Cho hai tam giác A0B0C0 và ABC đồng dạng với nhau theo tỉ số k.. b Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số đồng dạng tương... Chứng minh rằng 4AOB v 4COD
Trang 1BÀI TẬP HÌNH HỌC
I Khái niệm tam giác đồng dạng
Bài 1 Cho hai tam giác A0B0C0 và ABC đồng dạng với nhau theo tỉ số k Chứng minh rằng tỉ
số chu vi của hai tam giác cũng bằng k
Bài 2 Cho tam giác ABC có AB = 3cm, BC = 5cm và CA = 7cm Tam giác A0B0C0 đồng dạng với tam giác ABC có cạnh nhỏ nhất là 4, 5cm Tính độ dài các cạnh còn lại của tam giác
A0B0C0
Bài 3 Cho tam giác ABC có AB = 16, 2cm; BC = 24, 3cm; AC = 32, 7cm Tính độ dài các
cạnh của tam giác A0B0C0, biết rằng tam giác A0B0C0 đồng dạng với tam giác ABC và:
a) A0B0lớn hơn cạnh AB là 10, 8cm
b) A0B0bé hơn cạnh AB là 5, 4cm
Bài 4 Gọi D là chân đường phân giác AD của góc A của tam giác ABC Từ D kẻ đường thẳng
song song với AB cắt AC tại E Biết AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 9cm Tính các cạnh của tam giác EDC
Bài 5.
a) Hai tam giác bằng nhau có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
b) Hai tam giác đồng dạng với nhau có bằng nhau không ? Vì sao ?
Bài 6 Cho tam giác ABC và M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, AC, AB.
Chứng minh 4M N P v 4ABC Tìm tỉ số đồng dạng
Bài 7 Cho tam giác ABC có A0, B0, C0lần lượt là trung điểm của BC, AC, AB và G là trọng tâm của tam giác đó Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AG, BG, CG Chứng minh: a) 4ABC v 4A0B0C0
b) 4M N P v 4A0B0C0 Tìm tỉ số đồng dạng (bằng hai cách khác nhau)
Bài 8 Cho 4ABC v 4A0B0C0 Biết AB = 3cm; AC = 4, 5cm; BC = 6cm và AB
A0B0 = 1, 5 Tính các cạnh của tam giác A0B0C0
Bài 9 Tam giác ABC đồng dạng với tam giác A0B0C0 theo tỉ số k1 và tam giác A0B0C0 đồng dạng với tam giác A”B”C” theo tỉ số k2 Chứng minh 4ABC v 4A”B”C” Tìm tỉ số đồng dạng
Bài 10 Cho tam giác ABC và M thuộc AB sao cho M A
M B =
1
2 Kẻ M N kAC (N ∈ BC) và
M P kBC (P ∈ AC) Nối N với P
a) Nêu tất cả các cặp tam giác đồng dạng
b) Đối với mỗi cặp tam giác đồng dạng, viết các cặp góc bằng nhau và tỉ số đồng dạng tương
Trang 2Bài 11 Cho 4ABC v 4A0B0C0 và AB = 3, 5cm; BC = 4cm; AC = 4, 5cm Tính độ dài các cạnh của tam giác A0B0C0trong các trường hợp sau:
a) Chu vi tam giác A0B0C0bằng 18cm
b) A0B0nhỏ hơn AB là 0, 7cm
Bài 12 Cho tứ giác ABCD có hai đường chéo BD chia tứ giác đó thành hai tam giác đồng
dạng 4ABD v 4BDC
a) Chứng minh ABkCD
b) Tính độ dài BD, BC biết AB = 2cm, AD = 3cm, CD = 8cm
Bài 13 Cho tam giác ABC, điểm M thuộc cạnh BC sao cho M B
M C =
1
2 Đường thẳng đi qua
Mvà song song với AC cắt AB ở D Đường thẳng đi qua M và song song với AB cắt AC ở E Biết chu vi tam giác ABC bằng 24cm Tính chu vi của các tam giác DBM và EM C
Bài 14 Hình thang ABCD (ABkCD) có AB = 10cm; CD = 25cm, hai đường chéo cắt nhau
tại O Chứng minh rằng 4AOB v 4COD và tìm tỉ số đồng dạng
Bài 15 Cho tam giác ABC có ba cạnh bằng 12cm, 15cm, 18cm Tính các cạnh của một tam
giác đồng dạng với tam giác ABC và có cạnh nhỏ nhất bằng 8cm
Bài 16 Cho hình bình hành ABCD Trên đường chéo AC lấy điểm E sao cho AC = 3AE.
Qua E vẽ đường thẳng song song với CD cắt AD và BC theo thứ tự ở M và N
a) Tìm các tam giác đồng dạng với tam giác ADC và tìm tỉ số đồng dạng
b) Điểm E ở vị trí nào trên AC thì E là trung điểm của M N ?
Bài 17 4ABC v 4DEF theo tỉ số k1; 4M N P v 4DEF theo tỉ số k2; 4ABC v 4MNP theo tỉ số đồng dạng nào ?
Bài 18 Ta có 4ABC v 4A1B1C1với tỉ số đồng dạng 2
3, 4A1B1C1 v 4A2B2C2 với tỉ số 3
4 a) Vì sao 4ABC v 4A2B2C2?
b) Tìm tỉ số đồng dạng của hai tam giác đó
Bài 19 Chứng minh rằng tỉ số chu vi của hai tam giác đồng dạng bằng tỉ số đồng dạng của
hai tam giác ấy
II Trường hợp đồng dạng thứ nhất
Bài 1 Hai tam giác mà các cạnh có độ dài như sau có đồng dạng không ?
a) 4cm; 5cm; 6cm và 8mm; 10mm; 12mm
b) 3cm; 4cm; 6cm và 9cm; 15cm; 18cm
c) 1dm; 2dm; 2dm và 1dm; 1dm; 0, 5dm
Trang 3d) 8cm; 10cm; 6, 4cm và 8cm; 10cm; 12, 5cm.
e) 12m; 18m; 9m và 12m; 16m; 25m
Bài 2 Tam giác ABC và tam giác A0B0C0 có đồng dạng với nhau khôn, nếu
a) AB = 3dm; BC = 5dm; CA = 7dm và A0B0 = 4, 5cm; B0C0 = 7, 5cm; C0A0 = 10, 5cm
b) AB = 1, 7cm; BC = 3cm; CA = 4, 2cm và A0B0 = 68mm; B0C0 = 120mm; C0A0 = 168mm
Bài 3 Tam giác vuông ABC ( bA = 90◦)có AB = 6cm, AC = 8cm và tam giác vuông A0B0C0( bA0 =
90◦)có A0B0 = 9cm; B0C0 = 15cm Hỏi hai tam giác vuông ABC và A0B0C0 có đồng dạng với nhau không ? Vì sao ?
Bài 4 Tam giác ABC có ba đường trung tuyến cắt nahu tại O Gọi P, Q, R thứ tự là trung
điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC Chứng minh rằng 4P QR v 4ABC
Bài 5 Tam giác ABC có ba góc nhọn và có trực tâm là điểm H Gọi K, M, N thứ tự là trung
điểm của các đoạn thẳng AH, BH, CH Chứng minh rằng 4KM N v 4ABC với tỉ số đồng dạng k = 1
2
Bài 6 Cho tam giác ABC và một điểm O nằm trong tam giác đó Gọi P, Q, R lần lượt là trung
điểm của các đoạn thẳng OA, OB, OC
a) Chứng minh rằng 4P QR v 4ABC
b) Tính chu vi của tam giác P QR, biết rằng tam giác ABC có chu vi p bằng 543cm
Bài 7 Cho tam giác ABC và một điểm S tùy ý Gọi A0, B0 và C0 là ba điểm lần lượt trên
SA, SBvà SC sao cho SA
0
SA =
SB0
SB =
SC0
SC =
1
3 Chứng minh rằng 4A0B0C v 4ABC, tìm tỉ
số đồng dạng
Bài 8 Tứ giác ABCD có AB = 8cm, BC = 15cm, CD = 18cm, AD = 10cm, BD = 12cm.
Chứng minh rằng
a) 4ABD v 4BDC
b) ABCD là hình thang
Bài 9 Tam giác ABC có AC > BC > AB, AC = 36cm, AB = 25cm Tính độ dài BC để tam
giác ABC đồng dạng với một tam giác mà độ dài ba cạnh là chiều cao của tam giác ABC
Bài 10 Tam giác ABC có đồng dạng với tam giác mà ba cạnh bằng ba đường cao của tam
giác ABC không, nếu các cạnh của tam giác ABC bằng
a) 9cm; 12cm; 16cm ?
b) 2cm; 3cm; 4cm ?
c) 16cm; 20cm; 25cm ?
d) 4dm; 5dm; 6dm ?
Trang 4Bài 11 Cho tam giác ABC Các điểm D, E, F theo thứ tự là trung điểm của BC, CA, AB.
Các điểm A0, B0, C0theo thứ tự là trung điểm của EF, DF, DE Chứng minh rằng 4A0B0C0 v 4ABC
Bài 12 Cho tam giác ABC trên cạnh AB, AC thứ tự lấy các điểm D, E sao cho AD =
1
3AB, AE =
1
3AC và M là trung điểm của BC, I là giao điểm của BE, DM ; K là giao điểm của DC, M E
a) Chứng minh 4ADE v 4ABC; 4DIE v 4MIB; 4DKE v 4CKM; 4IKM v 4DEM b) Tính IK, biết BC = 5, 5cm
Bài 13 Tam giác ABC có AB = 4cm, AC = 6cm, BC = 8cm Tam giác M N P có M N : M P :
N P = 2 : 3 : 4
a) Chứng minh 4ABC v 4MNP
b) Cho chu vi của tam giác M N P là 21, 6cm Tính các cạnh của tam giác M N P và tỉ số đồng dạng của hai tam giác ABC, M N P
Bài 14 Cho tam giác ABC, kẻ DEkAC (D ∈ AB, E ∈ BC) Tính AD, nếu AB = 16cm, AC =
20cm, DE = 15cm
Bài 15 Tam giác ABC vuông tại A và có AB = 3cm, AC = 4cm Tam giác M N P vuông tại M
và M P = 8cm, N P = 10cm Chứng minh 4ABBC v 4MNP và tìm tỉ số đồng dạng
Bài 16 Cho tam giác ABC và O là một điểm ở trong tam giác đó Gọi M, N, P lần lượt là các
điểm nằm trên các đoạn thẳng OA, OB, OC sao cho OA
OM =
OB
ON =
OC
OP Chứng minh rằng 4ABC v 4MNP Xác định vị trí M, N, P lần lượt trên OA, OB, OC để tỉ số đồng dạng bằng 2
Bài 17 Cho tam giác ABC có bB > 90◦và gọi H là trực tâm của tam giác Từ M thuộc đoạn thẳng AH, kẻ đường thẳng song song với AB cắt HB tại N , từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt HC tại P Chứng minh rằng 4M N P v 4ABC Tìm tỉ số đồng dạng khi M là trung điểm của AH
Bài 18 Cho tam giác ABC và O là một điểm nằm trong tam giác Gọi P, Q, R lần lượt là giao
điểm của tia AO với BC, tia BO với CA, tia CO với AB Kẻ đường thẳng qua C song song với
OBcắt tia AP tại E Kẻ đường thẳng qua A song song với OB, cắt tia CR tại D
a) Chứng minh 4EP C v 4OP B; 4RAD v 4RBO
b) TínhP B
P C · QC
QA · RA
RB
Bài 19 Cho tam giác ABC, các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên các cạnh BC, AB và đường
thẳng CA sao cho P, Q, R thẳng hàng Kẻ AA0, BB0, CC0 vuông góc với đường thẳng P R
Trang 5(A0, B0, C0thuộc P R).
a) Chứng minh 4AA0
Q v 4BB0Q; 4BB0P v 4CC0P b) TínhP C
P B · QB
QA · RA
RC
Bài 20 Cho tam giác ABC, các điểm P, Q, R lần lượt nằm trên các cạnh BC, AB và đường
thẳng AC và P, Q, R thẳng hàng Gọi I là giao điểm của AP, QC và M là giao điểm của tia
BIvà AC (M ∈ AC) Chứng minh M A
M C =
RA
RC
III Trường hợp đồng dạng thứ hai
Bài 1 Cho hình thang vuông ABCD ( bA = bD = 90◦)có AB = 16cm, CD = 25cm, BD = 20cm a) Chứng minh rằng 4ABD v 4BDC
b) Tính độ dài BC
Bài 2 Chứng minh rằng nếu hai tam giác đồng dạng thì tỉ số hai đường trung tuyến tương
ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng
Bài 3 Cho tam giác ABC có AB = 9cm, AC = 12cm Lấy điểm D thuộc cạnh AB sao cho
AD = 8cmvà điểm E là trung điểm của đoạn thẳng AC Nối D với E, B với E, D với C a) Tam giác ADE đồng dạng với tam giác nào ? Cho DE = 7cm, tính độ dài đoạn thẳng BC b) Tam giác ADC đồng dạng với tam giác nào ? So sánh \BDCvà \BEC
Bài 4 Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 15cm, BC = 18cm, đường phân giác của
[
BAC
a) Tính BD, DC
b) Chứng minh 4DBA v 4ABC
c) Chứng minh 4ADC cân tại D
Bài 5 Cho hình thang ABCD (ABkCD).
a) Tính AD, biết AB = 4cm, BD = 10cm, BC = 20cm, CD = 25cm
b) Tính \ADB, biết AB = 4cm, BD = 6cm, CD = 9cm, bC = 40◦
Bài 6 Hình thang vuông ABCD có bA = bD = 90◦, AB = 10cm, CD = 30cm, AD = 35cm Điểm E thuộc cạnh AD sao cho AE = 15cm Tính số đó của \BEC
Bài 7 Cho tam giác ABC có AB = 12cm, AC = 18cm, BC = 27cm Điểm D thuộc cạnh BC
sao cho CD = 12cm Tính AD
Bài 8 Tam giác ABC có bB = 70◦, AB = 12cm, AC = 16cm Điểm D thuộc cạnh AC sao cho
AD = 9cm Tính số đo của \BDC
Bài 9 Cho tam giác ABC có AB = 8cm, AC = 16cm Điểm D thuộc cạnh AB sao cho
BD = 2cm Điểm E thuộc cạnh AC sao cho CE = 13cm Chứng minh rằng
Trang 6a) 4AED v 4ABC.
b) [ABE = \ACD
Bài 10 Cho tam giác ABC, đường cao AH (H thuộc cạnh BC) Biết HA = 2cm, HB =
1cm, HC = 4cm Tính số đo của [BAC
Bài 11 Cho tam giác nhọn ABC có bC = 40◦ Vẽ hình bình hành ABCD Gọi AH, AK theo thứ tự là các đường cao của các tam giác ABC, ACD
a) Chứng minh rằng 4AKH v 4ACB
b) Tính số đo \AKH
Bài 12 Cho hình thoi ABCD Qua C kẻ đường thẳng d cắt các tia đối của các tia BA, DA
theo thứ tự tại E, F Chứng minh rằng
a)EB
BA =
AD
DF
b) 4EBD v 4BDF
c) [BID = 120◦(I là giao điểm của DE và BF )
IV Trường hợp đồng dạng thứ ba
Bài 1 Chứng minh rằng nếu hai tam giác đồng dạng thì
a) Tỉ số hai đường phân giác tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng
b) Tỉ số hai đường cao tương ứng của chúng bằng tỉ số đồng dạng
Bài 2 Cho hình thang ABCD (BCkAD) M ∈ AD và M D = BC Qua I ∈ CD kẻ đường
thẳng song song với AB cắt AD và đường thẳng BC lần lượt tại N, K Chứng minh
a) 4IN D v 4BAM
b) 4IKC v 4BAM
Bài 3 Cho hình thoi ABCD, M ∈ AB, N ∈ BC sao cho BM = BN
a) Chứng minh 4BM N v 4DAC
b) Tính M N , biết BD = 6cm; CD = 5cm; BM = 3, 5cm
Bài 4 Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến BD, CE Biết rằng \ABD = [ACE Chứng minh
a) 4ABD v 4ACE
b) Tam giác ABC cân tại A
c) Nếu \ABD = [ACE = 30◦thì 4ABC là tam giác đều
Bài 5 Cho hai tam giác ABC và DEF có bA = bD, bB = bE, các cạnh của tam giác ABC tỉ lệ với
2 : 5 : 4, chu vi tam giác DEF bằng 5, 5cm Tính các cạnh của tam giác DEF
Bài 6 Cho hai tam giác ABC và DEF có bA = bD, bB = bE, AB = 16cm, BC = 20cm, DE =
Trang 712cm, AC − DF = 6cm Tính cạnh AC, EF của hai tam giác đó.
Bài 7 Cho tam giác ABC, phân giác AD và tam giác A0B0C0 phân giác A0D0 Chứng minh 4ABC v 4A0B0C0theo tỉ số k thì 4ABD v 4A0B0D0theo tỉ số k và AD
A0D0 = k
Bài 8 Tam giác ABC, AA0⊥BC (A0 ∈ BC), BB0⊥AC (B0 ∈ AC), H là trực tâm, G là trọng tâm của tam giác ABC, M, N lần lượt là trung điểm của BC, AC và OM ⊥BC, ON ⊥AC Chứng minh
a) 4ABH v 4MNO
b) OM = 1
2AH, ON =
1
2BH
c) 4AHG v 4MOG và H, O, G thẳng hàng
Bài 9 Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó, AB = 2cm; BC = 2, 5cm và tia Bx
không nằm trên đường thẳng AC Điểm M thuộc tia Bx sao cho \AM B = \ACM
a) Chứng minh 4AM B v 4ACM
b) Tính AM
Bài 10 Cho tam giác ABC cân tại A, M là trung điểm của BC Lấy điểm D thuộc cạnh AB,
điểm E thuộc cạnh AC sao cho \DM E = bB Chứng minh
a) 4DBM v 4MCE
b) DM là tia phân giác của \BDE