CHUYÊN đề hệ PHƯƠNG TRÌNH bồi DƯỠNG học SINH GIỎI THCS

2 CHUYÊN ĐỀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI THCS Chủ đề Các hệ phƣơng trình Hệ phƣơng trình đối xứng loại I Hệ phƣơng trình đối xứng loại II Hệ phƣơng trình quy đẳng cấp Chủ đề Một số kĩ thuật giải hệ phƣơng trình 12 Kĩ thuật 12 Dạng 1: Rút ẩn theo ẩn từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình 12 Dạng 2: Thế biểu thức v|o phƣơng trình cịn lại 13 Dạng 3:Thế số từ phƣơng trình n|y v|o phƣơng trình 15 Kĩ thuật phân tích thành nhân tử 17 Kĩ thuật cộng, trừ, nhân hai vế hệ phƣơng trình 22 Dạng 1: Cộng, trừ đại số để tạo tổng bình phƣơng 22 Dạng 2: Cộng, trừ hai vế để đƣa phƣơng trình ẩn 23 Dạng 3: Cộng, trừ đại số để đƣa phƣơng trình tích 24 Dạng 4: Các tốn khơng mẫu mực giải cộng, trừ, nhân hai vế hệ 26 Kĩ thuật đặt ẩn phụ 28 Dạng 1: Dùng ẩn phụ đƣa phƣơng trình bậc hai ẩn 28 Dạng 2: Dùng ẩn phụ đƣa hệ đối xứng loại I 30 Dạng 3: Dùng ẩn phụ đƣa hệ đối xứng loại II 32 Dạng 4: Dùng ẩn phụ đƣa phƣơng trình ẩn 33 Dạng 5: Đặt ẩn phụ dạng tổng hiệu 34 Kĩ thuật nhân liên hợp phƣơng trình chứa thức 36 Kĩ thuật đánh giá giải hệ phƣơng trình 39 Dạng 1: Dựa vào đồng biến nghịch biến vế hệ phƣơng trình 39 Dạng 2: Sử dụng bất c{c đẳng thức cổ điển để đ{nh gi{ 40 Dạng 3: Sử dụng điều kiện nghiệm hệ phƣơng trình 44 Kĩ hệ số bất định để giải hệ phƣơng trình 45 Chủ đề Hệ phƣơng trình bậc ba ẩn 52 Dạng 1: Hệ hai phƣơng trình ba ẩn 52 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC Dạng 2: Hệ ba phƣơng trình ba ẩn 53 Chủ đề Hệ phƣơng trình có chứa tham số 57 Dạng 1: Biện luận nghiệm phƣơng trình 57 Dạng 2: Tim điều kiện tham số để thỏa mãn điều kiện cho trƣớc 60 Bài tập rèn luyện tổng hợp 64 Hƣớng dẫn giải 76 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I LÝ THUYẾT CHUNG:  f  x, y   Hệ đối xứng loại II hệ có dạng:  g  x, y   Trong f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức đối xứng Nghĩa l|: f(x, y) = f(y, x) v| g(x, y) = g(y,x) Hay hệ phƣơng trình đối xứng loại I hệ phƣơng trình có vai trị x, y ho|n to|n nhƣ phƣơng trình, ta ho{n đổi vị trí x y hệ hệ  x  y  2xy  21 phƣơng trình khơng thay đổi Ví dụ:  2  2x  2y  xy  Tính chất: Nếu hệ có nghiệm (x0 ; y0 ) tính đối xứng, hệ có nghiệm (y0 ; x0 ) PHƢƠNG PHÁP GIẢI Biến đổi c{c phƣơng trình hệ đƣa ẩn S P mà: S = x + y, P = x.y Giải đƣợc S P Khi x, y nghiệm phƣơng trình: X2 – S.X + P = Một số đẳng thức hay đƣợc đƣợc sử dụng: x  y   x  y   2xy  S  2P x  xy  y   x  y   3xy  S  3P x  xy  y   x  y   xy  S  P x  y   x  y   3xy  x  y   S  3PS  x4  y4  x2  y2    2  2x y   x  y   2xy   2x y  S  2P         2P 2 x  x y  y  x  y  xy x  y  xy  S  2P  P 1 xy S    ; x y xy P 1 x  y S  2P   2  ; x2 y2 x y P2 x y x  y S  2P    y x xy P THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC THÍ DỤ MINH HỌA x  y  xy  1 Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  2 x  y  xy  Lời giải  (x  y)  xy  1 Hệ    (x  y)  3xy  S  P  1 S  1, P  2 x  y  S x, y  S2  4P ta đƣợc  Đặt    S  4, P  xy  P S  3P  S  x  y   x  1, y  TH    P  2 xy  2  x  2, y  1   S  4 x  y  4  x  1, y  3 TH    P  xy  x   3, y      Vậy tập nghiệm hệ là: S = (1; 2); (2; 1); ( 1; 3); ( 3; 1) x  x y  y  17 Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  x  xy  y  Lời giải 3 3  x  y 3  x y  3xy  x  y   17  x  x y  y  17    x  xy  y    x  y   xy     Đặt x  y  a; xy  b Hệ cho trở th|nh: a  b3  3ab  17    a  b  a   b   b  5b   a   b  (b  2)(b  3)  a   b  a   b  a  Với  b  x   y x  y   x   y ta có hệ phƣơng trình     y  3y   xy  (y  1)(y  2)   x   y  a  Với  b   x  y  x   y ta có hệ phƣơng trình    xy   y  2y   x   y  (vô nghiệm) Vậy nghiệm hệ cho l|:  x; y   1;  ;  2;1  xy(x  y)  Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  3 3  x  y  x y   x  1 y  1  31 (Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC Lời giải Ta có hệ phƣơng trình: xy  x  y    2 (x  y)(x  xy  y )   xy   7(x  y  xy  1)  31 xy(x  y)      (x  y)  x  y   3xy    xy    x  y   xy  1  31  ab  Đặt a  x  y; b  xy hệ trở thành:  a a  3b  b3   a  b  1  31   ab   3 a  3ab  b   a  b  1  31   a  b   a  b   3ab   3ab   a  b  1  31       a  b   3ab(a  b)  3ab  7(a  b)  24    a  b   6(a  b)  3.2   a  b   24    a  b    a  b   30    a  b   27  (a  b)  3  (a  b  3)  a  b   3(a  b)  10       a  b  a  b   3(a  b)  10   a  b  a  (do a   x  y   4xy  4b)   ab  b  x  y   x y 1 xy  Vậy hệ có nghiệm  x; y    1;1 II- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI II KHÁI NIỆM f  x, y   Hệ đối xứng loại II hệ có dạng:  f  y, x   Trong đó: f(x, y) l| đa thức không đối xứng Hay hệ đối xứng kiểu hai hệ đối xứng hai phƣơng trình hệ, ta hốn đổi vị trí x v| y phƣơng trình thứ đƣợc phƣơng trình thứ hai THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC  x  2y  hệ Ví dụ:   y  2x  1 thay ho{n đổi vị trí x y phƣơng trình (1) ta 2 đƣợc y2  2x  đ}y l| phƣơng trình (2) PHƢƠNG PHÁP GIẢI Trừ vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc nhân tử chung (x – y) nhóm lại v| đƣa phƣơng tích v| sau xét hai trƣờng hợp:  xy (x  y).A(x, y)     A(x, y)  Việc trừ theo vế thƣờng phải sử dùng đẳng thức liên hợp chứa căn: a  b   a  b  a  b   a  b3   a  b  a a3b  ab a b ab  b a b ab a2 ab  b THÍ DỤ MINH HỌA  x  x  2y Thí dụ Giải hệ phƣơng trình    y  y  2x Lời giải Điều kiện: x, y  Trừ hai phƣơng trình hệ cho ta thu đƣợc:  y     x  y x  y     x2  x  y2  y   y  x    x  Vì  x  y x  y     x  y     x y 0 nên phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với: x  y Hay x  2x  x   x  x  2x  x THCS.TOANMATH.com   x   x  x  x    x   x      TÀI LIỆU TOÁN HỌC  3 3  Vậy hệ có cặp nghiệm:  x; y    0;  , 1;1 ,  ;   2   x  3x   2x   y Thí dụ Giải hệ phƣơng trình   y  3y   2y   x Lời giải 1 Điều kiện: x   ; y   2 Để ý x  y   nghiệm Ta xét trƣờng hợp x  y  1 Trừ hai phƣơng trình hệ cho ta thu đƣợc:   x3  3x   2x   y  3y   2y   y  x  (x  y) x  xy  y   4(x  y)  x  y 2x   2y  0   0xy  (x  y)  x  xy  y   2x   2y    Khi x  y xét phƣơng trình: x3  2x   2x    x3  2x  2x    x(x2  1)      x x2   0x0 2x   2x     2x Tóm lại hệ phƣơng trình có nghiệm nhất: x  y         x  1 y   y x   Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  2  y  1 x   x y    Lời giải xy  6x  y   yx  y  Hệ cho   2   yx  6y  x   xy  x Trừ vế theo vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 2xy  y  x    x  y    x  y  x  y     x  y  x  y  2xy    x  y   x  y  2xy   + x  y  Nếu x  y thay vào hệ ta có: x2  5x     x  y  + Nếu x  y  2xy    1  2x 1  2y   15 Mặt khác cộng hai phƣơng trình hệ cho ta đƣợc: x2  y2  5x  5x  12    2x     2y    2 Đặt a  2x  5, b  2y   a  b   2 a  b   a  b   2ab  ab  1    Ta có:  ab   a  b   1  a  b  8  a   b    15   ab  31 a  b    x; y    3;  ,  2;  Trƣờng hợp 1:  ab    a  b  8 Trƣờng hợp 2:  vô nghiệm ab  31 Vậy nghiệm hệ cho l|:  x; y    2;  ,  3;  ,  2;  ,  3;  III- HỆ CÓ YẾU TỐ ĐẲNG CẤP LÝ THUYẾT CHUNG: k   f  x, y   c1 + Là hệ có dạng:  k   g  x, y   c2 Trong f(x, y) v| g(x, y) l| c{c đa thức bậc k x y (k = , 1, 2, 3,….) v| không chứa thành phần nhỏ k THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 10 + Hoặc c{c phƣơng trình hệ nhân chia cho tạo phƣơng trình đẳng cấp Ta thƣờng gặp dạng hệ hình thức nhƣ: ax  bxy  cy  d  +  , ex  gxy  hy  k   2  ax  bxy  cy  dx  ey +  , gx  hxy  ky  lx  my   ax  bxy  cy  d  +  2  gx  hx y  kxy  ly  mx  ny PHƢƠNG PHÁP GIẢI Phƣơng ph{p chung để giải hệ dạng là: Từ c{c phƣơng trình hệ ta nhân chia cho để tạo phƣơng trình đẳng cấp bậc n : a1xn  a k xnk yk  a n yn  Từ ta xét hai trƣờng hợp: y  thay v|o để tìm x x thu đƣợc phƣơng trình: a1t n  a k t nk  a n  y + y  ta đặt t  + Giải phƣơng trình tìm t sau vào hệ ban đầu để tìm x, y Chú ý: ( Ta đặt y  tx ) THÍ DỤ MINH HỌA 2  2x  3xy  y  12 Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  2  x  xy  3y  11 1 2 (Trích đề thi thử Chuyên Nguyễn Huệ năm 2015-2016) Lời giải 22x2  33xy  11y  121 HPT   2 12x  12xy  36y  121  10x2  45xy  25y   2x  9xy  5y    Ta thấy y = không nghiệm phƣơng trình THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 11 x  Chia hai vế phƣơng trình (3) cho y ta đƣợc      y  x  5  y y   x t x  ( t > 0) Khi đó: 2t  9t     2t  1 t       2   y     t x y   y Với x  thay vào (1) ta đƣợc: Đặt t = x  x  1 y2  y  y  12  y   y  2   ; 2  y  y  2 Với x  5y thay v|o (1) ta đƣợc:  5  x x    ; 50y  15y  y  12  36y  12  y     y  y     3   Vậy nghiệm hệ phƣơng trình l|:      x; y   1;  ,  1; 2  ,   33 ; 33  ,  33 ;  33      2 x  2y  1  Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  3  2x  y  2y  x (Trích đề Chuyên Vũng Tàu năm 2019-2020) Lời giải   Để ý nh}n chéo phƣơng trình hệ ta có: 2x3  y3  x2  2y2  x  2y  đ}y l| phƣơng trình đẳng cấp bậc 3: Từ ta có lời giải nhƣ sau:  1 2 x  2y  1  3 2x  y  2y  x    2x3  y3  x2  2y2  x  2y   x3  2x2 y  2xy  5y  x  y   x  y  x2  3xy  5y    x  3xy  5y     TH1: x  y , thay v|o phƣơng trình 1 ta đƣợc x  y  1    11 x  y  TH2: x  3xy  5y    x  y   y    xy0 2   y   2 Thử lại, ta thấy x  y  nghiệm hệ phƣơng trình cho THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 120 ( m  1)(  y )  y   ( 2m  )y  2m  (3) Hệ có nghiệm x, y số nguyên  ( ) có nghiệm y số nguyên Với m   2m    ( ) có nghiệm y  2m  2m  2m   2m   y    2m   1  1 m   m  Vậy có giá trị m thoả mãn 1; Câu 81 Ta có: x3  x  y  x3   x  y   x3   x  y  xy   x  y  x3  x3  y  x3  y  x  y Thế v|o phƣơng trình x2  y  xy   x2   x    y   Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm  x, y     2; ;  2;   Câu 82  x   xy (1) Giải hệ :  2  y   x y (2) - Trừ vế hai phƣơng trình hệ ta đƣợc ; (3) x  y x  y  xy  x y  ( x  y )( xy  x  y )     xy  x  y  (4) - Thay y = x từ (3) v|o (1) ta đƣợc phƣơng trình :  x  1  x   x3  ( x  1)( x  x  2)    x   x 1  Vậy ta đƣợc c{c nghiệm (x y) l| : (1; 1); (1  2;1  2); (1  2;1  2) - Từ (4) suy y  có : x ( x = -1 l| nghiệm (4)) Thay y v|o (2), ta x 1 x2  x3  2  x  x3  x  x   ( x  1) x 1 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 121 2  ( x2  x  2)( x  x  1)   x  x   (Vì x  x   ( x  1)   ) x  1   x   - Với x    y  1  3  Ta đƣợc ( x; y)  (1  5; 3  5) l| 2 nghiệm hệ - Với x    y   1  3  Ta đƣợc ( x; y)  (1  5; 3  5) l| 2 nghiệm hệ Vậy hệ cho có nghiệm : (1; 1); (1  2;1  2); (1  2;1  2) ; (1  5; 3  5) ; (1  5; 3  5) Câu 83  x  xy  xy  y3  1    2  x  1  x  y  1  y     (1)   x  y  x  y ĐK: x  xy0     x  y 0  TH1: x  y  , suy x  y  không thỏa mãn hệ   TH2: x - y = hay y = x v|o (2) ta đƣợc : x   x  x  1  x   2x  3x x  x  x        x  2 x 1 x  x 1   x 2 x4    x1 x    1 1 4 4 Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm :  x; y    4;4   x; y    ;  Câu 84 2  xy  x  y  1  xy  (2 x  1)  y (*)    2  x y  xy  x  y  ( x y  xy  1) y  2(2 x  1)  2 y (lưu : không thiết biến đối đưa vế phải pt thứ hai 2y , 3y ) 2 x   x 2(2 x  1)  - Xét y  thay v|o hệ (*) ta đƣợc:  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 122  x   Suy  l| nghiệm hệ  y  - Xét y  , hệ phƣơng trình (*) tƣơng đƣơng với hệ: 2x  2x     xy  y  ( xy  1)  y    (**)       x  x  2  x y  xy   ( xy  1)     2    2   y    y   Đặt a  xy  1, b  a  b  2x 1 hệ phƣơng trình (**) trở th|nh:  (***) a  2b  2 a  a  4 ,  b  b  + Giải hệ (***) tìm đƣợc:    2x    xy    x     x  a    * Với  ta có  x      b  y     y  y  2x    3   x    y      2x    xy   4 x   5  a  4     * Với  ta có  x  (vơ nghiệm)   x  b   y y     x   Vậy hệ phƣơng trình cho có ba nghiệm:  2,  y  x  ,  y     x    y    Cách khác: 2  xy  x  y  1  xy  (2 x  1)  y    2  x y  xy  x  y   x y  xy  (4 x  2)  3 y 2 xy  (4 x  2)  y   x y  xy  y   x y  xy  (4 x  2)  3 y y    xy   xy  5 + Với y  Suy đƣợc ( x; y )  ( ;0) + Với xy  Suy đƣợc ( x; y)  (1;1) ( x; y )  ( ;  ) + Với xy  5 Trƣờng hợp n|y không tồn cặp ( x; y ) THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 123  x   Vậy hệ phƣơng trình cho có ba nghiệm:  2,  y   x  x   ,   y 1 y    Câu 85 2   x   y  1  xy  x   2 x  x  y   2   x   y  1  x  y  1  I    2 x  x  y    II  Đặt t  y  ta có hệ 2   x  t  xt   x  t   x  t  xt  I I        2 x  t   x  x  t x  t  x x  t         Vậy nghiệm hệ phƣơng trình l|  x; y   1;0  ;  1; 2  Câu 86 Điều kiện: x  Phƣơng trình thứ hai tƣơng đƣơng với  x  2y  5x   x      5x    5x   2y  x         2y  x     4 Với 2y4  x     ta đƣợc y  trình thứ ta đƣợc 3  y2  , v|o phƣơng  2x  2x 3 2x     6x  hay  2x  2x 6x     2x     6x  3  2x  Với phƣơng trình ta nhận thấy có c{c hƣớng xử lý nhƣ sau + Hƣớng Đặt ẩn phụ a  6x   0; b    2x   Khi ta đƣợc hệ phƣơng trình a  b2  15  a  b2  15   3  a  b   45  6ab  ab    a  b  ab  15   a  b        a  b   15  ab  Từ hệ ta đƣợc 45  6ab  15  ab    ab   36ab  180  2 Chú ý ab  nên từ phƣơng trình ta đƣợc ab  ab  30 Với ab  30 ta đƣợc a  b  5 , loại Với ab  ta đƣợc a  b  3 suy a  3; b  a  3; b   6x    x Từ a  3; b  ta đƣợc      2x   THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 124  6x    x1 Từ a  3; b  ta đƣợc    2x     Đ}y l| hệ phƣơng trình đối xứng nên ta giải đƣợc hệ + Hƣớng Nhận thấy phƣơng trình có nghiệm x  nên ta sử dụng đại lƣợng liên hợp 6x     2x     6x    2x   6x      2x     12x  42x  18  6x  6x     6x   2x    12x  42x  30  12x  42x  18   1 2x  0   6x       6x   3   2x   3  12x  42x  18   Xét phƣơng trình 6x      2x    2x   12x  42x  18 0 Phƣơng trình đƣợc viết lại thành 2x         2x    2x   2x   2x    2x    2x    2x  2x    2x     2x   2x   4x  14x      0  2x  4x  14x   2x  4x  14x  0 0  2x  2x  2x   2x   0 2x   2x    4x  14x     1     0x    2x    2x   2x    2x   2x    4x  14x          Từ kết ta tìm đƣợc nghiệm hệ phƣơng trình l|   x; y    1;     ,  1;       5  ,  ;  ,  ;    2  2   Câu 87 Cả hai phƣơng trình có hạng tử xy nên ta tìm cách triệt tiêu, lúc tốn giải đƣợc Hệ phƣơng trình cho tƣơng đƣơng với THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 125 2xy  x  y  2xy  x  y    3y  3x   y   x  xy  y  x  2xy  2y  2x  Thế y   4  x v|o phƣơng trình thứ ta đƣợc x2  x    x  2;  3 3   4    Vậy hệ phƣơng trình có hai nghiệm  x; y    2;  ,  ;   3   Câu 88  x2  y   4x (1)  Giải hệ phƣơng trình:    x  12 x  y  x + (2) Ta có: (1)   12 x  3x2  12 y , v|o phƣơng trình (2) v| thu gọn ta đƣợc: x3  y  3( x  y )  ( x  y )( x  xy  y  3x  y )  x  2y   2  x  xy  y  3x  y  *) TH1: x  y   y  x , v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc 2 x2   4x  2x2  4x   , phƣơng trình vơ nghiệm *) TH2: x2  xy  y  3x  y  , trừ vế theo vế phƣơng n|y với phƣơng trình (1) ta đƣợc: x  2 xy  3x  y   4 x  xy  x  y    ( x  3)(2 y  1)    y   + Nếu x =3 thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: 4y2 =  y = 0, cặp (x;y) = (3;0) thoả mãn phƣơng trình (2) + Nếu y  , thay v|o phƣơng trình (1) ta đƣợc: (x - 2)2 =  x = 2, cặp (x;y) =  1  2;  thoả mãn phƣơng trình (2)  2 Vậy nghiệm hệ cho l| (x y) = (3 0) v| (x y) = (2 1) 4x   y  4x Câu 89 Giải hệ phƣơng trình  2 x  xy  y  28(Trích đề HSG tỉnh Nghệ An năm 2015-2016) Lời giải 2   y  2 x   x  1  y  Hệ phƣơng trình   2   x  xy  y   x  xy  y   y  2x 1  y  2x 1   Xét hệ:   2  x  xy  y    x  x  x  1   x  1  THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 126  y  2x 1  x   x    y  2x 1   x       y 1 7 x  x  y    x     7    y  2 x   y  2 x   Xét hệ:   2  x  x  x  1   x  1   x  xy  y    y  2 x  x   x  1  y  2 x       x     y  1 y 1 3x  3x    x  1    3 Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm (x;y) là: (0;1),   ;   , (0;-1), (-1;1)  7 Câu 90 Thay (2) v|o (1) ta đƣợc x3  y3   y  y   x  y   21x3  5x y  xy   x    x  x  y  3x  y     x  y   y x    - Với x  thay v|o (2) ta đƣợc y  2 31 y thay v|o (2) ta đƣợc  y  phƣơng trình vơ nghiệm 49 y - Với x   thay v|o (2) ta đƣợc y   y  3 Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm - Với x   x; y    0; 2 ;  0;  2 ;  1;3 ; 1;  3 Câu 91 2  2 x  y  3xy  x  y      x  y   y  x 1  1  2  x2  y   Điều kiện   y  x 1  1  y   x 1 y  x2  x    y  x 1 Tính    x  1  1    y  2x  Với y  x  thay v|o (2) ta đƣợc  x   y  1 tm  x2  x    x2  x     x   x   tm  Với y  x  thay v|o (2) ta đƣợc THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 127 x2  x   x 1    x  1 Ta có  x  1   x 1    x 1  Dấu “=” xảy  x   y   tm  Vậy hệ phƣơng trình có c{c nghiệm  x; y    0;  1 ; 1;0  Câu 92 2  2 x  y  xy  y  x   Xét hệ phƣơng trình  2  x  y  x  y   (1) ( 2) PT (1)  x  y  xy  y  5x    y  x  1y  x2  5x   Ta có '  x  1  4 x  5x  2  x  18x   9x  1 2 x   3x  1  y  Khi PT (1)    y  x   3x  1   y  x    y  2x  Với y   x  , thay vào PT (2) ta đƣợc x  x    x   y  x   x  x    Với y  x  , thay vào PT (2) ta đƣợc x    13 *) x    y   5  13  Vậy nghiệm hệ phƣơng trình l| 1;1   ;   5 *) x   y  Câu 93 Điều kiện x  1, y  y2  y     x    x    y  y  x   y  1    y  1 y  x   y 1  y  x   Với y  , thay v|o (2) ta đƣợc x2   x2    x2   x2   x4  x2   x2   x2  x   x4  5x2      (do điều kiện x) x  x  Với y  x  , thay v|o (2) ta đƣợc x  x   x   THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 128   x2  4     x 1 1    x   x     x2     x   x   x2  0 x 1 1 x2   x     x  2  0 x2  x 1 1 x2   Với x  suy y  Ta có x     x  2    x  2    x   1   x 1 1 x2   x2     x2   7x    x 1 1 Với x  x      x   Suy  x   x2   x2    x 1 1 x2   x2   0 0 x 1 1 Vậy hệ phƣơng trình có c{c nghiệm 1;1 ,  2;1 Câu 94 Từ phƣơng trình thứ hệ ta đƣợc x  5y  20 Thế v|o phƣơng trình thứ hai ta đƣợc  5y  19 10y  39 15y  59   1  3y  1  3y   5y  20     750y  8725y  33830y  34719  150y  1141y  2006y  801    600y  7584y  31824y  44520    y   75y  573y  1113  Dễ thấy phƣơng trình 75y2  573y  1113  vơ nghiệm Do từ phƣơng trình ta đƣợc y    y  nên x  Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm  5;  Cách khác: Khi thực phép x  5y  20 v|o phƣơng trình thứ hai ta đƣợc phƣơng trình ẩn, nhiên phƣơng trình khó ph}n tích Do ta tìm c{ch ph}n tích phƣơng trình thứ hai thành tích THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC 129 1  x 1  2x 1  3x   1  3y  1  3y  2x    2x  3x  1  3x  1  1  3y  1  3y  2x    3x  1  2x  3x  1  1  3y   2x  3y  1 2 2 2 x  y    x  y     x  y   2x        x  y   2x  Đến đ}y ta kết hợp với phƣơng trình thứ để tìm nghiệm Trong hai cách cách thực phép dễ thấy nhƣng c{ch ph}n tích phƣơng trình thứ hai thành tích cho lời giải đơn giản Câu 95 Đặt a  2x  y  1; b  x  y  Khi hệ phƣơng trình viết đƣợc lại thành 2  a  b2  2ab  2ab  26  a  b  26   a  b   11   a  b    26    ab  11  a  b   a  b  ab  11   ab  11   a  b     a  b  8; ab  19  a  b    a  b   48    a  b  6; ab   ab  11   a  b  a  b  8 + Với  , hệ vô nghiệm  a  b   4ab ab  19 a  b  a  1; b  + Với   ab  a  5; b  2x  y   x  Khi a  1; b  ta có   x  y    y  2 2x  y   x   Khi a  5; b  ta có  x  y   y  Vậy phƣơng trình cho có c{c nghiệm  2; 2  ,  2;  Chú ý Khi hai phƣơng trình hệ khơng thể ph}n tích đƣợc thành tích ta nhân hai phƣơng trình với số k cộng theo vế hai phƣơng trình đƣợc phƣơng trình bậc hai Ta cần tìm số k để phƣơng trình ph}n tích đƣợc thành tích Chẳng hạn ta viết lại hệ phƣơng trình nhƣ 2 2   5x  2y  2xy  2x  4y  24 5x  2y  2xy  2x  4y  24    2x  y  xy  4x  2y  xy  12  3x   2x  y  1 x  y  1  11   Khi ta thấy nh}n phƣơng trình thứ hai với k  cộng hai phƣơng trình ta thu đƣợc phƣơng trình 9x2  6x  48  Câu 96 Từ x  y  z  THCS.TOANMATH.com 1 1 1 1    ta đƣợc    Khi ta đƣợc x y z x y z xyz TÀI LIỆU TOÁN HỌC 130 xy xy 1 1    0  0 x y z xyz xy z x  y  z     x  y  xy  zx  yz  z    x  y  y  z  z  x   + Xét trƣờng hợp x  y  , từ x  y  z  ta đƣợc z  Cũng từ x  y  ta đƣợc x  y Thế vào x2  y2  z2  17 ta đƣợc 2x2   x  2 Từ ta đƣợc hai số  x; y; z  thỏa mãn  2; 2;  ,  2; 2;  + Giải c{c trƣờng hợp y  z  z  x  ta đƣợc số hoán vị hai số Vậy số  x; y; z  cần tìm  2; 2; 3 ,  2; 2; 3 ,  2; 3; 2  ,  2; 3;  ,  3; 2; 2  ,  3; 2;  Câu 97 x  x  y  z   48 x  xy  zx  48   Biến đổi tƣơng đƣơng phƣơng trình ta đƣợc  y  xy  yz  12   y  x  y  z   12 z  zx  yz  84  z  x  y  z   84  Mặt khác cộng theo vế c{c phƣơng trình hệ ta đƣợc  x  y  z  144  x  y  z  12 + Với x  y  z  12 , v|o phƣơng trình ta đƣợc  x; y; z    4; 1; 7  + Với x  y  z  12 , v|o phƣơng trình ta đƣợc  x; y; z    4;1;  Thử vào hệ phƣơng trình cho ta đƣợc nghiệm hệ  x; y; z    4;1;  ,  4; 1; 7    3  1  x  y 15 y  14   y  x Câu 99 Ta có:  x  xy  15 x       Ở phƣơng trình (1) ta có:  x3  y 15 y  14   y  x   x3  3x  y  15 y  y  14  x3  3x  y  y  12 y   y   x  3x   y      y    x  y  (*) Từ (2) v| (*) ta có hệ phƣơng trình: THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 131 x2 y x  y2     4 x  xy  15 x   4 x  x   x    15 x   x2 y x2 y     2 4 x  x  3x   8 x  12 x  x    1  x    x  1  5     x   y  y  5    1  5   ; Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm l|   2   Câu 100 2 2    x  y  xy   x  y  xy   xy    x  y   xy   x  y  2 x  y x  y  xy  x  y      x y x y       y   x y  xy  y   y x  xy      x  xy     Với y   x   Với x2  xy    x2  xy  1  y   y    x2  3x   phƣơng trình vơ nghiệm Vậy hệ phƣơng trình cho có nghiệm  x; y     2;0 ;  2;0  Câu 101     2   x  y  y  x  2xy  1; (1)  2  4 x  y  x  y   0; (2) x y  xy  ( x  y )  2( xy  1)   ( x  y )( xy  1)  2( xy  1)  từ PT (1) ta có : y   x  ( x  y  2)( xy  1)     xy  thay vào PT (2) giải có nghiệm   1    1    14    (xy )  1;1;  0,5;2;  ;  1;  ;1  ;  ;       5    Câu 102 Với x = y = nghiệm hệ phƣơng trình Nhận thấy x  y  v| ngƣợc lại Xét x  ; y  hệ phƣơng trình tƣơng đƣơng với THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 132 1 1 1 (1)  x2  y2   x2  y2      1 (  )(1  )  (  )(2  ) (2)  x y  x y xy xy 1 Thay (1) v|o (2) ta đƣợc (  )3  x y 1 x  y     x  y 1  1  xy Vậy hệ có nghiệm (x ; y) (0 ; 0) ; (1 ; 1) Câu 103 15  x  10 x  y  10 x  y   52   a) Khi m  10 hệ phƣơng trình có dạng  x  10 y  10 x  50 y  25    y  23  52  15 23  Vậy m  10 hệ phƣơng trình có nghiệm  x; y    ;   52 52  mx   mx  y   mx  y   y     b) Ta có:  2 x  my  2 x  my  2 x  m mx    2m  10  mx   x y     m 4    m2   x  2m  10  y  mx    2m  10   x  m  Vậy hệ phƣơng trình cho ln có nghiệm   y  mx   Thay vào hệ thức x  y  2014  Ta đƣợc 2015m2  14m  8056 m2  2014m2  7m  8050 2015m2  14m  8056   m2  7m   m2  m2  m    m  1 m      m  Đối chiếu với điều kiện đề b|i ta đƣợc m  1; m  Câu 104 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 133  3x  xy  x  y     x  x  1 + y  y  1 = 2 3x  xy  x  y     2 x  xy  y  x  y     2 x + y  x  y      x + y  x  y   2 Ta có: x  xy  y  5x  y     y  x   y  x  1   y   x y  x  Với y   x thay v|o (2) ta đƣợc: x2 – 2x +1 = suy x = Ta đƣợc nghiệm (1;1) y  x  thay v|o (2) ta đƣợc: 5x2 – x – = , suy x = 1; x  4 4 13 ) ; 5 4 13 Vậy hệ có nghiệm (1;1) ( ; ) 5 Ta đƣợc nghiệm (1;1) ( Câu 105 Điều kiện x  1, y  Ta xét c{c trƣờng hợp Trƣờng hợp 1: x   y   y  x  Khi đó, x   x   x   y 1  y   y  Suy hệ vô nghiệm Trƣờng hợp 2: x   y   y  x  Khi đó, x   x   x   y 1  y   y  Suy hệ vô nghiệm Trƣờng hợp 3: x   y   y  x  Thay v|o phƣơng trình thứ hai hệ cho, ta đƣợc 2x  8x    x  1  x  3 So điều kiện ta đƣợc x  1  y  Vậy  x; y    1; 3 Câu 106   Từ hệ ta có x3 (2 y  x)  y (2 x  y)  ( x  y ) xy  x  y  x  y  ( x  y )3 ( x  y )    x   y * Với x = y ta tìm đƣợc (x ; y) = (0; 0); ( 3; );(  3;  ) * Với x = - y ta tìm đƣợc (x ; y) = (0; 0); ( 1; 1 );( 1;1) Vậy hệ phƣơng trình có nghiệm (x ; y) = (0; 0); 3; );(  3;  );( 1;1);( 1; 1) Câu 107 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC 134  4x  y  x  y (1) Giải hệ  2 52 x  82 xy  21y  9 (2) Nhân vế trái (1) với vế phải (2) nhân vế phải (1) với vế trái (2) ta có: (9)(4 x  y )  ( x  y)(52 x  82 xy  21y )  (9)(4 x  y )  ( x  y)(52 x  82 xy  21y )   8x  x y  13xy  y   (8x  8xy )  (2 x y  xy )  (3 y  y x)   8x( x  y )  xy ( x  y)  y ( x  y)   ( x  y)(8x  10 xy  y )  Biến đổi nhận đƣợc phƣơng trình: ( x  y)(4 x  y)(2 x  y)  Với x  y tìm đƣợc ( x; y)  (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) ( x; y)  (1;1); (1;1) ( thử vào hệ thấy thỏa mãn) Với y  x tìm đƣợc ( x; y)  (0;0) ( thử vào hệ khơng thỏa mãn) Với y  2 x tìm đƣợc ( x; y)  (0;0) ( thử vào hệ không thỏa mãn) Vậy hệ có nghiệm ( x; y)  (1;1); (1;1) Câu 108 Nhân hai vế (2) với ta có hệ phƣơng trình 3x  y  xy  x  y   (1)  2 (2) 2x  y  4x  y   Lấy (1) trừ (2) theo vế với vế ta có x  xy  y    x  y      x  y    x  y      x  y  1 x  y     x  y  x  y  +) Với x  y  , vào (2) rút gọn ta có y  y  3   y  y  3 Suy x  1, y  x  5, y  3 +) Với x  y  , vào (2) rút gọn ta có y  13 y    y  y  13  109 13  109 7  109 13  109 7  109 13  109 ,y ,y x  6 Vậy hệ có nghiệm x  1, y  ; x  5, y  3 ; Suy x  x 7  109 13  109 7  109 13  109 ,y ,y ; x 6 THCS.TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC ... 64 Hƣớng dẫn giải 76 THCS. TOANMATH.com TÀI LIỆU TOÁN HỌC CHỦ ĐỀ 1: CÁC HỆ PHƢƠNG TRÌNH CƠ BẢN I- HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI I LÝ THUYẾT CHUNG:  f  x, y   Hệ đối xứng loại II hệ có dạng:  g  x,... g(x, y) = g(y,x) Hay hệ phƣơng trình đối xứng loại I hệ phƣơng trình có vai trị x, y ho|n to|n nhƣ phƣơng trình, ta ho{n đổi vị trí x y hệ hệ  x  y  2xy  21 phƣơng trình khơng thay đổi Ví... Thí dụ Giải hệ phƣơng trình  3 3  x  y  x y   x  1 y  1  31 (Trích đề Chuyên KHTN Hà Nội năm 2018-2019) THCS. TOANMATH.com TÀI LIỆU TỐN HỌC Lời giải Ta có hệ phƣơng trình: xy 