Chuyên đề tam giác đồng dạng

www.VNMATH.com Chuyên đề: Phơng pháp tam giác đồng dạng giải toán hình học phẳng Cấu trúc chuyên đề Phần I Kiến thức -1 Đinh lý Talet tam giác Nếu đờng thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh lại định cạnh đoạn thẳng tơng ứng tỷ lệ MN // BC A AM AN = AB AC AM AN = MB NC M B N C Khái niệm tam giác đồng dạng Tam giác ABC gọi đồng dạng với tam giác ABC nếu: + àA ' = àA ; Bà ' = Bà ; Cà ' = Cà A ' B ' B 'C ' A 'C ' = = AB BC AC Các trờng hợp đồng dạng tam giác: a) Trờng hợp thứ (ccc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác tam giác đồng dạng b) Trờng hợp thứ 2(cgc): Nếu cạnh tam giác tỷ lệ với cạnh tam giác góc tạo tạo cặp cạnh hai tam giác đồng dạng c) Trờng hợp thứ 3(gg): Nếu góc tam giác lần lợt góc tam giác hai tam giác đồng dạng d) Các trờng hợp đồng dạng tam giác vuông + Tam giác vuông có góc nhọn góc nhọn tam giác vuông hai tam giác đồng dạng + Tam giác vuông có hai cạnh góc vuông tỷ lẹ với hai cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng + Nếu cạnh huyền cạnh tam giác vuông tỷ lệ với cạnh huyền cạnh góc vuông tam giác vuông hai tam giác đồng dạng www.VNMATH.com Phần II Các dạng toán cụ thể -Dạng 1: Tính độ dài đoạn thẳng, tỷ số , diện tích Tính độ dài đoạn thẳng - Loại 1: + Ví dụ minh họa: Bài 36 79 SGK (có hình vẽ sẵn) A 12,5 B ABCD h.thang (AB // CD) AB = 12,5cm; CD = 28,5cm ã ã = DBC DBA x =? GT x KL D C Giải ã ã ABD BDC có : DAB = DBC (gt) à1 = D ( so le AB // CD) B ABD P BDC (g.g) x AB BD 12,5 = hay = 28,5 BD DC x x = 12,5 28,5 x = 12,5 28,5 18,9(cm) Bài 35 72 SBT: ABC; AB = 12cm; AC = 15cm BC = 18dm; AM = 10cm; AN = 8cm MN = ? A 10 M B GT KL N C Giải Xét ABC ANM ta có : AM 10 = = AC 15 AN 18 = = AB 12 AM AN = AC AB Mặt khác, có àA chung Vậy ABC P ANM (c.g.c) www.VNMATH.com Từ ta có : AB BC 12 18 8.18 = = hay = 12(cm) AN NM 18 MN 12 Bài tập 3: a) Tam giác ABC có Bà = Cà ; AB = 4cm; BC = 5cm Tính độ dài AC? b) Tính độ dài cạnh ABC có Bà = Cà biết số đo cạnh số tự nhiên liên tiếp A Giải a) Trên tia đối tia BA lấy BD = BC = B ACD ABC có àA chung; Cà = D ACD P ABC (g.g) D AC AD = AC2 = AB AD AB AC C = = 36 AC = 6(cm) b) Gọi số đo cạnh BC, AC, AB lần lợt a, b, c Theo câu (a) ta có AC2 = AB AD = AB(AB+BC) b2 = c(c+a) = c2 + ac (1) Ta có b > c (đối diện với góc lớn hơn) nên có khả là: b = c + b= c + * Nếu b = c + từ (1) (c + 1)2 = c2 + ac 2c + = ac c(a-2) = (loại) c= ; a = 3; b = không cạnh tam giác * Nếu b = c + từ (1) (c + 2)2 = c2 + ac 4c + = ac c(a 4) = Xét c = 1, 2, có c = 4; a = 5; = thỏa mãn toán Vậy AB = 4cm; BC = 5cm; AC = 6cm Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho ABC vuông A, có AB = 24cm; AC = 18cm; đờng trung trực BC cắt BC , BA, CA lần lợt M, E, D Tính độ dài đoạn BC, BE, CD + Bài 2: Hình thoi BEDF nội tiếp ABC (E AB; D AC; F AC) a) Tính cạnh hình thoi biết AB = 4cm; BC = 6cm Tổng quát với BC = a, BC = c b) Chứng minh BD < 2ac với AB = c; BC = a a+c c) Tính độ dài AB, BC biết AD = m; DC = n Cạnh hình thoi d Loại 2: Tính góc Ví dụ minh họa: www.VNMATH.com + Bài 1: Cho ABH vuông H có AB = 20cm; BH = 12cm Trên tia đối HB lấy điểm C cho AC = ã AH Tính BAC A = 900 ; AB = 20cm ABH; H 20 GT BH = 12cm; AC = ã =? BAC KL B 12 H C AH Giải: AB 20 AC = = = BH 12 AH AB BH = AC AH Ta có Xét ABH CAH có : ã ãAHB = CHA = 900 AB BH = (chứng minh trên) AC AH ã ABH P CAH (CH cạnh gv) CAH = ãABH ã ã ã Lại có BAH + ãABH = 900 nên BAH + CAH = 900 Do : BAC = 900 Bài 2: Cho hình thoi ABCD cạnh a, có A = 60 Một đờng thẳng qua C cắt tia đối tia BA, DA tơng ứng M, N Gọi K giao điểm BN DM Tính BKD? M Hình thoi ABCD; àA = 600 ; B GT BN DM K ã KL Tính BKD =? K C A D Giải: N MB MC = (1) AB NC MC AD = Do CD // AM (vì M AB) nên ta có : (2) NC DN MB AD = Từ (1) (2) AB DN ABD có AB = AD (đ/n hình thoi) àA = 600 nên Do BC // AN (vì N AD) nên ta có : AB = BD = DA www.VNMATH.com MB AD MB BD = = (cm trên) AB DN BD DN ã ã Mặt khác : MBD = DBN = 1200 MB BD ã ã = Xét 2MBD BDN có : ; MBD = DBN BD DN Từ MBD P BDN (c.g.c) ả = B M 1 ả = B ; ã ã ã MBD KBD có M = MBD = 1200 BDM chung BKD 1 ã Vậy BKD = 1200 Bài tập đề nghị: ABC có AB: AC : CB = 2: 3: chu vi 54cm; DEF có DE = 3cm; DF = 4,5cm; EF = 6cm a) Chứng minh AEF P ABC b) Biết A = 1050; D = 450 Tính góc lại Loại 3: Tính tỷ số đoạn thẳng, tỷ số chu vi, tỷ số diện tích Ví dụ minh họa: ã + Bài 1: Cho ABC, D điểm cạnh AC cho BDC = ãABC Biết AD = 7cm; DC = 9cm Tính tỷ số BD BA GT ã ABC; D AC : BDC = ãABC ; AD = 7cm; DC = 9cm KL Tính B BD BA C B A Giải: ã CAB CDB có C chung ; ãABC = BDC (gt) CAB P CDB (g.g) CB CA = ta có : CD CB CB2 = CA.CD Theo gt CD = 9cm; DA = 7cm nên CA = CD + DA = + = 16 (cm) Do CB2 = 9.16 = 144 CB = 12(cm) Mặt khác lại có : DB = BA + Bài 2: (Bài 29 74SGK) A A 6 B 12 C B 12 ABC Giải: a) ABC P ABC (c.c.c) ABC ABC: AB =6 ; AC = 9; AC = 6; BC = a) ABC P ABC b) Tính tỉ số chu vi ABC GT KL C www.VNMATH.com Vì A' B ' A' C ' B ' C ' = = = AB AC BC A' B ' A' C ' B ' C ' A' B '+ A' C '+ B ' C ' = = = AB AC BC AB + AC + BC + + 18 = = + + 12 27 Chuvi A' B ' C ' 18 = Vậy ChuviABC 27 b) ABC P A+B+C+ (câu a) + Bài 3: Cho hình vuông ABCD, gọi E F theo thứ tự trung điểm Ab, SCMB BC, CE cắt DF M Tính tỷ số S ? ABCD D C GT M F Hình vuông ABCD; AE = EB ; BF = CF; CE DF M KL SCMB Tính S ? ABCD A E B Giải: Xét DCF CBE có DC = BC (gt); Cà = Bà = 900; BE = CF à 1= C DCF = CBE (c.g.c) D = 1v CMD vuông M Mà Cà + Cà = 1v Cà + D DC CM 2; C = M 1= C ả ) = CMD P FCD (vì D FD FC SCMD CD CD = S = SFCD CMD S FCD FD FD 1 1 Mà SFCD = CF.CD = BC.CD = CD2 2 4 1 CD CD Vậy SCMD = CD2 = (*) FD FD áp dụng định lý pitago vào tam giác vuông DFC, ta có: DF2 = CD2 + CF2 = CD2 + ( BC)2 = CD2 + CD2 = CD2 4 CD2 ta có : 1 SCMD = CD2 = SABCD 5 SCMB S = ABCD Thay DF2 = Bài tập đề nghị: Cho ABC, D trung điểm BC, M trung điểm AD a) BM cắt AC P, P điểm đối xứng củ P qua M Chứng minh PA = PD Tính tỷ số PA AP PC AC b) Chứng minh AB cắt Q, chứng minh PQ // BC Tính tỷ số PQ PM BC MB www.VNMATH.com c) Chứng minh diện tích tam giác BAM, BMD, CAM, CMD Tính tỷ số diện tích MAP ABC Loại 4: Tính chu vi hình + Bài 1(bài 33 72 SBT) ABC; O nằm ABC; GT P, Q, R trung điểm OA, OB, OC KL a) PQR P ABC b) Tính chu vi PQR Biết chu vi ABC 543cm Giải: a) PQ, QR RP lần lợt đờng trung bình OAB , ACB OCA Do ta có : 1 AB; QR = BC ; RP = CA 2 PQ QR RP = = = Từ ta có : AB BC CA PQ = A PQR P ABC (c.c.c) với tỷ số đồng dạng K = P b) Gọi P chu vi PQR ta có : P chu vi PQR ta có : O Q P' 1 =K= P = P = 543 = 271,5(cm) P 2 R B C Vậy chu vi PQR = 271,5(cm) + Bài 2: Cho ABC, D điểm cạnh AB, E điểm cạnh AC cho DE // BC Xác định vị trí điểm D cho chu vi ABE = chu vi ABC Tính chu vi tam giác đó, biết tổng chu vi = 63cm ABC; DE//BC; C.viADE= C.vi ABC A D E GT C.vi ADE + C.viADE = 63cm KL Tính C.vi ABC C.vi ADE B C Giải: Do DE // BC nên ADE PABC theo tỷ số đồng dạng K= AD = Ta có AB www.VNMATH.com Chuvi ADE ' Chuvi ABC ChuviADE ChuviABC + ChuviADE 63 = = = = =9 ChuviABC 5 %+2 Do đó: Chu vi ABC = 5.9 = 45 (cm) Chu vi ADE = 2.9 = 18 (cm) Bài tập đề nghị: + Bài 1: ABC P ABC theo tỷ số đồng dạng K = Tính chu vi tam giác, biết hiệu chu vi tamgiasc 51dm + Bài 2: Tính chu vi ABC vuông A biết đờng cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành tam giác có chu vi 18cm 24cm Tính diện tích hình Loại 5: + Bài 1(Bài 10 63 SGK): A B H C ABC; đờng cao AH, d// BC, d cắt AB, AC, AH GT theo thứ tự B, C, H KL a) AH ' B ' C ' = AH BC b) Biết AH = B H Giải: C AH; SABC = 67,5cm2 Tính SABC AH ' B ' H ' H ' C ' B ' H '+ H ' C ' B' C ' = = = = (đpcm) AH BH HC BH + HC BC S AB 'C ' AH ' B ' C ' AH ' AH '.B ' C ' S AB 'C ' = b) Từ ( ) = = 2S = S AH BC AH AH BC ABC ABC AH ' AH ' 2 Mà AH = AH = ( ) =( ) = AH AH S AB 'C ' Vậy S = SABC = 67,5cm2 ABC S AB 'C ' S AB 'C ' 1 Nên ta có : S = 67,5 = 9 ABC a) Vì d // BC SABC = 67,5 = 7,5(cm2) + Bài 2(bài 50 75 SBT) ABC( àA = 900); AH BC GT BM = CM; BH = 4cm; CH = 9cm KL Tính SAMH Giải: A Xét vuông HBA vuông HAC có : ã ã + HAC = 1v (1) BAH ã ã + HAC = 1v (2) HCA www.VNMATH.com ã ã Từ (1) (2) BAH = HCA Vậy HBA P HAC (g.g) HB HA = HA HC B H M HA2 = HB.HC = 4.9 = 36 C HA = 6cm Lại có BC = BH + HC = 4cm + 9cm = 13cm 1 6.13 SABC = = 19,5(cm2) 2 SAHM = SBAH = 19,5 - 4.6 = 7,5(cm2) SABM = Vậy SAMH = 7,5(cm2) + Bài 3: Cho ABC hình bình hành AEDF có E AB; D BC, F AC Tính diện tích hình bình hành biết : SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2; ABC hình bình hành AEDF GT SEBD = 3cm2; SFDC = 12cm2 KL Tính SAEDF Giải: (đồng vị DF // AB) (1) Xét EBD FDC có Bà = D E1 = D2 ( so le AB // DF) 1= F (2) E D2 = E1 ( so le DE // AC) Từ (1) (2) EBD P FDC (g.g) Mà SEBD : SFDC = : 12 = : = ( )2 Do : EB ED 1 = = FD = 2EB ED = FC FD FC 2 A AE = DF = 2BE ( AE = DF) F AF = ED = EC ( AF = ED) E Vậy SADE = 2SBED = 2.3 = 6(cm2) SADF = 1 SFDC = 12 = 6(cm2) 2 B D C SAEDF = SADE + SADF = + = 12(cm2) Bài tập đề nghị: + Bài 1:Cho hình vuông ABCD có độ dài = 2cm Gọi E, F theo thứ tự trung điểm AD, DC Gọi I, H theo thứ tự giao điểm AF với BE, BD Tính diện tích tứ giác EIHD +Bài 2: Cho tứ giác ABCD có diện tích 36cm 2, diện tích ABC 11cm2 Qua B kẻ đờng thẳng // với AC cắt AD M, cắt CD N Tính diện tích MND + Bài 3: Cho ABC có B C nhọn, BC = a, đờng cao AH = h Xét hình chữ nhật MNPQ nội tiếp tam giác có M AB; N AC; PQ BC a) Tính diện tích hình chữ nhật hình vuông b) Tính chu vi hình chữ nhật a = h www.VNMATH.com c) Hình chữ nhật MNPQ có vị trí diện tích có giá trị lớn Dạng II: Chứng minh hệ thức, đẳng thức nhờ tam giác đồng dạng I Các ví dụ định hớng giải: Ví dụ 1: Bài 29(SGK T79) (H8 Tập 2) Cho hình thang ABCD(AB // CD) Gọi O giao điểm 2đờng chéo AC BD a) Chứng minh rằng: OA OD = OB OC b) Đờng thẳng qua O vuông góc với AB CD theo thứ tự H K CMR: OA AB = OK CD * Tìm hiểu toán : Cho gì? Chứng minh gì? * Xác định dạng toán: ? Để chứng minh hệ thức ta cần chứng minh điều gì? TL: OA OB = OC OD ? Để có đoạn thẳng ta vận dụng kiến thức TL: Chứng minh tam giác đồng dạng a) OA OD = OB.OC Sơ đồ : + àA = Cà (SLT l AB // CD) ã + ãAOB = COD ( Đối đỉnh) A OAB P OCD (g.g) H B O OA OB = OC OD D OA.OD = OC.OC OH AB = OK CD OH Tỷ số tỷ số nào? OK OH OA TL : = OK OC OH AB ? Vậy để chứng minh = ta cần chứng minh điều OK CD AB OA TL: = CD OC b) 10 K C www.VNMATH.com Sơ đồ : = K = 900 +H + àA = Cà 1.(SLT; AB // CD) OAH P OCK(gg) Câu a OAB P OCD OH OA = OK OC AB OA = CD OC OH OK = AB CD Ví dụ 2: Cho hai tam gíac vuông ABC ABD có đỉnh góc vuông C D nằm nửa mặt phẳng bờ AB Gọi P giao điểm cạnh AC BD Đ ờng thẳng qua P vuông góc với AB I CMR : AB2 = AC AP + BP.PD O C P A I B Định hớng: - Cho HS nhận xét đoạn thẳng AB (AB = AI + IB) AB2 = ? (AB.(AI + IB) = AB AI + AB IB) - Việc chứng minh toán đa việc chứng minh hệ thức AB.AI = AC.AP AB.IB = BP.PD - HS xác định kiến thức vận dụng để chứng minh hệ thức ( P) = I$ = 900 Sơ đồ : + D + Cà = I$ = 900 ã ã + PBI chung + PAI chung ADB P PIB ACB P AIP (gg) AB PB = DB IB AB AP AB.AI = PB.DB = AC AI AB AI = AC AP AB IB + AB AI = BP PD + AC AP AB (IB + IA) = BP PD + AC AP 11 www.VNMATH.com AB2 = BP PD + AC AP Ví dụ 3: Trên sở ví dụ đa toán sau: Cho nhọn ABC, đờng cao BD CE cắt H A CMR: BC2 = BH BD + CH.CE D Định hớng: Trên sở tập E Học sinh đa hớng giải tập H Vẽ hình phụ (kẻ KH BC; K BC) Sử dụng P chứng minh tơng tự ví dụ B C Ví dụ 4: Cho ABC, I giao điểm đờng phân giác, đờng thẳng vuông góc với CI I cắt AC BC lần lợt M N Chứng minh a) AM BI = AI IM A b) BN IA = BI NI M AM c) BN AI = ữ BI I * Định hớng: a) ? Để chứng minh hệ thức AM BI = AI AM B N C IM = IM ta cần chứng minh điều ữ BI AI b) Để chứng minh đẳng thức ta cần chứng minh điều ( AMI P AIB) Sơ đồ: àA1 = àA2 (gt) à1 * CM: I$ = Bà I$ = B C ã v MIC: IMC = 900 AMI P AIB (gg) ABC: IM BI = + Bà + Cà = 1800(t/c tổng ) àA à B C + + = 900 2 àA B ã Do đó: IMC = + (1) 2 ã Mặt khác: IMC = àA1 + Ià1 (t/c góc ) AM AI àA àA ã hay IMC = + Ià1 (2) AM BI = AI IM Từ 91) (2) AMI P AIB ( A1 = ảA2 ; AM AI = IM BI ) Ià1 = B AM BI = AI IM 12 B = Ià = Ià1 hay B 1 www.VNMATH.com b) Tơng tự ý a Chứng minh BNI P BIA (gg) BN BI = NI IA BN IA = BI IN c) (Câu a) AI AI - HS nhận xét ữ = BI IA (Câu b) AMI P AIB BNI P BIA Tính AI2 ; BI2 AM AI AI BI (Tính AI2 ; BI2 nhờ P) AI2 = IM BI BI BN = AB BI = AM AB BI2 = BN AB AM AI = BN BI AM AI ữ = BN BI II Bài tập đề nghị: + Bài 1: Cho hình ABCD (AB // CD), gọi O giao điểm đờng chéo Qua O kẻ đờng thẳng song song với đáy cắt BC I cắt AD J CMR : = OI b) = IJ a) AB AB CD + CD + + Bài 2: Cho ABC, phân giác AD (AB < AC) tia đối tia DA lấy điểm I ã cho ãACI = BDA CMR: a) AD DI = BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC Dạng 3: Chứng minh quan hệ song song I Mục tiêu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, trờng hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta lét đảo, để giải toán chứng minh quan hệ song song - Thông bao tập khắc sâu kiến thức tam giác đồng dạng, định lý Ta lét đảo 13 www.VNMATH.com - Rèn kỹ t duy, suy luận lô gic, sáng tạo giải tập II Kiến thức áp dụng - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trờng hợp đồng dạng tam giác - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song * Ví dụ minh họa: + Ví dụ 1: Cho hình thang ABCD (AB // CD) Gọi M trung điểm CD, E giao điểm MA BD; F giao điểm MB AC Chứng minh EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA DB = { E} KL MB AC = { F } EF // AB D M C Định hớng giải: - Sử dụng trờng hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt) AB // DM AB // MC MED P AEB GT MFC P BFA ME EA = MD ; AB MF FB MD = MC = MC AB ME EA = MF FB EF // AB (Định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 2: Cho ABC có góc nhọn, kẻ BE, CF hai đờng cao Kẻ EM, FN hai đờng cao AEF Chứng minh MN // BC 14 www.VNMATH.com Sơ đồ phân tích AMF P AFC (g.g); AFN P ABE AM AF = AE AC AF AB = AN AE A AM AF AF AB M = AE AE AC AC N F E AM AB AN AC = B C MN // BC (định lý Ta lét đảo) + Ví dụ 3: Cho ABC, điểm D, E, F theo thứ tự chia cạnh AB, BC, CA theo tỷ số : 2, điểm I, K theo thứ tự chia đoạn thẳng ED, FE theo tỉ số : Chứng minh IK // BC Gọi M trung điểm AF Gọi N giao điểm DM EF A Xét ADM ABC có : AD AB = AM AC = D N M F Góc A chung I ADM P ABC (c.gc) B E ãADM = ãABC mà góc vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN K C EK EK EF 1 = = = (1) EN EF EN 3 EI mà = (gt) (2) ED EK EI Từ 91) (2) = Suy IK // DN (định lý Ta lét đảo) EN ED Ta có : Vậy IK // BC * Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng qua A song song với BC cắt BD Đờng thẳng qua B song song với AD cắt AC G Chứng mi9nh EG // DC 15 www.VNMATH.com Dạng : Chứng minh tam giác đồng dạng I Các ví dụ định hớng giải: + Ví dụ: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm F Trên AB lấy điểm D cho AD = 3,2cm, AC lấy điểm E cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB F B a) CMR : ABC P AED D b) FBD P FEC 3,6 c) Tính ED ; FB? Bài toán cho gì? C Dạng toán gì? Để chứng minh đồng dạng có phơng pháp nào? Bài sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy? Sơ đồ chứng minh: a) GT àA chung E 2,4 A AB AC = =2 AE AD ABC P AED (c.g.c) ABC P AED (câu a) b) ả ả = D ả = D ; D C 1 ả = D C chung F FBD P FEC (g.g) c) Từ câu a, b hớng dẫn học sinh thay vào tỷ số đồng dạng để tính ED FB + Ví dụ 2: Cho ABC cân A; BC = 2a; M trung điểm BC Lấy ã điểm D E AB; AC cho DME = Bà A a) CMR : BDM P CME b) MDE P DBM c) BD CE không đổi E ? Để chứng minh BDM P CME ta cần chứng minh điều D ? Từ gt nghĩ đến P theo trờng hợp (g.g) ? Gt cho yếu tố góc ( Bà = Cà ) ả = M ả ) ? Cần chứng minh thêm yếu tố ( D 16 B M C www.VNMATH.com a) Hớng dẫn sơ đồ gt ả ; = M B ABC cân à = C ; B góc DBM ả + M ả ; DMC ả + B ã ã =M = D DMC 1 ả = M ả D BDM P CME (gg) Câu a gt DM ME b) = BD ; CM = BM BM DM ME = = M ả (gt) ; B 1 BD BM DM ME = BD BM DME P DBM (c.g.c) c) Từ câu a : BDM P CME (gg) BD BM = BD CE = Cm BM CM CE BC Mà CM = BM = =a a2 BD CE = (không đổi) Lu ý: Gắn tích BD CB độ dài không đổi Bài cho BC = 2a không đổi Nên phải hớng cho học sinh tính tích BD CE theo a A + Ví dụ 3: Cho ABC có trung điểm BC, CA, AB theo thứ tự D, E, F Trên cạnh BC lấy điểm M N E cho BM = MN = NC Gọi P F giao điểm AM BE; Q P Q giao điểm CF AN CMR: a) F, P, D thẳng hàng; D, Q, E thẳng hàng B C N M D b) ABC P DQP * Hớng dẫn a) Giáo viên hớng dẫn học sinh chứng minh điểm thẳng hàng có nhiều phơng pháp Bài chọn phơng pháp nào? - Lu ý cho học sinh cho trung điểm nghĩ tới đờng trung bình 17 www.VNMATH.com Từ nghĩ đến chọn phơng pháp: CM cho đờng thẳng PD FP // AC PD đờng trung bình BEC PD // AC F, P, D thẳng hàng FP đờng trng bình ABE FP // AC Tơng tự cho điểm D, Q, E 1 AC AC EC = = 2 AC = = ữ ã ã (Đơn vị EF // AB) BAC = DEC 4QD ã ã DEC = EDP (so le PD // AC) = = ữ QD b) PD = AC PD AB QD AC AB = DP QD ; ã ã BAC = EDP ABC P DQP (c.g.c) Dạng chứng minh tam giác đồng dạng II Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho ABC, AD phân giác àA ; AB < AC Trên tia đối DA lấy ã điểm I cho ãACI = BDA Chứng minh a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC + Bài 2: Cho ABC; H, G, O lần lợt trực tâm, trọng tâm, giao điểm đờng trung trực Gọi E, D theo thứ tự trung điểm AB AC Chứng minh : a) OED P HCB b) GOD P GBH c) Ba điểm O, G, H thẳng hàng GH = 2OG + Bài 3: Cho ABC có Ab = 18cm, AC = 24cm, BC = 30cm Gọi M trung điểm BC Qua M kẻ đờng vuông góc với BC cắt AC, AB lần lợt D, E a) CMR : ABC P MDC b) Tính cạnh MDC c) Tính độ dài BE, EC + Bài 4: Cho ABC; O trung điểm cạnh BC ả Góc xoy = 600; cạnh ox cắt AB M; oy cắt AC N a) Chứng minh: OBM P NCO b) Chứng minh : OBM P NOM ã ã c) Chứng minh : MO NO phân giác BMN CNM d) Chứng minh : BM CN = OB Dạng 5: Chứng minh đoạn thẳng nhau, góc 18 www.VNMATH.com Ví dụ 1: Bài 20 T 68 SGK Cho hình thang ABCD (AB// CD) Hai đờng chéo AC BD cắt O Đờng thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F Chứng minh : OE = Oì B A E F C D Định hớng Sơ đồ giải H:Bài cho đờng thẳng EF // AB (và CD) TL: Các tam giác đồng dạng đoạn thẳng tỷ lệ H: EO đoạn hình vẽ thờng lập đợc tỷ số? EO TL: DC OE = OF OE DC = OF DC OE AO OF BO AO BO = ; = ; = DC AC DC BD AC BD H: Vậy OF đoạn nào? (gợi ý) AEC P ADC BOF AOB P P BDC COD EF // DC AB // CD gt H: Vậy để chứng minh đoạn thẳng (OE = OF) ta đa chứng minh điều gì? OF TL: DC TL : EO DC = OF (1) DC H: OE; DC cạnh tam giác nào? (AEO; ADC, tam giác đồng dạng cha? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tơng tự cho OF , DC EO OF = DC DC EO AO OF BO TL: = ; = DC AC DC BD H: lập tỷ số H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: AO BO = AC BD H: Đây tỷ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB; COD 19 www.VNMATH.com H: Hãy chứng minh điều Ví dụ 2: Bào 10 T67 SGK: Cho hình thang ABCD (AB // CD) đờng thẳng song song với đáy Ab cắt cạnh bên đờng chéo AD, BD, AC BC theo thứ tự điểm M, N, P, Q CMR: MN = PQ Định hớng giải: Đây tập mở rộng so với ví dụ Từ hệ định lý Talet cho ta tam giác đồng dạng ta chứng minh đợc: MN DM = AB DA E PQ AB DM DA B A O M N P chứng minh Q C D CQ CB CQ = (kéo dài AD cắt BC E CB = MN CQ = MN = PQ DA CB Ví dụ 3: Bài 32 T77 SGK ả 1800), đặt đoạn thẳng OA = 5cm, OB = Trên cạnh góc xoy ( xoy 16cm Trên cạnh thứ góc đó, đặt đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB OAD đồng dạng b) Gọi giao điểm cạnh AB BC I, CMR: Hai tam giác IAB IBC có góc đôi x B A O I 10 C D y OC OA = OB OD OBC P ODA Góc O chung c) IAB ICD ta dễ nhìn thấy không Do để chứng minh chúng có góc đôi ta chứng minh đồng dạng ã ã Vì OBC P ODA nên OBC = ODA (1) ã Mặt khác ta có ãAIB = CID (đối đỉnh) BAI P DCI (g.g) ã ã BAI = DCI Ví dụ 4: Bài 36 T72 SGK Hình thang ABCD (AB // CD) có AB = 4cm, CD = 16cm BD = 8cm 20 www.VNMATH.com ã ã Chứng minh : Ta xét chứng minh BAD = DBC Xét BAD DBC có AB // CD : ãABD = BDC ã (so le ) AB = = BD BD = = DC 16 AB BD = ( ) BD DC A B C D BAD P DBC (c.g.c) ã ã BAD = DBC Ví dụ 4: Bài 60 T77 SBT Tam giác ABC có hai trung tuyến AK CL cắt O Từ điểm P cạnh AC, vẽ đờng thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự M, N Chứng minh đoạn thẳng FM, MN, NE Định hớng giải: B Từ giả thiết cho song song ta suy tỷ lệ thức tam giác đồng dạng Ta có : L FM FQ = (1) K FE FP O M N E FQ FP AF = (cùng ) LO CL AL FQ LO LO A = = ) P = (2) ( ta có trung tuyến FP CL CL FM 1 Từ (1) (2) suy : = FM = FE FE 3 1 Tơng tự ta có EN = EF suy MN = EF 3 C Vậy FM = MN = NE Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng giải toán Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng nhau, góc phơng pháp thờng dùng : * Đa đoạn thẳng cần quy tử tỷ số có mẫu * Chứng minh đoạn thẳng độ dài * Đa góc cần chứng minh góc tơng ứng tam giác đồng dạng * Chứng minh tỷ số sau chứng minh tử suy đoạn thẳng mẫu Dạng : toán ứng dụng thực tế I Mục tiêu chung: 21 www.VNMATH.com - Học sinh biết vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng để xác định đợc chiều cao, khoảng cách mà không cần đo trực tiếp - Rèn kỹ nhận biết hình (đọc hình) kỹ vẽ hình, kỹ t óc tởng tợng III Các kiến thức áp dụng: - Các trờng hợp đồng dạng tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng * Ví dụ minh họa: M + Ví dụ 1: Để đo khoảng cách điểm A M, M không tới đợc, ngời ta tiến hành đo tính khoảng cách (nh hình vẽ) AB BM; BH AM Biết Ah = 15m; AB = 35m B H Giải : Xét AMB ABH có ; ãABM = ãAHB = 900 (gt) ; àA chung A AMB P ABH (gg) AM AB = AB AH AM = AB 352 = = 81,7(m) 5 Vậy khoảng cách điểm A M gần 81,7 mét + Ví dụ 2: Một đèn đặt cao vị trí A, hình chiếu vuông góc mặt đất H Ngời ta đặt cọc dài 1,6m, thẳng đứng vị trí B C thẳng hàng với H B Khi bóng cọc dài 0,4m 0,6m Biết BC = 1,4m Hãy tính độ cao AH b Giải D B Giải A C I H d C c E Gọi BD, CE bóng cọc B ; C tơng ứng đỉnh cao Đặt BB = CC = a ; BD = b ; CE = c ; BC = d ; Ah = x Gọi I giao điểm AH BC AI B 'C ' xa d = = AH DE a b+d +c (x a) (b + d + c) = x.d ab + ad + ac d = a(1+ ) b+c b+c 1, Thay số ta đợc AH = 1,6 (1 + ) = 3,84(m) 0, + 0, x= Vậy độ cao AH 3,84 mét Bài tập đề nghị: Một giếng nớc có đờng kính DE = 0,8m (nh hình vẽ) 22 A B C www.VNMATH.com Để xác định độ sâu BD giếng, ngời ta đặt gậy vị trí AC, A chạm miệng giếng, AC nhìn thẳng tới vị trí E góc đáy giếng Biết AB = 0,9m; BC = 0,2m Tính độ sâu BD giếng 23 D E [...]... nghĩa tam giác đồng dạng, các trờng hợp đồng dạng của tam giác, định lý Ta lét đảo, để giải quyết các bài toán về chứng minh quan hệ song song - Thông bao các bài tập khắc sâu các kiến thức về tam giác đồng dạng, định lý Ta lét đảo 13 www.VNMATH.com - Rèn kỹ năng t duy, suy luận lô gic, sáng tạo khi giải bài tập II Kiến thức áp dụng - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trờng hợp đồng dạng của tam giác. .. bằng nhau Dạng 6 : toán ứng dụng thực tế I Mục tiêu chung: 21 www.VNMATH.com - Học sinh biết vận dụng kiến thức về tam giác đồng dạng để xác định đợc các chiều cao, các khoảng cách mà không cần đo trực tiếp - Rèn kỹ năng nhận biết hình (đọc hình) kỹ năng vẽ hình, kỹ năng t duy và óc tởng tợng III Các kiến thức áp dụng: - Các trờng hợp đồng dạng của tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng * Ví... OF TL: DC TL : EO DC = OF (1) DC H: OE; DC là cạnh của những tam giác nào? (AEO; ADC, các tam giác này đã đồng dạng cha? Vì dao? H: Đặt câu hỏi tơng tự cho OF , DC EO OF = DC DC EO AO OF BO TL: = ; = DC AC DC BD H: lập tỷ số bằng H: Vậy để chứng minh (1) ta cần chứng minh điều gì? TL: AO BO = AC BD H: Đây là tỷ số có đợc từ cặp tam giác đồng dạng nào? TL: AOB; COD 19 www.VNMATH.com H: Hãy chứng minh... Chứng minh tam giác đồng dạng I Các ví dụ và định hớng giải: + Ví dụ: Cho ABC; AB = 4,8cn; AC = 6,4cm; BC = 3,6cm F Trên AB lấy điểm D sao cho AD = 3,2cm, trên AC lấy điểm E sao cho AE = 2,4cm, kéo dài ED cắt CB ở F B a) CMR : ABC P AED D b) FBD P FEC 3,6 c) Tính ED ; FB? Bài toán cho gì? C Dạng toán gì? Để chứng minh 2 đồng dạng có những phơng pháp nào? Bài này sử dụng trờng hợp đồng dạng thứ mấy?... ta các tam giác đồng dạng và ta chứng minh đợc: MN DM = AB DA E PQ AB DM DA B A O M N P rồi chứng minh Q C D CQ CB CQ = (kéo dài AD cắt BC tại E CB = MN CQ = MN = PQ DA CB Ví dụ 3: Bài 32 T77 SGK ả 1800), đặt các đoạn thẳng OA = 5cm, OB = Trên một cạnh của góc xoy ( xoy 16cm Trên cạnh thứ nhất của góc đó, đặt các đoạn thẳng OC = 8cm, OD = 10cm a) Chứng minh hai tam giác OCB và OAD đồng dạng b)... FM = MN = NE Tóm lại: Tam giác đồng dạng có nhiều ứng dụng trong giải toán Khi ứng dụng để chứng minh đoạn thẳng bằng nhau, góc bằng nhau thì các phơng pháp thờng dùng ở đây là : * Đa 2 đoạn thẳng cần quy bằng nhau về là tử của 2 tỷ số có cùng mẫu * Chứng minh các đoạn thẳng cùng bằng một độ dài nào đó * Đa 2 góc cần chứng minh bằng nhau về là 2 góc tơng ứng của 2 tam giác đồng dạng * Chứng minh 2 tỷ... BD; F là giao điểm của MB và AC Chứng minh rằng EF / / AB A B ABCD (AB // CD) DM = MC E F gt MA DB = { E} KL MB AC = { F } EF // AB D M C Định hớng giải: - Sử dụng trờng hợp đồng dạng của tam giác - Định nghĩa hai tam giác đồng dạng - Dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song (định lý Ta lét đảo) Sơ đồ phân tích: AB // CD (gt) AB // CD (gt) AB // DM AB // MC MED P AEB GT MFC P BFA ME EA = MD... ã ã (Đơn vị EF // AB) BAC = DEC 4QD ã ã DEC = EDP (so le trong PD // AC) = 4 = ữ QD b) PD = AC PD AB QD AC AB = DP QD ; ã ã BAC = EDP ABC P DQP (c.g.c) Dạng chứng minh tam giác đồng dạng II Bài tập đề nghị + Bài 1: Cho ABC, AD là phân giác àA ; AB < AC Trên tia đối của DA lấy ã điểm I sao cho ãACI = BDA Chứng minh rằng a) ADB P ACI; ADB P CDI b) AD2 = AB AC - BD DC + Bài 2: Cho ABC; H, G,... 60 T77 SBT Tam giác ABC có hai trung tuyến AK và CL cắt nhau tại O Từ một điểm P bất kỳ trên cạnh AC, vẽ các đờng thẳng PE song song với AK, PF song song với CL ( E thuộc BC, F thuộc AB) các trung tuyến Ak, CL cắt đoạn thẳng EF theo thứ tự tại M, N Chứng minh rằng các đoạn thẳng FM, MN, NE bằng nhau Định hớng giải: B Từ giả thiết cho song song ta suy ra các tỷ lệ thức và tam giác đồng dạng Ta có :... vị trí đồng vị nên DM // BC MN // EC mà MF = FC nên EF = FN K C EK EK EF 2 1 1 = = = (1) EN EF EN 3 2 3 EI 1 mà = (gt) (2) ED 3 EK EI Từ 91) và (2) = Suy ra IK // DN (định lý Ta lét đảo) EN ED Ta có : Vậy IK // BC * Bài tập đề nghị: Cho tứ giác ABCD, đờng thẳng đi qua A song song với BC cắt BD Đờng thẳng đi qua B và song song với AD cắt AC ở G Chứng mi9nh rằng EG // DC 15 www.VNMATH.com Dạng 4 ... thức tam giác đồng dạng, định lý Ta lét đảo 13 www.VNMATH.com - Rèn kỹ t duy, suy luận lô gic, sáng tạo giải tập II Kiến thức áp dụng - Định nghĩa tam giác đồng dạng - Các trờng hợp đồng dạng tam. .. BD DC b) AD2 = AB AC - BD DC Dạng 3: Chứng minh quan hệ song song I Mục tiêu chung : - Học sinh vận dụng định nghĩa tam giác đồng dạng, trờng hợp đồng dạng tam giác, định lý Ta lét đảo, để... ứng tam giác đồng dạng * Chứng minh tỷ số sau chứng minh tử suy đoạn thẳng mẫu Dạng : toán ứng dụng thực tế I Mục tiêu chung: 21 www.VNMATH.com - Học sinh biết vận dụng kiến thức tam giác đồng dạng