Chuyên đề tam giác đồng dạng bồi dưỡng toán 8

CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Bài 1: Cho  ABC nhọn, đường cao BD CE cắt H, CMR: BH BD + CH CE = BC HD: A Từ H kẻ HK ⊥ BC Khi đó: CEB ( g.g ) = CKH D CH CK = = CH CE = CK CB (1) CB CE E H Tương tự: BH BK = = BH BD = BK BC (2) BC BD Cộng (1) (2) theo vế ta được: VT = CK.BC + BK.BC = BC ( BK + KC ) = BC BKH BDC ( g.g ) = B C K Bài 2: Cho  BHC có BHC tù, Vẽ BE vng góc với CH E CD vng góc với BH D CMR: BH BD + CH CE = BC HD: Kẻ: HG ⊥ BC = CGH CEB ( g.g ) D E CH CG = = CH CE = BC.CG (1) CB CE Tương tự ta có: BGH BDC ( g.g ) BH BG = = BH BD = BC.BG => (2) BC BD Cộng (1) (2) theo vế ta được: VT = BC.CG + BC.BG = BC (CG + GB ) = BC => H B Bài 3: Cho  ABC có góc A 1200, AD đường phân giác CMR: HD: C K 1 + = AB AC AD B D Kẻ DE / / AB ( E  AC ) = ADE tam giác A ABC có : DE CE AD AC − AE AE AD DE / / AB = = = = = 1− = 1− AB CA AB AC AC AC AD AD 1 = + = = + = (đpcm) AB AC AB AC AD C E GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 4: Cho A’, B’, C’ nằm cạnh BC, AC, AB  ABC, AM AB ' AC ' = + biết AA’, BB’, CC’ đồng quy M, CMR: A ' M CB ' BC ' HD: A E Qua A vẽ đường thẳng song song với BC cắt BB’ D cắt CC’ E, Khi đó: AM AE = (1) AME có AE / / A ' C = A ' M A 'C AM AD = (2) AMD có AD / / A ' B = A 'M A ' B Từ (2) (2) ta có: AM AE AD AD + AE DE = = = = (*) A ' M A ' C A ' B A ' C + A ' B BC Chứng minh tương tự ta có: AB ' AD = (3) AB 'D có AD / / BC = B ' C BC AC ' AE = AC ' E có: AE / / BC = C ' B BC AB ' AC ' AD AE DE + = + = Từ (3) (4) ta có: B 'C BC ' BC BC BC AM DE AB ' AC ' = = + Từ (*) (**) => (đpcm) A ' M BC B ' C BC ' D B' C' M B C A' (**) Bài 5: Cho  ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác đường thẳng AM, BM, CM cắc cạnh BC, AC, AB A’, B’, C’, CMR: AM BM CM + + =2 AA ' BB ' CC ' A HD: Từ A, M vẽ AH , MK ⊥ BC = AH / / MK A ' M MK MK BC SMBC = = = A ' AH có: A ' A AH AH BC S ABC A ' M AA '− AM AM SMBC = = 1− = Mặt khác: A' A AA ' A ' A S ABC S AM = = − MBC A' A S ABC Chứng minh tương tự: S S BM CM = − MAC , = − MAB BB ' S ABC CC ' S ABC Cộng theo vế ta đpcm C' B' M B H K A' C GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 6: Cho  ABC, M điểm tùy ý nằm tam giác, đường thẳng qua M trọng tâm G tam MA ' MB ' MC ' + + =3 giác cắt BC, CA, AB A’, B’, C’, CMR : GA ' GB ' GC ' HD: Gọi AM cắt BC A1, Từ M vẽ đường thẳng song song với AI cắt BC D, với I trung điểm BC A ' M MD A = (1) A 'GI có: MD / /GI = A'G GI A1M MD MD = = A1AI có MD / / GI = ( AI = 3GI ) (2) A1A AI 3GI A ' M A1M = Từ (1) (2) ta có: A 'G A1A M C' Chứng minh tương tự ta có: A' B' G B A1 D C I MB ' 3.B1M MC ' 3.C1M  A1M B1M C1M  = , = = VT =  + +  GB ' B1B GC ' C1C  A1A B1B C1C  mà ta có: từ => A1M B1M C1M + + = = VT = A1A B1B C1C Bài 7: Cho  ABC nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt H a, CMR:  AEF đồng dạng  ABC b, H giao đường phân giác  DEF c, BH BE + CH CF = BC A HD: AE AB AE AF = = = a, Ta có: AEB CFC ( g.g ) = AF AC AB AC => AEF ABC ( c.g.c ) b, Chứng minh tương tự ta có: CED CBA, (c.g.c) BFD => Do AEF BCA (c.g.c) ABC = AEF = ABC = CED ( E F H B C D ) Mà: BEF + AEF = BED + CED = 90 = BED = BEF => HE phân giác góc E Chứng minh tương tự FH phân giác góc F, HD phân giác góc D BH BD = = BH BE = BD.BC BC BE CH CD = = CH CF = CD.CB CDH CFB ( g.g ) = CB CF Cộng (1) (2) theo vế ta đpcm c, BHD BCE ( g.g ) = (1) (2) GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 8: Cho  ABC, AD đường phân giác tam giác, CMR : AD = AB AC − BD.DC HD: A Trên AD lấy điểm E cho: AEB = ACB = ABE ADC ( g.g ) BE AB AE = = = AB AC = AD AE (1) DC AD AC lại có: BD DE BDE ADC ( g.g ) = = = BD.DC = AD.DE AD DC = B C D (2) E Lấy (1) - (2) theo vế ta được: AB.AC − BD.DC = AD ( AE − DE ) = AD Bài 10: Cho tứ giác ABCD, đó: ABC = ADC, ABC + BCD  1800 , Gọi E giao điểm AB CD, CMR: AC = CD.CE − AB AE x HD: Trên nửa mặt phẳng bờ BE, B N không chứa C vẽ tia Ex cho: BEx = ACB A => Ex cắt AC N => N = B = D E Ta có : AB AC = = AB AE = AC AN (1) AN AE CD CA = = CD.CE = CA.CN Tương tự : CAD CEN ( g.g ) = CN CE Lấy (2) - (1) theo vế ta đpcm ABC C D ANE ( g.g ) = (2) Bài 11: Cho HBH ABCD đường chéo lớn AC, Từ C kẻ CE vng góc với AB, CF vng góc với AD CMR: Hệ thức: AB AE + AD AF = AC HD: B A Vì AC đường chéo lớn => D  900 = H  AC , Kẻ DH ⊥ AC => AHD AFC ( g.g ) AD AH = = = AD AF = AC AH (1) AC AF Tương tự kẻ BK ⊥ AC = AKB AEC ( g.g ) E H K C D F = AB AK = = AB AE = AC AK AC AE (2) Cộng (1) (2) theo vế ta được: AD AF + AB.AE = AC ( AH + AK ) = AC.AC = AC Vì ABK = CDH ( cạnh huyền - góc nhọn) => AK=HC GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 12: Cho  ABC điểm O thuộc miền tam giác, đường thẳng qua O // với AB cắt BC D cắt AC G, đường thẳng qua O //BC cắt AB K AC F, đường thẳng đia qua O //AC cắt AB H BC E DG KF EH KH DE GF + + + + =2 =1 a, CMR: b, CMR: AB BC AC AB BC AC HD: A KH KO = AB BC GF OF GOF ABC ( g.g ) = = AC BC KH DE GF KO DE OF + + = + + =1 Nên AB BC AC BC BC BC b, Ta có: DG DC EH BE = = , AC BC AB BC a, HKO ABC ( g.g ) = G H O K B F D C E Khi đó: DG KF EH DC KF BE DE + EC + BD + EC + DB + DE 2BC + + = + + = = =2 AB BC AC BC BC BC BC BC Bài 13: Cho  ABC có đường trung tuyến BM cắt tia phân giác CD N, CMR : NC AC − =1 ND BC HD: Vẽ DE / / BM ( E  AC ) NC MC = (*) ND ME AD AC = ABC có DC tia phân giác nên: (1) DB BC AD AE = ABM có DE//BM = (2) DB EM AC AE = Từ (1) (2) ta có : (**) BC ME NC AC MC AE ME − = − = =1 Lấy (*) - (**), ta có : ND BC ME ME ME QDE có NM / / DE = Bài 14: Cho  ABC có đường phân giác AD, BE, CF, CMR: A E M D N B C DB EC FA =1 DC EA FB HD: A DB AB = ABC có AD tia phân giác nên: = , DC AC E EC BC FA AC = , = Tương tự: , EA AB FB BC F Nhân theo vế ta đpcm B D C GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức Bài 15: Cho HBH ABCD đường thẳng a qua A cắt BD, BC, DC E, K, G CMR: a, AE = EK EG 1 = + b, AE AK AG c, Khi a thay đổi tích BK.DG có giá trị không đổi? HD: AE EB = a, ABE có AM / / DG = EG ED ADE có AD / / BK = Từ (1) (2) ta có: b, Từ: EB EK = ED EA a (1) B A (2) E AE EK = = AE = EK EG EG EA D C G K 1 AE AE = + = + =1 AE AK AG AK AG ADE có AD / / BC = AE ED AE ED AE ED = = = = = EK EB AE + EK ED + EB AK DB Tương tự: AEB có AB / / DG = (3) AE BE AE BE AE BE = = = = = EG ED AE + EG BE + ED AG BD Khi đó: AE AE ED BE + = + = =>đpcm AK AG BD BD c, ta có: KC CG BK AB KC AB AD.CG = = = BK = = DG = KC CG AD DG CG KC (4) Nhân theo vế ta = BK.DG = AB.AD không đổi Bài 16: Cho  ABC nhọn, H trực tâm, CMR : BH CH CH AH AH BH + + =1 AB AC BC.BA CA.CB HD: BH BC ' = Ta có: BC 'H BB ' A ( g g ) = AB BB ' BH CH BC '.CH SHBC (1) = = = AB AC BB '.AC S ABC CH CA ' = Tương tự: CA ' H CC ' B ( g.g ) = BC CC ' CH AH CA ' AH S AHC (2) = = = B BC.BA CC '.BA S ABC AH AB ' AB.BH AB '.BH SHAB AHB ' ACA ' ( g.g ) = = = = = AC AA ' CACB AA '.CB S ABC Cộng (1), (2) (3) theo vế ta được: đpcm A B' C' C A' (3) GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 17: Cho  ABC, M điểm nằm  ABC, Gọi D giao điểm AM BC, E giao điểm BM CA, F giao điểm CM AB, đường thẳng qua M // với BC cắt DE, DF K I, CMR : MI=MK A HD: Gọi IK cắt AB AC N Q AN MN = ABD có MN / / BC = AB BD F AN NQ MN NQ E = = = (1) ABC có NQ / / BC = AB BC BD BC M H N IM FM I K = , FDC có IM / / DC = DC FC MN FM = FBC có NM / / BC = BC FC C B D IM MN IM DC = = = = (2) DC BC MN BC IM DC.NQ DC.NQ.BD = = IM = Nhân (1) (2) theo vế ta được: (*) BD BC BC Tương tự ta có: MQ AQ NQ AQ = = ADC có MQ / / DC = ABC có NQ / / BC = BC AC DC AC MQ NQ = Do đó: (3) DC BC MK EM MQ ME = = Và: EBD có MK / / BD = , EBC có MQ / / BC = BD EB BC EB MK MQ MK BD Do đó: (4) = = = BD BC MQ BC MK NQ.BD DC.NQ.BD = = MK = Nhân (3) với (4) ta được: (**) DC BC BC Từ (*) (**) ta có MI = MK Bài 18: Cho  ABC, đường trung tuyên BM, CN cắt G, K điểm cạnh BC, đường thẳng qua K // CN cắt AB D, đường thẳng qua K // với BM cắt AC E, Gọi I giao điểm KG DE, CMR: I trung điểm DE HD: A Gọi DK cắt BG H, KE cắt GC O GK cắt HO J  HK / / GO Tứ giác HGOK có:  => HGOK hình bình hành  HG / / KO => J trung điểm HO => HJ=OJ N DH BH = BNG có DH / / NG = (1) NG BG HK BH = BGC có HK / /GC = (2) D GC BG H DH HK DH NG = = = = Từ (1) (2) ta có (*) B NG GC HK GC OE OC = CMTT ta có: CMG có OE / /GM = (3) GM CG M G I J K E O C GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức OK OC = (4) GB CG OE OK OE GM = = = = Từ (3) (4) => (**) GM GB OK GB DH OE = = = DKE có OH / / DE Từ (*) (**) = HK OK Lại có J trung điểm HO=> I trung điểm DE CBG có OK / / BG = Bài 19: Cho hình thang ABCD (AB//CD) có BC=BD, Gọi H trung điểm CD, đường thẳng qua H cắt AC, AD E F, CMR: DBF = EBC B A HD: Gọi BF cắt DC K, BE cắt DC I, EF cắt AB G DK FD = (1) FAB có DK / / AB = AB FA DH FD = (2) FAG có DH / / AG = AG FA D Từ (1) (2) DK DH DK AB = = = = (*) AB AG DH AG Tương tự: F IC EC AB / / IC = = (3) EIC có AB EA HC EC = EHC có HC / / AB = (4) AG EA IC HC IC AB = = = Từ (3) (4) ta có: = (**) AB AG HC AG DK IC = Từ (*) (**) => , Mà DH=HC (gt)=>DK=IC DH HC G E 1 K H I C Mặt khác: BD=BC(gt)=> BDC cân=> BDK = BCI => BDK = BCI ( c.g.c ) = DBK = CBI đpcm Bài 20: Cho  ABC có G trọng tâm, đường thẳng qua G, cắt cạnh AB, AC AB AC + =3 M N, CMR: A AM AN HD: Gọi O trung điểm BC, Kẻ BH, CK // MN ( H , K  AO ) BOH = COK ( g.c.g ) = OH = OK AB AH = AM AG AC AK = AKC có GN / / KC = AN AG N G ABH có MG / / BH = (1) M (2) B H O C K Cộng (1) (2) theo vế ta được: GV: Ngô Thế Hoàng_THCS Hợp Đức VT = AH AK AG + GH + AG + GH + HK AG + 2GO AG + = = = =3 AG AG AG AG AG Bài 21: Cho tứ giác ABCD, có M, N trung điểm đường chéo BD AC (M # N) đường thẳng MN cắt AD, BC E F, CMR: AE.BF=DE.CF HD: A H B E M N D F G C Từ A kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF H Từ C kẻ đường thẳng song song với BD cắt EF G AE AH = AEH có HA / / DM = ED DM BF BM CF CG = = = CF CG BF BM Mặt khác: NAH = NCG ( g.c.g ) = AH = CG AE CF = = AE.BF = ED.CF Từ (1), (2) (3) ta có: ED BF CGF có CG / / BM = (1) (2) (3) DM = BM Bài 22: Cho tam giác ABC, AD đường trung tuyến, M điểm nằm đoạn AD, gọi E giao điểm BM AC, F giao điểm CM AB, CMR: EF //BC HD: Lấy N tia đối tia DM cho MD= ND  BM / / NC => Tứ giác BMCN hình bình hành =>   BN MC AF AM = ABN có FM / / BN = (1) AB AN AE AM = ANC có ME / / NC = (2) AC AN Từ (1) (2) => AF AE = => EF / /BC AB AC A E F M B C D N GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 23: Cho tứ giác ABCD, gọi M, N trung điểm CD CB, O giao điểm AM OA OD = 4, = , CMR: ABCD hình bình hành DN, biết OM ON B A N K O HD: D Vẽ đường thẳng qua O //AD cắt DC H Vẽ đường thẳng qua M // BC cắt DN K Vì M trung điểm DC nên K trung điểm DN OM MH DH = = = = MAD có OH / / AD = AM MD DM Vì C H M (1) OA OA OA + OM AM OM = = + = = = = = = OM OM OM OM AM Tương tự ta có: DNC có KM / / NC , mà OD OD DO = = = = = ON DN DK (2) Từ (1) (2) => OH / / KM = AD / / BC Chứng minh tương tự=> AB//DC=> ABCD hình bình hành Bài 24: Cho tứ giác ABCD, có E, F trung điểm cạnh AD, BC, đường thẳng EF cắt đường thẳng AB, CD M N, CMR: MA.NC = MB.ND HD: Từ A kẻ đường thẳng song song BC cắt ME G Từ D kẻ đường thẳng song song BC cắt EF H MB MF BF = = => MAG có BF / / AG = MA MG AG F NC FC = (1) ND HD Ta lại có: AEG = DEH ( g.c.g ) = HD = AG Thay vào (1) ta được: NHD có FC / / HD = 10 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 51: Cho tam giác ABC (AB KD BD tương tự ta có:  ABC có EF // AB FE CE AB FE FE = = = = => AB CA AC CE BD Từ (1) (2) => đpcm A (1) D (2) E B N C K Bài 52: Cho  ABC nhọn, AD đường cao, H điểm đoạn AD, Gọi E giao điểm BH AC, F giao điểm CH AB, CMR: DA tia phân giác EDF C Qua H vẽ đường thẳng // BC cắt AB M, Cắt DF N, DE I, AC K => NI //BC, AD ⊥ BC => DH ⊥ NI Xét  FDC,  FBC,  EBC,  EBD,  ABD,  ADC,  ABC ta có : NH FH NH MH HI EH HK EH MH FH = = = = = , , , , DC FC DC BC BD EB BC EB BC FC MH AH HI HK = = , , BD BC BD AD = MK AH HK AH = = , DC AD BC AD MH HK MK NH HK MH MH HI HK = = = = BD DC BC CD BC BD BC BD DC = NH = HI = NDI có HD vừa đường cao vừa đường trung tuyến nên=>  NDI cân Vậy DH tia phân giác 24 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 53 : Cho  ABC có AD đường trung tuyến, Trọng tậm điểm G, đường thẳng qua G cắt BE CF + =1 cạnh AB, AC điểm E, F, CMR : AE AF HD : A Kẻ BM// EF, CN//EF Khi ta có : F BE GN CF GN BE CF GM + GN = ; = = + = AE AG AF AG AE AF AG G E GD + DN + GD − MD 2GD AG = = = =1 AG AG AG M B C D N Bài 54 : Cho hình thang ABCD, đáy lớn CD O giao điểm hai đường chéo, đường thẳng qua B //AD cắt AC E, đường thẳng qua C //AD cắt BD F, CMR : a, OA2 = OC.OE b, OD = OB.OF HD : OA B = (1) OC OD OE OB BE / / AD = = (2) OA OD OA OE = = OA2 = OE.OC Từ (1), (2) => OC OA OD OA = b, AD / / FC = (3) OF OC OB OD = = OD = OB.OF OD OF a, Ta có : AB//CD => F B A O D E C 25 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 55 : Cho  ABC, Lấy E BC cho EC=2.BE, Lấy điểm F AB cho AF=2BF a, CMR : EF//AC EF = AC IE IF = = b, Gọi I giao điểm AE CF, CMR: AE CF c, Thay điều kiện EC=2BE AF=2.BF điều kiện AE, CF thứ tự hai tia phân giác góc A C  ABC  ABC cần có điều kiện để EF //BC HD: EB FB = = = EF / / AC , Do đó: EC FA EF BE 1 = = = EF = AC AC BC 3 IE IF EF IE IF = = = = = = b, Vì EF / / AC = IA IC AC AE CF EC FA = c, EF / / AC Khi (1) EB FB EC AC = Mà AE tia phân giác góc A = (2) EB AB FA AC = CF tia phân giác góc C = (3) FB BC AC AC = = AB = BC =>  ABC cân B Từ (1), (2) (3)=> AB BC a, Ta có: A F B I C E Bài 56 : Cho  ABC, kẻ tia phân giác AD, tia đối tia BA, lấy điểm E cho BE=BD tia đối tia CA, lấy điểm F cho CF=CD a, CMR : EF //BC b, CMR : ED tia phân giác góc BEF , FD tia phân giác góc CFE HD : A BD AB = a, Vì AD tia phân giác góc A nên: DC AC Theo gt ta lại có: BD=BE, DC= CF BE AB BE CF = = = = EF / / BC => CF AC AB AC b, BDE cân => E1 = D1 , C B mà D1 = E2 ( sole ) = E1 = E2 ED tia phân giác góc BEF E D F Chứng minh tương tự cho FD tia phân giác góc CFE 26 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 57 : Cho  ABC vuông A, kẻ đường cao AH, Gọi D E theo thứ tự điểm đối xứng với H qua AB AC a, CMR : Tứ giác BCED hình thang  DE  b, CMR: BD.CE =     c, Cho AB =3cm, AC= 4cm, Tính DE Diện tích  DHE HD: E a, Dễ dàng chứng minh điểm D, A, E thẳng hàng BD ⊥ DE , CE ⊥ DE = BD EC Vậy BCED hình thang A DB AE = = AD AE = DB.CE b, ADB CEA = AD CE A trung điểm DE D  DE  nên AD = AE = DE = DB.CE =     C c, Theo định lý Pi ta go : B H 2 2 BC = AB + AC = + = 25 = BC = 1 = S ABC = AB AC = BC AH 2 AB AC = AH = = 2, Vì DE=2.AH=> DE=4,8 BC S DE 4,8  4,8   ABC  HDE = = = HDE =   , Mà S ABC = 3.4 = = S HDE BC S ABC   Bài 58: Cho HCN ABCD, Trên tia đối tia AD lấy điểm F cho AF =AB, Trên tia đối tia AB lấy điểm E cho AE=AD, Gọi N giao điểm FC với AB M giao điểm EC AD CMR: MD=BN HD: ta có: F NB BC = CD DF NB CD DC.BC = = = NB = BC DF AB + AD MD DC MDC CBE = = CB BE DC.BC = MD = AB + AD Từ (1) (2) => NB= MD NBC CDF = (1) E A N B (2) M D C 27 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 59: Cho  ABC vuông A, đường cao AH, I trung điểm AC, F hình chiếu I BC, Trên nửa mặt phẳng bờ đường thẳng chứa AC vẽ tia Cx vng góc AC cắt IF E, Gọi giao điểm AH, AE với BI theo thứ tự G, K, CMR: a,  IHE  BHA b,  BHI  AHE B c, AE vng góc với BI HD: E a, Chứng minh IHE BHA   HI = IC = AC Ta có:  =>IF trung trực HC  IF ⊥ HC H G E  IF = EC = EH = IHE = ICE ( c.c.c ) K = IHE = ICE = 90 (1) ta lại có : BHA = ACH ( Cùng phụ góc A ) F => BAH = IEH (2) Từ (1) (2) => IHE BHA ( g.g ) b, Từ câu a, IHE BHA = A IH EH IH BH = = = BH AH EH AH Mà IHE = BHA = 900 = IHE + AHI = BHA + AHI = AHE = BHI => BHI c, Vì BHI C I AHE ( c.g.c ) AHE = IBH = EAH = GBH = GAK GBH = GAK (cmt ) = AKG = BHG = 900 => AK ⊥ GK K => AE ⊥ BI Xét AKG, BHG có   AGK = BGH (cmt ) Bài 60 : Cho HCN ABCD (AB NF đường trung bình => NF / / ED Mà DE ⊥ AC = NF ⊥ AC =>  NFC vng có I trung tuyến 1 A => NI = CF = MD = MND vuông N 2 => MN ⊥ ND AN ND = = AN CP = ND.PD c, AND DPC ( g.g ) = DP CP d, ABCD hình vng  NMD vng cân N M C E I N P D F 28 GV: Ngô Thế Hồng_THCS Hợp Đức e, Diện tích ABCD 4cm Bài 61 : Cho hình vng ABCD có cạnh a, Gọi I trung điểm AB, Trên tia đối tia CD đặt điểm M cho CM=a, Trên tia đối tia CB đặt điểm N cho CN =2a, tia đối tia DC đặt điểm P cho DP =2a, tia đối tia AD đặt Q cho AQ=3a, Gọi E,F, R trung điểm PN, QM, PQ, Gọi S giao điểm QM PN a, CMR : AID DPQ b,  MPQ tam giác ? Tứ giác MNPQ tứ giác ? Q c, CMR : điểm E, D, I, F thẳng hàng d, CMR: I trung điểm NQ e, CMR: đường thẳng SR, QN, CD đồng quy R F A I HD: a, AID DPQ ( c.g.c ) b, MPQ cân Q ( QD vừa đường cao, vừa đường trung tuyến) => Tứ giác MNPQ hình thang c, AID DPQ = ADI = DQP = DI / / PQ (1) EF đường trung bình hình thang MNPQ => EF//PQ (2) DF đường trung bình  MPQ => DF// PQ (3) Từ (1), (2) (3) => E, D, I, F thẳng hàng d, Do AQ =BN AQ // BN Nên AQBN hình bình hành, B P M D O C E N S => AB QN cắt trung điểm đường mà I trung điểm AB => I trung điểm QN e, Theo cmt ta có: MNPQ hình thang, Gọi O giao điểm MP NQ Ta lại có NP giao MQ S => S, O, R thẳng hàng => SR, Qn, CD đồng quy O Bài 62: Cho HBH ABCD, đường thẳng d quay quanh A, cắt BC, CD E F, CMR: tích BE.DF khơng đổi ABE có IF / / BE = I A HD: Từ F vẽ đường thẳng song song với AD cắt AB I B AI IF = AB BE = AI BE = AB.IF = DF.BE = AB AD ( không đổi) D F C E 29 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 63: Cho  ABC (AB , AB AC  BE = FC Mà   AB = CD CF CE CF CD = = = = = DF / / AE DC AC CE CA M D B N E C F => ADFE hình thang có MN đường trung bình => CMN = A1 = BAC Bài 64 : Cho Tứ giác ABCD, O giao điểm AC BD, CMR : S ABC OB = S ACD OD HD : B  BH ⊥ AC = BH / / DK Vẽ  DK ⊥ AC  ta có : S ABC BH AC BH = = (1) S ACD DK AC DK Mặt khác OBH ODK ( g.g ) = K A O H BH OB = DK OD C (2) Từ (1) (2) => đpcm D Bài 65 : Cho hình thang ABCD (AB//CD), Có AB=a, CD= b, M, N cạnh AD BC cho MA a + m.b = M , cmr : MN = MN//CD MD m +1 HD : Qua M vẽ đường thẳng song song với BC cắt AB, CD N I Khi MNCI hình bình hành => DI= b - MN A B Tương tự : NA = MN - a a N Xét  MDI có DI / / AN MA AN MN − a N = = = M = M MD DI b − MN = mb − m.MN = MN − a = MN + m.MN = mb + a a + mb = MN = đpcm m +1 D I C b 30 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 66 : Cho  ABC nhọn, đường cao AD, BE cắt H, đường thẳng vng góc với AB A cắt BE K, CMR : EAK ECH A HD : Vì AD cắt BE H=> H trực tâm K => CH ⊥ AB = CH / / AK A1 = C1 = EAK E ECH ( g.g ) H B C D Bài 67: Chứng minh  ABC vuông đường phân giác BD CE cắt I thỏa mãn: BI CI = BD CE A HD: Nối AI=> AI tia phân giác góc A ABD có AI tia phân giác D BI AB BI AB BI = = = = => (1) E ID AD ID + BI AB + AD BD AD AB AD AB I = = = Mặt khác : DC BC AD + DC AB + BC AB AC AD AB B = = = AD = AC AB + BC AB + BC Thay vào (1) ta : BI AB AB + BC = = BD AB + AB AC AB + BC + CA AB + BC CI BI CI AC + BC = = Tương tự : Với gt CE AB + BC + CA BD CE C => ( AB + BC )( AC + BC ) = ( AB + BC + CA) = AB + AC = BC 2 Vậy  ABC vuông A Bài 68 : Cho hình thoi ABCD có A = 600 , P điểm thuộc cạnh AB, N giao điểm hai đường thẳng AD CP a, CMR : AB = BP.DN D b, Gọi M giao điểm Bn DP, Tính BMD = ? c, CMR : PA.PB = PD.PM HD : a, Ta có PBC CDN = CD.BC = BP.DN Do AB =BC=CD=> AB = BP.DN b, Ta chứng minh BMD = 600 PA PM = c, PAD PMB = PD PB = PA.PB = PD.PM đpcm A C P N ? M B 31 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức Bài 69: Cho  ABC nhọn có AB=AC, hai đường cao AD BE cắt H, CH cắt DE I a) CMR :  HIE  DIC IH FH = b) Đường thẳng qua E song song với BC cắt CH F, CMR : F  AB IC FC Bài 70: Cho hình chữ nhật ABCD có tâm O, AB=6cm, BC=8cm, Kẻ AE vng góc với BD, Tia AE cắt BC F a) Tính BD, AE, BE, BF diện tích  BÈ b) CMR: CD.AB=BE.BD=BF.BC c) Kẻ EH vng góc với AB, EK vng góc với AD, CMR: AE=HK AH.AB=AK.AD d) Tia KH cắt DB T, CM AC vng góc với HK TH.TK=TD.TB HD: a) Xét  ADB  BAF có : DAB = ABF = 900 ADB = BAF ADB + ABD = 900 , BAF + FAD = BAD = 900 =>  ADB AD AB = = = = BF = 4,5cm BA BF BF  BAF (g.g) => Xét  ABD vuông A: BD = AB2 + AD2 = 62 + 82 = 10cm Xét  ABF vuông B: có BE ⊥ AF 1 1 1 = = + = = 2+ = BE = 3,6cm 2 2 BE AB BF BE 4,52 Chứng minh tương tự: ABE AFB => AB AE BE AE 3,6 = = = = = = AE = 4,8cm, AF = 7,5cm AF AB FB AF 4,5 1 Và SBEF = BE EF = 3,6 ( AF − AE ) = 3,6 ( 7,5 − 4,8) = 4,86cm 2 b)  ABD vng A có AE vng góc với BD E=> AB = BE BD = AB.CD = BE BD Vì ( AB=CD) Có: BF.BC=4,5.8=36=AB2 =>AB.CD=BF.BC=BE.BD( đpcm) c) Ta có: HAK = AKE = AHE = 900 (1) Mà: AKE + KEH + EHA + HAK = 360 => KEH = 900 Từ (1) (2) => AHEK hình chữ nhật=> AE=HK Xét  AKH vng vag  HEA vng có: AK=HE AH cạnh chung (2) =>  AKH=  HEA (Hai cạnh góc vng)=> AKH = AEH Vì EH ⊥ AB, BC ⊥ AB=>EH // BC=> AEH = AFB Mà AFB = ABD ( Cùng phụ BDC ) => AKH = ABD Xét  HAK  BAD có: Góc A chung AKH = ABD =>  HAK  DAB (g.g)=> d) Ta có: AKH = ABD ( cmt ) AH AK = = AH AB = AD AK (đpcm) AD AB (3) Xét  BDA vng  CAD vng có: AD cạnh chung 32 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức AB=DC =>  BDA=  CAD => ABD = ACD (4) Từ (3) (4) ta được: AKH = ACD Mà CAD + ACD = 900 = AKH + CAD = 900 Gọi M giao điểm HK AC  AMK có: AKH + CAD = 900 = AMK = 900 = AC ⊥ HK Ta có: THB = AHK ( đối đỉnh) AHK = ADB ( HAK = ADB ) => THB = ADB hay THB = KDT Xét  THB  TDK có: Góc T chung THB = KDT = THB TDK ( g.g ) => TH TB = = TH TK = TD.TB ( đpcm) TD TK Bài 71: Cho  ABC nhọn có đường cao AD< BE, CF cắt H a) CMR:  BDH  BEC suy BH.BE+CH.CF=BC2 b) Chứng minh H cách ba cạnh cảu  DEF HD HE HF + + c) Tính tổng: AD BE CF d) Trên đoạn thẳng HB, HC lấy điểm M, N tùy ý cho HM= CN CMR đường trung trực MN qua điểm cố định Bài 72: Cho  ABC có ba góc nhọn, đường cao BD, CE cắt H a) CMR:  ABD  ACE đồng dạng b) CMR: BH.HD=CH.HE c) Nối D với E, Biết BC=a, AB=AC=b, Tính DE theo a b HD: a) Xét  ABD  ACE Có A góc chung ABD = AEC = 900 = ABD ACE (g.g) b) Xét  BHE  CHD có : BHE = CHD (đối đỉnh) BEH = CDH = 900 HB HE = = BH HD = CH HE CH HD DE AD AD.BC = = DE = c) Khi AB=AC=b,  ABC cân A => DE / / BC = BC AC AC Gọi giao điểm AH BC F a DC BC BC.FC a2 = AF ⊥ BC , FB = FC = , = DBC FAC = = = DC = = FC AC AC 2b  a  b − a  a 2b − a 2b  AD.BC ( AC − DC ) BC  = DE = = = = AC AC b 2b = BHE CDH (g.g) = ( ) Bài 73: Từ ba đỉnh A, B, C  ABC ta vẽ ba đường thẳng song song với nhau, Chúng cắt BC đường thẳng CA, AB D, E, F, CHứng minh rằng: 33 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức 1 = + AD BE CF b) SDEF = 2.SABC a) HD: a) Theo hệ định lí ta let ta có: AD CD AD BD = ; = , Cộng vế ta được: BE CE CF CB AD AD CD BD + = + = , chi hai vế cho AD ta được: BE CF CB CB 1 = + AD BE CF b) Từ AD//BE//CF, lập luận chứng minh được: SADE = SADB , SADF = SADC , SAEF = SACB Suy SADE + SADF + SAEF = SADB + SADC + SACB = SDEF = 2.SABC Bài 74: Cho  ABC vuông cân A, CM đường trung tuyến (M nằm AB), Từ A vẽ đường thẳng BH vng góc với MC cắt BC H, Tỉnh tỉ số HC HD: Giả sử: AH cắt MC I Gọi trung điểm BH K MK//AH Dễ thấy ba tam giác vuông  AMC,  IAC,  IMA đồng dạng mà AC=2 AM Nên IC=2 IA=4 IM HK IM BH 2.HK HB = = = = = = = Suy ra: HC IC HC HC HC Bài 75: Cho hình thang (AD//BC) Một điểm M di động đường chéo AC, Chứng minh : MB.AC  MC.AB + MA.BC HD: Kẻ Cx // AB cắt tia BM P => AB.MC = MA.CP Ta có: MC AB + MA.BC = MA.CP + MA.BC = MA (CP + BC )  MA.BP Ta lại có: MB.AC = BP.AM , Vậy MB.AC  MC.AB + MA.BC Bài 76: Cho  ABC đều, Gọi M trung điểm cảu BC, Dựng góc xMy = 600 , quay quanh điểm M cho hai cạnh Mx, My cắt cạnh AB AC D E, CMR: BC a) BD.CE = y b) DM, EM tia phân giác góc: BDE, CED x c) Chu vi  ADE không đổi HD: A a) Trong  BDM, ta có: D1 = 1200 − M1 E Vì M2 = 60 = M3 = 120 − M1 => D1 = M3 0 Ta chứng minh được:  BMD  CEM đồng dạng BD CM = = = BD.CE = BM CM (1) BM CE D 1 B M C 34 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức BC BC = BD.CE = BD MD BD MD = = b) Từ (1) suy ra: , Mà BM=CM nên ta có: CM EM BM EM Vì BM = CM = Ta chứng minh được: BMD MED => D1 = D2 đó: DM phân giác BDE Chứng minh tương tự ta có: EM phân giác góc CED b) Gọi H, I, K hình chiếu M AB, DE, AC, Chứng minh DH=DI, EI=EK Tính chu vi  ADE AH khơng đổi Bài 77: Cho hình thang ABCD có AB//CD AB OC OD CD OC + OD IA IB AB IA + IB = =  IAB  IDC => = ID IC CD IC + ID OA + OB IA + IB = = OC + OD IC + ID OA AB OA AM = = = b) BAC = ACD =>  OAM  OCN OC CD OC NC a)  AEB  KED (g.g) = = AOM = CON => M, O, N thảng hàng IA B IA M = = = I góc chung =>  IAM ID CD IC DN  IDN=> I, M, N thẳng hàng = AMI = DNI , Vậy I, M, O, N thẳng hàng c) Vì S SAOB S OB B 1 1 = SAOB = SABD = = = AOB = = = = AOB = OD CD SAOD SAOD + SAOB + SABD Lại có: SABD AB SABD S 1 1 = = = = = ABD = = SABD = SABCD = S AOB = S ABD 16 SBDC CD SBDC + SABD + SABCD 4 35 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức SIAB SIAB S 1 = = = = ABD = = SIAB = SABCD SICD SICD − SIAB − SABCD 8 1 3a SIAOC = SIAB + S AOB = S ABCD + S ABCD = S ABCD = 16 16 16 Bài 79: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn đường chéo BD, Gọi E, F hình chiếu B D xuống đường thẳng AC, Gọi H K hình chiếu C xuống AB AD a) Tứ giác BEDF hình gì? b) CMR: CH.CD = CB.CK c) Chứng minh rằng: AB AH + AD AK = AC HD: a) Ta có: BE ⊥ AC, DF ⊥ AC = BE / / DF Dễ thấy  BEO=  DFO (g.c.g) => BE=DF Suy BEDF hình hình hành b) Ta có: ABC = ADC = HBC = KDC =>  CBH  CDK (g.g) CH CK = = = CH CD = CK CB CB CD c) Chứng minh:  AFD  AKC (g.g) AF AK = = = AD AK = AF AC AD AC Lại có:  CFD  AHC (g.g) CF AH CF AH = = = = AB AH = CF AC , Mà CD = AB = CD AC AB AC = AB.AH + AB.AH = CF.AC + AF.AC = (CF + AF ) AC = AC Bài 80: Cho  ABC có BAC = 1200 , Các phân giác AD, BE, CF 1 = + a) CHứng minh rằng: AD AB AC b) Tính FDE HD: a) Từ B kẻ BK//AC, cắt AD K, ta có:  ABK đều, dó đó: = AB AD = AC ( AB − AD ) = 1 = + AD AB AC b) Áp dụng tính chất đường phân giác: ta có: BD = Từ câu a = AD = AB DB DK AB − AD = = = AC DC DA AD BC AB AB + AC , AB AC DA CA EA = = = , Nên DE phân giác BDA AB + AC DB CB EB Chứng minh tương tự DF phân giác ADC , từ suy : BDA = 900 Bài 81: Cho  ABC, cạnh AB AC lấy điểm M N cho: AM AN = , = , Gọi D AB AC giao điểm Bn Cm, E giao điểm MN BC EB a) Tính EC b) Tính tỉ số diện tích tứ giác AMDN  ABC HD: 36 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức a) Kẻ CK //AB cắt ME K CK CK EC EB = = = = = = =4 Chứng minh AM BM EB EC b) Chứng minh được: SAMC = SABC = SAMN = SABC Từ M kẻ MF// AC cắt BN F MD MF MD MF = = = = = , Từ suy ra: = Ta chứng minh được: DC AN MC CN 4 S Ta có: SMDN = SMNC = S ABC = 7 63 ABC 2 = SAMDN = S ABC + S ABC = S ABC 63 Bài 82: Cho hình thoi ABCD, Có BAD = 1200 , Gọi M điểm nằm cạnh AB, Hia đường thẳng DM BC cắt N, CM căt AN E, chứng minh rằng: a)  AMD  CDN đồng dạng AC = AM CN b)  AME  CMB đồng dạng HD: a) Xét  AMD  CDN có: AMD = CDN ( so le trong) ADM = CND (so le trong) =>  AMD  CDN (g.g) = AM.CN = AD.CD , Vì BAD = 1200 = CAD = 600 = ACD đều=> AD = CD = AC = AM CN = AC b) Vì AM CN = AC = AM AC = AC CN Chứng minh MAC = ACn = 600 = MAC CAN = ACM = CNA Mà ACM + ECN = 600 = CNA + ECN = 600 = AEC = 600 Xét  AME  CMB có: AME = BMC ( đối đỉnh) AEM = MBC = 600 = AME CMB(g.g) Bài 83: Cho  ABC vuông A, đường cao AH, Cho biết AB=15cm AC =20cm a) Chứng minh rằng: AB.BC = AB.AC , Tính BC AH b) Kẻ HM ⊥ AB, HN ⊥ AC , Chứng minh  AMN  ACB đồng dạng c) Trung tuyến AK  ABC cắt MN I, Tính diện tích  AMI HD: AB AH = = AH BC = AB AC  CBH = a) Ta có:  ABH BC AC AB AC = 12cm Từ ta có : AH = BC b) Chứng minh  ACB  HCA,  HCA  NHA  NHA=  AMN=>  AMN  ACB c) Ta có : N1 = B (  AKC cân K) Và A1 = C , mà B + C = 900 = N1 + A1 = 900  ACB (cmt) =>  AIN vuông cân I,  NHA NH AH AC AH = = = NH = = 9,6cm AC BC BC 37 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức = AM = NH = 9,6cm Và  IMA = SAMI =  AMN=>  IMA  ACB => 1 192 144 13824 AI IM = = 2 25 25 625 AM IM AI 9,6 192 144 = = = = IM = , AI = BC AC AB 25 15 25 38 GV: Ngơ Thế Hồng_THCS Hợp Đức ... AG AG MA ND MA Bài 25: Cho tam giác ABC đều, gọi M, N điểm AB, BC cho BM =BN, gọi G trọng tâm tam giác BMN, I trung điểm AN, P trung điểm MN a/ CMR:  GPI  GNCđồng dạng A b/ CMR: IC vng góc với... QM PN a, CMR : AID DPQ b,  MPQ tam giác ? Tứ giác MNPQ tứ giác ? Q c, CMR : điểm E, D, I, F thẳng hàng d, CMR: I trung điểm NQ e, CMR: đường thẳng SR, QN, CD đồng quy R F A I HD: a, AID DPQ... 63 Bài 82 : Cho hình thoi ABCD, Có BAD = 1200 , Gọi M điểm nằm cạnh AB, Hia đường thẳng DM BC cắt N, CM căt AN E, chứng minh rằng: a)  AMD  CDN đồng dạng AC = AM CN b)  AME  CMB đồng dạng HD: