Đề và HDC HSG Toán THPT_03

SÅÍ GIẠO DỦC-ÂO TẢO K THI CHN HC SINH GII BTTH QUNG TRË NÀM HC 2003 - 2004 MÄN: TOẠN Thåìi gian lm bi: 180 phụt (Khäng kãø thåìi gian giao âãư) ---------------------------------------------------------------------------------------------- ------ Bi 1 (3 âiãøm) Tçm giạ trë låïn nháút v giạ trë bẹ nháút ca hm säú: 2 cossin −= xy 2 1 + x Bi 2 (2 âiãøm) Chỉïng minh báút âàóng thỉïc sau âụng våïi mi giạ trë x > 0. ( ) xxLn <+ 1 Bi 3 (2 âiãøm) Cho hm säú: ( ) 21 3 2 3 −−+−= xmmx x y (m l tham säú) 1/ Tênh âảo hm 'y . 2/ Tçm m âãø: a) 'y > 0 våïi mi Rx ∈ . b) 'y < 0 våïi mi ( ) 10 ; ∈ x Bi 4 (1 âiãøm) Cho 3 säú a , b , c dỉång v a 2 + b 2 + c 2 = 1 Chỉïng minh: 2 33 222222 ≥ + + + + + ba c ac b cb a . Bi 5 (2 âiãøm) Cho âỉåìng trn (C) v âỉåìng thàóng (d) cọ phỉång trçnh l: (C): x 2 + y 2 = 1 (d): Ax + By + 1 = 0 a) Chỉïng minh ràòng nãúu âỉåìng thàóng (d) tiãúp xục våïi âỉåìng trn (C) thç ta cọ: A 2 + B 2 = 1 b) Gi sỉí (d) tiãúp xục våïi (C) v M, N l hai âiãøm thüc (C) sao cho x M = − 1, y N = 1. Hy tênh A , B âãø täøng cạc khong cạch tỉì M v N âãún (d) l nh nháút. ÂÃƯ CHÊNH THỈÏC ______________________________ HặẽNG DN CHM ệ CHấNH THặẽC MN TOAẽN KYè THI HSG BTTH NM HOĩC 2003 - 2004 (Khoùa thi ngaỡy 24 thaùng 12 nm 2003) --- Baỡi 1: (3 õióứm) ( ) 2 1 2 1 1 22 +=+= xxy x sinsinsinsin ỷt sin = t ( 1 t 1) Ta õổồỹc ( ) ( ) 11 2 1 2 += t t-ttf 0,5 õióứm Lỏỷp baớng bióỳn thión ta coù: t -1 ẵ 1 f(t) 0 + f(t) ẵ 3/2 ắ ( ) 11 2 3 = tymax 0,75 õióứm ( ) 11 4 3 = tymin 0,75 õióứm Baỡi 2: (2 õióứm) Giaới: Xeùt haỡm sọỳ : ( ) ( ) xxLnxf += 1 Ta coù ( ) 1 1 1 + = x xf' 0,5 õióứm = 0 11 11 < + = + x x x x (vỗ x > 0) Haỡm ( ) xf nghởch bióỳn x > 0 0,5 õióứm ( ) ( ) 00 fxfx <> ( ) ( ) 0011 +<+ LnxxLn 0,5 õióứm ( ) ( ) xxLn xxLn <+ <+ 1 01 0,5 õióứm Baỡi 3: (2 õióứm) 1/ ( ) xfmmxxy =+= 12 2 ' 0,5 õióứm 2/ a) 0 > 'y x R khi vaỡ chố khi: 1,0 õióứm + << <+= >= 2 51 2 51 01 01 2 mmm a ' 0,75 õióứm Trang 2 - HDC õóử chờnh thổùc kyỡ thi HSG Toaùn BTTH (Khoùa ngaỡy 24/12/2003) b) y < 0 vồùi moỹi x (0, 1) khi vaỡ chố khi: 032 01 01 00 m m f f )(' )(' 1 m 0,75 õióứm Baỡi 4: (1 õióứm) Ta coù: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 111 cc c bb b aa a VT + + = 0,25 õióứm Ta seợ chổùng toớ: ( ) 2 33 1 2 2 2 a aa a (1) Thỏỷt vỏỷy (1) ( ) 27 4 1 2 22 aa 0,25 õióứm Bỏỳt õúng thổùc naỡy õuùng vỗ: ( ) ( )( )( ) ( ) ( ) 27 4 3 112 2 1 112 2 1 1 3 222 222 2 22 = ++ = aaa aaaaa 0,25 õióứm Thay a bồới b vaỡ c ta cuợng coù caùc bỏỳt õúng thổùc daỷng (1). Do vỏỷy 2 33 2 33 2 33 2 33 222 =++ cbaVT 0,25 õióứm Baỡi 5: (2 õióứm) a) Xeùt (C): =+ 1 22 yx tỏm O (0, 0), baùn kờnh R = 1 Do õoù (d): Ax + By + 1 = 0 tióỳp xuùc (C) O caùch (d) mọỹt khoaớng bũng R = 1 d [0, (d)] = 11 100 22 22 =+= + ++ BA BA BA 1,0 õióứm b) M, N (C) M ( 1; 0) X M = 1, Y N =1 N (0; 1) (d) tióỳp xuùc (C) nón A 2 + B 2 = 1 , do õoù coù thóứ õỷt A = cosx , B = sinx vồùi x [0, 2] Täøng khong cạch tỉì M, N âãún (d) l: ( ) BABA BA BA BA BA S +−=+++−= + ++ + + ++− = 211 110101 2222 . Trang 3 - HDC âãư chênh thỉïc k thi HSG Toạn BTTH (Khọa ngy 24/12/2003) (Vç − A + 1 ≥ 0, B + 1 ≥ 0) 0,5 âiãøm ( ) xxxSS sincos +−==⇒ 2 Xẹt hm ( ) xcxS sincos +−= 2 ( ) xxxS sincos' += 0 4 2 =       Π += xsin       −=⇒ Π = +=⇒ Π = ⇒       Π = Π = ⇔ 22 4 7 22 4 3 4 7 4 3 Sx Sx x x 0,25 âiãøm x −∞ 0 3Π/4 7Π/4 2Π +∞ S’(x) + 0 − 0 + S(x) 22 + 1 1 22 − Min S = 2 2 − âảt âỉåüc khi 4 7 Π = x        −= = ⇔ 2 2 2 2 B A 0,25 âiãøm _______________________________ Chụ : 1/ Hc sinh cọ cạch gii khạc nãúu âụng váùn cho âiãøm täúi âa theo âiãøm quy âënh ca bi (hồûc pháưn âọ). 2/ Âiãøm toaìn baìi âæåûc cho leí âãún 0,25 âiãøm - khäng laìm troìn . õióứm Trang 2 - HDC õóử chờnh thổùc kyỡ thi HSG Toaùn BTTH (Khoùa ngaỡy 24/12/2 003) b) y < 0 vồùi moỹi x (0, 1) khi vaỡ chố khi: 032 01 01 00. HặẽNG DN CHM ệ CHấNH THặẽC MN TOAẽN KYè THI HSG BTTH NM HOĩC 2 003 - 2004 (Khoùa thi ngaỡy 24 thaùng 12 nm 2 003) --- Baỡi 1: (3 õióứm) ( ) 2 1 2 1 1 22 +=+=