Chuyên đề tứ giác bồi dưỡng toán 8

CHUYÊN ĐỀ TỨ GIÁC Bài 1: Cho HBH ABCD có AB BD cắt O, Gọi d đường thẳng qua A không cắt đoạn BD, gọi BB’, CC’, DD’ khoảng cách từ B, C, D đến đường thẳng d, ( B’, C’, D’ nằm d) CMR: BB’ + DD’ = CC’ B' HD: Vẽ OO’ ⊥ d (O’  d) Khi ta có: BB’D’D hình thang B A O' C' có OO’ đường trung bình nên: 2.OO’= BB’ + DD’ (1) Tương tự  ACC’ có OO’ đường trung bình nên: 2.OO’ = CC’ (2) Từ (1) (2) => BB’ + DD’ = CC’ o D' C D d Bài 2: Cho tam giác ABC, AM đường trung tuyến, vẽ đường thẳng d qua trung điểm I AM cắt cạnh AB, AC, Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C đường thẳng d BB '+ CC ' CMR: AA ' = A HD: Gọi H, K giao d với AB AC B' d C' M' A' I Lấy N hình chiếu M đường thẳng d =>  AA’I =  MNI ( cạnh huyền- góc nhọn) B C M => AA’ = MN Hình thang BB’C’C có MN đường trung bình nên: BB '+ CC ' MN = AA ' = Bài 3: Cho tam giác ABC nhọn, đường cao BH, CK, Gọi D E hình chiếu B C đường thẳng HK, CMR: DK = EH A HD: Gọi M, M’ lầ lượt trung điểm BC DE, Xét  BHC vng H có HM đường trung tuyến nên: HM = BC (1)  BKC vng K có KM đường trung tuyến nên: KM = BC (2) Từ (1) (2) => MH = MK => KM’ = HM’ Vậy DM’ = EM’ E H M' K D B M C GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 4: Cho tam giác ABC có G trọng tâm, đường thẳng d không cắt cạnh tam giác ABC, Gọi A’, B’, C’, G’ hình chiếu A, B, C, G đường thẳng d, AA '+ BB '+ CC ' CMR: GG ' = A D HD: M Gọi M trung điểm AC, D đối xứng với G qua M, M’ hình chiếu M d, Khi ta có : BG GM = DM = => G trung điểm BD => GG’ đường trung bình hình thang BB’D’D => MM’ đường trung bình hình thang GG’D’D BB '+ DD ' Nên: GG ' = (1) AA '+ CC' DD '+ GG ' MM ' = ; MM ' = 2 => DD’ + GG’ = AA’ + CC’ => DD’ = AA’ + CC’ - GG’ Thay (1) vào ta được: 2GG’ = BB’ + AA’ + CC’ - GG’ => 3GG’ = AA’ + BB’ + CC’ => ĐPCM G C B B' A' G' M' D' C' Bài 5: Cho HBH ABCD đường thẳng d nằm bên HBH, Gọi A’, B’, C’, D’ hình chiếu A, B, C, D d, CMR: AA’+ CC’ = BB’ + DD’ B A HD: Vì ABCD hình bình hành O nên hai đường chéo cắt trung điểm đường Gọi O giao hai đường chéo AC BD O’ hình chiếu O xuống d C D Khi ta có: OO’ đường trung bình hình thang AA’C’C nên: 2OO’ = AA’ + CC’ (1) d Tương tự OO’ đường trung bình hình thang DD’B’B A' D' O' B' C' nên: 2.OO’ = DD’ + BB’ (2) Từ (1) (2) => AA’ + CC’ = BB’ + DD’ Bài 6: Cho tam giác ABC có trọng tâm G ( G nằm bên tam giác), Vẽ đường thẳng d qua G, cắt AB, AC, Gọi A’, B’, C’ hình chiếu A, B, C (d), Khi AA’, BB’, CC’ có quan hệ gì? HD: Gọi I AG cho AI = IG Kẻ MM’ ⊥ (d) Khi ta có: A  GII’ =  GMM’ (cạnh huyền = góc nhọn) => II’ = MM’ mà II’ = AA’ => AA’ = MM’ I C' Hình thang BB’C’C có MM’ đường trung bình nên ta có: MM’ = BB’ + CC’ G M' B' Nên ta có : AA’ = BB’ + CC’ B A' I' M C GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 7: Cho tam giác ABC, Gọi D trung điểm cạnh AB, BC lấy điểm E, F cho BE = EF = FC, tia đối tia BA lấy điểm G cho BG = BD CMR: AF, CD, GE đồng quy A HD: Gọi I giao điểm CD GE D => E trọng tâm  DGC => DI = IC I  DEC có IF đường trung bình nên IF // DE B C F E Lại có: DE đường trung bình  ABF => DE // AF Khi A, I, F thẳng hàng hay AF có qua I G Bài 8: Cho hình thang ABCD có A = B = 1v, BC = AB = AD , Gọi M điểm nằm đáy nhỏ AD, kẻ Mx vng góc với BM Mx cắt CD N CMR: MB = MN M HD: D A Kẻ DK //AB, chứng minh  BDC vuông D => ADC = 900 + 450 = 1350 , Gọi H trung điểm BN, Chứng minh MH ⊥ BN  BMN vng 1 MH = BN , DH = BN = MH = DH 2 2 N H B A C K HMD = HDM mà HDM = ABH = DMN + MBH (1) Và HMD = HMN + DMN (2) Từ (1) (2) => MBH = HMN Mà: MBH + MNH = 900 = HMN + MNH = 900 Vậy HM ⊥ BN =>  BMN có MH vừa đường cao vừa trung tuyên nên MB = MN Bài 9: Cho tam giác ABC có góc A tù, AC > AB, H chân đường cao hạ từ A, phía góc BAC , dựng D E cho AD vng góc với AB, AD = AB, AE vng góc với AC AE = AC, M trung điểm DE CMR: A, H, M thẳng hàng A HD: Dựng HBH DAEF => M trung điểm AF => AE = DF Mà AE ⊥ AC => DF ⊥ AC ta có: DAE + BAC = DAE + BAD + DAC = 900 + 900 = 1800 Mà: DAE + ADF = 1800 = BAC = ADF  ADF =  ABC (c.g.c) => B = DAF C = F Gọi FD cắt BC I, cắt AC N AF cắt BC H’   H ' IF = NIC ( d ) = IH ' F = N = 900 , =>   C = F Hay AF ⊥ BC H => A, F, H thẳng hàng => A, H, M thẳng hàng N I B C D M E F GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 10: Cho hình thang ABCD ( AB // CD) tia phân giác góc C qua trung điểm M AD, CMR: a, BMC = 900 b, BC = AB + CD HD: A E B a, Giả sử MC cắt AB E Khi CMD = EMA ( g.c.g ) => CM = EM CD = AE Xét  BEC có: E = C2 = C1 =>  BEC cân Mà BM đường trung tuyến => BM đường cao Vậy BM ⊥ EC b, Vi  BEC cân nên EB = BC => BC = EA + AB = DC + AB M 1 C D Bài 11: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), có C = 600 , DB phân giác góc D , Biết chu vi hình thang 20cm, Tính cạnh hình thang E HD: Đặt BC= a, ta có ngay:AD = AB = BC = a Mà: C = 600 = D2 = 300 = DBC = 900 A B Xét  BDC có D2 = 30 , C = 60 = DC = 2a Mà Chu vi hình thang 20 cm nên a + a + a + 2a = 20 => a = 0 a 1 C D Bài 12: Cho điểm A, B, C theo thứ tự nằm đường thẳng d, ( AB > BC), Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng d, vẽ ADB, BEC đều, Gọi M, N, P, Q, I theo thứ tự Trung điểm đoạn thẳng BD, AE, BE, CD, DE a, CMR: điểm I, M, N thẳng hàng b, CMR: điểm I, Q, P thẳng hàng c, CMR: MNPQ thình thang cân d, NQ = DE HD: D a, Dễ thấy AD // BE IN đường trung bình  ADE => IN // AD IM đường trung bình  DBE => IM // BE // AD => điểm I, M, N thẳng hàng b, Chứng minh tương tự c, Trong  AEB có NP đường trung bình => NP // (d) Tương tự MQ // (d) => MQ // NP  N1 = A1 = N = A = 600 , =>   N = A2 I E Q M N 1 2 1 A B P C  D1 = B1 = QPN = 1800 − 600 − 600 = 600 Chứng minh tương tự ta có:   P2 = B2 d, Vì MNPQ thang cân => NQ = MP, Mà MP đường trung bình  BED nên: 1 MP = DE = NQ = MP = DE 2 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 13: Cho hình thang ABCD ( AB // CD), Gọi E giao điểm AD BC, Gọi M, N, P, Q E trung điểm AE, BE, AC, BD, CMR: MNPQ hình thang N M HD: Dễ dạng chứng minh MN // AB Gọi R trung điểm AD ta có: RQ // AB RP // DC // AB Nên RP // AB => R, Q, P thẳng hàng => PQ / / AB Vậy MNPQ hình thang B A Q P C D Bài 14: Cho tứ giác ABCD, Gọi P, Q theo thứu tự trung điểm AD BC AB + CD a, CMR: PQ  AB + CD b, Tứ giác ABCD hình thang PQ = HD: A a, Tự chứng minh B Q P AB + CD b, Ta chứng minh ABCD hình thang => PQ = D Thật :  ADC có pR đường trung bình => PR = DC (1) RQ đường trung bình  ABC => RQ = AB (2) AB + CD Cộng theo vế (1) (2) ta : PQ + RQ = AB + CD Ta chứng minh PQ + RQ = ABCD hình thang AB + CD = PQ = PR + RQ => điểm P, Q, R thẳng hàng, Thật PQ = Mà : PQ // DC RQ // AB => AB // CD => ABCD hình thang R C Bài 15: Cho ABC đều, Trên tia đối tian AB, lấy D, tia đối tia AC lấy điểm E cho AD=AE, Gọi M, N, P, Q theo thứ tự trung điểm BE, AD, AC, AB, CMR: a, Tứ giác BCDE hình thang cân b, Tứ giác CNEQ hình thang E c, MNP tam giác D HD: N a,  AED => D = 600 = B = ED / / BC Lại có đường chéo => hình thang cân b,  ABC => CQ ⊥ AD  AED => EN ⊥ AD => CQ // En => hình thang c, Ta có: NP đường trung bình => NP = DC 1 BE = DC 2 1 Xét  ENB có N = 900 MN đường trung tuyên => MN = BE = DC 2 Vậy  NMP có cạnh nên tam giác A M Q P Xét  BEP có P = 900 , MP đường trung tuyến => MP = B C GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 16 : Cho tam giác ABC đều, M điểm nằm tam giác, Đường thẳng qua M // với BC cắt AB D, đường thẳng qua M // với AC cắt BC E,đường thẳng qua M // với AB cắt AC F, CMR : a, Tứ giác : ADMF, BDMF, CFME hình thang cân b, MB − MC  MA  MB + MC A HD: F a, Vì  ABC => A = B = C = 60 D D1 = B ( đồng vị) => hình thang ADMF có hai góc đáy Nên ADMF hình thang cân B Các hình thang cịn lại CMTT b, Ta có: MA=DF MB=DE, MC=EF Xét  DEF => DE − EF  DF  DE + EF ( Bất đẳng thức tam giác) M C E Bài 17 : Cho tứ giác ABCD, có : A + C = 1800 , AB = BC = AD CMR : ABCD hình thang cân HD: M Vẽ BM ⊥ AB, BN ⊥ CD =>  ABM =  CBN ( cạnh huyền- góc nhọn) => BM =BN A B => BD tia phân giác góc D  A1 = D D C N Mà  ABD cân => AB// DC=>  => D = C  A1 = C Vậy ABCD hình thang cân Bài 18 : Cho tam giác ABC vng A, Vẽ AH vng góc với BC H, Gọi M, N trung điểm đoạn thẳng AH CH, CMR : MN vuông góc với AB BM vng góc với AN A HD: Vì MN đường trung bình => MN//AC mà AC ⊥ AB => MN ⊥ AB=> M trực tâm  ABN  ABN có M trực tâm => BM ⊥ AN M B C N H Bài 19 : Cho tứ giác ABCD có AD = BC, đường thẳng qua trung điểm M N cạnh AB CD cắt AD BC E F, CMR : AEM = MFB HD : E Gọi I trung điểm BD Ta có: MI, NI đường trung bình AD BC = = IN =>  IMN cân => MI = 2 ? F ? A => M = E ( đồng vị ) N = F ( so le trong) Vậy E = F B M I D N C GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 20 : Cho hình thang ABCD, (AB MN = M B AD, MN / / AD P N PQ đường trung bình => PQ = AD, PQ / / AD Chứng minh tương tự => MNPQ hình bìn hành E D C Q Bài 21: Cho tam giác ABC có BC = a, đường trung tuyến BD, CE, lấy điểm M, N cạnh BC cho BM=MN=NC, GỌi I giao điểm AM BD, K giao điểm AN CE, Tính IK HD: Vì DN đường trung bình  ACM => DN // AM  BM = MN => I trung điểm BD  BDN có:   AM / / DN Chứng minh tương tự=> K trung điểm EC A Kéo dài IK cắt AB AC G H Khi  BED có GI qua trung điểm I BD // ED D E G B K H I M N C nên GE=GB  CED có KH qua trung điểm K EC // ED nên HD=HC 1 1 Khi ta có: GI = ED = a, KH = ED = a 4 3a 3a = GH = Còn 2GH = a + a = 2 3a 1 a Nên IK= GH - GI- HK= − a − a = 4 4 a Vậy IK = Bài 22: Cho tam giác ABC nhọn, trực tâm H, M trung điểm BC, qua H kẻ đường thẳng vng góc với HM, cắt AB, AC theo thứ tự E F a, Trên Tia đối tia HC, lấy điểm D cho HD=HC, CMR E trực tâm tam giác DBH b, CMR: HE=HF HD: A a, Ta có MH đường trung bình  BCD => MH// BD, K D Mà EF // MH => EF ⊥ BD F Ta lại có: BA ⊥ DH =>  BDH có E trực tâm H b, Gọi G giao điểm DE BH => K giao điểm BH AC E G =>  DHG =  CHK ( cạnh huyền - góc nhọn) => HG =HK C B M =>  HGE =  HKF ( c g c) => HE= HF Bài 23: Cho hình thang ABCD, có A = B = 1v BC=2AB=2AD, gọi M điểm dây nhỏ AD, Kẻ Mx vng góc với BM Mx cắt CD N, CMR: MB =MN GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức HD: Kẻ DK // AB, CMR  BDC vuông D => ADC = 900 + 450 = 1350 Gọi H trung điểm BN, => MH ⊥ BN  BMN vng MH = BN => => MH= DH DH = BN K HMD = HDM , Mà HDM = ABH = DMN + MBH HMD = HMN + DMN => MBH = HMN Mà: MBH + MNH = 900 = HMN + MNH = 900 Vậy HM ⊥ BN Bài 24: Cho tam giác ABC có góc nhọn, đường cao BD CE, gọi I K theo thứ tự hình chiếu B C đường thẳng ED, CMR: IE=DK A HD: Gọi M trung điểm BC, kẻ MN ⊥ ED K D Tứ giác BIKC hình thang => NI= NK (1) N  BEC vng có EM = BC E I => EM =DM  BDC vuông có DM = BC C B M =>  EDM cân có MN đường cao trung tuyến => NE = ND (2) Từ (1) (2) => IE= DK Bài 25: Cho hình thang ABCD (AB//CD), Gọi E F theo thứ tự trung điểm BD AC, Vẽ đường thẳng qua E vng góc với AD đường thẳng qua F vng góc với BC, cắt I, CMR: IC=ID HD: Gọi N trung điểm DC => FN đường trung bình  ADC  FN / / AD = PE ⊥ FN = EI ⊥ FN =>   PE ⊥ AD Chứng minh tương tự: FQ ⊥ EN = FI ⊥ EN => I trực tâm => IN ⊥ EF, mà EF // DC => IN ⊥ DC  IDC có IN vừa trung tuyến vừa đường cao =>  IDC cân => ID=IC I GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 26: Cho đoạn thẳng AB trung điểm O nó, nửa mặt phẳng có bờ AB, vẽ hai tia Ax By vng góc với AB, Một góc vng đỉnh O cắt Ax C, cắt By D a, AC+BD=CD b, CO tia phân giác ACD HD D a, Gọi I trung điểm CD AC// BD => OI trung bình hình thang ABCD AC + BD => OI = => AC + BD = 2.OI Lại có  COD vuông => OI đường trung tuyến => OI= CI= ID=> 2OI = IC +ID = CD b, ta có  OCD vng O có OI đường trung tuyến nên OI = IC =>  IOC cân I=> C2 = O1 Mà: O1 = C1 Nên => C1 = C2 OC tia phân giác góc ACD Bài 27: Cho  ABC nhọn, A = 600 , Lấy D điểm BC, gọi E, F điểm đối xứng D qua cạnh AB, AC EF cắt AB, AC M, N a, CMR: AE=AF Tính EAF b, CMR: AD tia phân giác  DMN HD: A a, Ta có: D E đối xứng với qua AB nên AB đường trung trực ED=> AE=AD N Tương tự AD= AF M E EAD = 2.MAD AE=AF, Ta có: DAF = 2.DAM ( ) => EAF = MAD + DAM = A = 1200 B D F C b, Do đối xứng nên ta có: AEM = ADM  AEF cân A nên AEM = AFN = ADM = ADN AFN = ADN Vậy AD phân giác góc MDN Bài 28: Cho tứ giác ABCD, có đường chéo AC BD cắt O, AD vng góc AC, BD vng góc với CB, Gọi E giao điểm AD BC, d đường thẳng qua trung điểm EO CD a, CMR: A B đối xứng qua đường thẳng d E b, Tứ giác ABCD D trùng EO HD: B I a, Ta có: Gọi I, K trung điểm OE BC A Ta có:  AOE vng A có Ai trung tuyến O nên AI= IE=IO (1)  BOE vng B có BI đường trung tuyến nên BI=EI=IO (2) C D K Từ (1) (2) ta có: IA = IB Tương tự  ADC vng A có AK đường trung tuyến => AK = DK=CK  BDC có BK đường trung tuyến tam giác vuông nên BK = KD= KC Nên KA= KB hay K nằm đường trung trực AB Vậy IK trung trực AB hay A B đối cứng với qua (d) b, Ta thấy EO đường thẳng chứa đường cao  EDC Nếu d trùng với Eo d vừa đường trung trực AB CD nên ABCD hình thang cân GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 29: Cho HBH ABCD, Gọi E, F trung điểm AD, BC, đường chéo AC cắt BE, DF P Q, gọi R trung điểm đoạn thẳng BP, CMR: a, AP=PQ=QC b, Tứ giác ARQE hình bình hành HD: a, Trong  BDC có CO DF hai đường trung tuyến nên Q trọng tâm 1 => OQ = QC = OC Tương tự  ABD có P trọng tâm 1 => OP = AP = AO Từ (1) (2) ta có AP= QC Ta lại có : AC PQ = AC − AP − QC = AC − ( AP ) = AC − AO = AC − = AC = AP 3 AP= PQ= QC b, Vì P trọng tâm  ABD nên EP = PB = PR Tứ giác ARQE có hai đường chéo cắt tịa trung điểm đường nên HBH F Bài 30: Cho tam giác ABC, ba điểm N, P, Q theo thứ tự trung điểm AB, BC, AC, I, J, K TĐ đoạn thẳng NP, BP, NC CMR: IJKQ hình bình hành A HD: Ta có:  NPB có IP =IN ( gt) JP =JN (gt) Q N Nên Ị đường trung bình => IJ // NB IJ = NB 1 Tương tự ta có: QK // AN QK = AN= NB 2 Từ ta có: IJKQ hình bình hành I K B J C P Bài 31: Cho tam giác ABC (AB FD= FE Ta chứng minh AD OC= OD => D1 = C1 , F M Mà EN // BD => N1 = D1 = C1 Mà  IND cân I O N C => N1 = D2 = D1 = C1 => FD//AC D b, Chứng minh DIEO hình bình hành => DI//EO DI =EO => FI//EO FI =EO => FIOE hình bình hành => IO //EF IO =EF (1) Mặt khác IO đường trung bình  DFB => OI =EB (2) Từ (1) (2) => EB= EF Bài 62: Cho  ABC nhọn, vẽ đường cao AD BE, Tia phân giác Ax DAC cắt BE BC M N, Tia phân giác By EBC cắt AD AC P Q, CMR: a, AN ⊥ BQ b, Tứ giác MPNQ hình thoi A HD: E a, Ta có: EBC = DAC ( phụ góc C) => A1 = A2 = B1 = B2 M Q  EBQ vuông => B1 + BQE = 900 = A2 + BQE = 900 O P => AOQ = 90 = AN ⊥ BQ b,  APQ có AO vừa đường phân giác vừa đường cao C B D N => AO đường trung trực => MP= MQ, NP= NQ  BMN có BO vừa đường phân giác vừa đường cao=> đường trung trực => ĐPCM Bài 63: Cho hình vng ABCD, Từ điểm M tùy ý đường chéo BD, kẻ ME, MF vng góc với AB AD, CMR: a, CF=DE, CF ⊥ DE b, CM=EF, OM ⊥ EF c, CM, BF, DE đồng quy d, Xác định M để diện tích AEMF lớn HD: E A B a, BD đường chéo hình vng ABCD => BD phân giác góc D => ADB = 450 = DFM cân F=> DF=FM=AE  CDF=  DAE (c.g.c) => CF = DE C1 = D1 Mà C1 + F1 = 900 = D1 + F1 = 900 = FOD = 900 b, AM =EF, BD đường trung trực AC => MA =MC=> MC= EF H F O M N 1 D C Kéo dài FM cắt BC N => Tứ giác BEMN hình vng, => MN= ME =>  EMF=  MNC(c g c) => M1 = MEF , Mà M1 + M = 900 = MEF + M = 900 => EHM = 900 => ĐPCM c,  EFC có CH ⊥ EF=> CM trùng CH đường cao ứng với cạnh EF Lại có ED ⊥ CF O=> ED đường cao ứng với cạnh CF Chứng minh tương tự câu a=> CE ⊥ BF=> BF đường cao ứng với cạnh CE => đường CM, BF, DE đồng quy 22 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 64: Cho tam giác ABC, tia đối tia BC, lấy điểm D, tia đối tia CB lấy điểm E cho BD=BC=CE, Qua D kẻ đường thẳng // với AB cắt AC H, qua E kẻ đường thẳng // với AC cắt AB k, chúng cắt I a, Tứ giác BHKC hình gì? b, Tia IA cắt BC M, CMR : MB=MC c, Tìm điều kiện  ABC để tứ giác DHKE hình thang cân HD: I a, Tứ giác BHKC hình bình hành có đường chéo BK HC cắt trung điểm đường K H b, Tứ giác AHIK hình bình hành, nên AK// IH AK= IH AB//IH AB=IH => ABHI hình bình hành => IA// HB=> AM đường trung bình ⊥ HBC D => BM = MC c, Tứ giác DHKE hình thang HK //DE, A B M E C để hình thang cân => D = E Hay B = C = ABC cân A Bài 65: Cho hình thang vuông ABCD, A = D = 900 , CD=2AB=2AD, Gọi H hình chiếu D lên AC Gọi M, P, Q trung điểm CD, HC HD a, CMR: Tứ giác ABMD hình vng tam giác BDC tam giác vuông cân b, CMR: DMPQ hình bình hành c, CMR: AQ vng góc với DP B A H HD: a, Chứng minh tứ giác ABMD có cạnh nhau, lại có A = 900 nên ABMD hình vng  BCD có MB= MC=MD nên tam giác vng , lại có BDC = 450 Do đó:  BDC tam giác vuông cân B P Q D C M b, Tứ giác DMPQ hình bình hành có PQ// DM PQ = DM c, Chứng minh Q trực tâm  ADP Bài 66: Cho tam giác ABC, phía ngồi tam giác vẽ hai hình vuong ABEF ACGH, CMR: đường BG CE cắt điểm nằm đường cao AD tam giác ABC HD: K Trên tia đối tia AD lấy điểm K cho AK= B => FAK = ABC ( phụ BAD ) =>  EBC =  BAK (c.g.c) => BCE = BKD , Mà BKD + KBC = 900 => BCE + CBK = 900 = BNC = 900 hay BK ⊥ EC Chứng minh tương tự => CK ⊥ BG=> AD, BG, CE ba đường cao  BCK F H E A G N B D C 23 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 67: Cho hình vng ABCD, điểm E, F cạnh BC, CD cho EAF = 450 , Trên tia đối tia DC lấy điểm M cho DM =BE, CMR: a, ABE = ADM , MAF = 450 b, Chu vu tam giác CEF nửa chu vi tứ giác ABCD A B HD: 45 a,  ABE =  ADN ( cạnh góc vng) => A1 = A2 E => MAE = 900 = MAF = 900 − 450 = 45 b,  AEF =  AMF (c.g.c) M C D F => EF = MF, EF = MD+DF=BE+DF Chu vi  CEF = CE+EF+CF = CK+BE+DF+CF= BC+CD= chu vi ABCD Bài 68: Cho  ABC đều, đường cao AD, M điểm nằm B D, gọi N Trung điểm AM, vẽ ME vuông góc AB E, MF vng góc AC F CMR: DENF hình thoi A HD:   Ta có: MN = EN = DF= FN  = AM    => END = ENM + MND = 2.EAM + 2MAD = 2.DAE = 600 => DNF = MNF − MND => DNF = 2.MAC − 2.MAD = 2.DAC = 600 =>  NED Đều,  NDF DENF hình thoi N F E B M D C Bài 69: Cho hình vng ABCD điểm E bắt kỳ nằm điểm A B, tia đối tia CB lấy điểm F cho CF =AE a, Tính EDF b, Gọi G điểm đối xứng với D qua trung điểm I EF, tứ giác DEGF hình gì? c, CMR: AC, DG, EF đồng quy HD: E A a,  AED =  CFD (c.g.c) => ADE = CDF = EDF = EDC + CDF = EDC + ADE => EDF = ADC = 900 b, Tứ giác DEGF có I trung điểm EF (gt) I trung điểm DG I Do đó: DEGF hình bình hành lại có: EDF = 900 => Là hình chữ nhật, lại có tiếp DE= DF D => Là hình vng c, Ta có: EF DI = , BI = EF = DI = BI => I nằm đường trung trực cảu BD 2 Mà AC đường trung trực BD, ( Tứ giác ABCD hình vng) => I  AC => đường AC, DG, EF đồng quy I B G C F 24 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 70: Cho HBH ABCD, đường chéo cắt O, gọi E, F, G, H theo thứ tự giao điểm đường phân giác  OAB,  OBC,  OCD,  OAD CMR: EFGH hình thoi D C HD: G Vì OH , OF hai tia phân giác góc đối đỉnh nên H, O, F thẳng hàng H F 1O Tương tự ta có: G, O, E thẳng hàng E A B Lại có OH ⊥ OG ( Hai tia phân giác hai góc kề bù) Xét  OAE =  OCG (c.g.c) => OG =OE Chứng minh tương tự : OH= OF => EFGH hình bình hành có hai đường chéo vng góc với => hình thoi Bài 71: Cho hình vuông ABCD, Gọi E, F theo thứ tự TĐ AB, BC a, CMR: CE vng góc với DF b, Gọi M giao điểm CE DF, CMR : AM=AB HD: E A a, Tự chứng minh b, Gọi N trung điểm DC, Tứ giác AECN có AE //NC AE=NC=> Là hình bình hành => AN // EC=> AN ⊥ DF  DN = NC D = DH = HM Trong  DMC có:  HN / / MC  =>  ADM có AH đường cao lại đường trung tuyến nên AD= AM= AB B F M H C N Bài 72: Cho  ABC, tia AB ta lấy điểm D, tia AC lấy điểm E cho BD=CE, Gọi M, N, P, Q trung điểm BC, CD, DE, EB a, CMR: MNPQ hình thoi b, CMR: đường chéo hình thoi MNPQ // với phân giác góc A HD: a, Tự chứng minh y A b, Vì MNPQ hình thoi, MP NQ hai đường chéo => MP ⊥ NQ Gọi I, J lầ lượt giao NQ với AB AC => PQ//AD=> I1 = Q1 ( so le) Tương tự: N1 = Q1 =>  IAJ cân A => Phân giác Ax đường cao => Ax ⊥ IJ, Mà MP ⊥ IJ => Ax //MP Dễ dàng chứng minh NQ// Ay M B C Q J N I E P D x 25 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 73: Cho hình thoi ABCD, tia đối tia BA, ta lấy điểm M, tia đối tia CB lấy N, tia đối tia DC lấy P, tia đối tia AD lấy Q cho BM=CN=DP=AQ a, CMR: MNPQ hình bình hành b, CMR : MNPQ hình thoi ABCD có tâm đối xứng M c, Hình thoi ABCD phải có ĐK để MNPQ hình vng B HD: a,  AQM =  NCP => QM= PN  MBN=  PDQ => QP= MN Q A C O N b,  OBM=  ODN=> O1 = O2 => POM = POB + O1 = POB + O2 = BOD = 1800 => P, O, M thẳng hàng Chứng minh tương tự ta có: Q, O, N thẳng hàng => HBH MNPQ có tâm O D P c, Để MNPQ hình thoi Hình bình hành MNPQ có hai cạnh kề nhau: QM= QD Thật vậy:  QAM=  MBN => MBN = QAM = QAM = BAD , Mà QAM = BAD QAM + BAD = 1800 = BAD = 900 Hình thoi ABCD có góc vng => hình vng Bài 74: Cho tam giác ABC, trực tâm H, kẻ đường cao AD, điểm M thuộc cạnh BC, từ M kẻ ME vng góc với AB MF vng góc với AC, Gọi I trung điểm AM, CMR: a, DEIF hình thoi b, Đường thẳng HM qua tâm đối xứng hình thoi DEIF A HD: a,  ADM vng có DI = AM , Tương tự EI = AM = DI = EI = EID cân N I EI = AI = AIE cân có I1 = A1 H F O tương tự : I = A2 = EID = I1 + I = 60 E =>  EID => EI=ED= IP B M D C Chứng minh tương tự: IF=FD=ID => EIFD hình thoi b, Gọi O giao điểm hai đường chéo hình thoi DEIF N trung điểm AH, Ta có:  AMH có IN đường trung bình => IN//MH  IDN có OH đường trung bình => OH//IN Như O, H, M thẳng hàng => MH qua giao điểm O ID EF 26 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 75: Cho tam giác ABC vuông A, kẻ đường cao AH trung tuyến AM, đường phân giác góc A, cắt đường trung trực BC D, Từ D kẻ DE vng góc với BA DF vng góc với AC a, CMR: AD phân giác HAM b, điểm E, M, F thẳng hàng c, Tam giác BDC tam giác vuông cân HD: A F a, Ta có: C1 = A1 ( phụ góc B) Mà AM= BC=> AM= MC=> A2 = C1 = A1 = A2 , A3 = A4 => AD tia phân giác B M C H E D b, AH // DM => D1 = A4 ,mà A4 = A3 = D1 = A3 = ADM cân => AM= MD Chứng minh Tứ giác AEDF hình vng => EA= ED => FA=FD Ta có: M, E, F nằm đường trung trực AD=> Thẳng hàng c,  BED =  CFD => D2 = D3 BDC = BDF + D3 = BDF + D2 = EDF = 900 =>  BDC vuông cân Bài 76: Cho tam giác ABC vuông A, AB AB => B  C Mà: B = HAC = HAC  C => HC>AH=> AH= HD => HC>HD=> D nằm H,C F M B H D C b, ta có: G A1 + A2 = 900 , A2 + A3 = 900 = A1 = A3 kết hợp với AE= AH =>  AEF =  AHB => AB= AF Tứ giác ABGF hìn bình hành có góc vng => HCN có AB = AF => hình vng c, Gọi M giao điểm BF, AG, Khi  BDF có DM = 1 BF, tương tự AM= BF 2 => M nằm đường trung trực AD, Ta lại có: AE= ED, HA= HD => E, H nèm đường trung trực AD hay H, M, E thẳng hàng 27 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 77: Cho HCN ABCD E điểm nằm đường chéo AC, tia đối tia EB lấy F cho EF =BE, Gọi M, N hình chiếu F đường thẳng AD, DC, CMR: a, DF//AC MN//BD A B b, điểm E, M, N thẳng hàng HD: a, Dễ thấy OE đường trung bình  BDF => DF// OE=> DF // AC O E => A1 = D1 ( Đồng vị ) N D C =>  OAD cân => A = D = D =>  IDm cân => D1 = M1 I 1 M => D2 = M1 ( đồng vị) => MN// DB F b, I trung điểm DF => IE trung bình => IE // DB mà MN // BD M, N, E thẳng hàng Bài 78: Cho hình vng ABCD cạnh a, AB lấy AM = 2a 2a , BC lấy BN cho BN = 3 a, CMR: AN vng góc DM b, Gọi I J trung điểm NM, DN K giao AN DN, Tính IK , KJ IJ HD : a, Ta chứng minh  ABN =  DAM => D1 = A1 , Mà : D1 + M1 = 900 M A => A1 + M1 = 90 = K = 90 0 1 K a 4a a + = b, Ta có : MN = 9 a KI = MN = a 10 a Tương tự ta có : DN = = KJ = 10 a a 13 = IJ = 13 Tương tự DM = B I N J D C Bài 79 : A K D M O H B GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức T E F C 28 Bài 80: Cho  ABC có cạnh 4cm, M N điểm chuyển động hai cạnh BC AC cho BM= CN a) Tính diện tích  ABC b) Xác định vị trí M, N để độ dài MN nhỏ nhất, Tìm độ dài nhỏ đó? HD: a) Tính độ dài đường cao: h = 2 a = = ( cm ) 2 Suy diện tích: SABC = a.h = 4.2 = 3(cm ) b) Gọi P Q chân đường vng góc kẻ từ M N xuống AB Ta có:  ANQ vng Q, có: A = 600 = AQ = AN Tương tự  MPB có : PB = BM 2 Cộng theo vế ta : AQ + PB = AN + BM = Kẻ MH ⊥ QN , 1 AN + NC ) = AC ( 2 Tứ giác MPQH hình chữ nhật 2 Ta có: MN  MH = PQ = AB − ( AQ + BP ) = AB − AC = AB Như M, N di chuyển ta ln có: MN  AB Và MN = AB , Khi M, N trung điểm BC AC Suy vị trí M,N cần xác định trung điểm BC AC, Khi độ dài nhỏ MN : MN = AB = 2cm Bài 81: Cho  ABC vuông cân A, Gọi M điểm nằm A B, tia đối tia AC lấy điểm I cho AI=AM a) Chứng minh : CM ⊥ BI b) Trên BC lấy điểm P cho BP = 2CP , nửa mp bờ BC có chứa điểm A, vẽ Px cho xPB = 600 , Tia Px cắt tia CA D, Tính số đo CBD HD: a) Tia IM cắt BC H  ABC vuông cân A nên C = 450  IAM vuông cân A nên I = 450  IHC có C + I = 900 = H = 900 = IH ⊥ BC , Chứng minh M trực tâm  IBC=> CM ⊥ BI b) Gọi E điểm đối xứng với B qua PD => EP = PB = 2PC =>  BPE cân P nên đường trung trực PD tia phân giác góc P = BPD = DPE = 600 = EPC = 600 Ta chứng minh  EPC vuông C CD phân giác  PCE Đồng thời ED phân giác tai đỉnh E  PCE Mặt khác: yEP = 1500 , DEP = 750 , nên ta tính được: PBD = 750 hay CBD = 750 29 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 82: Cho  ABC có ba góc nhọn, Vẽ đường cao BD, CE Gọi H K theo thứ tự hình chiếu B C ED, CMR: a) EH = DK b) SBEC + SBDC = SBHKC HD: a) Gọi M, I trung điểm BC, ED Chứng minh  MED cân M=> MI ⊥ ED Hình thàng BHKC có: BM=MC, MI//BH//CK nên IH=IK ,mà ID=IE=>EH=DK b) Vẽ EE’, II’, DD’ vng góc với BC, Ta chứng minh II’ đường trung bình Hình thang EE’D’D nên II ' = 1 1 EE '+ DD' ) = SBEC + SBDC = BC.EE '+ BC.DD ' = ( EE '+ DD ' ) = BC.II ' (1) ( 2 2 Qua I vẽ đường thẳng song song với BC, cắt BH, CK P Q Chứng minh được: BPQC hình thang nên SBPQC = BC.II ' (2) Chứng minh được:  PIH =  QIK=> SBPQC = SBHCK (3) Từ (1), (2), (3) => SBEC + SBDC = SBHKC Bài 83: Cho hình vng ABCD, M điểm cạnh BC, nửa mp bờ AB chứa C đựng hình vng AMHN, Qua M dựng đường thẳng d song song với AB, d cắt AH E, Cắt DC F a) CMR: BM=ND b) CMR: N, D, C thẳng hàng c) EMFN hình gì? d) Chứng minh DF + BM = FM chu vi  MFC không đổi M thay đổi BC HD : a) Tứ giác ABCD hình vng=> A1 + MAD = 900 (1) Vì AMHN hình vng (2) = A2 + MAD = 900 Từ (1) (2) ta có : A1 = A2 Ta có :  AND=  AMB (c.g.c) B A E d = B = D1 = 900 , BM = ND b) ABCD hình vng = D2 = 900 = D1 + D2 = NDC = 1800 , nên N, D, C thẳng hàng M N c) Gọi O giao điểm hai đường chéo AH MN hình vng AMHN => O tâm đối xứng hình vng AMHN => AH đường trung trực đoạn MN, mà E, F  AH => EN=Em FM=FN (3) = O1 = O2 = EM = NF (4) Từ (3) (4) => EM=NE=NF=FM=> MENF hình thoi O C F D H (5) 30 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức d) Từ (5) suy FM=FN=FD+DN, mà DN=MB (cmt) => MF=DF+BM Gọi chu vi  MCF P cạnh hình vng ABCD a Ta có : P = MC + CF + MF = MC + CF + BM + DF , Vì ( MF=DF+MB) = ( MC + MB ) + (CF + FD ) = BC + CD = a + a = 2a Hình vng ABCD cho trước => a không đổi=> P không đổi Bài 84: Gọi M điểm nằm xOy = m0 ,(0  m  90) , P, Q hình chiếu M Ox, Oy, Gọi H, K trung điểm OM, PQ a) CMR: HK ⊥ PQ b) Tính số đo HPQ theo m HD: a)  MPO vuông P=> đường trung tuyến PH = OM  MQO vuông Q=> đường trung tuyến QH = OM 2 Do đó: PH = QH = OM =>  HPQ cân H, K trung điểm PQ=> HK vng góc với PQ b) MHQ = 2.MOQ, MHP = 2.MOP, PHQ = 2.POQ = 2.m0 => PHK = m0 = HPQ = 900 − m0 Bài 85: Cho hình chữ nhật ABCD, điểm P thuộc đường chéo BD ( P khác B D), Gọi M điểm đối xứng C qua P a) chứng minh Am song song với BD b) Gọi E, F hình chiếu M AD AB Chứng mỉnh ba điểm E, F, P thẳng hàng c) Chứng minh tỉ số độ dài hai đoạn thẳng MF FA khơng phụ thuộc vào vị trí P HD: a) Ta có: O trung điểm AC (ABCD hình chữ nhật) P trung điểm CM ( Vì M đối xứng với C qua P) Nên Op đường trung bình  ACM, đó: OP//AM=> AM//BD b) Vì OP đường trunh bình  ACM nên OP//AM OP= AM Do đó: OP//AI OP=AI=> tứ giác AIPO hình bình hành=> PI//AC (1) Kẻ ME//AB cắt AC K, ta có: KAE = EAM = KDA ( ) Nên AE phân giác KAM Mặt khác: AE ⊥ KM = AKM cân E trung điểm KM, EI đường trung bình  AMK=> EI//OA=>EI//AC Ta lại có : E, I, F thẳng hàng (3) Từ (1), (2) (3) ta có: E, F, P thẳng hàng (2) Bài 86: Cho  ABC, đường vng góc với AB A đường vng góc với BC C cắt D, gọi H trục tâm  ABC 31 GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức a) Chứng minh DH qua trung điểmt M AC b)  ABC phải thỏa mãn điều kiện để B, H, D thẳng hàng HD: a) Chứng minh tứ giác AHCD hình bình hành Hai đường chéo AC DH cắt trung điểm đường b) Để B, H, D thẳng hàng thì: HD ⊥ AC = AHCD hình thoi = HA = HC =  ABC cân B Bài 87: Cho  ABC vuông A( AC>AB) , đường cao AH, HC lấy HD=HA, đường vng góc với BC D cắt AC E a) CMR: AE=AB b) Gọi M trung điểm BE, TÍnh AHM HD: a) Chứng minh AE =AB Kẻ EF ⊥ AH Tứ giác HDEF hình chữ nhật, => EF=HD mà HD=AH=> EF=AH Xét  HBA  FAE có: H = F = 900 AH=EF FEA = BAH phụ với FAE , Do đó:  HBA=  FAE (g.c.g) => AE=AB b) Tính AHM = ? Ta có:  BAE vng A => AM =  BDE vuông D => DM= BE BE Do đó: AM=DM Xét  AHM  DHM có: AM=MD, AH=HD HM cạnh chung =>  AHM=  DHM (c.c.c) => AHM = MHD = AHD 900 = = 450 2 Bài 88: Cho hình vng ABCD, Gọi E điểm cạnh BC ( E khác B C), Qua A kẻ Ax vng góc với AE, Ax cắt CD F, trung tuyến AI  AEF cắt CD K, đường thẳng kẻ qua E, song song với AB cắt AI G a) Chứng minh AE=AF tứ giác EGFK hình thoi b) Chứng minh  AKF đồng dạng với  CAF AF = FK FC c) Khi E thay đổi BC, chứng minh chu vi  EKC không đổi HD: 32 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức a) Xét  ABE vuông B  ADF vuông D có: AB=AD, BAE = CAF =>  ABE=  ADF B A G E => AE=AF Vì AE=AF AI đường trung tuyến  AEF => AI ⊥ EF I Hai  IEG vuông I  IFK vng I có: IE=IF, C F D IEG = IFK , K Nên  IEG=  IFK x => EG=FK Tứ giác EGFK có hai cạnh đối EG FK song song nên hình bình hành Hình bình hành EGFK có hai đường chéo GK EF vng góc nên hình thoi b) Xét  AKF  CAF có: AFK = CFA , KAF = ACF = 450 AF FK = = AF = FK FC FC AF c) Theo câu a ta có:  ABE =  ADF nên EB=FD, Tứ giác EGFK hình thoi nên EK= = AKF CAF (g.g) = KF Do chu vi  EKC là: CEKC = EK + KC + CE = CF + CE = CD + DF + CE = 2CD ( Không đổi) Bài 89: Cho  ABC vuông A( AB