 21n Md 21n Md � � Khi ta có : d �U 21 �1; �3; �7; �21 => Do 21n+7 Md, Mà 21n+7 không chia hết cho 3, nên d= d=7 Để hai số 18n+3 21n+7 hai số nguyen tố d khác hay =>18n+3-21 M 7=>18n-18 M 7=>18( n-1) M 7=>n-1 M 7=>n-1 �7k=>n �7k+1 18n+3 M Vậy n �7k +1 với k số tự nhiên 18n+3 21n+7 hai số nguyên tố Bài30:Tìmsốtựnhiênnđểcácsốsaunguyêntốcùngnhau: a 4n+3và2n+3 b 7n+13và2n+4 c 9n+24và3n+4 d 18n+3và21n+7 HD: a, Gọi UCLN( 4n+3; 2n+3) =d, => d �N* � 4n 3Md �4n 3Md �� 4n 4n 3 Md 3Md d � 1;3 � 2n 3Md � 4n 6Md � Để 4n+3 2n+3 hai số nguyê tố d khác hay 2n M n M n �3k (k �N ) 2n M Vậy n �3k (k �N ) 4n+3 2n+3 hai số nguyên tố b, Gọi UCLN( 4n+3; 2n+3) =d, => d �N* � 4n 3Md �4n 3Md �� 4n 4n 3 Md 3Md d � 1;3 � n M d n M d � � Để 4n+3 2n+3 hai số nguyê tố d khác hay 2n M n M n �3k (k �N ) 2n M Vậy n �3k (k �N ) 4n+3 2n+3 hai số nguyên tố 9n 24Md � d α����� UCLN 9n 24;3n 12Md d 1; 2; 3; 4; 6; 12 � n M d � c, Gọi d α��� 6; 12 9n 24 d α��� 2; 4; 2; 4; 6; 12 loại Nếu chẵn và, 3n chẵn => Nếu d �3 3n 4M3 Vô lý=> d=3(loại) Nếu d=1=> 9n 24,3n số lẻ => 9n+24 lẻ=> n lẻ 3n+4 lẻ => n lẻ Vậy n lẻ Bài31:Cho(a,b)=1.Tìm: a.(a+b,a-b) b.(7a+9b,3a+8b) HD : b, Gọi d =UCLN (7a+9b; 3a+8b)=> d �N* � 7a 9b Md � 3(7 a 9b) Md 21a 27b Md � �� � 29bMd � a b M d 7(3 a b ) M d 21 a 56 b M d � � Nên: � d=1 d=29 Tương tự: � 7a 9bMd � 8(7 a 9b) Md 56a 72b Md � �� � 291Md � �9(3a 8b)Md �27a 72b Md �3a 8bMd d=1 d=29 Vì UCLN(a; b) =1 nên UCLN( 7a+9b; 3a+8b)=1 29 Vậy d=1 d=19 Bài 32: Tìm n để 18n+3 21n+7 số nguyên tố nhau: HD: 18n 3Md � d UCLN 18n 3;21n � 21Md d �U 21 1;3;7;21 21n 7Md � Gọi Nếu d 21n 7M3 (Vô lý) d � 1;7 Nếu , để số nguyên tố 18n 21M n 1M n �7k d �7 18n M Vậy với n �7k k �N số nguyên tố Bài 33: Tìm số tự nhiên n để 4n 3,2n nguyên tố HD: Giả sử: 4n 2n chia hết cho số nguyên tố d, 2n 3 4n 3 Md 3Md d � 1;3 4n M n M n �3k k �N d �3 4n M Để số nguyên tố Bài 34: Tìm số tự nhiên n để số sau nguyên tố nhau: 7n 13 2n HD: Giả sử: 7n 2n chia hết cho số nguyên tố d, Ta có: 2n 7n 13 Md 2Md d � 1;2 n số chẵn Để số nguyên tố d �2 7n 12 M Bài 35: Chứng minh rằng: có vơ số số tự nhiên n để n 15 n 72 số nguyên tố HD: d �UC n 15; n 72 57Md Gọi , Do n 15Md ,57Md , Nên tồn n cho n 15 57k d = 1, Với k=1; 2; 3;… Vậy có vơ số n UCLN 12n 1;30n 1 Bài 36: CMR: với số tự nhiên n HD : Gọi UCLN ( 12n+1 ; 30n+1)= d, =>d �N* ta có : � 12n 1 Md 12n 1Md 60n 5Md � � � � � 3Md d � 1;3 � 30n 1Md 60n 2Md � � �2 30n 1 Md Vì 12n+1 số không chia hết d=3 loại Vậy d=1, UCLN( 12n+1 ; 30n+1) =1 Bài 37: Cho m,n hai số tự nhiên, Gọi A tập hợp ước số chung m n, B tập hợp ước số chung 11m 5n 9m 4n , CMR: A=B HD : Gọi d=UCLN( 11m+5n ;9m+4n) =>d �N* 11m 5n Md � 11m 5n Md 99m 45n Md � � � � � nMd � 9m 4n Md 99m 44n Md 11 9m 4n Md � � � Khi ta có : (1) 11m 5n Md � 11m 5n Md 44m 20n Md � � � � � mMd � 9m 4n Md 45 m 20 n M d m n M d � � � Tương tự ta có : (2) � UC ( m ; n ) Từ (1) (2) ta có : d => d �U(A) B �U(d)=U(A), Vậy A=B Bài 38: Cho n số tự nhiên, Tìm UCLN BCNN của: n n+2 HD : Gọi d=UCLN( n ; n+2) =>d �N* �nMd n nMd 2Md � �n 2Md =>d=1 d=2 Để d=2 n M2=> n chẵn, d=1 n lẻ Ta có : UCLN(a ;b).BCNN(a ;b) = a.b TH1 : Nếu d=1 BCNN( n ;n+2) =n(n+2) n n 2 TH2: Nếu d=2 BCNN( n; n+2) = Bài 39: Cho UCLN (a;b) = Chứng minh UCLN (a; a+b) = HD: Ta có đặt d=UCLN (a+b; a) => d �N* a b Md � � a b a Md � bMd � � a Md mà a Md nên d �UC(a;b) hay d �U(1)=>d=1 Vậy UCLN(a; a+b) =1 Bài 40: Tìm số chia thương phép chia, có số bị chia 145, số dư 12 biết thương khác HD: Gọi x số chia, a thương, Ta có: 145 = a.x + 12 (x > 12) => 145 - 12 = 133 = a.x => x U(133) 1;7;19;133 mà x > 12 => x = 19 133 Lại có 133 = 7.19 => x �U(133) = Nếu số chia =19 => thương =7 Nếu số chia =133 =>thương =1 (loại) Vậy số chia cần tìm 19, thương Bài 41: Cho số 3n+1 5n+4 hai số khơng ngun tố nhau, tìm UCLN (3n+1;5n+4) HD: Gọi UCLN (3n+1;5n+4) = d => d �N* � 3n 1 Md 3n 1Md 15n 5Md � � � � � 15n 12 15n 5 Md � 5n 4Md 15n 12Md 5n Md � � � => Md=> d=1 d= Vì 3n+1 5n+4 hai số không nguyên tố nên UCLN chúng Vậy UCLN( 3n+1; 5n+4) =7 Bài 42: Số có phải UC n+1 2n +5 hay không? HD: Gọi UCLN (n+1; 2n+5) = d => d �N* n 1 Md � n 1Md � �2n 2Md � � 2n 2n Md � n M d n M d n M d � � � => Md=> d=1 d= Vì khơng ước n+1 2n+5 Bài 43: Cho a, b số nguyên tố nhau, CMR số sau nguyên tố : a, a a+b b, a a+b c, ab a+b HD: b, Giả sử a a+b chia hết cho số nguyên tố d Khi a Md, b Md => a, b chia hết cho số nguyên tố d, trái với giả thiết (a;b)=1 Vậy a a+b số nguyên tố c, Giả sử a.b a+b chia hết cho số nguyên tố d => Tồn số a b chia hết cho d Khi a Md => b Md, Hoặc b Md=>a Md a b chia hết cho d, trái với (a; b) =1 Vậy a.b a+b nguyên tố Bài 44: Cho a,b số nguyên tố nhau, chứng minh số sau số nguyên tố : 2 a, b a – b (a > b) b, a b a.b HD: bMd a Md � � d �UC b; a b � � d �UC a; b a; b d a bMd bMd � � a, Gọi , Mà 2 b, Giả sử a b ab chia hết cho số nguyên tố d, Chứng minh điều vô lý Bài 45: Tìm UCLN (7n+3; 8n - 1) HD: 8n 1Md 56n 24Md � � d UCLN 8n 1;7n 3 � � 31Md d � 1;31 n M d 56 n M d � � Gọi d 31 8n 1M31 8n 31M31 n M31 n 31k k �N Nếu 7n 931k 31M31 UCLN 7n 3;8n 1 31 Thử lại Với n 31k 8n 1M31 31 d Nếu n �31k 8n M UCLN 9n 13;3n , n �N Bài 46: Tìm UCLN 2n 1;2n 3 Bài 47: Tìm UCLN a; b 95, UCLN a b; a b Bài 48: Cho Tìm UCLN 4n 3;5n , n �N Bài 49: Tìm Dạng 6: MỐI QUAN HỆ GIƯA UCLN VÀ BCNN Bài 1: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 900 UCLN(a; b) = 10 HD : Do a b có vai trị nhau, Giả sử a �b Vì UCLN(a; b) =10=> �a 10a1 a1 �b1 , a1; b1 � b 10 b � Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 900.10 10a1.10b1 a1.b1 90 Ta có bảng sau: 90 45 18 10 a1 a b1 b 900 450 180 100 10 20 50 90 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 10), (450; 20), (180; 50), (100; 90) (10; 900), (20; 450), (50; 180), (90; 100) Bài 2: Tìm hai số nguyên dương a, b biết: BCNN(a; b)= 240 UCLN(a; b)= 16 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a �b �a 16a1 a1b1 , a1; b1 � b 16b1 � Vì UCLN(a; b) =16 => Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 240.16 16a1.16b1 a1 b1 15 Ta có bảng sau: a1 a b1 b 15 240 80 16 48 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (240; 16), (80; 48) (16; 240), (48; 80) Bài 3: Tìm hai số nguyên dương a, b biết a.b = 4320 BCNN(a; b)= 360 HD: a.b UCLN a; b 4320 : 360 12 BCNN ( a ; b ) Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => Khi ta có: Giả sử a �b �a 12a1 a1 �b1 , a1; b1 � b 12 b UCLN(a; b) = 12 => � Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => Ta có bảng sau: 30 15 a1 a b1 b 12.360 12a1.12b1 a1.b1 30 10 360 180 120 72 12 24 36 60 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (360; 12), (180; 24), (120; 36), (72; 60) đảo ngược a 2, Bài 4: Tìm hai số nguyên dương a, b biết b UCLN(a; b)= HD: Từ đầu ta có: a > b a 5a1 � a1 , b1 1, a1 b1 � b 5b1 � Từ UCLN( a; b) =5 => �a1 13 a 13 a 13 2, � a1; b1 b1 b b1 � mà Nên a = 65 b = 25 Bài 5: Tìm a,b biết a+ b= 42 bà BCNN(a; b)= 72 HD: �a d a1 UCLN a; b d � a1; b1 b d b1 � Gọi a �b a1 �b1 a b 42 d a1 b1 42 d �U 42 Giả sử: Ta lại có: BCNN(a; b) UCLN(a; b) = a.b => 72.d a.b a1.d b1d a1.b1.d 72 d �U 72 d �UC (42;72) 1; 2;3;6 Từ (1) (2) => a1 b1 42 � � a b 72 TH1 : d = 1=> �1 (loại) a1 b1 14 � d � a1.b1 24 � TH3: (loại) Vậy a = 18, b = 24 a=24 b=18 Bài 6: Tìm a,b biết a - b =7 BCNN(a; b)= 140 HD: a d a1 � UCLN a; b d � a1; b1 b d b1 � Gọi a b d a1 b1 d �U (1) (2) �a b 21 d �1 �a1.b1 36 (loại) TH2 : a1 b1 a1 a 18 � � d � � a1.b1 12 b1 b 24 � � (1) Ta lại có: BCNN(a; b) UCLN(a; b) = a.b 140.d a.b a1.d b1d a1.b1.d 140 d �U 140 => (2) d �UC (7;140) 1; 7 Từ (1) (2) => a1 b1 � a1 a 35 �a1 b1 � d � � � a1.b1 20 b1 b 28 a b 140 � � TH1 : d = 1=> �1 (loại) TH2 : Vậy a = 35, b = 28 Bài 7: Tìm hai số nguyên dương biết a+ 2b= 48 UCLN(a; b)+3.BCNN(a; b)= 114 HD: a d a1 � UCLN a; b d � a1; b1 b d b1 � Gọi a 2b 48 da1 2db1 48 d a1 2b1 48 d �U 48 Mà : (1) Ta lại có: 3.BCNN(a; b) + UCLN(a; b) = 114 d 3.a1.b1.d 114 d 3a1.b1 114 d �U 114 => (2) d �UC (48;114) 1; 2;3; 6 Từ (1) (2) => d 3a1.b1 114 3.38 d M3 Mà : d = d = a1 2b1 16 �a1 2b1 16 � � � 3a1.b1 38 3a1.b1 37 � TH1 : d = 3=> � (loại) a a 12 �a 2b1 �a 2b1 � d �1 �1 �1 3a1.b1 19 a1.b1 b1 b 18 � � � TH2 : Vậy a = 12 b = 18 Bài 8: Tìm hai số nguyên dương biết :a.b= 180 BCNN(a; b)= 60 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) = 180: 60 = Giả sử a �b Vì UCLN(a; b) = => a 3a1 � a1; b1 1, a1 �b1 � b b � Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 3.60 3a1.3b1 a1.b1 20 Ta có bảng sau: 20 a1 a b1 b 60 15 12 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (60;1), (15; 12) ,( 1; 60), (12; 15) Bài 9: Tìm hai số a, b biết 7a=11b UCLN(a; b)= 45 HD: Từ giả thiết => a > b �a 45a1 a1; b1 1, a1 �b1 � b 45b1 � Từ UCLN(a; b) = 45=> a 11 � a 45.11 495 a 11 a 11 � �1 � b1 b b1 a ; b => �b 45.7 315 � Mà: 1 Vậy hai số a,b cần tìm a = 495 b = 315 Bài 10: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)= 300 UCLN(a; b)= 15 HD : Do a b có vai trò nhau, Giả sử a �b �a 15a1 a1 �b1 , a1 ; b1 � b 15b1 � Vì UCLN(a; b) = 15=> Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 300.15 15a1.15b1 a1.b1 20 Ta có bảng sau: a1 a b1 b 20 300 75 15 60 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 300; 15), (75; 60), (15; 300), (60; 75) Bài 11: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)= 72 UCLN(a; b)= 12 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a �b �a 12a1 a1 �b1 , a1 ; b1 � b 12b1 � Vì UCLN(a; b) =12 => Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 72.12 12a1.12b1 a1.b1 Ta có bảng sau: a1 a b1 b 72 36 12 24 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 72; 12), (36; 24), (12; 72), (24; 36) Bài 12: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a.b= 2940 BCNN(a; b)= 210 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) =2940: 210 = 14 Giả sử a �b Vì UCLN(a; b) = 14=> a 14a1 � a1; b1 1, a1 �b1 � b 14 b � Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 14.210 14a1.14b1 a1.b1 15 Ta có bảng sau: a1 a b1 b 15 210 70 14 42 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (210; 14), (70; 42) ,( 14; 210), (42; 70) Bài 13: Tìm hai số tự nhiên a, b biết a.b= 2700 BCNN(a; b)= 900 HD: Từ UCLN(a; b) BCNN(a; b) = a.b => UCLN(a; b) = a.b: BCNN(a; b) = 2700: 900 = a 3a1 � a1; b1 1, a1 �b1 � b 3b1 � � Giả sử a b Vì UCLN(a; b) = => Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => 3.900 3a1.3b1 a1.b1 300 Ta có bảng sau: a1 a b1 b 300 150 100 74 25 900 450 300 222 75 12 12 36 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là: (900; 3), (450; 6) , ( 300; 9), (222; 12), (75; 36) ngược lại Bài 14: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= 15 BCNN(a; b)=300 a+15= b HD: Do a + 15 = b => a < b �a 15a1 a1 b1 , a1; b1 � b 15b1 � Vì UCLN(a; b) = 15 => 300.15 15a1.15b1 a1.b1 20 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => Ta có bảng sau: 20 b1 b a1 a 300 75 15 60 Do cặp số (a; b) cần tìm là: (15; 300), (60; 75), Ngồi a + 15 = b => a = 60 b = 75 Bài 15: Tìm hai số tự nhiên a, b cho tổng UCLN BCNN 15 HD: Giả sử a < b a d a1 � a1 b1 , a1; b1 � b d b Gọi d=UCLN( a; b) => � , d , d < 55 a b d Nên BCNN(a; b) = 1 Theo ta có: d a1.b1d 55 d a1.b1 55 d �U 55 1;5;11;55 , Mà d < 55, Nên a a a a �1 �1 d a1.b1 54 � � b1 54 b 54 b 27 b 27 � TH1 : �1 a a a1 a 10 � � d a1.b1 10 �1 � b1 10 b 50 b b 25 � TH2 : �1 a1 a 11 � d 11 a1.b1 � b1 b 44 � TH3 : Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;54), (2 ; 27), (5 ; 50),( 10 ; 25), (11;44) đảo ngược lại Bài 17: Tìm hai số tự nhiên a, b cho hiệu BCNN UCLN 35 HD: Giả sử a < b a d a1 � a1 b1 , a1; b1 � b d b1 � Gọi d=UCLN( a; b) => , a b d Nên BCNN(a; b) = 1 a b d d 35 d a1.b1 1 35 d �U 35 1;5;7;35 Theo ta có: 1 , a a a1 a � � d a1.b1 36 �1 � b1 36 b 36 b b � TH1 : �1 a1 a � d a1.b1 � b1 b 40 � TH2 : a1 a a1 a 14 � � d a1.b1 � � b1 b 42 b b 21 � TH3 : �1 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;36), (4 ; 9), (5 ; 40),( ; 42), (14: 21) đảo ngược lại Bài 18: Tìm hai số tự nhiên a, b cho a+ b= 30 BCNN(a; b)=6.UCLN(a; b) HD: Giải sử a < b a d a1 � a1 b1 , a1; b1 � b d b1 a b d � Gọi UCLN(a; b) =d=> => BCNN(a; b) = 1 a b d 30 , a1.b1.d 6.d a1.b1 6, Mà a+b=30=> 1 a ; b , nên ta có TH sau: Vì 1 a1 � a1 b1 7.d 30 � b1 � TH1: ( Loại) a1 � �a 12 a1 b1 5.d 30 d � � b1 b 18 � � TH2: Vậy hai số a b cần tìm là: a = 12, b = 18 a = 18 b = 12 a Bài 19: Tìm a,b biết b BCNN(a; b)= 140 HD: Theo giả thiết ta có: a < b a a1.d � (a1 ; b1 ) 1, a1 b1 � b b d Gọi d=UCLN(a; b)=d=> � a 4 � a �1 b1 b � BCNN a; b 140 a1.b1 d 20d 140 d Ta có: , Mà: => a = 28, b = 35 Vậy hai số cần tìm a=28 b=35 Bài 20: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= BCNN(a; b)= 105 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a �b a 5a1 � a1 �b1 , a1; b1 � b 5b1 � Vì UCLN(a; b) = 5=> Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b)= a.b => 5.105 5a1.5b1 a1.b1 21 Ta có bảng sau: a1 a b1 b 21 105 35 15 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 105; 5), (35; 15), (5; 105), (15; 35) Bài 21: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)- UCLN(a; b)= HD: Giả sử a < b a d a1 � a1 b1 , a1; b1 � b d b1 � Gọi d = UCLN( a; b) => , Nên BCNN(a; b) = a1.b1.d Theo ta có: a1.b1d d d a1.b1 1 d �U 1;5 , a1 a a1 a � � d a1.b1 � � b1 b b b � TH1 : �1 a a � d a1.b1 �1 b1 b 10 � TH2 : Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;6), (2 ; 3), (5 ; 10),( ; 1), (3: 2), (10 ; 5) Bài 22: Tìm hai số tự nhiên a, b biết UCLN(a; b)= 12 BCNN(a; b)= 240 HD : Do a b có vai trò nhau, Giả sử a �b �a 12a1 a1 �b1 , a1; b1 � b 12b1 � Vì UCLN(a; b) = 12=> 12.240 12a1.12b1 a1.b1 20 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => Ta có bảng sau: 20 a1 a b1 b 240 60 12 48 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 240; 12), (60; 48), (12;240), (48; 60) Bài 23: Tìm hai số tự nhiên a, b biết BCNN(a; b)+ UCLN(a; b)= 19 HD: Giả sử a < b a d a1 � a1 b1 , a1; b1 � b d b1 � Gọi d = UCLN( a; b) => , d < 19 a1.b1.d Nên BCNN(a; b) = d a1.b1d 19 d a1.b1 19 d �U 19 1;19 Theo ta có: , Mà d < 19, Nên a a a a � �1 d a1.b1 18 �1 � b1 18 b 18 b b � TH1 : �1 Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;18), (2 ; 9), (18 ; 1),( ; 2), Bài 24: Tìm a, b biết UCLN(a; b)= 10 BCNN(a; b)= 120 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a �b �a 10a1 a1 �b1 , a1; b1 � b 10b1 � Vì UCLN(a; b) = 10 => 10.120 10a1.10b1 a1.b1 12 Lại có: UCLN(a; b).BCNN(a; b) = a.b => Ta có bảng sau: 12 a1 a b1 b 120 40 10 30 Vậy cặp số (a; b) cần tìm là:( 120; 10), (40; 30), (10; 120), (30; 40) Bài 25: Tìm a, b biết BCNN(a; b) + UCLN(a; b)= HD: Giả sử a < b a d a1 � a1 b1 , a1; b1 � b d b1 � Gọi d=UCLN( a; b) => , d < a b d Nên BCNN(a; b) = 1 Theo ta có: d a1.b1d d a1.b1 d �U 3 1;3 , Mà d < 3, Nên a a � d a1.b1 �1 b1 b � TH1 : Vậy cặp số (a ; b) cần tìm : (1 ;2), (2 ; 1) Bài 26: Cho BCNN(a;b)=60 a=12 Tìm b Bài 27: Tìm số tự nhiên x,y biết: x.y=5880 BCNN(x;y)=420 a; b 16 tổng chúng 448 Bài 28: Tìm số nguyên dương a, b biết ... biết UCLN chúng tổng 66 ,đồng thời có số chia hết cho HD : Gọi hai số tự nhiên cần tìm a b, ta có: a 6a1 � � b 6b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a b 66 6a1 6b1 66 ... (32; 192), (64 ; 96) , ( 96 ; 64 ), (192 ; 32) Bài 9: Tìm hai số tự nhiên a,b biết a.b =72 UCLN (a;b) =6 HD : a 6a1 � � b 6b1 Vì UCLN( a; b) = nên � ( a1:b1) = 1, Mà: a.b 72 6a1.6b1 72 ... biết: BCNN( a; b)= 240 UCLN( a; b)= 16 HD: Do a b có vai trị nhau, Giả sử a �b �a 16a1 a1b1 , a1; b1 � b 16b1 � Vì UCLN( a; b) = 16 => Lại có: UCLN( a; b) .BCNN( a; b) = a.b => 240. 16 16a1.16b1