CHUYÊN ĐỀ: ĐA THỨC LỚP DẠNG 1: XÁC ĐỊNH ĐA THỨC VÀ TÍNH GIÁ TRỊ Bài 1: Cho đa thức: f ( x ) = a.x2 + bx + c , Xác định hệ số a,b,c biết: f ( 0) = 2; f (1) = 7; f ( −2) = −14 Bài 2: Cho đa thức: f ( x ) = a.x + bx + c , Xác dịnh a, b, c biết: f ( −2 ) = 0, f ( ) = a số lớn c ba đơn vị Bài 3: Cho đa thức bậc hai: P ( x ) = a.x2 + bx + c , biết P(x) thỏa mãn hai điều kiện sau: P ( 0) = −2, 4P ( x ) − P ( 2x −1) = 6x − , CMR: a+b+c=0 xác định đa thức P(x) 1 Bài 4: Cho hàm số f ( x ) = ax + bx + cx + d thỏa mãn: f ( −1) = 2, f ( ) = 1, f = 3, f (1) = , 2 Xác định giá trị a, b, c d Bài 5: Xác định đa thức: P ( x ) = a.x + bx + cx + d , biết: P ( ) = 2017, P (1) = 2, P ( −1) = 6, P ( ) = −6033 Bài 6: Cho hàm số: y = f ( x ) = ax2 + bx + c cho biết f(0)=2010, f(1)=2011, f(-1)=2012, Tính f(-2) HD: Theo gt ta có: f (0) = 2010 = c = 2010 , f (1) = 2011 = a + b + c = 2011 = a + b = −1 f (−1) = 2012 = a − b + c = 2012 = a − b = =>a= , b = hàm số có dạng 2 y = f ( x ) = x − x + 2010 => f(2)=2017 2 Bài 7: Cho đa thức G ( x ) = a.x2 + bx + c (a, b, c hệ số) a, Hãy tính G ( −1) biết a+c=b - b, Tìm a, b, c biết: G ( 0) = 4, G (1) = 9, G ( 2) = 14 ( ) Bài 8: Cho đa thức: f ( x ) = x − ax − g ( x ) = x − x − x − a − 2015 a, Tìm a biết -1 nghiệm f(x) b, Với a tìm câu a, Tìm nghiệm cịn lại f(x) tính g(2) Bài 9: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + bx + c biết f ( 0) = 2014, f (1) = 2015, f ( −1) = 2017 , Tính f ( −2 ) HD: Ta có: f ( 0) = 2014 = c = 2014 f (1) = 2015 = a + b + c = 2015 = a + b = f ( −1) = 2017 = a − b + c = 2017 = a − b = = a = 2, b = −1 , đó: f ( x ) = x − x + 2014 = f ( −2 ) = ( −2 ) − ( −2 ) + 2014 = 2024 Bài 10: Xác định a,b,c để hai đa thức sau hai đa thức sau đồng nhất: A = a.x − x + x − ( x − 3x ) B = x − 3bx + c − Bài 11: Xác định hệ số a, b đa thức : f ( x ) = x2 +a.x+b trường hợp sau : a, f(0) = f(x) nhận x = nghiệm b, Các nghiệm đa thức g(x) = (x+1)(x-2) nghiệm f(x) Bài 12: Cho f ( x ) = a x + x x − + g ( x ) = x3 + x ( bx + 1) + c − , a,b,c số ( Xác định a,b,c để f(x)=g(x) ) Bài 13: Cho hai đa thức: P ( x ) = x2 + 2mx + m2 Q ( x ) = x2 + ( 2m + 1) x + m2 , Tìm m để P (1) = Q ( −1) Bài 14: Cho hai đa thức: p( x) = x2 + 2mx + m2 & q( x) = x2 + ( 2m + 1) x + m2 , Tìm m biết : p(2) = q(-2) Bài 15: Cho hai biểu thức : P ( x ) = x − 2ax + a , Q ( y ) = y + ( 3a + 1) y + a2 Tìm số a cho P (1) = Q ( 3) ( Câu 16: Cho hàm số y = f ( x ) = ax + có đồ qua điểm A a + 1; a − a ) a, Tìm a b, Với a vừa tìm được, tính giá trị x thỏa mãn: f ( 3x − 1) = f (1 − 3x ) HD: a, Đồ thị hàm số y=ax+4 qua điểm A a + 1; a + a nên ta có: a − a = a ( a + 1) + ( ) => a − a = a + a + = a = −2 Vậy a=-2 đồ thị hàm số qua điểm A b, Với a=-2 ta có hàm số y = f ( x ) = −2 x + = f ( 3x + 1) = −6x + f (1 − 3x ) = x + 3 Bài 17: Cho f ( x ) = a.x + x x − + g ( x ) = x + x ( bx + 1) + c − , Trong a, b, c số, Để f ( 3x − 1) = f (1 − 3x ) = −6 x + = x + = x = ( ) Xác định a, b, c để f ( x ) = g ( x ) HD : ( ) Ta có : f ( x ) = a.x + x x − + = a.x + x − x + = ( a + ) x − x + Và g ( x ) = x − x ( bx + 1) + c − = x − 4bx − x + c − Do f ( x ) = g ( x ) a + = nên ta có : −4b = = a = −3; b = 0; c = 11 c − = Bài 18: Tìm đa thức bậc hai cho : f ( x ) − f ( x − 1) = x Áp dụng tính tổng : S = + + + + + n HD : Vì đa thức bậc hai nên có dạng f ( x ) = ax + bx + c ( a 0) Ta có : f ( x − 1) = a ( x − 1) + b ( x − 1) + c a= 2a = Và f ( x ) − f ( x − 1) = 2ax − a + b = x = = b − a = b = 1 Vậy đa thức cần tìm : f ( x ) = x + x + c , c số 2 Áp dụng : Với x = = f (1) − f ( ) = Với x = = f ( ) − f (1) = … Với x = n = f ( n ) − f ( n − 1) = n GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức => S = + + + + n = f ( n ) − f ( ) = n ( n + 1) n2 n + +c−c = 2 1 Bài 19: Cho đa thức P( x) xác định với x thuộc R, Biết với x ta có: f ( x ) + f = x x Tính f(2) HD: 1 1 1 Ta có: f ( ) + f = (1) f + f ( 2) = => f ( ) + f = (2) 2 2 2 −13 −13 , đó: f ( ) = Trừ vế (2) cho (1) ta có: f ( ) = 24 17 16 15 14 Bài 20: Cho f ( x ) = x − 2015x + 2015x − 2015x + + 2015x − 1, Tính f ( 2014) Bài 21: Cho đa thức: f ( x ) = − x + 3x + x + x − x − x , Tính giá trị f ( x ) x − = Bài 22: Tính giá trị đa thức sau biết x+y=0 a, A = x = y + 3xy ( x + y ) + x y + x y + ( ) b, B = 3xy ( x + y ) + x y + x y + 2 Bài 23: Cho x2 + y2 = , Tính giá trị biểu thức : P = x4 + 3x2 y + y + y Bài 24: Tính giá trị biểu thức: N = xy z3 + x2 y3z + x3 y z5 + + x2014 y 2015z 2016 , x=-1, y=-1, z=-1 HD : Ta có N = xyz yz + x2 y z yz + x3 y 3z yz + + x 2014 y 2014 z 2014 yz Thay y=-1, z=-1 vào ta được: N = − xyz − x2 y z2 − x3 y3z3 − − x2014 y 2014 z 2014 = − ( xyz ) − ( xyz ) − ( xyz ) − − ( xyz ) Thay xyz=-1 vào ta : N = − + − + + − = Bài 25: Cho đa thức: A = x ( x − 3) − x ( x − 7) − ( x − 403) Tính giá trị A x=4, Tìm x để A=2015 2014 ) ( ( Bài 26: Cho đa thức: A = 11x4 y3 z + 20x2 yz − 4xy z − 10x2 yz + 3x4 y3 z − 2008xyz + 8x4 y3 z a, Tìm bậc A b, Tính A 15x-2y=1004z HD: Thu gọn A = 30x2 yz − 4xy2 z − 2008xyz = xyz (15x − y − 1004 z ) Bài 27: Tính giá trị biểu thức: x + x − x − = Bài 28: Tính giá trị biểu thức: x5 − 2009 x + 2009 x3 − 2009 x + 2009 x − 2010 x=2008 20 30 Bài 29: Tính giá trị biểu thức: 2x5 − y3 + , biết ( x − 1) + ( y + ) = Bài 30: Cho đa thức: A ( x ) = x + x2 + x3 + + x100 , a, CMR: x=-1 nghiệm A(x) b, Tính giá trị A(x) x = HD: a, A(-1)= -1+1-1+1- -1+1=0 nên -1 nghiệm A, A ( x ) = x ( x + 1) + x2 ( x + 1) + + x99 ( x + 1) b, Với x = 1 1 = A = + + + 100 2 2 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 2 ) Bài 31: Tính giá trị đa thức: N = xy2 z3 + x2 y3 z + x3 y4 z5 + + x2014 y2015 z 2016 , Tại x = −1; y = −1; z = −1 HD: Ta có: = xyz yz + x2 y2 z yz + x3 y3 z3.yz + + x2014 y 2014 z 2014.yz Thay y = −1; z = −1 vào ta được: N = −xyz − x2 y2 z − x3 y3 z3 − − x2014 y2014 z 2014 Thay xyz = −1 = N = − + − + + − = Bài 32: Cho biểu thức: M = a.x + b (a,b Z ) Lương nói: Giá trị biểu thức M x=23 2009 Minh nói: Giá trị biểu thức M x=18 là: 1458 CMR hai bạn có bạn nói sai ! HD: Giả sử hai bạn đúng, ta có: 23a+b=2009 18a+b=1458 đó: ( 23a + b) − (18a + b) = 2009 −1458 = 5a = 551 = a Z ( Vô lý) có bạn nói sai Bài 33: Tính giá trị biểu thức : B = x10 − 12 x + x + 3x + 2010 , x thỏa mãn : 3x9 − x6 + x3 + = Bài 34: Cho đa thức: B ( x ) = a.x2 + bx + c a, Cho biết: 5a+b+2c=0, CMR: A ( 2) A (1) b, Cho A(x) =0 với x, CMR: a=b=c c, Nếu 13a-b+2c=0 f ( 2) f ( −3) Bài 35: Cho đa thức: B ( x ) = a x + bx + c a, Cho biết 5a+b+2c=0, CMR: A ( 2) A (1) b, Cho A ( x ) = 0, x , Chứng minh a=b=c=0 Bài 36: Cho đa thức: f ( x ) = a x + bx + c a, CMR nếu: 5a + b + 2c = f ( −1) f ( 2) b, CMR: Nếu 13a − b + 2c = f ( 2) f ( −3) Bài 37: Cho P ( x ) = a.x2 + bx + c , CMR nếu: 5a + b + 2c = P ( 2) P ( −1) HD: Ta có : P ( 2) + P ( −1) = 5a + b + 2c = = P ( 2) = −P ( −1) P ( 2) P ( −1) Bài 38: Cho đa thức : P( x) = a.x2 + bx + c , CMR 5x-b+2c=0 P(1).P(-2) HD : Ta có : P(1) + P(−2) = a + b + c + 4a − 2b + c = 5a − b + 2c = nên P(1)= -P(-2) Bài 39: Cho đa thức f ( x ) = a x + bx + c, f ( 0) , f (1) , f ( 2) có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, 2a, 2b số nguyên b, f ( n ) số nguyên với giá trị nguyên n Bài 40: Cho đa thức f ( x ) = a x + bx + c , a, b, c số nguyên, biết giá trị f ( x ) với giá trị nguyên x, CMR a,b,c cho Bài 41: Cho P = xyz − xy2 − xz2 , Q = x3 + y3 , CMR: x-y=z P+Q=0 Bài 42: Cho đa thức bậc : f(x)=a.x+b, Hãy tìm điều kiện số b để thỏa mãn hệ thức : f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) + f ( x2 ) Bài 43: Cho đa thức f ( x ) = a.x2 + bx + c biết f(0),f(1),f(2) có giá trị nguyên, CMR: a, a+b+c, c, 2a, 2b số nguyên b, f(n) số nguyên với giá trị n GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức Bài 44: Cho f ( x ) = a.x2 + bx + c , Trong a, b, c số nguyên, biết giá trị f(x) chia hết cho với giá trị x, CMR a, b, c chia hết cho Bài 45: Cho đa thức: Q ( x ) = ax + bx + cx + d , ( a, b, c, d Z ) , Biết Q(x) chia hết cho với số nguyên x, CMR: hệ số a,b,c,d chia hết cho Bài 46: Cho hàm số : f ( x ) = ax2 + bx + c ( a, b, c Z ) Biết f(1) chia hết cho 3, f(0) chia hết cho 3, f(-1) chia hết cho 3, CMR a,b,c chia hết cho HD: Ta có f(0)=c, f(1)= a+b+c, f(-1)=a-b+c, Vì f(0) nên c 3, Vì f(-1) nên a+b+c 3=>a+b (1) f(-1) nên a-b+c => a-b (2), Từ (1) (2) nên (a+b)+(a-b) =>2a 3=>a 3=>b Bài 47: Cho f ( x ) = −2010x , CMR : f(a+b)=f(a)+f(b) Bài 48: Cho đa thức : a.x + bx + c = với giá trị x, CMR : a=b=c=0 HD: Vì đa thức a.x + bx + c = với x, Ta cho x nhận giá trị x=0, x=1 x=-1 Ta có : c=0, a+b+c=0 a-b+c=0=> a=b=c=0 Bài 49: Cho đa thức: f ( x ) = ax2 + bx + c , CMR f(x) nhân -1 nghiệm a c hai số trái dấu HD: Ta có nghiệm f(x) nên f(1)=0 hay a+b+c=0, -1 nghiệm nên a-b+c=0 Cộng theo vế ta được: 2a+2c=0=> a =-c, a c hai số đối Bài 50: Cho f ( x ) = a.x2 + bx + c nhận giá trị nguyên với giá trị nguyên x, CMR : 2a, a+b c số nguyên HD: Ta có : f ( 0) = a.02 + b.0 + c = c Z f (1) = a + b + c Z = a + b f ( 2) = 4a + 2b + c Z = 2a + 2(a + b) + c Z = 2a Z Bài 51: Cho đa thức P( x) = a.x3 + bx2 + cx + d với P(0) P(1) số lẻ, CMR : P(x) khơng thể có nghiệm số nguyên HD : P(0)=d lẻ P(1)=a+b+c+d lẻ, - P(1) số lẻ Giả sử P(x) có nghiệm nguyên m ta có P(m)=0 => ( am3 + bm2 + cm + d ) − ( a + b + c + d ) lẻ => a(m3 −1) + b(m2 −1) + c(m −1) lẻ => m chẵn=> P(m) lẻ, Điều mâu thuẫn Bài 52: Cho f ( x ) = a.x2 + bx + c có tính chất f(1),f(4),f(9) số hữu tỉ, CMR a,b,c số hữu tỉ HD: f (1) = a + b + c Q , f ( 4) = 16a + 4b + c Q f ( 9) = 81a + 9b + c Q Từ (1) (2) => (16a + 4b + c ) − ( a + b + c ) = 15a + 3b = (5a + b ) Q 5a + b Q Từ (2) (3) => (81a + 9b + c ) − (16a + 4b + c ) = 65a + 5b = (13a + b ) Q = 13a + b Q Nên (13a + 5b ) − ( 5a + b ) Q = 8a Q = a Q Khi a Q b Q c Q Bài 53: Cho đa thức bậc hai thỏa mãn : P(1) = P(−1) , CMR : P( x) = P(− x) với x GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức HD : Giải sử : P( x) = a.x2 + b.x + c , ta có : P(1) = P(−1) a + b + c = a − b + c 2b = b = Vậy P( x) = a.x2 + c Do P(−x) = a(−x)2 + c = a.x2 + c = P( x) Bài 54: Cho hàm số f ( x ) = HD : 100 x , CMR : a,b hai số thỏa mãn : a+b=1 f ( a ) + f ( b) = 100 x + 10 100a (100b + 10 ) + 100b (100a + 10 ) 100a 100b Ta có : f ( a ) + f ( b ) = + = 100a + 10 100b + 10 (100a + 10)(100b + 10) = 2.100a +b + 10 (100a + 100b ) 100a +b + 10 (100a + 100b ) + 100 = 200 + 10 (100a + 100b ) 200 + 10 (100a + 100b ) =1 Bài 55: Cho đa thức bậc biến x P(1)=P(-1), P(2)=P(-2), CMR : P(x)=P(-x) với x HD : P(x) đa thức bậc nên có dạng : P( x) = a.x4 + bx3 + cx2 + dx + e Ta có : P(1)=P(-1) P(2)=P(-2) => d+b= - d - b 2d+8b=-2d-8b=> b=d=0 Vậy P( x) = a.x4 + cx2 + d P(−x) = a.x4 + cx2 + d =P(x) 5 Bài 56: Cho đơn thức : 19t + x1890 y 2010 , Tìm t thỏa mãn : t a, Đơn thức dương với x,y khác b, Âm với x,y khác HD : 5 19t + 1890 2010 x y a, 19t + x1890 y 2010 = mà 19t + x1890 y2010 t t Bài 57: Cho A = 4mx y + ( −15x y ) + mx4 y , x y khác Với giá trị m : a, A dương với x,y b, A âm với x,y khác 2 Bài 58: Cho thức: P = 9x − 7xy +11y Q = −4x2 + xy − y2 ,CMR P Q có giá trị âm HD : Xét tổng hai đa thức => Tổng dương Bài 59: Cho hai đa thức : A = −13x2 +10xy + 3y2 B = x2 − 5xy − y2 , CMR: A B khơng thể có giá trị âm Bài 60: Cho đa thức: P ( x ) = ax2 + bx + c 6a + 2b = −3c , CMR: Trong ba số P(1), P(2),P(-1) có số khơng âm, số khơng dương Bài 61: Cho đa thức: P ( x ) = x8 − x5 + x2 − x + 1, CMR: P(x) dương với giá trị x thuộc P Bài 62: Cho hai đa thức: M = 6x2 + 3xy − y2 & N = 3y2 − 2x2 − 3xy , CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm Bài 63: Cho đa thức : A = 5x2 + 6xy − y2 , B = −9x2 − 8xy +11y2 C = 6x2 + 2xy − y2 CMR A ,B ,C âm Bài 64: Cho thức: M = −6x2 + 5xy −13 y2 N = x2 − xy + y2 , CMR: M, N khơng thể có giá trị dương Bài 65: Cho hai đa thức: M = 6x2 + 3xy − y2 , N = 3y2 − 2x2 − 3xy CMR không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm Bài 66: Cho hai thức : A ( x ) = 4x2 − x3 + 5x4 − , B ( x ) = 3x2 − 3x4 + x3 + , CMR hai thức có đa thức có giá trị dương GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức HD: Xét tổng dương Bài 67: Cho hai đa thức : P ( x ) = 5x3 + 6x2 − 9x + Q ( x ) = −5x3 − 4x2 + 9x + , CMR: không tồn giá trị x để đa thức P(x) Q(x) có giá trị khơng dương HD: Xét tổng dương Bài 68: Cho đơn thức: M = −5 x19 y , N = 11xy12 , P = x y , CMR ba đơn thức khơng thể có giá trị dương Bài 69: Cho hai đa thức: M = 6x2 + 3xy − y N = 3y2 − 2x2 − 3xy chứng minh không tồn giá trị x y để hai đa thức có giá trị âm Bài 70: Cho đa thức A = −4x2 + 7xy − y B = x2 − xy + 11y , CMR A B khơng thể có giá trị âm Bài 71: Cho P = x2 − 5xy + y , Q = −6x2 + 5xy − 13y , CMR: P Q khơng thể có giá trị dương Bài 72: Cho đa thức : P( x) = a.x2 + bx + c Cho biết 9a-b=-3c, CMR : Trong ba số P(-1) ; P(-2) ; P(2) có số âm, số khơng dương HD : Ta có : P(-1)+P(-2)+P(2)=9a-b+3c=0 ba số có số khơng âm, số khơng dương Bài 73: Tính tổng hệ số đa thức sau bỏ dấu ngoặc : P ( x ) = ( x + 3x − 10 ) HD: 2008 (8 x + x − 10 ) Sau bỏ ngoặc ta : P ( x ) = an xn + an−1 xn−1 + + a1x + a0 với n = 2.2008 + 2.2009 Thay x=1, giấ trị P (1) tổng hệ số P(x) Ta có P (1) = (8.12 + 3.1 − 10 ) 2008 (8.1 + − 10 ) 2009 = −1 Bài 74: Tính tổng hệ số đa thức F(x) sau thu gọn: f ( x ) = (1999 x − 2000 x + ) 2011 ( 2002 x3 − 2003x + 2005 x − 2005 ) 2008 Bài 75: Tìm tổng hệ số đa thức nhận sau bỏ dấu ngoặc biểu thức: (3 − 4x + x ) (3 + 4x + x ) 2016 2019 GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức 2009 DẠNG NGHIỆM CỦA ĐA THỨC Bài 1: Chứng minh đa thức sau nghiệm với x: f ( x ) = x2016 − x2015 + x2 − x + Bài 2: Chứng minh đa thức: f ( x ) = 5x + x − x + 3x − x − x + − x khơng có nghiệm Bài 3: CMR đa thức x + x + nghiệm Bài 4: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: x f ( x − 2) = ( x − 4) f ( x ) với x Bài 5: CMR: đa thức f(x) có hai nghiệm nếu: ( x − 3) f ( x ) = ( 2x −1) f ( x − 2) với x Bài 6: CMR đa thức P(x) có hai nghiệm, biết : ( x − 6) P ( x ) = ( x + 1) P ( x − 4) HD : Vì ( x − 6) P ( x ) = ( x + 1) P ( x − 4) với x nên Khi x=6 ( − 6) P ( 6) = ( + 1) P ( − 4) = = P ( 2) = P ( ) = => nghiệm P(x) Khi x=-1 ( −1 − 6) P ( x ) = ( −1 + 1) P ( −1 − 4) = −7 P ( −1) = = P ( −1) = => -1 nghiệm P(x) Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: xP( x + 2) = ( x2 − 9).P( x) , CMR đa thức có ba nghiệm HD: Xét x=0, x=3 x= -3 Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa mãn điều kiện : ( x − 5) P( x + 4) = ( x + 3) P( x) CMR đa thức có hai nghiệm Bài 9: Cho đa thức P( x) thỏa mãn điều kiện xP ( x + 2) = ( x − 5) P ( x ) , CMR đa thức có hai nghiệm Bài 10: Cho đa thức Q ( x ) thỏa mãn điều kiện ( x − 1) Q ( x + ) = ( x − ) Q ( x ) , CMR đa thức có nghiệm Bài 11: Tìm tất đa thức P(x) thỏa mãn: P( x) = a.P(1 − x) = (a − 1).x với giá trị x, biết a 0;1; −1 Bài 12: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhận 19; 2017 làm nghiệm HD : A( x) = ( x − 19)( x − 5)( x − 2017) Bài 13: Tìm đa thức có bậc nhỏ nhân ; ; ; ;2019 làm nghiệm Bài 14: Cho đa thức : Q( x) = x2 + mx −12 (m số) Tìm nghiệm Q(x), biết Q(x) có nghiệm -3 Bài 15: Cho hàm số : f ( x ) = ax + b ( a, b Z ) , CMR khơng thể đồng thời có f(17)=71, f(12)=35 Bài 16: Xét hai đa thức P( x) = x2 + a.x + b, Q( x) = x2 + cx + d x1; x2 hai số khác CMR P(x) Q(x) nhận x1; x2 làm nghiệm P(x) = Q(x) HD : Ta có : x12 + a.x1 + b = x12 + cx1 + d = x22 + a.x2 + b = x22 + cx2 + d = Nên a ( x1 − x2 ) = c ( x1 − x2 ) = a = c Do : a.x1 + b = cx1 + d a.x2 + b = cx2 + d => b = d Vậy P(x)=Q(x) GV: Ngô Thế Hoàng _ THCS Hợp Đức x2 1 x x Bài 17: Cho đa thức: q( x) = x − x3 + x − − x + x − 3 3 2 a, Tìm bậc q(x) −1 b, Tính q c, CMR: đa thức q(x) nhận giá trị nguyên với x nguyên Bài 18: Cho hàm số y = f ( x ) (x R, x ) , có tính chất f ( x1; x2 ) = f ( x1 ) f ( x2 ) Hãy CMR: a f (1) = Bài 19: Cho hàm số f ( x ) ( ) b, f x −1 = f ( x ) xác định với x thuộc R, biết với x ta có: −1 1 f ( x ) + f = x , Tính f ( ) 3 HD: 1 Ta có: x = = f ( ) + f = 2 1 1 47 Và x = = f + f ( ) = = f ( ) = 32 2 ( ) ( ) Bài 20: Cho đa thức f ( x ) thỏa mãn: x − 5x f ( x − ) = x + 3x + f ( x + 1) , với x CMR: f ( x ) có nghiệm GV: Ngơ Thế Hồng _ THCS Hợp Đức ... −1 − 4) = ? ?7 P ( −1) = = P ( −1) = => -1 nghiệm P(x) Bài 7: Cho đa thức P(x) thỏa mãn: xP( x + 2) = ( x2 − 9).P( x) , CMR đa thức có ba nghiệm HD: Xét x=0, x=3 x= -3 Bài 8: Cho đa thức P(x) thỏa... + 4) = ( x + 3) P( x) CMR đa thức có hai nghiệm Bài 9: Cho đa thức P( x) thỏa mãn điều kiện xP ( x + 2) = ( x − 5) P ( x ) , CMR đa thức có hai nghiệm Bài 10: Cho đa thức Q ( x ) thỏa mãn điều... ĐA THỨC Bài 1: Chứng minh đa thức sau khơng có nghiệm với x: f ( x ) = x2016 − x2015 + x2 − x + Bài 2: Chứng minh đa thức: f ( x ) = 5x + x − x + 3x − x − x + − x khơng có nghiệm Bài 3: CMR đa