chuyªn ®Ò LŨY THỪAVỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN I. Mục tiêu:1. Kiến thức: Tiếp tục phát triển nâng cao kiến thức cho học sinh về phương pháp: so sánh hai lũy thừa, phương pháp tính tổng, tìm x2. Kĩ năng: Học sinh nắm được phương pháp và vận dụng thành thạo vào các dạng3. Thái độ: Tạo hứng thú trong cách tìm tòi, yêu thích môn họcII. Chuẩn bị: HS: ôn kiến thức SGK; GV: Chuẩn bị các dạng bài III. Tiến trình bài dạyA.Kiến thức cơ bản: 1. Định nghĩa: a.a……….a ( n N) n thừa số2. Quy ước: a1 = a ; a0 = 1 ( a 0)3. Nhân, chia hai lũy thừa cùng cơ số: 4.Lũy thừa của một tích: (a.b)n = an. bn5. Lũy thừa của một lũy thừa: ( am )n = am.n 6. Lũy thừa tầng: 7.So sánh hai lũy thừa Nếu am = an thì m = n, hoặc nếu an = b n thì a = b Nếu m > n thì am > an (a> 1) Nếu a > b thì an > b n (n > 0) B. Các dạng toán Dạng1: So sánh các số: So sánh 2 luỹ thừa sau: 27 và 72 Ta có: 27 = 128 72 = 49 Vì 128 > 49 nên 27 > 72 2) Đưa về cùng cơ số ( hoặc số mũ): So sánh các luỹ thừa sau. a) 95 và 273 b) 3200 và 2300 a) Ta có: 95 = (32)5 = 310273 = (33 )3 = 39Vì 310 > 39 nên 95 > 273b) Ta có: 3200 = (32)100 = 91002300 = (23) 100 = 8100Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 23003) Dùng số trung gian. Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 và 1714 Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) và (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 2: Tìm xem 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân Bài giải: Muốn biết 2100 có bao nhiêu chữ số trong cách viết ở hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 và 1031 So sánh 2100 với 1030Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 101030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 () So sánh 2100 với 1031Ta có: 2100 = 231 . 269 = 231 . 263 . 26= 231 . (29)7 . (22)3 = 231 .5127 . 43 (1) 1031 = 231 . 531 = 231 . 528. 53 = 231 (54 )7 . 53= 231 . 6257. 53 (2) Từ (1) và (2) ta có: 231 . 5127 . 43 < 231 . 5127 . 53 Hay 2100 < 1031 ( ) Từ (),( ) ta có: 1031 < 2100 < 1031 Số có 31 chữ số nhỏ nhất Số có 32 chữ số nhỏ nhất Nên 2100 có 31 chữ số trong cách viết ở hệ thập phân. II. Bài tập: Bài 1: So sánh: a 27 11 và 818 b 6255 và 1257 c) 7300 và 3500Giải: a Có 2711 = (33)11 = 333; 818 = (34)8 = 332. Do 333 > 3 32 nên 27 11 > 818. b Có 625 5 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521. Do 521 > 520 nên 1257 > 6255. c) 3500 = (35)100 = 243100 ; 7300 = (73)100 = 343100 . Vì 343100 > 243100 . Vậy 7300 > 3500 Bài 2: So sánh a 536 và 11 24 b 523 và 6.522.c 3111 và 1714. d 7245 – 72 44 và 7244 – 72 43.Giải: a 536 > 11 24 b 523 = 5.522 < 6.522 vậy 5 23 < 6.522 c 3111 < 3211 = (25)11 = 255 ; 1714 > 1614 = (24)14 = 2 56. Vậy 1714 > 3111d 7245 – 72 44 = 7244(72 – 1) = 7244. 71. 7244 – 72 43.= 72 43( 72 1) = 7243 . 71. Do 7244. 71 > 7243. 71 vậy: 7245 – 72 44 > 7244 – 72 43. Bài 3: So sánh: a) 7.213 và 216 b 19920 và 200315. c 32n và 23n (n N)Giải: Có: 216= 23.213 = 8. 213 Do 7.213 < 8. 213 . Vậy 7.213 < 216 b 19920 < 20020 = (8.25)20= (23.52)20 = 260.540 200315 > 200015 = (16.125)15 = (24.53)15 = 260.545. Vì 260.545 > 260.540 . Vậy 200315 > 19920. c Có 32n = 9n ; 23n = 8n => 9n > 8n (n N) Suy ra 32n > 23n (n N)Bài 4: So sánh hai biểu thức: Giải: Vậy B = CBài 5: Cho S = 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 29. Hãy so sánh S với 5. 28.Giải: S = 1 + 2 + 22 + 23 + …. + 29Suy ra: 2. S = 2 + 22 + 23 + 24 + …. + 210. 2S – S = 210 – 1. Hay S = 210 – 1 < 210 Mà 210 = 22. 28 < 5. 28. Do đó: S < 210 < 5.28.Vậy S < 5. 28. III. Dạng tìm xBài 1: Tìm x N biết:a) 2x – 15 = 17 b) (7x 11 )3 = 25.52 + 200 c) (2x + 1)3 = 125 d) (x – 5)4 = (x 5) 6 e) x15 = x f) (2x 15)5 = (2x 15)3.Giải: a 2x – 15 = 17 b) (2x + 1)3 = 125 2x = 32 (2x + 1)3 = 5 3 2x = 25 2x + 1 = 5 x = 5 x = 2 c) (x – 5)4 = (x 5) 6 c) x15 = x (x – 5)6 (x 5) 4 = 0 x15 – x = 0 (x – 5)4 = 0 x(x14 – 1) = 0 …………. x = 0 hoặc x = 1 x = 5 hoặc x = 6 d x10 = x x10 – x = 0 x( x9 – 1) = 0x = 0 hoặc x9 1 = 0x = 0 hoặc x = 1e (2x 15)5 = (2x 15)3 (2x 15)5 (2x 15)3 = 0 (2x 15)3 = 0 (2x 15)3 = 0 hoặc (2x 15)3 – 1 = 0 2x – 15 = 0 hoặc 2x – 15 = 1 x = 15: 2 = 7,5 hoặc x = 8 Bài 2:Tìm x biết: a 16x < 1284 b 5x. 5x + 1 . 5x + 2 100……………0 : 218. 18 chữ số 0 Giải: a) Có 16x = (24)x = 2 4x, 1284 = (27)4 = 228. Do 16x < 1284 nên 2 4x < 228 suy ra: 4x < 28 Suy ra x < 7.Vì x N và x < 7. Vậy x b Có 5x. 5x + 1 . 5x + 2 100……………0 : 218 18 chữ số 0 Suy ra 5 3x + 3 10 18 : 2 18 5 3x + 3 518 3x + 3 18 x 5. Vì x N và x 5 vậy x Bài 3: Cho A = 3 + 32 + 33 + …….+3100.Tìm số tự nhiên n, biết 2A + 3 = 3n. Giải: Có A = 3 + 32 + 33 + …….+3100. 3A = 32 + 33 + 34 +…….+3101. Suy ra: 3A – A = 3101 – 3 Hay: 2A = 3101 – 3 => 2A + 3 = 3101 , mà theo đề bài ta có: 2A + 3 = 3n.Suy ra: 3101 = 3n => n = 101. Bài 4: Tìm 1 cặp x ; y N thoả mãn 73 = x2 y2Ta thấy: 73 = x2 y2( 13 + 23 + 33 +...+73) (13+ 23+ 33+...+ 63) = x2 y2(1+ 2 + 3 + ...+ 7)2 (1 + 2 + 3 +...+ 6)2 = x2 y2282 212 = x2 y2Vậy 1 cặp x; y thoả mãn là: x = 28; y = 21 Bài 5: Tìm x ; y N biết. x2 = 1 + 2 + 3 + ...+ y Bài giải:Ta thấy x2 là một số chính phương Có chữ số tận cùng là 1 trong các chữ số 0 ; 1 ; 4 ; 5 ; 6 ; 9 Mà: + Nếu y = 1 Ta có x = 1 = 12 ( TM) + Nếu y = 2 Ta có: x2 = 1 + 2 = 3 ( Loại) + Nếu y = 3 Ta có: x2 = 1 + 2 + 3 = 9 = 32 ( TM) x = 3 + Nếu y = 4 Ta có: x2 = 1 + 2 + 3 + 4 = 33 ( loại ) + Nếu y 5 Ta có: x2 = ( 1 + 2 + 3 + 4 ) + ( 5 + 6 + ...y ) = + = ( loại) Vậy x = 1 và y = 1 x = 3 và y = 3 Bài 6: Tìm x N biết. A = 111....1 777 ...7 là số chính phương 2 x chữ số 1 x chữ số 7 Bài giải: + Nếu x = 1 Ta có: A = 11 7 = 4 = 22 (TM) + Nếu x > 1 Ta có A = 111...1 777...7 = 2 2x chữ số 1 x chữ số 7 mà 4Suy ra A không phải là số chính phương ( loại) Vậy x = 1 Bài 7: Tìm x; y N biết: 35x + 9 = 2. 5y)Nếu x = 0 ta có: 350 + 9 = 2.5y 10 = 2.5y 5y = 5
Trờng THCS Liên Đồng CHUYấN GII TON CU TO SỐ I Mục tiêu: Kiến thức: Tiếp tục phát triển nâng cao kiến thức cho học sinh phương pháp: Tìm số tự nhiên ban đầu sau viết xen gữa, viết thêm bên trái, viết thêm bên phải Kĩ năng: Học sinh nắm phương pháp vận đụng thành thạo vào dạng Thái độ: Tạo hứng thú cách tìm tịi, u thích môn học II Chuẩn bị: - HS: ôn kiến thức SGK; - GV: Chuẩn bị dạng III Tiến trình dạy A.Kiến thức bản: - Dùng 10 chữ số: 0;1;2;3;…;9để ghi số tự nhiên theo nguyên tắc 10 đơn vị hàng lập thành đơn vị hàng trước - Một số kí hiệu thường gặp: + Số có hai chữ số: ab = 10a +b với 0< a ≤ ; ≤ b ≤ + Số có ba chữ số: abc = 100a + 10b + c - Ngoài ra: abcd = a000 + bcd = a 000 + b00 + cd - Đặc biệt: abab = ab00 + ab = 101ab ababab = 1001ab; abcabc = 1001abc B Bài tập: Dạng 1: Viêt thêm chữ số vào bên trái số tự nhiên Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên trái số ta số gấp 25 lần số cần tìm? Giải (đ/k 0< a; a,b < 10 ) Gọi số cần tìm : abc Số : 3abc Theo ta có : 3abc = 25 x abc 3000 + abc = 25 x abc ( Phân tích cấu tạo số ) 3000 = 24 x abc ( Trừ vế cho abc ) abc = 3000 : 24 = 125 Số tự nhiên cần tìm : 125 Đáp số : 125 GV: Vâ ThÞ Thu H»ng Trờng THCS Liên Đồng Vớ d 2: Tỡm s có chữ số biết viết thêm vào bên trái số số 32 Số tăng lên 81 lần ? Giải Gọi số cần tìm : abc Đ/k : a = 1,2,3,4, ;9 b;c = 0,1,2,3, ;9 Số : 32abc Theo ta có : 32abc = 81 x abc 32000 + abc = 81 x abc ( Phân tích cấu tạo số ) 32000 = 80 x abc ( Trừ hai vế cho abc ) abc = 32000 : 80 = 400 Số tự nhiên cần tìm : 400 Đáp số : 400 Ví dụ 3: Tìm số tự nhiên có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên trái số ta số gấp 13 lần số cần tìm? Giải Gọi số cần tìm : ab (đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b ≤ 9) Số : 9ab Theo ta có : 9ab = 13 x ab 900 + ab = 13 x ab ( Phân tích cấu tạo số ) 900 = 12 x ab ( Trừ vế cho ab ) ab = 900 : 12 = 75 Số tự nhiên cần tìm : 75 Đáp số : 75 Các tốn luyện tập: Bài 1: Tìm số có ba chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số gấp 26 lần số cần tìm? Bài 2: Tìm số có hai chữ số, biết viết thêm số 12 vào bên trái số ta số gấp 26 lần số càn tìm? Bài 3: Tìm số có hai chữ số, biết viết thêm số 21 vào bên trái số ta số gấp 31 lần số càn tìm? Bài 4: Tìm số có ba chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số gấp lần số càn tìm? Bài 5: Tìm số có ba chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên trái số ta số gấp 25 lần số càn tìm? Bài 6: Cho số tự nhiên có ba chữ số Người ta viết thêm số 90 vào bên trái số cho để số có năm chữ số Lấy số chia cho số cho thương 721 khơng cịn dư Tìm số tự nhiên có ba chữ số cho Dạng 2: Viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên Ví dụ 1: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên phải số ta số số cần tìm 689 đơn vị? GV: Vâ ThÞ Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng Gii Cỏch 1:Gi s cần tìmlà : ab ( đk: a > 0; a,b < 10 ) Số : ab5 Theo ta có : ab5 = ab + 689 abo + = ab + 689 ( Phân tích cấu tạo số ) 10 x ab + = ab + 689 x ab = 684 ( Trừ hai vế cho ab + ) ab =684 : = 76 Số tự nhiên cần tìm : 76 Đáp số : 76 Cách 2: Khi viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên số gấp lên 10 lần đơn vị Ta có sơ đồ sau: Số cần tìm: Số : Nhìn vào sơ đồ ta có số cần tìm là: ( 689 - ) : ( 10 - ) = 76 Số tự nhiên cần tìm là: 76 Đáp số : 76 Ví dụ 2: Cho số có hai chữ số Nếu viết thêm vào bên phải số hai chữ số số lớn số cho 1986 đơn vị Hày tìm số cho chữ số viết thêm ? Giải Gọi số cần tìm : ab Số viết thêm cd ( Đ/k: a > ; a,b < 10 ) Theo ta có : abcd = 1986 + ab 100 x ab + cd = 1986 + ab ( Phân tích cấu tạo số ) 100 x ab + cd = 1986 + ab ( Phân tích cấu tạo số ) 99 x ab + cd = 1986 ( Trừ hai vế cho ab ) (*) Từ (*) ta thấy ab thương cd số dư phép chia 1986 cho 99 1986 : 99 = 20 ( dư 6) Số cho 20 số viết thêm 0;6 Đáp số : 20; 0;6 Các toán tự luyện: Bài 1: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên phải số ta số số cần tìm 6063 đơn vị? (Phương pháp giải tương tự phần ví dụ 1) Đáp số : 673 Bài 2: Tìm số có ba chữ số, biết viết thêm chữ số vào bên phải số tự nhiên có ba chữ số số tăng thêm 4106 đơn vị Bài 3: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên phải số ta số số cần tìm 230 đơn vị? Bài 4: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm số 12 vào bên phải số ta số số cần tìm 53769 đơn vị? GV: Võ Thị Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng Bi 5: Khi viết thêm số 65 vào bên phảI số tự nhiên số tăng 97778 đơn vị Tìm số Bài 6:Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên phải số ta số số cần tìm 6063 đơn vị? Bài : Tìm số tự nhiên biết viết thêm vào bên phải số số 99 ta số lớn số cho 4950 đơn vị? (Phương pháp giải tương tự phần ví dụ 1) Đáp số: 49 Bài 8: Cho số tự nhiên Nếu viết thêm vào bên phải số chữ số số tăng thêm 383 đơn vị Hãy tìm số cho chữ số viết thêm (Phương pháp giải tương tự phần ví dụ 2) Đáp số: 49 Bài 9: Cho số tự nhiên có hai chữ số Nếu viết thêm vào bên phải số hai chữ số số tăng thêm 1998 đơn vị Hãy tìm số cho hai chữ số viết thêm (Phương pháp giải tương tự phần ví dụ 2) Đáp số: 49 Dạng 3: Viết thêm chữ số vào bên phải bên trái số tự nhiên Bài 1: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm vào bên phải bên trái số bên chữ số ta số gấp 87 lần số cần tìm ? Giải Gọi số cần tìm : ab ( đ/k < a ; a,b < 10 ) Số : 1ab1 Theo ta có : 1ab1 = 87 x ab 1001 + abo = 87 x ab ( Phân tích cấu tạo số ) 1001 + 10 x ab = 87 x ab ( Phân tích cấu tạo số ) 1001 = 77 x ab ( Trừ hai vế cho 10 x ab ) ab = 1001 : 77 = 13 Số tự nhiên cần tìm : 13 Đáp số: 13 Bài 2: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số vào bên phải bên trái số ta số lớn gấp 36 lần số cần tìm? Giải Gọi số cần tìm : ab đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b≤9 Số : 2ab Theo ta có : 2ab = 36 x ab 2002+ abo = 36 x ab ( Phân tích cấu tạo số ) 2002 + 10 x ab = 36 x ab ( Phân tích cấu tạo số ) 2002 = 26 x ab ( Trừ hai vế cho 10 x ab ) GV: Vâ ThÞ Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng ab = 2002 : 26 Số tự nhiên cần tìm : 77 Đáp số: 77 Bài 3: Tìm số có hai chữ số biết ta viết thêm vào bên phải bên trái số bên chữ số ta số lớn gấp 23 lần số cần tìm ( Phương pháp giải tương tự ) Đáp số: 77 Bài 64: Tìm số có chữ số biết rắng ta viết thêm chữ số xen chữ số hàng trăm chữ số hàng chục ta số gấp lần số cần tìm ? Giải Gọi số cần tìm : abc đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b;c≤9 Số : a2bc Theo ta có : a2bc = x abc 1000 x a + 200 + bc = 900 x a + x bc 100 x a + 200 = x bc Vế trái số tròn trăm nên vế phải phải số tròn trăm nên bc = 25; 50; 75 - Xét bc = 25 ta có : 100 x a + 200 = x 25 100 x a + 200 = 200 ( Loại ) - Xét bc = 50 ta có : 100 x a + 200 = x 50 100 x a + 200 = 400 100 x a = 200 ; a = 200 : 100 = Số tự nhiên cần tìm 250 - Xét bc = 75 thay vào (**) ta có : 100 x a + 200 = x 75 100 x a + 200 = 600 100 x a = 400 ; a = 400 : 100 = Số tự nhiên cần tìm : 475 Vậy ta có số tự nhiên cần tìmlà : 250 475 Đáp số : 250; 475 Bài 4: Cho số có chữ số Nếu viết thêm chữ số n vào bên trái bên phải số cho số tăng thêm 21 lần Tìm số Giải Gọi số cần tìm là: ( đ/k 0< a ; a,b < 10 ) ab Số : nabn Theo ta có phép tính: nabn = 21 × ab n × 1001 + 10 × ab = 21 × ab (Phân tích cấu tạo số) n × 91 × 11 = 11 × ab (Trừ bên 10 × ab ) n × 91 = ab (Chia hai vế cho 11) Vì ab số có chữ số nên n nhận giá trị ab = 91 Vậy số tự nhiên cần tìm 91 Đáp số: 91 Dạng 4: Viết thêm chữ số xen chữ số số tự nhiên GV: Võ Thị Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng Bi 1: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số xen chữ số ta số gấp lần số cần tìm? Giải Gọi số cần tìm : ab đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b≤9 Số : aob Theo ta có : aob = x ab aoo + b = x ( ao + b ) ( Phân tích cấu tạo số ) 100 x a + b = 60 x a + x b ( Một số nhân với tổng) 40 x a = x b ( Trừ vế cho 60 x a + b ) 8xa =b ( Chia vế cho 5) Vì b số có chữ số nên a nhận giá trị 1; b = Vậy số tự nhiên cần tìm 18 Đáp số : 18 Bài 2: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số xen chữ số ta số gấp lần số cần tìm? (Phương pháp giảitương tự 37) Đáp số : 45 Bài 3: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm hai chữ số xen chữ số ta số gấp 89 lần số cần tìm? Giải Gọi số cần tìm : ab đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b≤9 Số : aoob Theo ta có : aoob = 89 x ab ( Phân tích cấu tạo số ) aooo + b = 89 x ( 10 x a + b ) 1000 x a + b = 890 x a + 89 x b ( Một số nhân với tổng ) 110 x a = 88 x b 5xa=4xb ( Chia vế cho 22 ) (*) Từ phương trình (*) ta thấy a = ; b = ( Để x = x 5) Số tự nhiên cần tìm là: 45 Đáp số : 45 Bài 4: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm số 12 xen chữ số ta số gấp 85 lần số cần tìm? Giải Gọi số cần tìm : ab đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b≤9 Số : a12b Theo ta có : a12b = 85 x ab aooo + 120 + b = 85 x ( 10 x a + b) ( Phân tích cấu tạo số ) 1000 x a +120 + b = 850 x a + 85 x b 150 x a + 120 = 84 x b ( Trừ vế cho 850 x a + b) Ta thấy vế trái số tròn chục nên vế phải phải sổ tròn chục nên b = Thay b = vào ta có : 150 x a + 120 = 84 x GV: Vâ ThÞ Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng 150 x a + 120 = 420 a =( 420 - 120 ) : 150 = Số tự nhiên cần tìm : 25 Đáp số : 25 Bài 5: Tìm số có chữ số biết ta viết thêm chữ số xen chữ số hàng trăm chữ số hàng chục ta số lớn gấp lần số cần tìm ? Đáp số : 125; 350 Dạng 5: Xóa số chữ số số tự nhiên Bài 1: Tìm số có chữ số.Biết ta xoá chữ số hàng trăm số giảm 17 lần? Giải Gọi số cần tìm : đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b;c ≤ abc Số : Theo ta có : abc = 17 x bc aoo + bc = 17 x bc 100 x a = 16 x bc 25 x a = x bc ( Phân tích cấu tạo số ) ( Trừ vế cho bc ) (Chia vế cho 4) (1) Từ (1) ta thấy : a = ; bc = 25 Số tự nhiên cần tìm 425 Từ (1) ta có 50 x a = x bc a = ; bc = 50 Số tự nhiên cần tìm : 850 Đáp số: 425; 850 Bài 2: Tìm số có chữ số.Biết ta xoá chữ số hàng trăm số giảm lần? Giải Gọi số cần tìm : đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b;c ≤ abc Số : bc Theo ta có : abc = x bc aoo + bc = x bc ( Phân tích cấu tạo số ) 100 x a = x bc ( Trừ vế cho bc ) 25 x a = bc (Chia vế cho 4) (1) Từ (1) ta thấy : a = ; bc = 25 Số tự nhiên cần tìm 125 Từ (1) ta có 50 x a = x bc a = ; bc = 50 Số tự nhiên cần tìm : 250 Từ (1) ta có 75 x a = x bc a = ; bc = 75 Số tự nhiên cần tìm : 375 Đáp số: 125; 250; 375 Bài 3: Tìm số tự nhiên có chữ số Biết xố chữ số hàng trăm số giảm lần? Giải Gọi số cần tìm : đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b;c ≤ abc Số : bc Theo ta có : abc = x bc aoo + bc = x bc ( Phân tích cấu tạo số ) 100 x a = x bc ( Trừ vế cho bc ) (*) Từ (*) ta thấy 100 x a Là số tròn trăm nên x bc phải số tròn trăm c=0 c = GV: Vâ ThÞ Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng - Xột c = thay vào (*) ta có: 100 x a = x b5 100 x a = 60 x b + 30 10 x a = x b + Vì vế trái số chẵn vế trái số lẻ nên không xẩy - Xét c = thay vào (*) tư có : 100 x a = x bo 100 x a = 60 x b x a = x b Từ ta thấy : a = 3; b = Số tự nhiên cần tìm : 350 Bài 4: Tìm số có chữ số biết ta xố chữ số hàng đơn vị số giảm 779 đơn vị ? Giải Gọi số tự nhiên cần tìm là: ab5 đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b ≤ Số : ab Theo ta có : ab5 = ab + 779 10 x ab +5 = ab + 779 ( Phân tích cấu tạo số ) x ab = 774 ( Trừ vế cho ab + 5) ab = 774 : = 86 Số tự nhiên cần tìmlà: 865 Bài 5: Tìm số tự nhiên có chữ số Biết xố chữ số hàng chục chữ số hàng đơn vị số giảm 4455 đơn vị ? Gọi số cần tìm : đ/k 0< a ≤ ; 0≤ b;c;d ≤ abcd Số : ab Theo ta có : abcd = ab + 4455 aboo + cd = ab + 4455 100 x ab + cd = ab + 4455 99 x ab + cd = 4455 (*) Từ phương trình (*) ta thấy ab thương cd số dư phép chia 4455 cho 99 4455 = 99 x 45 + Số tự nhiên cần tìm 4500 4455 = 99 x 44 + 99 Số tự nhiên cần tìmlà : 4499 Bài 6: Tìm số tự nhiên có chữ số biết ta xố chữ số hàng đơn vị số giảm 705 đơn vị? Đáp số: 783 Bài 7: Tìm số có chữ số biết ta xoá chữ số tận bên trái ta số 1/41 số cần tìm? Gọi số : 5abc Đ/k a;b;c = 0;1;2;3; Số : abc Theo ta có : 5abc = 41 x abc 5000 + abc = 41 x abc ( Phân tích cấu tạo số ) 5000 = 40 x abc ( Trừ hai vế cho abc ) abc = 5000 : 40 = 125 Số tự nhiên cần tìm : 125 GV: Vâ Thị Thu Hằng Trờng THCS Liên Đồng chuyên đề LŨY THỪAVỚI SỐ MŨ TỰ NHIÊN I Mục tiêu: Kiến thức: Tiếp tục phát triển nâng cao kiến thức cho học sinh phương pháp: so sánh hai lũy thừa, phương pháp tính tổng, tìm x Kĩ năng: Học sinh nắm phương pháp vận dụng thành thạo vào dạng Thái độ: Tạo hứng thú cách tìm tịi, u thích mơn học II Chuẩn bị: - HS: ôn kiến thức SGK; - GV: Chuẩn bị dạng III Tiến trình dạy A.Kiến thức bản: Định nghĩa: a n = a.a……….a n thừa số Quy ước: a = a ; a0 = ( a ≠ 0) Nhân, chia hai lũy thừa số: a m a n = a m + n a :a = a m n ( n ∈ N*) (m, n ∈ N *) m−n (m, n ∈ N *, m ≥ n, a ≠ 0) 4.Lũy thừa tích: (a.b)n = an bn Lũy thừa lũy thừa: ( am )n = am.n Lũy thừa tầng: a m = a ( m ) 7.So sánh hai lũy thừa Nếu am = an m = n, an = b n a = b Nếu m > n am > an (a> 1) Nếu a > b an > b n (n > 0) B Các dạng toán Dạng1: So sánh số: So sánh luỹ thừa sau: 27 72 Ta có: 27 = 128 72 = 49 Vì 128 > 49 nên 27 > 72 2) Đưa số ( số mũ): So sánh luỹ thừa sau a) 27 b) 3200 2300 a) Ta có: 95 = (32)5 = 310 273 = (33 )3 = 39 Vì 310 > 39 nên 95 > 273 n GV: Vâ ThÞ Thu H»ng n Trờng THCS Liên Đồng b) Ta cú: 3200 = (32)100 = 9100 2300 = (23) 100 = 8100 Vì 9100 > 8100 nên 3200 > 2300 3) Dùng số trung gian Bài 1: So sánh hai luỹ thừa sau: 3111 1714 Ta thấy 3111 < 3211 = (25)11 = 255 (1) 1714 > 1614 = (24 )14 = 256 (2) Từ (1) (2) 311 < 255 < 256 < 1714 nên 3111 < 1714 Bài 2: Tìm xem 2100 có chữ số cách viết hệ thập phân Bài giải: 100 Muốn biết có chữ số cách viết hệ thập phân ta so sánh 2100 với 1030 1031 * So sánh 2100 với 1030 Ta có: 2100 = (210)10 = 1024 10 1030 = (103)10 = 100010 Vì 102410 > 100010 nên 2100 > 1030 (*) * So sánh 2100 với 1031 Ta có: 2100 = 231 269 = 231 263 26 = 231 (29)7 (22)3 = 231 5127 43 (1) 1031 = 231 531 = 231 528 53 = 231 (54 )7 53 = 231 6257 53 (2) Từ (1) (2) ta có: 231 5127 43 < 231 5127 53 Hay 2100 < 1031 ( **) Từ (*),( **) ta có: 1031 < 2100 < 1031 Số có 31 chữ số nhỏ Số có 32 chữ số nhỏ 100 Nên có 31 chữ số cách viết hệ thập phân II Bài tập: Bài 1: So sánh: 11 a/ 27 818 b/ 6255 1257 c) 7300 3500 Giải: a/ Có 2711 = (33)11 = 333; 818 = (34)8 = 332 Do 333 > 32 nên 27 11 > 818 b/ Có 625 = (54)5 = 520 ; 1257 = (53)7 = 521 Do 521 > 520 nên 1257 > 6255 c) 3500 = (35)100 = 243100 ; 7300 = (73)100 = 343100 Vì 343100 > 243100 Vậy 7300 > 3500 Bài 2: So sánh a/ 536 11 24 b/ 523 6.522 GV: Võ Thị Thu Hằng 10 Trờng THCS Liên §ång Bài 4: Chứng minh rằng: 1 1 1 − + − + − < ; 16 32 64 a) b) 99 100 − + − + + 99 − 100 < 3 16 3 3 1 1 + + ++ > … > > >…> 41 42 60 61 62 80 1 1 + + ….+ + 60 60 60 60 Ta có = + Bài Chứng minh : (2) 1 1 + +….+ + 80 80 80 80 20 20 1 + + = + = = 60 80 12 12 Từ (1) , (2), (3) Suy ra: (1) (3) 1 1 1 + + + + + + > 41 42 43 78 79 80 12 1 1 + + + + n < 2 2 Hướng dẫn Ta có : Áp dụng : ⇒ 1 1 < = − n n ( n − 1) n − n 1 1 1 1 < − ; < − ; ; < − 2 3 n n −1 n 1 1 + + + + n < − < 2 2 n Bài Tìm số tự nhiên x , biết: GV: Võ Thị Thu Hằng 84 Trờng THCS Liên Đồng 1 23 + + + ).x = 1.2.3 2.3.4 8.9.10 45 a) ( b) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 c) x −1 x − x − x − + − = 2011 2010 2009 2008 1 1 1 23 − + − + + ( ).x= 1.2 2.3 2.3 3.4 9.10 45 a) 1 23 ( + ) x = 2 90 45 ⇒ ⇒ x=2 b) x + 2x + 3x + 4x + … + 2011x = 2012.2013 ⇒ x( + + + ….+ 2011) = 2012.2013 ⇒ x 2011.2012 2.2013 = 2012.2013 ⇒ x = 2011 c) Nhận xét : 2012 = 2011+1= 2010 +2 = 2009 +3 = 2008 +4 Từ ⇒ x −1 x − x − x − + − = 2011 2010 2009 2008 ( x − 2012) + 2011 ( x − 2012) + 2010 ( x − 2012) + 2009 ( x − 2012) + 2008 + + = 2011 2010 2009 2008 x − 2012 x − 2012 x − 2012 x − 2012 + + − = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 ⇒ ( x − 2012)( + + − ) = −2 2011 2010 2009 2008 1 1 ⇒ x = −2 : ( + + − ) + 2012 2011 2010 2009 2008 ⇒ Bài 8: Tìm x nguyên biết a) 1 1 49 + + + + = 1.3 3.5 5.7 (2 x − 1)(2 x + 1) 99 91006 − b) 1- + – + ….+ (-3) = x Bài tập tự luyện GV: Vâ ThÞ Thu H»ng 85 Trêng THCS Liên Đồng Bi 1.Tớnh cỏc tng sau mt cỏch hp lí a) 52 52 52 52 52 52 + + + + + 1.6 6.11 11.16 16.21 21.26 26.31 c) 1.5.6 + 2.10.12 + 4.20.24 + 9.45.54 1.3.5 + 2.6.10 + 4.12.20 + 9.27.45 Bài Chứng tỏ b) 2 2 + + + + 1.4 4.7 7.10 97.100 12n + phân số tối giản 30n + Bài 3.Tính giá trị biểu thức sau: B = − + 1 1 − + + 100 − 101 3 3 1 + + + 999 C= 1 1 + + + + 1.999 3.997 997.3 999.1 1+ V Rút kinh nghiệm: …………………… BÀI TẬP TỔNG HỢP VỀ PHÂN SỐ I Mục tiêu: - Nhằm củng cố lại dạngtính tổng, tính tổng theo quy luật, dạng tốn so sánh, tốn tìm x, chứng ming tối giản, tìm điều kiện để phân số tối giản - Học sinh nắm phương pháp vận dụng thành thạo vào dạng - Tạo hứng thú cách tìm tịi, u thích mơn học II.Chuẩn bị: - HS: ơn kiến thức SGK; - GV: Chuẩn bị dạng III.Bài tp: Bi 1.Tìm số tự nhiên n để phân số 6n + 99 3n + a)Có giá trị số tự nhiên b)Là phân số tối giản Hng dn GV: Võ Thị Thu Hằng 86 Trờng THCS Liên Đồng Ta có Đặt A = a) 6n + 99 6n + + 91 2( 3n + ) + 91 2( 3n + ) 91 91 = = = + = 2+ 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + 3n + Để A số tự nhiên 91 3n + => 3n + lµ íc cña 91 hay 3n + ∈ {1; 7; 13; 91} Víi 3n + = 1=> n = -1 Loại n số tự nhiên Với 3n + = 7=> n = NhËn =>A = + 13 = 15 Víi 3n + = 13 => n = NhËn => A = + = Víi 3n + = 91 n = 29 NhËn =>A = + = b) Để A phân số tối giản 91 kh«ng chia hÕt 3n + hay 3n + không ớc 91 =.> 3n + không chia hết cho ớc nguyên tố 91 Từ ®ã suy ra: 3n + kh«ng chia hÕt cho => n ≠ 7k +1 3n + kh«ng chia hÕt cho 13 => n ≠ 13m + Bài 2.Cho A = n 11 + + + + n +1 + + 12 víi n ∈ N 5 5 Chøng minh r»ng A < 16 Hướng dẫn: XÐt A = + n 11 + + • • • + n + • • • + 11 Suy ra: 5 5 n 11 n 11 1 A = A − A = + + + • • • + n + • • • + 11 − + + + • • • + n +1 + • • • + 12 5 5 5 5 5 1 1 11 A = + + + • • • + n + • • • + 11 − 12 5 5 5 11 A = B − 12 Víi GV: Vâ ThÞ Thu Hằng 87 Trờng THCS Liên Đồng 1 1 + + + • • • + n + • • • + 11 5 5 1 1 ⇒ 5B = + + + + • • • + n −1 + • • • + 10 5 5 1 1 1 1 1 ⇒ B = 5B − B = 1 + + + + • • • + 10 − + + + • • • + n + • • • + 11 5 5 5 5 5 11 11 −1 −1 ⇒ B = − 11 = 11 ⇒ B = 5 4.511 B= ⇒ 4A = Bài 511 − 11 512 − − 44 512 − 49 49 − = ⇒ A = • = • 1 − 12 < 11 12 12 12 16 16 16 4.5 4.5 1 1 Cho M = 14 + 29 + + n + (n + 1) + (n + 2) + + 1877 Chøng tá r»ng 0,15 < M < 0,25 Hướng dẫn 1 1 + + + + + 2 14 29 1877 n + ( n + 1) + (n + 2) 1 1 M = + + + + + 2 2 2 +2 +3 +3 +4 n + (n + 1) + (n + 2) 24 + 25 + 26 M = Đặt A = n2 + (n + 1)2 + (n + 2)2 = n2 + 6n + (*) * Víi n ≥ Tõ (*) ⇒ A < n2 + 6n + = 3(n + 1)(n + 2) 1 1 1 = ⋅C + + + + + 2.3 3.4 (n + 1)(n + 2) 25.26 Tõ ®ã A > 1 1 C = + + + + + 3 ( n + )( n + ) 25 26 1 Víi n( n + 1) = n − n + Ta cã: 1 1 1 1 C = − + − + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + − = − 3 25 26 26 1 1 Suy ra: A > ⋅ C = ⋅ − > > 0,15 3 26 13 * Víi n ≥ Tõ (*) ⇒ A > 2n2 + 6n + = 2(n2 + 3n + 2) = 2(n + 1)(n + 2) 1 1 1 = ⋅C + + + + + 2.3 3.4 (n + 1)(n + 2) 25.26 Tõ ®ã A < 1 1 C = + + + + + 3 ( n + )( n + ) 25 26 GV: Võ Thị Thu Hằng 88 Trờng THCS Liên Đồng 1 Víi n( n + 1) = n − n + Ta cã: 1 1 1 1 − + − + ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ + − = − 3 25 26 26 1 1 Suy ra: A < ⋅ C = ⋅ − < 0,25 2 26 C= VËy 0,15 < M < 0,25 Bi 4.Tìm phân số lớn , nhỏ có mẫu số 20 17 17 Hng dn Gọi phân số phải tìm a a , a số tự nhiên < < 80 < 17a < 20 17 20 17 120 < a < => a = 7n2 + Bài 5: Chøng tá r»ng nÕu ph©n số số tự nhiên với nN n n phân số phân số tối giản Hng dn 7n2 + Vì phân số số tự nhiên với nN 7n2+1 M6 n lẻ n không chia hết cho n n ; phân số tèi gi¶n Bài 6: So sánh hai phân số a −1 b +1 ( với a ; b số nguyên dấu a ; b ≠ ) a b Hướng dẫn b +1 =1+ b b * Nếu a > b > > a 1 a −1 b +1 ⇒1 < 1+ hay < a b a b * Nếu a < b < < a 1 a −1 b +1 ⇒1 > 1+ hay > a b a b Có a −1 =1a a >0 b 1 a+n b+n = a b a b a>b ⇔ a+n > b+n a −b a+n Mà b + n có phần thừa so với b + n a b TH3: có phần thừa so với a b a −b , b a −b b +n < a −b b nên a+n b+n < a b