CHUYÊN ĐỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG

daykemtainha.info CÁC BÀI TOÁN VỀ TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A Kiến thức: * Tam giác đồng dạng: a) trường hợp thứ nhất: (c.c.c)  ABC A’B’C’ � AB AC BC = = A'B' A'C' B'C' b) trường hợp thứ nhất: (c.g.c)  ABC A’B’C’ � AB AC � = A' � = ; A A'B' A'C' c Trường hợp đồng dạng thứ ba (g.g)  ABC � = A' �; B � = B' � A’B’C’ � A AH; A’H’laø hai đường cao tương ứng thì: SA'B'C' dạng); SABC =K A'H' = k (Tỉ số đồng AH B Bài tập áp dụng Bài 1: �=2C � , AB = cm, BC = 10 cm Cho  ABC coù B a)Tính AC b)Nếu ba cạnh tam giác ba số tự A nhiên liên tiếp cạnh bao nhiêu? Giải Cách 1: B E Trên tia đối tia BA lấy điểm E cho:BD = BC  ACD  ABC (g.g) � AC AD  AB AC � AC2  AB AD =AB.(AB + BD) = AB(AB + BC) = 8(10 + 8) = 144 � AC = 12 cm Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 C D daykemtainha.info Caùch 2: � �  ABE Vẽ tia phân giác BE ABC  ACB AB AE BE AE + BE AC =    � AC2 = AB(AB + CB) = 8(8 + 10) = 144 AC AB CB AB + CB AB + CB � AC = 12 cm b) Goïi AC = b, AB = a, BC = c từ câu a ta có b = a(a + c) (1) Vì b > anên b = a + hoaëc b = a + + Nếu b = a + (a + 1)2 = a2 + ac � 2a + = ac � a(c – 2) = � a = 1; b = 2; c = 3(loại) + Nếu b = a + a(c – 4) = - Với a = c = (loại) A - Với a = c = (loại) - với a = c = ; b = Vaäy a = 4; b = 5; c = Bài 2: D Cho  ABC cân A, đường phân giác BD; tính BD biết BC = cm; AC = 20 cm B Giaûi Ta có CD BC � CD = cm BC = cm =  AD AC Baøi toán trở Bài 3: Cho  ABC cân A O trung điểm BC Một điểm O di động AB, lấy điểm E AC cho CE = Chứng minh a)  DBO  OCE Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 OB2 BD C daykemtainha.info b)  DOE  DBO  OCE c) DO, EO phân giác góc BDE, CED d) khoảng cách từ O đến đoạn ED không đổi D di động AB Giải a) Từ CE = A CE OB OB �=C � (gt) �  DBO  � = vaø B OB BD BD OCE E �3 = E � (1) b) Từ câu a suy O � + DOE �  EOC �  1800 (2) Vì B, O ,C thẳng hàng nên O �  EOC �  1800 (3) tam giaùc EOC E� + C 12 I D H B O � B �C � Từ (1), (2), (3) suy DOE  DOE vaø  DBO có DO OE = (Do  DBO  OCE) DB OC DO OE � B �C � = (Do OC = OB) DOE DB OB nên  DOE  DBO  OCE �1 = D � � DO phân giác góc c) Từ câu b suy D BDE Củng từ câu b suy E�1 = E� EO phân giác góc CED c) Gọi OH, OI khoảng cách từ O đến DE, CE OH = OI, mà O cố đònh nên OH không đổi � OI không đổi D di động AB Bài 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) Cho  ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E � � thuộc AB, AC cho DME =B a) Chứng minh tích BD CE không đổi � b)Chứng minh DM tia phân giác BDE Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 C daykemtainha.info c) Tính chu vi  AED  ABC tam giác Giải A � � � =B � + BDM � , maø DME � � (gt) a) Ta coù DMC = DME + CME =B � = BDM � , kết hợp với B �=C � (  ABC cân nên CME taïi A) suy  BDM E  CME (g.g) I BD BM � = � BD CE = BM CM = a không đổi CM CE b)  BDM  CME � D DM BD DM BD = � = ME CM ME BM (do BM = CM) �  DME H K B � �  DBM (c.g.c) � MDE = BMD M C � hay DM tia phân giác BDE � c) chứng minh tương tự ta có EM tia phân giác DEC keû MH  CE ,MI  DE, MK  DB MH = MI = MK �  DKM =  DIM � DK =DI �  EIM =  EHM � EI = EH Chu vi  AED laø PAED = AD + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)  ABC tam giác nên suy CH =  CME củng tam giác MC a  2 � AH = 1,5a � PAED = AH = 1,5 a = 3a Baøi 5: F Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh BC, vẽ đường thẳng song song K A với AM, cắt AB, AC E F E a) chứng minh DE + DF không đổi D di động treân BC B Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 D M C daykemtainha.info b) Qua A vẽ đường thẳng song song với BC, cắt FE K Chứng minh K trung điểm FE Giải a) DE // AM � DF // AM � DE BD BD = � DE = AM (1) AM BM BM DF CD CD CD = � DF = AM = AM (2) AM CM CM BM Từ (1) (2) suy DE + DF = CD � BC BD CD �BD + AM = AM = 2AM khoâng AM + AM = � � BM � BM BM BM �BM ñoåi b) AK // BC suy  FKA  AMC (g.g) � FK KA = (3) AM CM EK KA EK KA EK KA EK KA EK KA = � = � = �  �  (2) ED BD ED + EK BD + KA KD BD + DM AM BM AM CM (Vì CM = BM) Từ (1) vaø (2) suy FK EK � FK = EK hay K trung điểm  AM AM FE Bài 6: (Đề HSG huyện Thạch hà năm 2003 – 2004) � = 600 , đường thẳng bất Cho hình thoi ABCD cạnh a có A kỳ qua C cắt tia đối tia BA, DA M, N a) Chứng minh tích BM DN có giá trò không đổi b) Gọi K giao điểm BN DM Tính số đo góc BKD Giaûi a) BC // AN � CD// AM � M MB CM = (1) BA CN CM AD = (2) CN DN Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 B A K D C N daykemtainha.info Từ (1) vaø (2) suy MB AD = � MB.DN = BA.AD = a.a = a BA DN � � b)  MBD  BDN có MBD = 1200 = BDN MB MB CM AD BD � = 600 nên AB = =  =  (Do ABCD hình thoi có A BD BA CN DN DN BC = CD = DA) �  MBD  BDN �1 = B �1  MBD  BKD có BDM �1 = B �1 neân � � Suy M vaø M = BDK � = MBD � BKD = 1200 Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đường chéo lớn AC,tia Dx cắt SC, AB, BC I, M, N Vẽ CE vuông góc với AB, CF vuông góc với AD, BG vuông góc F với AC Gọi K điểm đối xứng với D qua I Chứng minh a) IM IN = ID D C I G KM DM = b) KN DN c) AB AE + AD AF = AC2 A M B K E Giải a) Từ AD // CM � Từ CD // AN � IM CI = (1) ID AI CI ID  (2) AI IN Từ (1) (2) suy b) Ta có IM ID = hay ID2 = IM IN ID IN DM CM DM CM DM CM = � = � = (3) MN MB MN + DM MB + CM DN CB Từ ID = IK vaø ID2 = IM IN suy IK2 = IM IN � IK IN IK - IM IN - IK KM KN KM IM KM IM CM CM � = � = � = � = =   IM IK IM IK IM IK KN IK KN ID AD CB (4) Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 N daykemtainha.info Từ (3) (4) suy c) Ta coù  AGB KM DM = KN DN  AEC � AE AC = � AB.AE = AC.AG � AB AE = AG(AG AG AB + CG) (5)  CGB  AFC � AF CG CG =  (vì CB = AD) AC CB AD � AF AD = AC CG � AF AD = (AG + CG) CG (6) Cộng (5) (6) vế theo vế ta có: AB AE + AF AD = (AG + CG) AG + (AG + CG) CG � AB AE + AF AD = AG2 +2.AG.CG + CG2 = (AG + CG)2 = AC2 Vaäy: AB AE + AD AF = AC2 Bài tập nhà Bài Cho Hình bình hành ABCD, đường thẳng cắt AB, AD, AC E, F, G Chứng minh: AB AD AC + = AE AF AG HD: Keû DM // FE, BN // FE (M, N thuộc AC) Bài 2: Qua đỉnh C hình bình hành ABCD, kẻ đường thẳng cắt BD, AB, AD E, G, F chứng minh: a) DE2 = FE BE2 EG b) CE2 = FE GE (Gợi ý: Xét tam giác DFE vaø BCE, DEC vaø BEG) Baøi Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh raèng Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 daykemtainha.info a) BH CM AD 1 HC MA BD b) BH = AC Trung tâm gia sư NTIC tel: 0905.540.067 ... + DE + EA = AK +AH = 2AH (Vì AH = AK)  ABC tam giác nên suy CH =  CME củng tam giác MC a  2 � AH = 1,5a � PAED = AH = 1,5 a = 3a Bài 5: F Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Qua điểm D thuộc cạnh... minh: a) DE2 = FE BE2 EG b) CE2 = FE GE (Gợi ý: Xét tam giác DFE BCE, DEC BEG) Bài Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH, trung tuyến BM, phân giác CD cắt điểm Chứng minh Trung tâm gia sư NTIC... 4: (Đề HSG huyện Lộc hà – năm 2007 – 2008) Cho  ABC cân A, có BC = 2a, M trung điểm BC, lấy D, E � � thuộc AB, AC cho DME =B a) Chứng minh tích BD CE không đổi � b)Chứng minh DM tia phân giác