Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tam giác đồng dạng

Chương III TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG §1 ĐỊNH LÍ TA – LÉT TRONG TAM GIÁC A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đoạn thẳng tỉ lệ Hai đoạn thẳng AB CD gọi tỉ lệ với hai đoạn thẳng A′B′ C ′D′ có tỉ lệ thức AB CD AB A′B′ = = hay A′B′ C ′D′ CD C ′D′ Định lí Ta-lét tam giác Nếu đường thẳng song song với cạnh tam giác cắt hai cạnh cịn lại định hai cạnh đọan thẳng tương ứng tỉ lệ ∆ABC AD AE AD AE ⇒ = , =  AB AC DB EC  DE // BC B CÁC DẠNG TỐN Dạng TÍNH TỐN, CHỨNG MINH VỀ TỈ SỐ CỦA HAI ĐOẠN THẲNG VÀ ĐOẠN THẲNG TỈ LỆ Phương pháp giải Thường sử dụng tính chất tỉ lệ thức Ví dụ (Bài SGK) Cho biết độ dài AB gấp lần độ dài CD độ dài A′B′ gấp 12 lần độ dài CD Tính tỉ số hai đoạn thẳng AB A′B′ Giải AB 5CD = = A′B′ 12CD 12 Ví dụ (Bài 19 SGK) Cho hình thang ABCD ( AB //CD) Đường thẳng a song song với DC, cắt cạnh AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: a) AE BF = ; ED FC b) AE BF = ; AD BC c) DE CF = DA CB Giải a) Gọi I giao điểm a AC Ta có: Suy a // DC nên AE AI = ; ED IC a // AB nên AI BF = IC FC AE BF = ED FC AE AI BF b) Lần lượt chứng minh = = AD AC BC DE CI CF c) Lần lượt chứng minh = = DA CA CB Ví dụ (Bài SGK) Cho biết AB′ AC ′ = (H.6 SGK) Chứng minh rằng: AB AC a) AB′ AC ′ = ; B′B C ′C b) BB′ CC ′ = AB AC ′ Giải Áp dụng tính chất tỉ lệ thức: AB′ = AB AB′ = AB AC ′ AB′ AC ′ ⇒ = ⇒ AC AB − AB′ AC − AC ′ AC ′ AB − AB′ AC − AC ′ ⇒ = ⇒ AC AB AC AB′ AC ′ = B′B C ′C BB′ CC ′ = AB AC Dạng SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ, sử dụng tính chất tỉ lệ thức để tính tốn Ví dụ (Bài SGK) Tính x trường hợp sau (H.7 SGK); a) MN // BC b) PQ // EF Giải a) Xét ∆ABC có MN // BC , theo Định lí Ta-lét ta có: AM AN 4.3,5 = ⇒ = ⇒ x= = 2,8 MB NC x 3,5 b) Đáp số: x = 6,3 Dạng SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA-LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC Phương pháp giải Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ Biến đổi tỉ lệ thức nhận để đến điều phải chứng minh Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB // CD) Một đường thẳng song song với hai đáy, cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Chứng minh rằng: Giải Gọi K giao điểm AC EF Xét ∆ADC EK //DC ta có: AE AK = AD AC Xét ∆ABC KF //AB ta có: (1) AE CF + = AD BC CF CK = BC AC Từ (1) ( ) suy ( 2) AE CF AK CK AK + CK AC − = − = = = AD BC AC AC AC AC C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Gọi M điểm nằm đoạn thẳng AB cho Tính tỉ số AM MB AB AB (Dạng 1) Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB a) Biết AB = 20 cm, b) Biết MA = MB CA = Tính độ dài CA, CB CB AC m AC = Tính tỉ số AB n CB (Dạng 1).Cho đoạn thẳng CA tia BA cho = CB AB Điểm C thuộc đoạn thẳng AB , điểm D thuộc tia đối DA = Biết CD = cm, tính độ dài AB DB (Dạng 2) Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) Một đường thẳng song song với đáy, cắt cạnh bên AD BC theo thứ tự E F Tính FC , biết AE = cm, ED = cm, BF = cm (Dạng 2) Cho tam giác ABC Điểm D thuộc cạnh BC cho thuộc đoạn thẳng AD cho AE = ED Tiính tỉ số BD = Điểm E BC AK KC (Dạng 3) Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) , đường chéo cắt O Chứng minh OA.OD = OB.OC Dạng Cho tam giác ABC , điểm D thuộc cạnh BC Qua D kẻ đường thẳng song song với AC , AB, chúng cắt AB, AC theo thứ tự E F Chứng minh hệ thức: AE AF + = AB AD (Dạng 3) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D, E Qua C kẻ đường thẳng song song với EB, cắt AB F Chứng minh hệ thức: AB = AD AF (Dạng 3) Cho tam giác ABC ( AB < AC ) , đường phân giác AD Qua trung điểm M BC , kẻ đường thẳng song song với AD, cắt AC AB theo thứ tự E K Chứng minh rằng: a) AE = AK ; b) BK = CE BÀI ĐỊNH LÍ ĐẢO VÀ HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Hệ định lí Ta – lét Nếu đường thẳng cắt hai cạnh tam giác song song với cạnh lại tạo thành tam giác có ba cạnh tương ứng tỉ lệ với ba cạnh tam giác cho ∆ABC AD AE DE ⇒ = =  AB AC BC  DE //BC Chú ý: Hệ trường hợp đường thẳng a song song với cạnh tam giác cắt phần kéo dài hai cạnh lại Định lí Ta – lét đảo Nếu đường thẳng cắt hai cạnh cuuả tam giác định hai cạnh đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ đường thẳng song song với cạnh cịn lại tam giác AD AE = ⇒DE //BC DB EC B CÁC DẠNG TOÁN Dạng SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ TÍNH ĐỘ DÀI ĐOẠN THẲNG Phương pháp giải Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ Chú ý sử dụng tính chất tỉ lệ thức, ý sử dụng giải phương trình để tìm số chưa biết Ví dụ 1: (Bài SGK) Tính độ dài x, y hình 14 SGK Giải DM MN 9,5 8.37,5 a) MN //EF ⇒ = ⇒ = ⇒x= ≈ 31,58 DE EF 37,5 x 9,5 A′B′ OB′ OA′ = = == 0,5 b) A′B′//AB ⇒ AB OB OA 4, = 0,5 ta tính AB = 8, Từ AB OB =OA2 + AB =62 + 8, 42 =106,56 ⇒ OB ≈ 10,32 Ví dụ 2: (Bài SGK) a) Để chia đoạn thẳng AB thành ba đoạn nhau, người ta làm hình 15 SGK Hãy mô tả cách làm giải thích đoạn thẳng AC , CD, DB nhau? b) Bằng cách làm tương tự, chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn Hỏi có cách khác với cách làm mà chia đoạn thẳng AB cho trước thành đoạn thẳng nhau? Giải a) Kẻ đường thẳng a //AB Từ điểm P a, đặt liên tiếp đoạn thẳng PE = EF = FQ = (đơn vị dài) Vẽ đường thẳng PB, QA Các đường thẳng cắt O Vẽ đường thẳng FO, EO cắt AB C D tương ứng Áp dụng hệ Định lí Ta – lét, ta dễ dàng chứng minh được: PE EF FQ OP OQ = = ) (vì hay BD DC CA OB OA Theo cách dựng, PE = EF = FQ; từ = CD = DB suy AC b) Chia đoạn thẳng AB thành phần Cách Tương tự câu a) Cách - Kẻ thêm đường thẳng Ax đặt liên tiếp đoạn nhau: AC = CD = DE = EF = FG - Kẻ đường thẳng GB Từ C , D, E , F kẻ đường thẳng song song với GB, chúng cắt AB điểm tương ứng M , N , P, Q, ta được: AM = MN = NP = PQ = QB Dựa vào tính chất đường trung bình tam giác đường trung bình hình thang, ta dễ dàng chứng minh kết Ví dụ (Bài 10 SGK) Tam giác ABC có đường cao AH Đường thẳng d song song với BC , cắt cạnh AB, AC đường cao AH theo thứ tự điểm B′, C ′, H ′ (H 16 SGK) a) Chứng minh rằng: AH ′ B′C ′ = AH BC AH diện tích tam giác ABC 67,5cm Tính diện tích tam giác AB′C ′ Giải AH ′ AB′ B′C ′ a) = = AH AB BC AH ′ B′C ′ = = nên b) Ta có: AH BC 1 1 67,5 ′C ′ = 7,5 ( cm ) AH ′.B= AH = S= BC S= AB′C ′ ABC 2 3 9 Ví dụ (Bài 11 SGK) Tam giác ABC có BC = 15cm Trên đường cao AH lấy điểm = KI = IH I , K cho AK b) Áp dụng: Cho biết AH ′ = Qua I K vẽ đường EF //BC , MN //BC (H 17 SGK) a) Tính độ dài đoạn thẳng MN EF b) Tính diện tích tứ giác MNFE , biết diện tích tam giác ABC 270 cm Giải MN AM AK MN = = =⇒ =⇒ MN = 5cm BC AB AH 15 EF AE AI EF = = =⇒ = ⇒ EF = 10 cm BC AB AH 15 = 2.270 = :15 36 ( cm ) b) AH S= ABC : BC a) AH 36 = = 12 ( cm ) 3 + EF ) KI ( + 10 ) 12 ( MN = = S MNFE = 90 ( cm ) 2 KI = Dạng SỬ DỤNG HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐỂ CHỨNG MINH CÁC HỆ THỨC Phương pháp giải Xét đường thẳng song song với cạnh tam giác, lập đoạn thẳng tỉ lệ Chú ý so sánh tỉ số với tỉ số trung gian Ví dụ (Bài 20 SGK) Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) Hai đường chéo AC BD cắt O Đường thẳng a qua O song song với đáy hình thang cắt cạnh bên AD, BC theo thứ tự E F (H 26 SGK) Chứng minnh OE = OF Giải OE AO a //CD nên = ; (1) CD AC OF BO = ; CD BD AO BO AB //CD nên = AC BD a //CD nên ( 2) ( 3) OE OF = , OE = OF CD CD Cho điểm M thuộc đoạn thẳng AB Vẽ phía AB tam giác AMC , BMD Gọi E giao điểm AD MC , F giao điểm BC Từ (1) , ( ) , ( 3) suy Ví dụ MD a) Đặt= MA a= , MB b Tính ME , MF theo a b b) Tam giác MEF tam giác gì? Giải = MAC = 60° ⇒ MD//AC a) BMD ME MD b MD//AC ⇒ = = EC AC a ME b ⇒ = ME + EC b + a ME b ⇒ = a b+a ab ⇒ ME = b+a ba Tương tự: MF = a+b = 60° nên ∆MEF tam giác b) Từ câu a) suy ME = MF Ta lại có EMF Ví dụ Cho hình thang ABCD ( AB //CD ) , E trung điểm AB, O giao điểm AC BD, F giao điểm EO CD Chứng minh F trung điểm CD Giải AE OE EB = = CF OF FD Do AE = EB nên CF = FD Chú ý Từ tốn ta thấy: Trong hình thang, giao điểm hai đường chéo vvà trung điểm hai đáy ba điểm thẳng hàng Dạng SỬ DỤNG ĐỊNH LÍ TA – LÉT ĐẢO ĐỂ CHỨNG MINH HAI ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG Phương pháp giải Xét cặp đoạn thẳng tỉ lệ để chứng minh hai đường thẳng song song AB //CD ⇒ Ví dụ (Bài SGK) Tìm cặp đường thẳng song song hình 13 SGK giải thích vè chúng song song Giải CM CN 15 21 = = (vì 3) ⇒ MN //AB (Định lí Ta – lét đảo) MA NB AP AM ≠ Chú ý PM không song song với BC (vì ≠ ) PB MC 15 OA′ OB′ = (vì = ) ⇒ A′B′ //AB (Định lí Ta – lét đảo) b) A′A B′B 4,5 Ta cịn có A′′B′′ //A′B′ (vì hai góc so le nhau), AB //A′B′ a) Dạng PHỐI HỢP ĐỊNH LÍ TA-LÉT THUẬN VÀ ĐẢO Phương pháp giải Sử dụng định lí thuận để suy cặp đoạn thẳng tỉ lệ, từ cặp đoạn thẳng tỉ lệ suy đường thẳng song song; ngược lại Ví dụ Tam giác ABC, điểm O nằm tam giác Lấy điểm D OA, qua D kẻ đường thẳng song song với AB, cắt OB E Qua E kẻ đường thẳng song song với BC, cắt OC F Chứng minh DF song song với AC Giải A D E O B ∆OAB , DE //AB nên F C OD OE = (Định lí Ta-lét) OA OB a) Trong hình vẽ có cặp tam giác đồng dạng với ? (hãy rõ cặp tam dạng viết theo đỉnh tương ứng) Cho biết AB = 12, 45 cm , AC = 20, 50 cm Tính độ dài đoạn thẳng BC , AH , BH , CH b) Lời giải Có cặp tam giác đồng dạng: AHB CHA ; CHA CAB ; CAB AHB a) b) Ta có: BC = AB + AC =12, 452 + 20, 502 = 575, 2525 Suy ra: BC ≈ 23,98 ( cm ) = AH AB AC 12, 45.20,50 = ≈ 10, 64 ( cm ) BC 23,98 ∆AHB ∽ ∆CAB ⇒ AH BH 10,64.12, 45 = ⇒ BH = ≈ 6, 46 ( cm ) CA BA 20,50 CH = 23,98 − 6, 46 ≈ 17,52 ( cm ) Ví dụ (Bài 50 SGK) Bóng ống khói nhà máy mặt đát có độ dài 36, m Cùng thời điểm đó, sắt cao 2,1m cắm vng góc với mặt đất có bóng dài 1, 62 m Tính chiều cao ống khói (H.52 SGK) Lời giải B' 2,1 A' ∆ABC ∽ ∆A′B′C ′ ⇒ ⇒= AB AB AC = A′B′ A′C ′ 2,1.36,9 ≈ 47,8 ( m ) 1, 62 Ví dụ (Bài 51 SGK) 1,62 C' Chân đường cao AH tam giác vuông ABC chia thành cạnh huyền BC thành hai đoạn thẳng có độ dài 25cm 36 cm Tính chu vi diện tích tam giác vng (H.53 SGK) Lời giải A 25 B 36 C H Hình 53 SGK ∆AHB ∽ ∆CHA ⇒ AH BH = CH AH ⇒ AH = BH CH= 25.36 ⇒ AH =5.6 =30 ( cm ) = S ∆ABC BC AH 915 ( cm ) = Bằng định lí py ta-go, ta tính được: AB ≈ 39 cm , AC ≈ 47 cm Chu vi C∆ABC ≈ 147 cm Ví dụ (Bài 52 SGK) Cho tam giác vng, cạnh hun dài 20 cm cạnh góc vng dài 12 cm Tính độ dài hình chiếu cạnh góc vng cạnh huyền Lời giải A 12 x B C H 20 Hình 53 SGK Xét ∆ABC vng A , đường cao AH : AB = 12 cm , BC = 20 cm Cần tính CH Ta tính AC = 16 cm ∆ABC ∽ ∆HAC ⇒ ⇒ AC BC = HC AC 16 20 = HC 16 Từ HC = 12,8 cm DẠNG 2: TRƯỜNG HỢP ĐÒNG DẠNG CẠNH HUYỀN – CẠNH GĨC VNG Phương pháp giải Xét tỉ số cạnh huyền tỉ số cặp cạnh góc vng Ví dụ Cho điểm M nằm đoạn thẳng AB , MA = cm , MB = 24cm ; vẽ phía AB tia Ax , By vng góc với AB Lấy điểm C thuộc Ax , điểm D = 90° thuộc By cho MC = 10cm , MD = 30cm Chứng minh rằng: CMD Lời giải y D x C 30 10 A Ta tính BD = 18 cm M 24 B = 90° ; Xét ∆AMC ∆BDM : A= B CM AM  10  = =   MD BD  30 18  Do đó: ∆AMC ∽ ∆BDM (cạnh huyền – cạnh góc vng)  ⇒ AMC = BDM  phụ BMD  Ta lại có: BDM  CMD = 90° nên  AMC phụ BMD DẠNG TỈ SỐ HAI ĐƯỜNG CAO CỦA HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG Phương pháp giải Tỉ số hai đường cao tương ứng hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng Ví dụ Cho tam giác ABC , đường cao AH , BC = 15m , AH = 10 m Điểm K thuộc AH cho AK = 4m Qua K kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB AC theo thứ tự M , N a) Tính độ dài MN b) Kẻ MQ, NP vng góc với BC Chứng minh rằng: MNPQ hình vng Lời giải A N M K B a) ∆AMN ∽ ∆ABC ⇒ ⇒ MN = b) Q H AK MN = AH BC 4.15 = 6m 10 MQ = K = 10 − = m P C Dễ dàng chứng minh MNPQ hình vng Dạng Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng Phương pháp gaiir Tỉ số diện tích hai tam giác giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng Ví dụ (Bài 47 SGK) Tam giác ABC có dộ dài cạnh cm, cm,5 cm Tam giác ∆A′B′C ′ ∽ ∆ABC S ∆ABC = 54 cm Tính độ dài cạnh tam giác A′B′C ′ Lời giải 3.4 ∆ABC tam giác vuông ( 32 + 42 = 52 ) , S ∆ABC = = ( cm ) 2 S A′B′C ′ 54 S A′B′C ′  A′B′  = = Từ k = ′ ′ ′ ∆A B C ∽ ∆ABC nên hay =  S ABC S ABC  AB  Vậy độ dài cạnh ∆A′B′C ′ 9cm,12 cm,15 cm Ví dụ Cho tam giác ABC Qua điểm D thuộc BC , kẻ đường thẳng song song với cạnh lại, chúng cắt AB AC theo thứ tự E K Biết dienj tích tam giác EBD , KDC theo thứ tự cm ,16cm Tính diện tích tam giác ABC Lời giải A K E 16 B Đặt S ABC = S D C 2 S EBD  BD   BD  BD ∆EBD ∽ ∆ABC ⇒ =   ⇒=   ⇒ = S S  BC  BC  BC  2 (1) ∆KDC ∽ ∆ABC ⇒ S KDC  DC  DC 16  DC  =   ⇒=   ⇒ = S S  BC  BC  BC  Từ (1) , ( ) , suy ra: DB DC + = + ⇒1= ⇒ S = ⇒ S = 49 ( cm ) BC BC S S S ( 2) S C LUYỆN TẬP (Dạng 1) Tam giác ABC cân A ( A < 90°) , đường cao AD CE cắt H a) tính BC biết HD = 4cm , HA = 32 cm b) tính AE biết BC = 24 cm , BE = cm (Dạng 1) cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH a) cho biết = HB 9= cm, HC 16 cm Tính độ dài AH , AB, AC b) chứng minh hệ= thức: AH HB = HC AB BC.BH , HB 4= (Dạng 1) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao AH = cm, HC cm Gọi M trung điểm BC Tính cạnh tam giác AHM (Dạng 1) Cho tam giác ABC vng A Hình vng MNPQ có M thuộc cạnh AB , N thuộc cạnh AC , P Q thuộc cạnh BC Biết BQ = cm , CP = cm Tính cạnh hình vng (Dạng 1) tam giác ABC đường cao AH ( H thuộc cạnh BC ) có AH = cm , BH = cm , HC = cm Chứng minh rằng: a) ∆AHB ∽ ∆CHA = 90° b) BAC (Dạng 1) cho hình thang vng ABCD ( A= ) = 90° , AB = cm , CD = 12 cm , D AD = 17cm Điểm E thuộc cạnh AD cho AE = cm Chứng minh: (Dạng 1) cho tam giác ABC , đường cao BD CE Chứng minh: AE AB = AD AC = 90° BEC (Dạng 1) cho tam giác nhọn ABC , đường cao BD CE cắt H Gọi K hình chiếu H lên BC Chứng minh rằng: a) BH BD = BK BC b) CH CE = CK CB c) BH BD + CH CE = BC (Dạng 1) cho hình bình hành ABCD ( A < B ) Gọi E hình chiếu C AB , K hình chiếu C AD , H hình chiếu B AC Chứng minh rằng: a) AB AE = AC AH b) BC AK = AC.HC c) AB AE + AD AK = AC 10 (Dạng 1) cho hình thang ABCD ( AB // CD ) , M trung điểm AD , H hình chiếu M lên BC Chứng minh rằng: diện tích hình thang tích BC.MH cách vẽ đường cao BK , gọi N trung điểm BC tìm tam giác đồng dạng 11 (Dạng 2) Cho tam giác ABC vuông A , AC = cm , BC = 6cm phía ngồi tam giác ABC , vẽ tam giác BCD vng C có BD = 9cm Chứng minh: BD // AC = 90° , điểm E thuộc cạnh bên AD Tính BEC  12 (Dạng 2) Hình thang ABCD có  A= D biết AB = 4cm , BE = 5cm , DE = 12cm , CE = 15cm ′ ( AB AC = = , A′B′ A′C ′ ) , đường cao 13 (Dạng 2) cho hai tam giác cân ABC A′B′C BH B′H ′ Cho biết BH BC = Chứng minh rằng: ∆ABC ∽ ∆A′B′C ′ B′H ′ B′C ′ 14 (Dạng 3) Cho hình thang ABCD ( AB // CD ) , AB = 15m , CD = 30m , đường cao 20m , đường chéo cắt O Tính diện tích tam giác OAB , OCD 15 (Dạng 4) Cho tam giác ABC , điểm O nằm tam giác gọi D, E , F theo thứ tự trung điểm OA, OB, OC Tỉ số diện tích tam giác DEF tam giác ABC bằng: A Hãy chọn câu trả lời B C D 16 (Dạng 4) Gọi O tâm tam giác ABC Trên OA, OB, OC lấy theo thứ tự =′ OB =′ OC ′ khoảng cách B′C ′ BC điểm A′, B′, C ′ cho OA chiều cao tam giác ABC Tỉ số diện tích tam giác A′B′C ′ tam giác ABC A B C D Hãy chọn câu trả lời 17 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC , cắt cạnh AB AC D E Biết diện tích tam giác ADE nửa diện tích tam giác ABC Tỉ số DE bằng: BC A B C D Hãy chọn câu trả lời 18 (Dạng 4) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC có khoảng cách đến BC khoảng cách từ A đến BC cắt hình thang có diện tích 36 cm Tính diện tích tam giác ABC 19 ( Dạng 4) Cho tam giác ABC Một đường thẳng song song với BC cắt cạnh AB, AC theo thứ tự D E Gọi G điểm cạnh BC Tính diện tích tứ giác 2 ADGE biết diện tích tam giác ABC 16cm , diện tích tam giác ADE 9cm = cm, AH 8cm 20 (Dạng 4) Cho tam giác ABC vuông A , đường cao = AH BC 20 Gọi D hình chiếu H AC , E hình chiếu H AB a) Chứng minh tam giác ADE đồng dạng với tam giác ABC b) Tính diện tích tam giác ADE §9 ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Sử dụng tam giác đồng dạng , ta xác định chiều cao , xác định khoảng cách đo đạc gián tiếp B CÁC DẠNG TOÁN Dạng ĐO GIÁN TIẾP CHIỀU CAO Phương pháp giải: Tìm hai tam giá đồng dạng lập tỉ số cạnh tương ứng Ví dụ ( Bài 53 SGK) Một người đo chiều cao nhờ cọc chôn xuống đất, cọc cao 2m đặt xa 15m Sau người lùi xa cách cọc 0,8m nhìn thấy đầu cọc đỉnh nằm đường thẳng Hỏi cao , biết khoảng cách từ chân đến mắt người 1, 6m ? B Giải Trước hết tính BH , ta có: D E DC EG 0, 0,8 = ⇒ = ⇒ BH = 7,9m BH EH BH 15,8 H G 1,6 15 0,8 F A C Do AB = 7,9 + 1, = 9,5(m) Dạng ĐO GIÁN TIẾP KHOẢNG CÁCH , BỀ DÀY Phương pháp giải Sử dụng tam giác đồng dạng Định lí Ta-lét để tính độ dài đoạn thẳng Ví dụ ( Bài 54 SGK) Để đo khoảng cách hai địa điểm A B , B khơng tới được, người ta tiến ; AD m= ; DC n= ; DF a hành đo tính khoảng cách AB hình 57 SGK : AB //DF= a) Em nói rõ cách đo b) Tính độ dài x khoản cách AB A x Giải a) Cách đo: m - Dùng êke dựng tia Ax vng góc với AB - Trên tia Ax dựng điểm D - Dựng đoạn thẳng DF vng góc với AD ( F B phía Ax ) - Trên tia đối tia DA , dựng điểm C cho C , F , B thẳng hàng B D a F Hình 57 SGK n C b) ta có DF //AB nên Vậy x = DF CD a n = , suy = AB CA x m+n a (m + n) n Ví dụ ( Bài 55 SGK) Hình 58 SGK mơ tả dụng cụ đo bề dày số loại sản phẩm Dụng cụ gồm thước AC chia tính đến 1mm gắn với kim loại hình tam giác ABD, khoảng cách BC = 10mm B D d A C 10 Hình 58 SGK Muốn đo bề dày vật, ta kẹp vật vào kim loại thước( đáy vật áp vào bề mặt thước AC ta đọc “bề dày” d vật ( hình vẽ ta có d = 5,5mm) Hãy rõ định lí cảu hình học sở để ghi vạch thước AC ( d ≤ 10mm ) Giải Trên hình vẽ ta có d 5,5 = Do BC = 10mm nên d = 5,5mm Cơ sở cách làm BC 10 Đinh lí Ta – lét C LUYỆN TẬP ( Dạng 1) Tính khoảng cách từ người quan sát đến chân tháp truyền hình cao 50m biết người đặt que dài 5cm thẳng phía trước cách mắt 40cm que vừa vặn che lấp tháp truyền hình M ( Dạng 2) Để đo khoảng cách từ địa điểm A đến địa điểm M đảo, người ta gióng đường thẳng AM , lấy AM điểm H Trên đường vng góc với AM H, xác định địa điểm B cho  ABM= 90° Biết AH = 15m AB = 60m Tính độ dài AM B H A ÔN TẬP CHƯƠNG III A BÀI TẬP ÔN TRONG SGK 56 Xác định tỉ số hai đoạn thẳng AB CD trường hợp sau: = cm, CD 15cm; a) AB 5= = = dm, CD 150cm; b) AB 45 c) AB = 5CD Hướng dẫn a) AB = = CD 15 AB 45 b) = = CD 15 c) AB = CD 57 Cho tam giác ABC ( AB < AC ) Vẽ đường cao AH , đường phân giác AD, đường trung tuyến AM Có nhận xét vị trí ba điểm H , D, M Hướng dẫn A A B H DM C H a) b) B C D M Điểm D nằm hai điểm H M (hình a), tương ứng với  < 90° trường hợp B A  > 90°) ( hình b) ứng với trường hợp B 58 Cho tam giác cân ABC ( AB = AC ) vẽ đường cao BH , CK ( H 66 SGK ) a) Chứng minh BK = CH H K B C Hình 66 SGK b) Chứng mih KH //BC = a; AB = AC = b TÍnh độ dài đoạn thẳng HK c) Cho biết BC Hướng dẫn a) ∆BKC = ∆CHB ( cạnh huyền – góc nhọn) nên BK = CH AB AC ⇒ KH //BC ( Định lí Ta-lét đảo) b) = BK CH a AC CI b a2 c) ∆IAC# ∆HBC ⇒ = ⇒ = ⇒ CH= BC CH a CH 2b Do AH =AC − CH =b − a 2b − a = 2b 2b 2b − a KH AH KH KH //BC ⇒ ∆AKH # ∆ABC ⇒ = ⇒ = 2b BC AC a b a ( 2b − a ) ⇒ KH = 2b 59 Hình thang ABCD ( AB //CD ) có AC BD cắt O AD BC cắt K Chứng minh OK qua trung điểm cạnh AB CD Hướng dẫn Gọi M N theo thứ tự giao điểm OK với AB, CD AB / / CD ⇒ KM AM MB =( ) KN DN NC AM MB OM = ( ) NC DN ON K (1) (2) A Nhân vế (1) (2) : AM MB = ⇒ AM = MB ⇒ AM = MB DN NC NC.DN Từ (1) AM = MB suy DN = NC Vậy OK qua trung điểm AB CD M B O D N C  = 30° đường phân giác BD ( D thuộc cạnh 60 Cho tam giác vuông ABC ,  A = 90°, C AC ) a) Tính tỉ số AD ? CD b) Cho biết độ dài AB = 12,5cm, tính chu vi diện tích tam giác ABC Hướng dẫn AD AB a) = = CD BC B = A2,5cm ⇒ BC = 25cm b) AB AC =BC − AB =252 − 12,52 =468, 75 ⇒ AC ≈ 21, 65cm 30° A Chu vi ∆ABC ≈ 59,15cm D C Diện tích ∆ABC ≈ 135,3cm cm, BC 20= cm, CD 25= cm, DA 8cm, đường chéo Tứ giác ABCD = có AB 4= BD = 10cm 60 a) Nêu cách vẽ tứ giác ABCD có kịch thước cho b) Các tam giác ABD BCD có đồng dạng với khơng ? Vì sao? c) Chứng minh AB //CD Hướng dẫn a) Vẽ ∆BCD biết ba cạnh, sau vẽ ∆ABD biết ba cạnh A b) ∆ABD# ∆BCD  Do AB //CD c) Từ câu b) suy  ABD = BDC B 20 10 D 25 B BÀI TẬP BỔ SUNG Tam giác ABC vuông A , đường phân giác BD chia cạnh AC thành đoạn thẳng = DA 3= cm, DC 5cm Tính độ dài AC , BC ? = = cm, AC 20cm, đường phân giác BD Tam giác ABC vuông A , AB 15 a)Tính độ dài AD C b) Gọi H hình chiếu A BC Tính độ dài AH , HB c) Chứng minh tam giác AID tam giác cân = = cm, AC 48cm, đường phân giác AK Tia phân Tam giác ABC vng A , AB 36 giác góc B cắt AK I Qua I kẻ đường thẳng song song với BC , cắt AB AC theo tự D E a) Tính độ dài BK b) Tính tỉ số AI AK c) Tính độ dài DE CH , AC 7,5 = cm, BC 100cm Gọi E hình Tam giác ABC vng C , đường cao = chiếu H AC , F hình chiếu H BC Tính độ dài HE , HF = AC = 100cm, BC = 120cm, đường cao AD BE Tam giác ABC cân A, AB cắt H a) Tìm tam giác đồng dạng với tam giác BDH b) Tính đọ dài HD, BH c) Tính độ dài HE cm, AC 20cm đường phân giác BD Tam giác ABC cân tại= A, BC 5= a) Tính độ dài AD, DC b) Tính độ dài BD ( Hướng dẫn : Kẻ DK ⊥ BC Tính CK , DK ) , AB a= , AC 3a TRên cạnh AC lấy điểm D, E Tam giác ABC vuông A= cho AD = DE = EC a) Tính tỉ số BD DC , DE DB b) Chứng minh tam giác BDE CDB đồng dạng c) Tính tổng  AEB +  ACB Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD, BE , CF cắt H Chứng minh hệ thức : HA = HD HB = HE HC.HF Cho tam giác ABC , đường trung tuyến BD CE cắt G Qua điểm O thuộc cạnh BC , vẽ tia OM song song với CE , ON song song với BD ( M ∈ AB, N ∈ AC ) MN cắt BD, CE theo thứ tự I , K a) Gọi H giao điểm OM BD Tính tỉ số MH MO b) Chứng minh MI = MN c) Chứng minh MI = IK = KN 10 Cho tam giác ABC có trực tâm H Gọi M , N theo thứ tự trung điểm BC , AC Gọi O giao điểm đường trung trực tam giác a)Chứng minh ∆OMN # ∆HAB Tìm tỉ số đồng dạng b) So sánh độ dài AH OM c) Gọi G trọng tâm tam giác ABC Chứng minh ∆HAG# ∆OMG d) Chứng minh ba điểm H , G, O thẳng hàng GH = 2GO ... tam giác đồng dạng • Tỉ số hai đường cao tương đương hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng • Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng tỉ số đồng dạng B CÁC DẠNG TOÁN DẠNG CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG... số đồng dạng hai tam giác (Dạng 2) Cho tam giác với cạnh có độ dài 12m, 16m 18m Tính độ dài cạnh tam giác đồng dạng với tam giác cho, cạnh bé tam giác cạnh lớn tam giác cho (Dạng 2) Cho tam giác. .. phân giác AD = 1,5cm 10 (Dạng 3) Dựng tam giác ABC biết §8 CÁC TRƯỜNG HỢP ĐỒNG DẠNG CỦA TAM GIÁC VNG A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Các trường hợp đồng dạng tam giác vuông suy từ trường hợp đồng dạng tam giác