Chuyên đề giải phương trình bồi dưỡng toán 8

CHUN ĐỀ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH DẠNG 1: PHƯƠNG TRÌNH CĨ HỆ SỐ ĐỐI XỨNG Phương pháp giải: Do x = khơng phải nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x , đặt ẩn phụ Bài 1: Giải phương trình: x + 3x + x + 3x + = HD: Thấy x = nghiệm phương trình: Chia hai vế cho x ta được: 1    x2 + 3x + + + = =  x +  +  x +  + = x x x   x  1 Đặt x + = y = x + = y − , Thay vào phương trình ta có: x x y − + 3y + = Bài 2: Giải phương trình: x + 25x + 12 x − 25x + = HD: Nhận thấy x = khơng phải nghiệm phương trình, chia hai vế PT x  ta được:   25 1 1 x + 25x + 12 − + = =  x +  + 25  x −  + 12 = x x x x    1 = t = x + = t + , Thay vào phương trình ta được: x x t + + 25t + 12 = = 6t + 25t + 24 = Đặt: x − ( ) Bài 3: Giải phương trình: x + 5x − 12 x + 5x + = HD: Nhận thấy x=0 nghiệm PT, chia hai vế PT cho x  , ta được:  1  1 x + 5x − 12 + + = =  x +  +  x +  − 12 = x x x x    1 = t = x + = t − , Thay vào phương trình ta được: x x t + 5t − 14 = = ( t + 7)( t − ) Đặt: x + Bài 4: Giải phương trình: x + x + x + x + = Bài 5: Giải phương trình: x − 3x − x + 3x + = HD: Nhận thấy x = nghiệm PT, chia hai vế PT cho x  , ta được:  1  1 x − 3x − + + = =  x +  −  x −  − = x x x x    Đặt x − 2 = t , Phương trình tương đương với: t − 3t − = x Bài 6: Giải phương trình: x − x + 14 x − x + = HD: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Nhận thấy x=0 nghiệm phương trình , chia hai vế PT cho x  ta được:  1  1 x − x + 14 − + = =  x +  −  x +  + 14 = x x x x    Đặt: x + = t , phương trình trở thành: 2t − 9t + 10 = x Bài 7: Giải phương trình: x − 3x + x − 3x + = Bài 8: Giải phương trình: 3x − 13x + 16 x − 13x + = Bài 9: Giải phương trình: x + 5x − 38x + 5x + = Bài 10: Giải phương trình: x + 7x − 36 x − 7x + = Bài 11: Giải phương trình: x + x − x + x + = Bài 12: Giải phương trình: x − 5x + x − 5x + = Bài 13: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x − x + x − x + = Bài 14: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x + x + x + x + = HD: Nhân hai vế phương trình với x-1 ta được: ( x − 1) x + x + x + x + = x − = = x = = x = ( Cách 2: Đặt y = x + ) x Bài 15: Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm: x − x + x − 3x + = HD: Biến đổi phương trình thành: x − x + x − x + = ( )( ) GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức DẠNG 2: PHƯƠNG TRÌNH DẠNG ( x + a )( x + b )( x + c )( x + d ) = k Phương pháp: Nhận xét tích a + d = b + c , nhóm hợp lý tạo biểu thức chung để đạt ẩn phụ Đôi ta phải nhân thêm với hệ số để có biểu thức chung Bài 1: Giải phương trình: ( x − 7)( x − 5)( x − )( x − ) = 72 HD: Phương trình tương đương với ( x − 7)( x − 2)( x − 5)( x − 4) = 72 = x − 9x + 14 x − 9x + 20 − 72 = ( )( ) Đặt x − x + 14 = t , phương trình trở thành: t ( t + 6) − 72 = = ( t + 12 )( t − 6) = 2   23 =0 Với t = −12 = x − x + 14 = −12 =  x −  + 2  Với t = = x − 9x + 14 = = ( x − 1)( x − 8) = Bài 2: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297 HD: Phương trình tương đương với: ( x − 1)( x + 5)( x − 3)( x + 7) − 297 = = x + x − 21 x + x − − 297 = ( )( ) Đặt x + x − = t phương trình trở thành: ( t − 16) t − 297 = = ( t − 8) − 192 = = ( t − 27)( t + 11) = Với t = 27 = x + x − = 27 = ( x + 8)( x − ) = Với t = −11 = x + x − = −11 = ( x + ) + = Bài 3: Giải phương trình sau: ( x − 7)( x − 5)( x − )( x − ) = 72 HD: ( )( ) Biến đổi phương trình thành: x + x x + x − = 24 Đặt x + x − = y , Khi phương trình trở thành: ( y + 1)( y − 1) = 24 = y − = 24 = y = 25 Bài 4: Giải phương trình: ( x + 1)( x + 2)( x + )( x + 5) = 40 Bài 5: Giải phương trình: x ( x + 1)( x − 1)( x + ) = 24 Bài 6: Giải phương trình: ( x − )( x − 5)( x − 6)( x − 7) = 1680 Bài 7: Giải phương trình: x ( x − 1)( x + 1)( x + ) = 24 Bài 8: Giải phương trình: ( x − 1)( x − 3)( x + 5)( x + 7) = 297 2 Bài 9: Giải phương trình: x ( x + 1)( x + 2)( x + 3) = 24 Bài 10: Giải phương trình: ( x + 2)( x − 2) ( x ) − 10 = 72 HD: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Đặt x − = y Phương trình trở thành: y ( y − ) = 72 = y − y + = 81 = ( y − 3) − 92 = Bài 11: Giải phương trình: x ( 8x − 1) ( x − 1) = HD: Nhân vào hai vế ta được: 8x ( 8x − 1) ( x − ) = 72 ( )( ) Đặt 8x − = y , ta : ( y + 1) y ( y − 1) = 72 = y − y + = Bài 12: Giải phương trình: (12 x + 7) ( 3x + )( x + 1) = HD: Nhân hai vế với 24 ta được: (12 x + 7) (12 x + 8)(12 x + ) = 72 Đặt 12 + = y Bài 13: Giải phương trình: HD: ( x + 1)( x + 1) ( x + 3) = 18 Nhân hai vế với ta được: ( x + 1)( x + ) ( x + 3) = , Dặt x + = y Bài 14: Giải phương trình: ( x + 7) ( 3x + )( x + 1) = HD: Nhân hai vế với 12 ta được: ( x + 7) ( x + 8)( x + ) = 72 Đặt y = x + Bài 15: Giải phương trình: ( x + 1)(12 x − 1)( 3x + )( x + 1) − = HD : Phương trình = ( x + 1)( 3x + )(12 x − 1)( x + 1) − = = 12 x + 11x + 12 x + 11x − − = ( )( ) Đặt 12 x + 11x − = t phương trình trở thành: (t + 3) t − = = (t + 4)(t − 1) = 2 Với t = −4 = 12 x + 11x − = −4 = 12 x + 11x + = Với t = = 12 x + 11x − = = ( 3x − )( x + 1) = ( ) Bài 16: Giải phương trình: ( x + 1) x + 8x + = 18 HD: Biến đổi phương trình thành: ( x + 1) ( ) 2  x + x + − 1 = 18 = ( x + 1)  ( x + 1) − 1 = 18     Đặt ( x + 1) = t , ( t  ) , Thay vào phương trình ta được: t ( 4t − 1) = 18 = 4t − t − 18 = Bài 17: Giải phương trình: ( x + 2)( x − 3)( x + 4)( x − 6) + x2 = HD: GV: Ngô Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Vì x = khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho x ta được: 12  12  12   x − −  x − + 1 + = Đặt t = x − x , ta có: x x    t = ( t − 4)( t + 1) + =  t − 3t + =   t = x = 12 Với t =  x − =  x − x − 12 =   x  x = −3 Với t =  x2 − 2x −12 =  x = 1 13 Vậy phương trình cho có bốn nghiệm: x = −3; x = 4; x =  13 DẠNG 3: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯA ĐƯỢC VỀ DẠNG PHƯƠNG TRÌNH TRÙNG PHƯƠNG ( x + a) + ( x + b) Bài 1: Giải phương trình: HD: ( x + 1) + ( x + 3) 4 =c = 82 Đặt y = x + , ta có: ( y + 1) + ( y − 1) = 82 = y + y − 40 = Bài 2: Giải phương trình: HD: 4 ( x − ) + ( x − 8) 4 = 16 Đặt x − = y , phương trình trở thành: ( y − 1) + ( y + 1) = 16 4 Rút gọn ta được: 2y4 + 12 y2 + = 16 = y4 + 6y2 − = Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình: Bài 9: Giải phương trình: ( x − ) + ( x − 6) = 82 ( x + 3) + ( x + 5) = ( x + 3) + ( x + 5) = 16 ( x − ) + ( x − 3) = ( x + 1) + ( x − 3) = 82 ( x − 2,5) + ( x − 1,5) = ( − x ) + ( x − ) = 32 4 4 4 4 4 4 4 Bài 10: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x + 3) = 4 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức DẠNG 4: GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẰNG CÁCH ĐẶT ẨN PHỤ Bài 1: Giải phương trình: Bài 2: Giải phương trình: Bài 3: Giải phương trình: HD : (2x + 3x − 1) − 5(2x + 3x + 3) + 24 = ( x + x ) + ( x + x ) = 12 ( x − 6x + 9) − 15( x − 6x + 10) = 2 2 2 2 Đặt : x − x + = ( x − 3) = t , ( t  ) , Thay vào phương trình ta : t − 15 ( t + 1) = = t − 15t − 16 = = ( t + 1)( t − 16) = Bài 4: Giải phương trình: (x ) − x + ( x − ) = 43 HD : 2 ( Biến đổi phương trình : x − x Bài 5: Giải phương trình: HD : (2x ) ( ) + x − x + = 43 Đặt x + x = y − 3) − 16 ( x + 3) = 2 Ta có: PT = ( x − 3) − ( x + 12 ) = 2 = ( x − − x − 12 )( x − + x + 12 ) = = ( x − x − 15)( x + x + ) = Bài 6: Giải phương trình sau: x − x + 8x − = HD: Biến đổi phương trình thành: x − x + x − x + 8x − = ( ( ) ( ) ) = x − x − x − x − = Bài 7: Giải phương trình: ( − x ) + ( − x ) = ( − x ) 4 HD: 3 − x = y = − x = y + z , phương trình trở thành: Đặt  2 − x = z ( ) y4 + z + ( y + z ) = yz 2y2 + 3yz + 2z = Bài 8: Giải phương trình: ( x − 7) + ( x − 8) = (15 − x ) 4 HD:   Đặt x − = a, x − = b = a + b − ( a + b ) = = 4ab  a2 + ab + b2  =   Bài 9: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x − ) = ( x − 1) 3 HD: x + = y = − x = t ta có: x + y + z = Đặt  x − = z Phương trình trở thành: y3 + z3 + t = yzt = ( x + 1)( x − )(1 − x ) = GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 10: Giải phương trình: HD: ( x + 1) + ( x − ) = ( x − 1) 3 Đặt x + = a, x − = b,1 − x = c = a + b + c = Phương trình tương đương với ( x + 1) + ( x − ) + (1 − x ) = = a3 + b + c = ( x + 1) Bài 11 : Giải phương trình: HD: ( ) + 3x x + + x = Đặt x + = y = y2 + 3xy + x = = ( x + y )( y + x = ) Bài 12: Giải phương trình: x − x ( x − 1) − 12 ( x − 1) = HD :  x = a Đặt  Khi phương trình trở thành: ( x − 1) = b a2 − 4ab − 12b2 = = ( a − 6b )( a + 2b ) = Với a = 6b = x = ( x − 1) = x − 12 x + = = ( x − ) = 30 Với a = −2b = x + x − = = ( x + ) = ( )( ) ( 6) Bài 13: Giải phương trình: 3x − 8x + x − + 12 x = HD: Phương trình tương đương với:  ( 3x − )( x − )( x − )( x + ) + 12 x = ( ) ( )  3x + x − ( x − 2) + 12 x =  x − x + x − ( x − 2) + 12 x = 2 2 2   x − ( x − )  ( x − ) + 12 x =  x ( x − ) − ( x − ) + 12 x =   x2 = a Đặt:  , Khi phương trình trở thành: x − = b ( )   12a + 4ab − b2 =  12a2 + 6ab − 2ab − b2 =  6a ( 2a + b ) − b ( 2a + b ) =  ( 6a − b )( 2a + b  6a = b  6a − b =    x = x − x +  5x + x − = a = b = l ()   2a + b = −2  Bài 14: Giải phương trình: x − x + x + = 192 Giải pt ta được: x = ( )( ) HD: (x Biến đổi phương trình thành: ) − ( x + 1)( x + 3) = 192 = ( x − 1)( x + 1) ( x + 3) = 192 ( ) Đặt x + = y = Phương trình trở thành: ( y − ) y ( y + ) = 192 = y y − = 192 Đặt y2 − = z , Phương trình trở thành: ( z + 2)( z − ) = 192 = z = 14 Bài 15: Giải phương trình: x + ( x + 1) + ( x + ) = ( x + 3) 3 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức HD: Đặt x = y + , Phương trình trở thành: ( y + 3) + ( y + ) + ( y + 5) = ( y + ) ( 3 ) = y y + y + 21 = Bài 16: Giải phương trình: ( x − x + 1) − ( x + 1) = ( x3 + 1) 2 HD : Vì x = −1 khơng nghiệm phương trình nên chia hai vế cho x + ta được: x2 − x + x +1 −2 Đặt x +1 x − x +1 x2 − x + t=  3t − =  3t − 5t − =  t = 2, t = − x +1 t 3  13 t =  x − 3x − =  x = t = −  3x − x + = phương trình vơ nghiệm Bài 17: Giải phương trình: ( x + 1)( x + )( x + 3) ( x + )( x + 5) = 360 HD: ( )( )( ) Phương trình  x + x + x + x + x + x + = 360 Đặt t = x + x , ta có phương trình: ( y + 5)( y + 8)( y + 9) = 360 x =  y y + 22 y + 157 =  y =  x + x =    x = −6 Vậy phương trình có hai nghiệm: x = 0; x = −6 ( ) Bài 18: Giải phương trình: ( x3 + x + ) + x3 + 24 x + 30 = HD: ( ) Ta có: x3 + 5x + 30 = x3 + 5x + − x + nên phương trình tương đương (x ) ( ) + x + + x3 + 24 x + x3 + 24 x + 30 = Đặt u = x3 + x + Ta hệ:  u + 5u + = x  ( u − x ) u + ux + x + =  u = x    x + 5x + = u  x3 + x + =  ( x + 1) ( x − x + 5) =  x = −1 ( ) Vậy x = −1 nghiệm phương trình Bài 19: Giải phương trình: ( x + x + )( x + x + 3) = HD: t = Đặt x + x + = t Phương trình cho thành t ( t + 1) =   t = −3 Với t = x + x + =  x + x =  x = x = −1 −1  21 Với t = −3 x + x + = −3  x + x + =  x =  −1 − 21 −1 + 21    Vậy tập nghiệm phương trình S = −1;0; ;  2     Bài 20: Giải phương trình: ( x + ) (3x + 4)( x + 1) = GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức HD: Biến đổi phương trình thành ( 36 x + 84 x + 49 )( 36 x + 84 x + 48) = 12 t = Đặt t = 36 x + 84 x + 48 phương trình thành t ( t + 1) = 12   t = −4 Với t = 36 x + 84 x + 48 =  36 x + 84 x + 45 =  x = − x = − 2 t = − Với 36 x + 84 x + 48 = −4  36 x + 84 x + 52 = , phương trình vô nghiệm  3 Vậy tập nghiệm phương trình S = − ; −   2 Bài 21: Giải phương trình: ( x −1) + ( x + 3) 4 = 82 HD: y =1 x =  Đặt y = x + phương trình cho thành 24 y + 48 y + 216 = 82    y = −1  x = −2 Vậy tập nghiệm phương trình cho S = −2;0 Bài 22: Giải phương trình: HD: ( x + 1)( x + 2)( x + 4)( x + 5) = 10 x +1+ x + + x + + x + = x + phương trình trở thành: y = − x = − − y − y − = 10  y − y − =     y =  x = − Đặt y = ( )( )   Vậy tập nghiệm phương trình S = − − 3; − Bài 23: Giải phương trình: (x + x + )( x + x + ) = x HD: Do x = nghiệm phương trình, chia hai vế cho x ta được:  2    x + + 1 x + +  = Đặt y = x + x phương trình trở thành x  x    x+ =0  y =  x = −1 x   ( y + 1)( y + ) =    y = −3  x + = −3  x = −2  x Bài 24: Giải phương trình: ( x − 2)( x −1)( x − 8)( x − 4) = 4x2 HD: Biến đổi phương trình thành: (( x − 2)( x − 4)) (( x −1)( x − 8)) = 4x2  ( x2 − 6x + 8)( x2 − x + 8) = x2 Do x = không nghiệm nên chia hai vế phương trình cho x ta được: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 8     x + −  x + −  = Đặt y = x + x phương trình trở thành x x    y = ( y − )( y − ) =  y − 15 y + 50 =    y = 10 Với y = x + =  x − x + = (vô nghiệm) x  x = − 17 Với y = 10 x + = 10  x − 10 x + =   x  x = + 17 ( ) Vậy tập nghiệm phương trình S = − 17;5 + 17 Bài 25: Giải phương trình: ( x + x − 1) − ( x + 3x − 1) + x = HD: Do x = khơng nghiệm phương trình, chia hai vế phương trình cho x ta 2 1      x − +  −  x − +  + = Đặt y = x − , phương trình trở thành: x x x     y =1 2 ( y + ) − ( y + 3) + =  y − =   Suy  y = −1  −1   x = x − x =    1  x − = −1 x =  x    −1     Vậy tập nghiệm phương trình S =  ;  2     Bài 26: Giải phương trình: 3x − x − x + x + = HD: Phương trình khơng nhận x = nghiệm, chia hai vế cho x : 1  1   x +  −  x −  − = Đặt t = x − phương trình trở thành x x   x  3t − 4t + = 3t − 4t + =  t = t = 1+ 1− Với t = x − =  x − x − =  x = x = x 2 1 + 37 − 37 Với t = x − =  3x − x − =  x3 = x4 = x 2  1 + − + 37 − 37   Vậy tập nghiệm phương trình S =  ; ; ;  2     Bài 27: Giải phương trình: x − 21x3 + 34 x + 105 x + 50 = (1) HD: GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 10 2  x   x  Bài 30: Giải phương trình:   +  = 90  x +1  x −1 HD: ĐK: x  1 x ( x − 1) + x ( x + 1) Phương trình tương đương với : = x − 2x3 + x2 + x + 2x2 + x2 (x ) −1 ( x + 1) ( x − 1) 2 = 90 ( ) 4 = 90 = x + x = 90 x − x + = 44 x − 91x + 45 = ( x + 1) Bài 31: Giải phương trình: ( x + 1) + ( x + 2) 2 =8 HD: Phương trình tương đương với: 2  ( x + 1)2  x + 1) (  x +1  x +1  x + − x +  + ( x + 1) x + = =  x +  + x + − =       Đặt ( x + 1) x+2 = y , Phương trình trở thành: y2 + y − = Bài 32: Giải phương trình: HD: 12 x 3x − =1 x + 4x + x + 2x + 2 Để ý x nghiệm x  nên ta chia tử số mẫu số vế trái cho x 12 − = Đặt t = x + + phương trình trở thành: thu được: 2 x x+4+ x+2+ x x t = 12 − =  12t − 3t − = t + 2t  t − 7t + =   t+2 t t = Với t = ta có: x + + =  t + t + = vô nghiệm x Với t = ta có: x + + =  x − x + =  x =  x Bài 33: Giải phương trình: x2 ( x + 2) = 3x − x − HD: Biến đổi phương trình: 2  x   x  x  − ( x + )  − ( x − 1) =   + x −  − x − 1 =   x+2   x+2  x +  Giải phương trình ta thu nghiệm x =  6; x = −3  GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 31 Bài 34: Giải phương trình: x + x3 ( x − 1) + 3x −2=0 x −1 HD: Sử dụng HĐT a3 + b3 = ( a + b ) − 3ab ( a + b ) ta viết lại phương trình thành: 3x x  x2  x  3x  x + + − =  x + −3 − = hay x+ + x − 1 x −1  x −1  x −1  ( x − 1) x − x3 3  x2   x  3x  x2  x2 − + − =  − =  − =  x2 − x + =       x −1  x −1   x −1  x −1  x −1  Suy phương trình cho vơ nghiệm 1 1 + + = Bài 35: Giải phương trình: x + x + 20 x + 11x + 30 x + 13x + 42 18 HD: ĐKXĐ: x  −4, x  −5, x  −6, x  −7 1 1 + + = Phương trình trở thành: ( x + 4)( x + 5) ( x + 5)( x + 6) ( x + 6)( x + 7) 18 − x+4 = − x+4 = 1 1 1 + − + − = x + x + x + x + x + 18 1 = = ( x + 13)( x − ) = x + 18 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 32 DẠNG 8: PHƯƠNG TRÌNH CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI I, Phương trình dạng: f ( x ) = g ( x )  f ( x) = g( x) Phương pháp:  ,  f ( x ) = − g ( x ) Bài 1: Giải phương trình sau: x + = x − Bài 2: Giải phương trình sau: x2 − x + − x =0 x +1 Bài 3: Giải phương trình sau: x − = x − Bài 4: Giải phương trình sau: x + = x − 3x − HD: Phương trình tương đương với:  5 x =  x + = x − 3x −  x − 5x − = =  =     x + = − x − 3x −  13 x − x − = x =  ( ) Bài 5: Giải phương trình: x − + x − x + = HD: Vì x −  0, x − 7x +  0, Nên suy ra: x − + x − x +   2 x − = x = =  = x = Dấu xảy khi:  2 2 x − 7x + = ( x − 1)( x + 5) =  Bài 6: Giải phương trình: x − = x − 3x + HD:  x − = x − 3x + Phương trình tương đương với:  = x = 1, x = −1  2 x − = x − x −  Bài 7: Giải phương trình: x − = x − x + HD:  x − = x − 5x + x =  x − = x − 5x +   , Vậy: x= 1; x=  x = x − = − x + x −   Bài 8: Giải phương trình : x − x + x − = (1) HD: Lập bảng xét dấu Từ ta có trường hợp: x  3 TH 1:  ta có: (1)  x2 − 3x + =  x − 3x + =  x = 1  x  Hai giá trị không thuộc khoảng xét nên trường hợp phương trình vơ nghiệm GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 33 TH 2:  x  ta có (1)  − x − x + =  x + x − =  x = x= −1 + TH 3: x > ta có (1)  x + x − =  x + x − =  x = x= −1 − (l) −1 − 29 (l) −1 + 29  −1 + x = Vậy phương trình có hai nghiệm   −1 + 29 x =  Bài 9: x − + x + = Bài 10: Giải phương trình : x − + x − = Bài 11: Giải phương trình : x + + x − = Bài 12: Giải phương trình : 3x + = x − Bài 13: Giải phương trình : x − + x = Bài 14: Giải phương trình : x − x − = x + x Bài 15: Giải phương trình : x − x = x − Bài 16: Giải phương trình : ( x = 1) (x = ; ) 2 ( x = −3; − ) ( x = 0; 1) −1  17 ; ) ( x = 1; − ; −  2) (x = − 3x − = x + Bài 17: Giải phương trình : x − = 3x − Bài 18: Giải phương trình : 2x + = x Bài 19: Giải phương trình : 3x + = x − Bài 20: Giải phương trình : x − = 2x −1 Bài 21: Giải phương trình : 2x + = 3x − Bài 22: Giải phương trình : x − = 2x −1 2x + = 3x − x −1 3x − = x −3 Bài 24: Giải phương trình : x+2 5x − = x−2 Bài 25: Giải phương trình : x+3 Bài 26: Giải phương trình : x − + x = Bài 23: Giải phương trình : Bài 27: Giải phương trình : x − + x + = Bài 28: Giải phương trình : x − + x − = GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 34 Bài 29: Giải phương trình : x − + x − 3x + = Bài 30: Giải phương trình : 5x + + 3x − = x + GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 35 II, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f ( x ) = g ( x ) Phương pháp: Cách 1: Phá giá trị tuyệt đối  f ( x) = g( x) Cách 2: Điều kiện g ( x )  =  ,  f ( x ) = − g ( x ) Bài 1: Giải phương trình: x + = x + Bài 2: Giải phương trình sau: x + + 3x = Bài 3: Giải phương trình: x + x − = HD: x + x −1 =  x − = − x2 −1  x  −1  x  1 − x  x =      x − = − x2   x =  x =    x − = (1 − x ) x =   x − = −1 + x   x =  x = −2    Vậy x=1; x= Bài 4: Giải phương trình sau: x − = x + x + Bài 5: Giải phương trình sau: x − x + = x Bài 6: Giải phương trình sau: x − 5x + = x + Bài 7: Giải phương trình: x − x − = x − 17 HD: Với x − 17  = x  17 , Khi đó: VT  0,VP  , suy phương trình vơ nghiệm 17 , Khi phương trình tương đương với ( x − )( x − 6) =  x − x − = x − 17  x − 8x + 12 = =  =    x =  22  x − x − = 17 − x  x − 22 = Với x  ( ) Bài 8: Giải phương trình: x + = x + HD: ( x + 1) ( t + 1) 2 = x + , Đặt t = x , ( t  ) , Phương trình trở thành: t = = 4t + = t − 2t − = =  t = −2(l) Bài 9: Giải phương trình sau: ( x + 1) − x + + = HD: t = Đặt: x + = t , ( t  ) , Khi phương trình trở thành: t − 3t + = =  t = Bài 10: Giải phương trình: x ( x − 1) = x − + GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 36 HD: Đặt: x − = t, ( t  ) = t = x − x + = x − x = t − , Thay vào phương trình ta được: t = −1(l) x − x − x − − = hay t − − t − = = t − t − = =  t = x2 − 2x − Bài 11: Giải phương trình: x + + = x + x −1 ( x − 1) HD: ĐKXD: x  , Phương trình tương đường với: ( x − 1) + Đặt: x − − = x −1− x −1 = t , ( t  ) , suy ra: x −1 t = ( x − 1) + ( x − 1) ( x − 1) − = ( x − 1) + 2 ( x − 1) = t2 + t = Phương trình trở thành: t + = 7t =  t = Bài 12: Giải phương trình: 3x − = x + x + HD:  3x − = x + x + Vì x + 2x +  0, x , Nên phương trình =  3x − = − x + x +  x   x − x + = =   x = −5  21 =    x + 5x + = ( ) Bài 13: Giải phương trình: x2 − x − = Bài 14: Giải phương trình: x2 + 2x + x + − = Bài 15: Giải phương trình: x2 + x − x + + = Bài 16: Giải phương trình: 4x2 − 20 x + x − + 13 = Bài 17: Giải phương trình: x2 − 4x + x − + = Bài 18: Giải phương trình: x2 − x + x −1 + = Bài 19: Giải phương trình sau: ( x − 1) − x − − = HD: t = −1(l) Đặt: t = x − , ( t  ) , Phương trình trở thành: t − 3t − = =  t = x − 6x2 + x2 − = Bài 20: Giải phương trình: x x2 HD: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 37 ĐKXĐ: x  , đặt t = x2 − , (t  0) x t = −1 Khi phương trình trở thành: t − t − = =  t = Bài 21: Giải phương trình: x − = x − x + Bài 22: Giải phương trình: x − 3x + = x + Bài 23: Giải phương trình : Bài 24: Giải phương trình: Bài 25: Giải phương trình: x2 −1 =x x−2 1 ) 23 (x = − ; ) 23 (x = − 2x − x + 3x + x − x2 − + x + x ( x − 2) (x = ) ( x =  21) =5 =2 Bài 26: Giải phương trình: x + x − 12 = x − x − ( x = 5) ( x = 5;  7) Bài 27: Giải phương trình: x − 3x + − x = ( x =  21) Bài 28: Giải phương trình: x2 − x + = x + ( x = 0; 5) Bài 29: Giải phương trình: 2x − = ( x = 1; Bài 30: Giải phương trình: x x −1 = − 4x Bài 31: Giải phương trình: x + = x2 + x − Bài 32: Giải phương trình: 3x − = x + x − Bài 33: Giải phương trình: x2 + 5x − 3x − − = Bài 34: Giải phương trình: x2 − x + = x2 − Bài 35: Giải phương trình: x2 − x −1 −1 = Bài 36: Giải phương trình: 3x − = − x Bài 37: Giải phương trình: x − −3x + = 2x − x +1 Bài 38: Giải phương trình: Bài 39: Giải phương trình: Bài 40: Giải phương trình: Bài 41: Giải phương trình: + 17 ; ) x − x − 12 = 2x x −3 2x − 3 = x + x −1 x + −x + = 2x −1 2x + x −3 x + x − 15 =1 HD: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 38 Ta có: x −3 x + x − 15 = = x −3 ( x + 5)( x − 3) = , ĐKXĐ: x  −5, x  −3 = = x = −3(l) x+5 −2 = = x = −7 Xét x  x  −5 phương trình = x+5 Vậy phương trình cho có nghiệm x = −7 Bài 42: Giải phương trình: x − x − x − − = Xét x  , Phương trình = HD: , Phương trình trở thành: x ( x − 7) = Nếu x  phương trình trở thành: ( x + 5)( x − 1) = Nếu x  Bài 43: Giải phương trình: x − = x + HD: Xét x  phương trình cho trở thành: x − = x + Với x  = x − = x + vô nghiệm Với  x  = x = thỏa mãn: Xét x < phương trình cho trở thành: x + = x + Với −3  x  = x + = x + vô nghiệm Với x  −3 = x = −2 khơng thỏa mãn: GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 39 III, PHƯƠNG TRÌNH DẠNG: f ( x ) + g ( x ) + h ( x ) = t ( x ) Phương pháp: Lập bảng xét dấu: Sử dụng tính chất: a + b = a + b = a.b  hoặc: a − b = a − b = b ( a − b )  Bài 1: Giải phương trình sau: x − − x − + x − = Bài 2: Giải phương trình sau: HD: x +1 + =2 x +1 Điều kiện: x  −1 Đặt x + = t ( t  ) , Phương trình trở thành: t + = = t − 2t + = t Bài 3: Giải phương trình sau: x − x + + x − x = HD: Biến đổi phương trình về: ( x − 3)( x − 1) + x ( x − ) = Bài 4: Giải phương trình sau: HD: x −1 +1 − x −1 −1 = Sử dụng tính chất a − b = a − b = b ( a − b )  x −1 +1− Phương trình tương đương với: Dấu khi: ( ) ( ) x − − = = = 2, x − −  = x  Vậy phương trình có nghiệm x  Bài 5: Giải phương trình sau: x + + x − = x + + x + x − Bài 6: Giải phương trình sau: x + 2a x + a x a2 = ( x  0) x HD: Phương trình cho = x + 2a x + a − a2 = TH1: x  −a , phương trình trở thành: x − 2ax − 3a2 = = ( x + a )( x − 3a ) = 2 TH2: x  −a , phương trình trở thành : x + 2ax + a = = x = − a Bài 7: Giải phương trình sau: x − + x + = Bài 8: Giải phương trình sau: x − 2x + = x − Bài 9: Giải phương trình sau: x + − x = x + x − , (1  x  3) Bài 10: Giải phương trình sau: x − = x +1 HD: Xét x  , phương trình có dạng x − = x + , Giải phương trình bình thường Xét x  , Phương trình tương đương với − x − = x + , Giải phương trình bình thường Bài 11: Giải phương trình sau: x − x − + x − = GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 40 Bài 12: Giải phương trình sau: x − x −1 + x − = Bài 13: Giải phương trình sau: x + + x + + x + = 4x Bài 14: Giải phương trình sau: x x + − x + x + = Bài 15: Giải phương trình sau: x − x + = x − 1  x − 14 − x  x − −  − − =   5  Bài 17: Giải phương trình sau: x + x + = − x Bài 16: Giải phương trình sau: Bài 18: Giải phương trình sau: − x + x − = x − GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 41 IV GIẢI VÀ BIỆN LUẬN Bài 1: Giải biện luận phương trình sau: mx + 2m = mx + x + HD:  mx + 2m = mx + x + Phương trình : mx + 2m = mx + x + =   mx + 2m = − ( mx + x + 1)  x = 2m − =  ( 2m + 1) x = −2m − 1(1) Với (1): −1 Nếu m + = = m = , Phương trình có nghiệm với x −1 Nếu m +  = m  , phương trình tương đương với x = −1 Kết luận: −1 Với m = , Phương trình có nghiệm với x −1 Với m  , Phương trình có hai nghiệm x=-1 x=2m-1 Bài 2: Giải biện luận phương trình sau: mx + x − = x − HD: ( m + 1) x = 0(2)  mx + x − = x − =  Ta có: mx + x − = x − =  ( m + 3) x = 2(3)  mx + x − = − x Với phương trình (2) ta có: Nếu m = −1 , Thì phương trình (2) có nghiệm với x Nếu m  −1 , Thì phương trình có nghiệm x = Với phương trình (3) ta có : Nếu m = −3 , phương trình (3) vơ nghiệm Nếu m  −3 , phương trình (3) có nghiệm x = m+3 Kết luận : Với m = −1 , Phương trình có nghiệm với x Với m = −3 , Phương trình có nghiệm x = Với m  −1, m  −3 , Phương trình có nghiệm x=0 x = m+3 Bài : Tìm m để phương trình x + x = mx − ( m + 1) x − 2m − , có nghiệm phân biệt : HD : Phương trình tương đương với : x ( x + 1) = ( x + 1)( mx − 2m − 1)  mx = −1 (4) = x + x − mx − 2m − = =   x = mx − 2m − ( m − 1) x = = 2m(1)  mx − 2m − = x =  Với (4) tương đương với :  ( m + 1) x = + 2m(2)  mx − 2m − = − x Nếu m = , phương trình (1) vơ nghiệm, Khi PT ban đầu khơng thể có ba nghiệm phân biệt ( ) GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 42 Nếu m = −1 , phương trình (2) vơ nghiệm, Khi PT ban đàu khơng có ba nghiệm phân biệt  + 2m x = m −1 Nếu m  1 , (4) =   x = + 2m  m +1 + 2m + 2m + 2m + 2m   −1  −1 Để có ba nghiệm phân biệt : m −1 m +1 m −1 m +1  1 Hay m   0; − ; −  2   −1 −2  Kết luận : Vậy với m    −1; ; ;0;1 , phương trình có nghiệm phân biệt   Bài 4: Giải biện luận |x – 2x +m|+x=0 HD : Ta có: |x2 – 2x +m|+x=0  x − x + m = − x x  − x       x − 3x + m = (1) Ta có : 1 = − 4m 2 = − 4m x − 2x + m =  x   x − x + m = (2)  Biện luận − − 4m − − 4m + m0 x= x = 2 + m > 0: Vơ nghiệm Bài 5: Cho phương trình : x − x − x − + m + = a, Giải phương trình m= -2 b, Tìm m để phương trình sau có nghiệm HD: Phương trình = ( x − 1) − x − + m + = 2 Đặt t = x − , ( t  ) , ta có phương trình: t − 2t + m + = (1) t = A, Khi m= -2, ta có : t − 2t = =  t = B, Phương trình cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm với t  = m = −t + 2t − có nghiệm t  = đồ thị hàm số f ( x ) = −t + 2t − , với t  0; + ) , cắt trục hoành hay m  −2 Bài 6: Giải biện luận phương trình : mx + 2m = x + HD : ( m − 1) x = − 2m (1)  mx + 2m = x + =  Ta có PT =  ( m + 1) x = −2m − ( )  mx + 2m = − ( x + 1) Giải (1) : Với m = , Phương trình trở thành : x = −1 , Vô nghiệm GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 43 Với m  , Phương trình tương đương với x = − 2m m −1 Giải (2) : Với m = −1 , Phương trình trở thành : x = , phương trình vơ nghiệm −2 m − Với m  −1 , Phương trình tương đương với : x = m +1 Kết luận : −3 Với m = 1 , Phương trình có nghiệm x = −2 m − 1 − 2m Với m  1 , Phương trình có nghiệm : x = x = m +1 m −1 Bài 7: giải biện luận phương trình: mx + x = mx − HD :  −1  mx + x = mx − x=  = Ta có : mx + x = mx − =    mx + x = − ( mx − 1) ( 2m + ) x = Với phương trình : ( 2m + ) x = (*) , ta có : Nếu m = −1 phương trình (*) vơ nghiệm Nếu m  −1 phương trình (*) có nghiệm x = 2m + Kết luận : −1 −1 x = m  −1 , Phương trình có nghiệm x = 2m + 2 Bài 8: Giải biện luận phương trình sau: 3x + m = x − m = −1 , Phương trình có nghiệm x = Bài 9: Giải biện luận phương trình sau: x + x − x − m + − m = Bài 10: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: |x2 – 2x + m| = x2 + 3x – m – Bài 11: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − 3m = x + m Bài 12: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + 2m = x − m Bài 13: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + m = x − 2m + Bài 14: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 − x + m = x Bài 15: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3mx − = Bài 16: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x + m = x + 2m −1 Bài 17: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x − m = 2x + m + Bài 18: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − m = x +1 Bài 19: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + m = 2x − 2m Bài 20: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 3x + m = x − Bài 21: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x − m = x −1 Bài 22: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: x2 + 2a x + a − a = Bài 23: Tìm m để phương trình sau có nghiệm: mx + = x − m − GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 44 Bài 24: Cho phương trình: x − + x + = a, Giải phương trình b, Tìm nghiệm ngun nhỏ phương trình GV: Ngơ Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức 45 ... − = Bài 3: Giải phương trình: Bài 4: Giải phương trình: Bài 5: Giải phương trình: Bài 6: Giải phương trình: Bài 7: Giải phương trình: Bài 8: Giải phương trình: Bài 9: Giải phương trình: ( x −... x + Bài 17: Giải phương trình : x − = 3x − Bài 18: Giải phương trình : 2x + = x Bài 19: Giải phương trình : 3x + = x − Bài 20: Giải phương trình : x − = 2x −1 Bài 21: Giải phương trình : 2x +... 34: Giải phương trình: x2 − x + = x2 − Bài 35: Giải phương trình: x2 − x −1 −1 = Bài 36: Giải phương trình: 3x − = − x Bài 37: Giải phương trình: x − −3x + = 2x − x +1 Bài 38: Giải phương trình: