Chương III. §3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác

một đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng a đường vuông góc kẻ từ điểm M đến đường thẳng a MQ là ……………………………… ……………………………………… MI là ……………………………… ……………………………………… KIỂM TRA BÀI CŨ Cho hình vẽ : Điền vào chỗ trống M Q I K P a Các đường xiên kẻ từ điểm M đến đường thẳng a là : ………………. Trong các đoạn thẳng MQ, MI, MP, MK thì đoạn ngắn nhất là : …… Nếu IK < IQ thì : …………………Nếu IQ > IP thì : …………………… Nếu MK < MP thì : ………………Nếu MP > MQ thì : …………………… MQ, MK, MP MI MK < MQ MQ > MP IK < IP IP > IQ 1. Bất đẳng thức tam giác ?1. hãy thử vẽ tam giác có độ dài ba cạnh là 1cm, 2cm, 4cm. Em có vẽ được không ? Không phải ba độ dài nào cũng là độ dài ba cạnh của một tam giác. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. độ dài cạnh còn lại. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. độ dài cạnh còn lại. Cho tam giác ABC ta có các bất đẳng thức nào ? A B C AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB A B C ?2. Dựa vào hình 17, em hãy nêu GT, KL của định lí ? Hình 17 GT KL • AB + AC > BC • AB + BC > AC • AC + BC > AB ABC D D Vì tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên : · · BCD > ACD (1) Theo cách dựng, tam giác ACD cân tại A · · · ACD = ADC BDC⇒ = (2) Từ (1) và (2) · · BCD > BDC⇒ Xét tam giác BCD, từ (3) BD > BC⇒ (quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác) Mà BD = AB + AD = AB +AC AB + AC > BC⇒ (3) Bất đẳng thức tam giác Bất đẳng thức tam giác 2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Ta có : • AB + AC > BC • AB + BC > AC • AC + BC > AB Suy ra : • AB > BC - AC • AC > BC - AB • AB > AC - BC • BC > AC - AB • AC > AB - BC • BC > AB - AC Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. 1. Bất đẳng thức tam giác 2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. độ dài cạnh còn lại. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn I- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC: Định lí 1: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại I- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC: GT KL (sgk) A ABC AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B II/ HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC : ⇒ hiệu ABmột + AC > BC AB > – AC AC >bao BC - ABcũng Trong tam giác, độBC dài hai; cạnh ABlại > BC – AC ; BC > AC - AB AB +độ BCdài > AC nhỏ cạnh⇒còn AC + BC > AB ⇒ AC > AB – BC ; BC > AB - AC C I- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC: A (sgk) II/ HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC : AB + AC > BC ⇒ AB > BC – AC ; AC > BC - AB B C AB + BC > AC ⇒ AB > BC – AC ; BC > AC - AB AC + BC > AB ⇒ AC > AB – BC ; BC > AB - AC Nhận xét : AB + AC > BC ; BC > AC - AB ⇒AC – AB < BC < AB + AC Lưu ý: Khi dàiđộ badài đoạn thỏa Trong xét tamđộ giác, mộtthẳng cạnhcó bao giờmãn cũngbất lớnđẳng thức tam không, chỉcác cầnđộsodài sánh lớn nhấtlạivới tổng hơngiác hiệuhay nhỏ ta tổng củađộ haidài cạnh hai độ dài lại, so sánh độ dài nhỏ với hiệu hai độ dài lại A B C 1/ Điền sai vào ô trống: ba sau độ dài cạnh tam giác : a/ 2cm; 3cm; 6cm sai + < hoặc: < - b/ 2cm; 4cm; 6cm sai c/ 3cm; 4cm; 6cm + > thỏa mãn BĐT tam giác + = 2/ Cho tam giác ABC với hai cạnh BC = 1cm; AC = 7cm a Hãy tìm độ dài cạnh AB, biết độ dài cạnh số nguyên ? b Tam giác ABC tam giác ? a Ta có : AC – BC < AB < AC + BC( bất đẳng thức tam giác ) 7-1 < AB < + < AB < Vì độ dài cạnh AB số nguyên, nên AB = cm b Vì AB = AC nên tam giác ABC tam giác cân A 3/ Cho hình vẽ : A: vị trí trạm biến áp B: Khu dân cư C: cột mắc dây điện đưa điện từ trạm biến áp A khu dân cư B Tìm vị trí C gần bờ sông cho độ dài đường dây dẫn ngắn nhất? C D Địa điểm C thuộc đường thẳng AB gần bờ sông có khu dân cư đường dây dẫn ngắn : AC+ BC = AB Thật vậy, dựng điểm D khác C theo bất đẳng thức tam giác ta có : AD + DB >AB • Học kỹ định lí, hệ quả, nhận xét bất đẳng thức tam giác • Xem lại tập giải, làm tập 15,17,19 sách giáo khoa trang 63-64 • Chuẩn bị cho tiết “Luyện tập” Tiết 51: Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác Bất đẳng thức tam giác Người thực hiện: Đỗ THị Hồng Hà Giáo viên THCS Đống Đa A.Mục tiêu: 1. Học sinh biết cách phát hiện ra kiến thức mới nhờ tình huống và sử dụng Sketchpad 2. Hs nắm vững quan hệ giữa độ dài 3 cạnh của một tam giác, từ đó biết được 3 đoạn thẳng có độ dài như thế nào thì không thể là 3 cạnh của một tam giác 3. Hiểu được cách chứng minh định lí 4. Luyện cách chuyển từ định lí thành một bài toán và ngược lại 5. Bước đầu biết vận dụng bđt tam giác để giải toán 6. Nắm được ứng dụng của bđt tam giác trong thực tế A. Chuẩn bị - Máy tính, máy chiếu, phần mềm Sketchpad - Thước thẳng có chia khoảng, eeke, compa - Ôn tập vẽ tam giác biết ba cạnh B. Tiến trình dạy học Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh Hoạt động 1: Kiểm tra bài cũ Chữa bài tập về nhà: Chiếu đề bài lên bảng: Vẽ ∆ABC biết BC = 6cm, AB = 4cm; AC = 5cm a) So sánh các góc của ∆ABC ( viết theo thứ tự tăng dần) b) Kẻ AH⊥ BC (H∈BC) So sánh AB và BH; AC và HC GV: Kiểm tra lí thuyết của HS ngồi dưới lớp Sử dụng violet để thực hiện lại việc vẽ ∆ABC để ôn lại kiến thức cũ Học sinh 1: Lên bảng đen làm bài Viết Gt, kl, vẽ hình bằng thước và compa Hs2: Viết câu a,b 1 H A C B Phát hiện kiến thức mới để vào bài GV mở trang Sketchpad cho HS 3 vẽ GV: Cho hs nhận xét bài làm của các bạn trên bảng GV: Chiếu hình ảnh của đề bài Đi theo đt ngắn hơn đi theo đường gấp khúc! Ghi đề bài mới lên bảng - Cho hs lên kéo thả các điểm của ∆ABC để xem mối liên hệ giữa tổng hai cạnh và cạnh còn lại - Hs 3: Vẽ trên máy tính ∆ABC bất kỳ + Đo các cạnh của ∆ABC + Tính AB + AC Hoạt động 2: Bài mới Hoạt động của giáo viên Hoạt động của học sinh 1. Bất đẳng thức tam giác a.?1 GV: Chiếu lên màn hình?1 +Sau khi hs vẽ, gọi 1 hs trả lời có vẽ được không? + Sử dụng violet để thực hiện lại việc vẽ + Yêu cầu hs phát hiện ra kiến thức mới AB + AC so với BC? ⇒ định lí b. Định lí: Sau khi hs vẽ hình viết gt, kt thì chiếu lên màn hình gt kl của định lí • Chứng minh định lí: + Sau khi hs làm, chiếu lên màn hình tóm tắt cách chứng minh của SGK + Yêu cầu một hs nhắc lại định lí + Như vậy không phải 3 độ dài nào cũng là dộ dài 3 cạnh của 1 tam giác +HS cả lớp vẽ thử +Hs lên kéo thả các điểm của ∆ABC để xem mối liên hệ giữa tổng hai cạnh và cạnh còn lại HS phát biểu + Hs lên bảng làm ?2 Hs cả lớp làm, khuyến khích cách khác SGK Cách 2: +Hạ AH⊥ BC , so sánh HB với AB, HC với AC rồi so sánh HB + HC với AB + AC H A B C + Nếu góc B ( hoặc góc C tù) 2 GV: Yêu cầu hs nộp các cách chứng minh khác Cách 3 GV: Tại sao góc E 1 bao giờ cũng là góc tù? ⇒ AC > EC Mà EC = BC - AB ⇒ BC - AB < AC ⇒ BC < AC + BC • Yêu cầu hs lên viết các bđt còn lại của tam giác ABC Từ dây rút ra hiệu hai cạnh như thế nào? • Phát biểu bằng lời GV chuyển sang hệ quả 2. Hệ quả bất đẳng thức tam giác a) Hệ quả b) Nhận xét GV Nếu a, b, c là độ 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 1 SV SV : NGUYỄN THỊ THẢO QUYÊN MSSV:107321033 LỚP:CĐSP TOÁN 07 SGK TOÁN7 TRANG 61-62 SGK TOÁN7 TRANG 61-62 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 2 1. Bất đẳng thức tam giác…  Định lí… 2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác…  Hệ quả.  Nhận xét. 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 3 Vẽ tam giác với các cạnh có độ dài: 1cm, 2cm, 4cm. Kết quả: Không phải độ dài nào cũng là ba cạnh của một tam giác. Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 4 Cho tam giác ABC và các bất đẳng thức sau:  AB+AC>BC  AB+BC>AC  AC+BC>AB. Dựa vào hình,hãy viết giả thiết, kết luận của định lí. A B C Chứng minh: Ta chứng minh bất đẳng thức đầu tiên, hai bất đẳng thức còn lại chứng minh tương tự. GT ABC KL AB+BC>AC BC+AC>AB AB+AC>BC 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 5 Trên tia đối của tia AB, lấy điểm D sao cho: Trong tam giác BCD, so sánh BD với BC. Do tia CA nằm giữa hai tia CB và CD nên .ACAD = ( ) 1. ˆˆ DCADCB > Mặt khác, tam giác ACD cân tại A nên ( ) 2. ˆˆ ˆ CDBCDADCA == Từ (1) và (2) suy ra : ( ) 3. ˆ ˆ CDBDCB = Trong tam giác BCD, từ (3) suy ra : .BCBDACAB >=+ Các bất đẳng thức trong kết luận của định lí được gọi là các bất đẳng thức tam giác. D CB A 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 6 Từ các bất đẳng thức tam giác, ta suy ra : AB > AC - BC; AB > BC - AC; AC > AB - BC; AC > BC - AB; BC > AB - AC; BC > AC - AB; Trong một tam giác, hiệu độ dài hai canh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 7 Trong một tam giác Độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng các độ dài của hai cạnh còn lại. B A C Trong tam giác ABC, với cạnh BC ta có: AB – AC < BC < AB + AC. 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 8 Hãy giải thích vì sao không có tam giác với ba cạnh có độ dài 1cm, 2cm, 4cm. Gợi ý: Tam giác này không có vì bộ ba số 1,2,4 không thoả mãn bất đẳng thức tam giác. Xem ?1 Chỉ cần so sánh độ dài lớn nhất, với tổng độ dài còn lại, hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai độ dài còn lại. 07/27/13 NG.T.THAOQUYEN 9 BÀI GIẢNG TOÁN 7 – HÌNH HỌC Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác KIỂM TRA BÀI CŨ H 1 : Vẽ tam giác ABC với AB= 1cm, AC= 2cm, BC= 4cm. H 2 : Vẽ tam giác ABC với AB= 2cm, AC= 2cm, BC= 4cm. H 3 : Vẽ tam giác ABC với AB= 3cm, AC= 2cm, BC= 4cm. - Vẽ đoạn thẳng BC. - Vẽ cung tròn tâm B bán kính AB, vẽ cung tròn tâm C bán kính AC. - Hai cung tròn cắt nhau tại A. Nối AB, AC ta được tam giác ABC. 4 cmB C 4 cmB C 4 cmB C A 3 cm 2 cm A Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. ?1 ?2 * Định lí: 4 cmB C 4 cmB C 4 cmB C A 3 cm 2 cm A Hãy vẽ tam giác với các cạnh có độ dài 1cm, 2cm, 4cm. Em có vẽ được không? Dựa vào hình 17, hãy viết giả thiết, kết luận Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. ?1 ?2 * Định lí: Hãy vẽ tam giác với các cạnh có độ dài 1cm, 2cm, 4cm. Em có vẽ được không? Dựa vào hình 17, hãy viết giả thiết, kết luận GT KL AC + BC > AB AB + BC > AC ABC AB + AC > BC Hết giờ B C A Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng lớn hơn độ dài cạnh còn lại. ?1 ?2 * Định lí: Hãy vẽ tam giác với các cạnh có độ dài 1cm, 2cm, 4cm. Em có vẽ được không? Dựa vào hình 17, hãy viết giả thiết, kết luận GT KL AC + BC > AB AB + BC > AC ABC AB + AC > BC a) Chứng minh: AB +AC > BC Kẻ AH vuông góc BC H B C A Tam giác ABH vuông tại H nên AB > …… (1) AC > …… (2) Từ (1)(2) suy ra: AB + AC > BH + HC = …. Vậy AB + AC > BC BH HC BC Tam giác ACH vuông tại H nên Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác A B C Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác Bài tập 15:(sgk) Dựa vào bất đẳng thức tam giác, kiểm tra xem bộ ba nào trong các bộ ba đoạn thẳng có độ dài cho sau đây không thể là ba cạnh của một tam giác. Trong trường hợp còn lại, hãy thử dựng tam giác có độ dài ba cạnh như thế. a/ 2cm; 3cm; 6cm b/ 2cm; 4cm; 6cm c/ 3cm; 4cm; 6cm Trả lời: a/ Không thể là ba cạnh của tam giác vì 2 +3 < 6 b/ Không thể là ba cạnh của tam giác vì 2 + 4 = 6 c/ Có thể là ba cạnh của tam giác 6cm 3cm 4cm Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác AB > BC AC + BC > AB AB + AC > BC AB > BC - AC ? Quy tắc chuyển vế BC >………… AC > ………. AB > ………… AC > ………… + AC - AB + BC > AC BC >…………. BC - AB AB - BC AB - AC AC - BC AC - AB Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác AC + BC > AB AB + AC > BC AB > BC - AC BC >………… AC > ………. AB > ………… AC > ………… AB + BC > AC BC >…………. BC - AB AB - BC AB - AC AC - BC AC - AB 2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. * Hệ quả: Bài 3. Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác. Bất đẳng thức tam giác 1. Bất đẳng thức tam giác AC + BC > AB AB + AC > BC AB > BC - AC BC > AB - AC AC > BC - AB AB > AC - BC AC > AB - BC AB + BC > AC BC > AC - AB 2. Hệ quả của bất đẳng thức tam giác Trong một tam giác, hiệu độ dài hai cạnh bất kì bao giờ cũng nhỏ hơn độ dài cạnh còn lại. * Hệ quả: * Nhận xét: Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơn tổng hai cạnh còn lại ...I- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC: Định lí 1: Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại I- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC: GT KL (sgk) A ABC AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B II/ HỆ QUẢ... dàiđộ badài đoạn thỏa Trong xét tam ộ giác, mộtthẳng cạnhcó bao giờmãn cũngbất lớnđẳng thức tam không, chỉcác cầnđộsodài sánh lớn nhấtlạivới tổng hơngiác hiệuhay nhỏ ta tổng của ộ haidài cạnh. .. AC nhỏ cạnh còn AC + BC > AB ⇒ AC > AB – BC ; BC > AB - AC C I- BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC: A (sgk) II/ HỆ QUẢ CỦA BẤT ĐẲNG THỨC TAM GIÁC : AB + AC > BC ⇒ AB > BC – AC ; AC > BC - AB B C AB + BC >