hệ phương trình bồi dưỡng học sinh giỏi

Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 14 PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ Ví dụ 1: Giải HPT : 2 2 2 2 2 ( ) 3 (1) ( ) 10 (2) y x y x x x y y  − =   + =   Giải : + Nếu x=0 thì y=0 +Nếu y=0 thì x=0 +Nếu 0 xy ≠ chia từng vế của PT(1) cho PT(2) ta có : ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 4 2 2 2 2 4 2 ( ) 3 20 ( ) 3 ( ) 3 17 20 0 5 10 3  = −  = ⇔ − = + ⇔ − + = ⇔  + =   x y y x y x y x y x x y x x y y y x x y x y -Nếu 2 2 4 x y = hệ ñã cho trở thành : 2 3 3 2 4 2 .3 3 2 2; 1 2 2; 1 2 .5 10 2 2 y x x y x x y y x x y xy x y y y   = = = =  =    ⇔ ⇔ ⇔     = − = − = = =       -Nếu 2 2 5 3 x y = hệ ñã cho trở thành : 4 2 3 3 4 4 4 2 4 15 135 2 ; 2 . 3 4 9 2 4 9 2 135 3 8 4 15 16 135 15 135 . 10 ; 3 2 2 135 x y y y x y x y x xy y x y y x y   = = =    =  =    ⇔ ⇔ ⇔     = =     =  = − = −     KL : Vậy hệ ñã cho có nghiệm… Ví dụ 2 : Giải HPT : 4 2 2 5 6 (1) 5 6 (2) x y x y x  + =   + =   (Chọn ðT ðồng Nai) Giải : Trừ vế với vế của (1) cho (2) ta có : ( ) ( ) 4 2 2 2 2 5( ) 0 ( ) 5 0 ( ) 5 x y x x y y x x y x x y x x y =  − + − = ⇔ − + − = ⇔  + =  -Nếu x=y thế vào (1) ta có : ( ) ( )( ) 4 2 2 5 6 0 3 2 1 0 1 x x x x x x x x = −  + − = ⇔ − + + − = ⇔  =  Với x=-2 thì y=-2 Với x=1 thì y=1 -Nếu ( ) 2 2 5 5 x x y y x x + = ⇒ = − thế vào (1) ta có : Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 15 ( ) 4 6 3 2 2 5 5 6 5 6 25 0 * x x x x x x   + − = ⇔ − − + =     Từ (1) ta có : 2 2 6 5 6 6 5 x x y x = − ≤ ⇒ ≤ Do ñó : 3 2 3 2 6 3 2 6 6 5 6 5 6 25 5 6 25 0 5 5 x x x x x     + ≤ + < ⇒ − − + >         nên (*) vô nghiệm KL : (x ;y)=(-2 ;-2) ; (1 ;1). Ví dụ 3 : Giải HPT : 2 2 1 1 (1) 2 0 (2) x x y y x y x y x  − − − =   + + − =   (HSG tỉnh Quảng Bình) Giải : ðK : 0; 1 0 x x y ≥ − − ≥ Ta có : ( ) ( ) 2 2 1 1 1 1 1 2 1 0 0 0 2 1 4( 1) 2 4 2 2 x x y x x y x y y y y y x y y x y y x y x ⇔ = − − + ⇔ = − − + + − − ≥  ≥ ≥     ⇔ = − − ⇔ ⇔ ⇔    = − − + = + =     PT (2) 2 2 2 0 y x y x y x ⇔ + + − = ( ) 2 2 y x xy y x y x ⇔ + = ⇔ + = Ta có 2 1 2 2 ; 1 2 2 2 2 4 2 2 ( 2) 2 0 4; 2 y x x yy x y x y y y y y y y x y x x y     + = = = − + = + =     ⇔ ⇔ ⇔     + + = + − − =  + =      = =  Ví dụ 4 : Giải HPT : 2 2 2 2 3 4 9 (1) 7 6 2 9 (2) x y xy x y y x x  + = +   + = +   (Chọn ðT Nha Trang) Giải : Nếu 2 2 3 9 0 x x + − = không thoả mãn PT(1) nên ( ) 2 2 4 1 2 3 9 x y x x ⇔ = + − PT(2) 2 2 9 6 7 x x y + − ⇔ = Do ñó ta có PT : Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 16 ( )( ) ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 4 2 9 6 28 2 9 6 2 3 9 2 3 9 7 2 1 2 2 1 2 9 27 0 2 9 3 33 4 x x x x x x x x x x x x x x x x x + − = ⇔ = + − + − + −   = −   ⇔ + − + − = ⇔ =   − ±  =   -Với 16 2 7 x y = − ⇒ = − -Với 1 1 2 7 x y = ⇒ = − -Với 2 2 9 3 33 2 9 6 2 9 27 0 3 4 7 x x x x x y − ± + − = ⇒ + − = ⇒ = = Ví dụ 5 :Giải hệ phương trình : 1 2 7 3 1 7 24 7 1 21 1 2 7 24 x y x y y x    + =    −        − − =    −    Giải : ðiều kiện x > 0, y > 0. Hệ ñã cho tương ñương 1 1 1 2 1 (1) 1 7 24 21 21 21 1 2 1 1 1 1 (2) 7 24 21 7 24 21 21 y x x y x y x y y x x y   = + + =   − −   ⇔     − = = −   − − − −   Nhân theo vế (1) và (2) ta có 1 1 1 7 24 21 21 y x x y = + − 2 2 21 ( )(7 24 ) 24 38 7 0 (6 )(4 7 ) 0 xy x y y x x xy y x y x y ⇔ = + − ⇔ − − = ⇔ − + = 4 7 x y − ⇔ = ( vì x > 0, y > 0) Thay vào (1) ta có 1 = 1 1 21 12 x x + 2 7 11 4 7 84 2 21 x x + + ⇔ = ⇔ = . Suy ra y = 11 4 7 147 − − . Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 17 PHƯƠNG PHÁP 2: ðẶT ẨN PHỤ Ví dụ 6 : Giải HPT : 2 2 3 3 3 6 1 19 y xy x x y x  + = −   + =   ðây là hệ pt thường gặp trong các kì thi HSG, TSðH Giải : +y=0 không thoản mãn hệ + 0 y ≠ Ta có hệ tương ñương với 2 2 2 3 3 3 3 1 1 6 6 1 1 1 19 3 19 x x x x y y y y x x x x x x y y y y y y       + = − + = −             ⇔             + = + − + =                     ðặt 1 t y = hệ trở thành : 2 2 3 3 3 6 ( ) 3 ( ) 19 x t x t x t xt x t x t  + = −   + − + =   ðặt 2 ( 4 ) S x t S P P xt = +  ≥  =  hệ trở thành : 2 3 3 6 3 19 S P S SP P  = −   − =   Thay (1) vào (2) ta có : 3 6 3 3 3 6 3 0 6 18 19 6 0 1 6 P P P P P P P =   − + = ⇔ + = ⇔  = −  -Với P=0 thì S=0 (loại) Với 1 1 1 6 1 6 6 6 x t P S xt  + =   = − ⇒ = ⇒   = −   Ví dụ 7 : Giải HPT : 2 2 7 12 xy y x y x x y  + + =   + =   (HSG ðiện Biên) Giải : ðK : 0 y ≠ Hệ ñã cho tương ñương : 7 ( ) 12 x x y y x x y y  + + =     + =   Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 18 ðặt u x y x v y = +    =   hệ ñã cho trở thành : 7 3; 4 12 4; 3 u v u v uv u v + = = =   ⇔   = = =   -với 4 3 3 3 4 1 x y u x x v y y + =  = =    ⇒ ⇔    = = =     -Với 12 3 4 5 4 3 3 5 x y x u x v y y  + =  =  =    ⇒ ⇔    = =    =    Vậy hệ ñã cho có nghiệm (x ;y)=(3 ;1), 12 3 ; 5 5       Ví dụ 8: Giải hệ : 3 3 2 2 (27 35) 8 0 3 2 5 y x x y x y  − + =   + =   (HSG Phú Thọ V1 năm 2011-2012) Giải : Hệ ñã cho tương ñương với : 3 3 8 27 35 2 3 5 x y x x y y  + =       + =       ðặt 3 2 u x v y =    =   hệ trở thành 3 3 3; 2 35 2; 3 ( ) 5 u v u v u v uv u v = =  + =  ⇔   = = + =   -Với 3 3 3 1 2 2 2 1 x u x v y y =  = =    ⇒ ⇔    = = =     -Với 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 x x u v y y  =  =  =    ⇒ ⇔    = =    =    Vậy hệ có nghiệm ( ) ( ) 2 2 ; 1;1 ; ; 3 3 x y   =     Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 19 Ví dụ 9 : Giải hệ 1 3 3 1 2 8 x x y y x y y  + + + − =     + + =   ðk : 1 0; 3; 0 x x y y y + ≥ + ≥ ≠ ðặt 1 ; 3; , 0 a x b x y a b y = + = + − ≥ Hệ ñã cho trở thành 2 2 3 2; 1 1; 2 5 a b a b a b a b + = = =   ⇔   = = + =   -Với 2 1 a b =   =  ta có 2 4 1 1 1 2 4 3; 1 4 8 15 0 4 5; 1 4 3 1 4 3 1 x x x x y x y y x x x x y y x x y y x x y  ≠    + = + = = = + =      ⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔ −      = = −      = − + − = = −  + − =    -Với 1 2 a b =   =  ta có 2 7 1 1 1 1 1 4 10; 3 10 1 8 6 0 7 4 10; 3 10 7 3 4 4 3 2 x x x x y x y y x x x x y y x x y y x x y  ≠    + = + = = − = + + =     ⇔ ⇔ ⇔ − + = ⇔ −      = + = −       = − + − = = −  + − =    KL : Vậy hệ ñã cho có 4 nghiệm ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 3;1 ; 5; 1 ; 4 10;3 10 ; 4 10;3 10 x y = − − + + − Ví dụ 10 : Giải hệ phương trình: 7 2 5 2 1 x y x y x y x y  + + + =   + + − =   Gi ả i : ð i ề u ki ệ n: 7 0; 2 0 x y x y + ≥ + ≥ . ðặ t ( ) 7 , 2 , , 0 u x y v x y u v = + = + ≥ , ta có: 2 2 2 2 7 2 ; 5 5 u v v u x y − − = = . Ta có h ệ : 5 5 2 2 2 2 7 2 2 5 14 0 1 5 5 u v u v u v v u v v v             + = = − ⇔ − − + − = + − = 5 3 2 2 7 u v u v v v                  = − = = ⇔ ⇔ = = − V ớ i 3; 2 u v = = ta có: 1; 2 x y = = . V ậ y 1; 2 x y = = . Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 20 Thay ñổi phương trình thứ hai ta có ñề thi HSGQG năm 2001 Ví dụ 11 : Giải HPT : 7 2 5 2 2 x y x y x y x y  + + + =   + + − =   (HSGQG 2001) Giải : ðK : 7 0;2 0 x y x y + ≥ + ≥ Cách 1 : Tương tự ví dụ trên ta có 5 5 2 2 2 2 7 2 2 5 13 0 2 5 5 5 5 77 2 5 77 2 u v u v u v v u v v v u v v v             + = = − ⇔ − − + − = + − = = −    − +  =   ⇔     − −  =     Do ; 0 u v ≥ ta lấy ñược 15 77 2 5 77 2 u v  − =    − +  =   Từ ñó giải ñược 11 77 10 77; 2 x y − = − = Cách 2: ðặt t y x y x t = − ⇒ = + ta có HPT : ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 3 7 3 8 3 2 2 3 2 9 1 0 3 8 3 3 8 2 9 77 2 2 3 2 3 t x y t x t t x y t x t t t t t t t t t t t  − ≤ ≤   + = −   ⇔ + = −   + = +    + = +     + + = − = − − + − +  ⇔ ⇔ ⇔ =   − ≤ ≤ − ≤ ≤    ( ) 2 2 10 77 3 11 77 2 t t x y x t  + − = = −   ⇒  −  = + =   Cách 3 : ðặt 7 ;( , 0) 2 u x y u v v x y  = +  ≥  = +   . Hệ trở thành : 5 2 u v v y x + =   = + −  Mặt khác : ( )( ) 2 2 5 5 5 2 5 1 2 2 2 x u v x u v u v x u v x v x x y x y − − = ⇔ − + = ⇒ − = ⇒ = − + ⇒ = + − ⇒ = thay vào hệ ta ñược : Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 21 ( ) 2 2 5 5 1 5 2 2 2 20 23 0 10 2 5 11 77 10 77 2 x x x x x x x x x x y ≤  ≤  + −  + = ⇔ ⇔   − + = + = −    − ⇔ = − ⇒ = Tương tự ta có Ví dụ 12 : Giải hệ phương trình : 3 2 1 x y x y x y x y  + + + =   + + − =   (ðề thi HSG Quảng NINH năm 2011-2012) ðS : ( ) 5 21 ; 5 21; 2 x y   − = −       Ví dụ 13: Giải Hệ phương trình : 4 2 2 2 1 x y x y x y x y  + + + =   + + + =   ( ðề thi HSG Nam ðịnh V2 năm 2011-2012) Giải : ðK : 4 ;2 x y x y ≥ − ≥ − ðặt ( ) 4 ; 0; 0 2 a x y a b b x y  = +  ≥ ≥  = +   Ta có hệ 2 (1) 1 (2) a b b x y + =   + + =  Ta có : ( ) ( ) 2 2 2 2( ) a b x a b a b a b a b x − = = − + = − ⇒ − = Ta có 2 2 (3) 2 a b x b a b x + =  − ⇒ =  − =  Thay (3) vào (2) ta có : 2 1 2 2 x x y x y − + + = ⇔ = − thay vào phương trình hai của hệ ban ñầu ta có ( ) 2 2 3 2 1 3 1 1 1 5 21 5 21 2 5 1 0 3 1 y y y y y y y y x y y y y − − + = ⇔ − = + ≥ −  ≥ −  − +  ⇔ ⇔ ⇔ = ⇒ = −   + + = − = +    Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( ) 5 21 ; 5 21; 2 x y   − + = −       Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 22 PHƯƠNG PHÁP 3: SỬ DỤNG TÍNH ðƠN ðIỆU CỦA HÀM SỐ Ví dụ 14: Giải hệ 4 2 4 3 3 4 2 5 2 2 xy x x y y x x y − +  − + =   + = +   Giải: Xét hàm số 3 ( ) 2 t f t t = + trên ℝ -Ta có 2 '( ) 2 ln 2 3 0, t f t t t = + > ∀ ∈ ℝ nên ( ) f t ñồng biến trên ℝ ( ) 2 ( ) ( ) f x f y x y ⇔ = ⇔ = Thay vào (1) ta có ( ) ( ) 2 2 2 4 2 4 4 2 4 2 2 4 4 4 2 4 2 5 5 4 2 2 8 5 4 8 4 3 0 1 2 3 0 1 x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − + − + − + = ⇔ − + = ≥ ⇒ − + ≥ ⇔ − + ≤ ⇔ − + + ≤ ⇔ = Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( ) ( ) ; 1;1 x y = Ví dụ 15: Giải hệ 3 3 2 2 3 4 2 1 2 1 y y x x x x y y  + = + + +   − − = − −   ðK: 1 1;0 2 x y − ≤ ≤ ≤ ≤ ( ) ( ) ( ) 3 3 1 1 1 y y x x ⇔ + = + + + Xét hàm số 3 ( ) f t t t = + trên ℝ -Ta có 2 '( ) 3 1 0,f t t t = + > ∀ ∈ ℝ nên ( ) f t ñồng biến trên ℝ ( ) 1 ( ) ( 1) 1 f y f x y x ⇔ = + ⇔ = + thay vào (2) ta ñược phương trình 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x x x − − + = − − ⇔ − = + + − − ðặt ẩn phụ giải ñược nghiệm của phương trình này là 0 = x Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( ) ; (0;1) =x y Tương tự ta có ñề thi HSG Quảng Ninh Bảng B năm 2011-2012: Ví dụ 16: Giải hệ phương trình ( ) ( ) 3 2 3 2 2 2 1 3 1 3 1 3 2 2 0 x x y y x x y y  + − + = −   + − − − + =   ðáp số: ( ) ( ) ; 0;1 x y = Ví dụ 17: Giải hệ ( ) ( ) 3 2 2 1 2 1 2 3 2 4 2 2 4 6 x x y y x y  + + + = − −   + + + =   ( ðT Chuyên Lương Thế Vinh, ðồng Nai) Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 23 Giải: ðK: 1 ; 2 2 x y ≥ − ≥ Xét hàm số 3 ( ) 2 f t t t = + trên ( ) 0; +∞ -Ta có ( ) 2 '( ) 6 1 0, 0;f t t t = + > ∀ ∈ +∞ nên ( ) f t ñồng biến trên ( ) 0; +∞ ( ) 1 (2 1) ( 2) 2 1 2 f x f y x y ⇔ + = − ⇔ + = − thay vào (2) ta ñược phương trình 4 4 8 2 4 6 (*) y y− + + = Xét hàm số 4 ( ) 4 8 2 4 6 g y y y= − + + − trên ( ) 2; +∞ -Ta có ( ) ( ) 3 4 1 1 '( ) 0; 2; 2 4 4 8 g y y y y = + > ∀ ∈ +∞ + − nên ( ) f t ñồng biến trên ( ) 2; +∞ Mà ( ) 6 0 g = nên phương trình (*) có nghiệm duy nhất y=6. Từ ñó có 1 2 x = Vậy hệ ñã cho có nghiệm ( ) 1 ; ;6 2 x y   =     Ví dụ 18: Giải hệ phương trình: ( ) 2 3 3 2 2 ( ) (2 ) 2 , . 2( 1) 1 0 x y x y x y x y x y x y x y y x − +  − = + + − − −  ∈  − − + =   ℝ (HSG Thanh Hóa 2011-2012) Giải: 2 3 3 2 2 ( ) (2 ) 2 (1) 2( 1) 1 0 (2). x y x y x y x y x y x y y x − +  − = + + − − −   − − + =   + ðiều kiện: 0, 2 0 x y x y + ≥ − ≥ (*). + Khi ñó: 2 (1) 2 (2 ) 2 2 ( ) x y x y x y x y x y x y − + ⇔ + − − = + + + . Xét hàm ( ) 2 t f t t t = + , suy ra: (1) có dạng (2 ) ( ) f x y f x y − = + . Mặt khác ( ) f t ñồng biến, do ñó (1) 2 x y x y ⇔ − = + hay 2 x y = . + Thế vào (2), ta ñược: 3 3 1 2(2 1) y y + = − (3). ðặt 3 2 1 y t = − , phương trình (3) trở thành hệ: 3 3 (2 1) (2 1) t y y t  = −   = −   Trừ vế tương ứng các phương trình của hệ, ta ñược: ( ) 2 2 do 2(2 1) 2(2 1)(2 1) 2(2 1) 1 0 , t y y y t t y t = − + − − + − + > ∀ Thế vào hệ: 3 (2 1) y y = − 3 2 8 12 5 1 0 y y y ⇔ − + − = 2 ( 1)(8 4 1) 0 y y y ⇔ − − + = 1 y ⇔ = . 1 2 y x = ⇒ = , thoả mãn (*). Vậy hệ ñã cho có nghiệm (duy nhất): ( ; ) (2; 1) x y = . [...]... Chuyên Hùng Vương- Phú Th 26 Chuyên ñ h c sinh gi i V y h ñã cho có nghi m ( x; y ) = (2;1) 698  4 2 x + y = Ví d 23 : Gi i h phương trình  81  x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0  697  4 2 x + y = Gi i h phương trình  81 2 2  x + y + xy − 3x − 4 y + 4 = 0  T phương trình (2) ta có: x 2 + y 2 + xy − 3x − 4 y + 4 = 0 ⇔ x 2 + x( y − 3) + y 2 − 4 y + 4 = 0 Phương trình này có nghi m ⇔ ∆ = ( y − 3) 2... vào phương trình (*) ta có: ( 3x + 6 ) 3 = 2 ( 2x + 2) 2 T ñk ta có 2 x + 2 > 0 ⇒ 2 x + 4 > 2 x + 2 > 0 Mà ( 3x + 6 ) − 2 ( 2 x + 4 ) = ( x + 2 ) ( 27 x + 46 ) > 0 3 2 2 ⇒ ( 3x + 6 ) > 2 ( 2 x + 4) > 2 ( 2 x + 2 ) 3 2 2 Nên phương trình vô nghi m - N u y = − x thay vào phương trình (*) ta có: ( − x + 6) 3 = 8 ⇔ 6 − x = 2 ⇔ x = 4 ⇒ y = −4 V y h ñã cho có nghi m (x;y)=(4;-4) Ví d : Gi i h phương trình: ... 48 = 0   ⇔ x = −1 2 Cách 3: u+v  x = 2 x + y = u  ñ t ⇔ x − y = v y = u −v   2 T h ñã cho ta có h phương trình 3 u 3 + v 3 = −98  3 (1)  u − 27 = −v − 125 ⇔  2 2 2 2 −3u + 5v = −9u − 25v −3u + 9u = −5v − 25v (2)   Nhân 2 v c a phương trình (2) v i 3 r i c ng v i phương trình (1) ta có: v = 3 3 = − ( v + 5 ) ⇔ u = −v − 2 th vào (1) ta ñư c v 2 + 2v − 15 = 0 ⇔  v = −5 -V i v =... ≤ 1 ð t a = 1 − x ⇒ x = 1 − a 2 thay vào phương trình (1) ta có: 2 y 3 + 2(1 − a 2 )a = 3a − y ⇔ 2 y 3 + y = 2a 3 + a(*) Xét hàm s f (t ) = 2t 3 + t trên ℝ -Ta có f '(t ) = 6t 2 + 1 > 0, ∀t ∈ ℝ nên f (t ) ñ ng bi n trên ℝ (1) ⇔ f ( y) = f (a) ⇔ y = a ⇒ y = 1 − x thay vào phương trình (2) ta có: 1 − x = 2 x2 − 1 + 2 x 1 − x2 ð t x = cos t; t ∈ [ 0; π ] phương trình trên tr thành: 1 − cos t = 2 cos 2... y h phương trình có nghi m  ;    2 2 1 1 Ví d 22: Gi i h phương trình:  9 + 8 x 2 y − x 4 y 2 = y (16 y 5 − 3x 2 y 2 + 1)  (HSG ð ng Tháp V2 năm 2011-2012)  2 1 + 16 _ ( x − 2 y ) = x 2 ( 5 y 3 − x 2 ) + y  Gi i: ðK: 9 + 8 x 2 y − x 4 y 2 ≥ 0 2  25 − ( x 2 y − 4 ) = 16 y 6 − 3 x 2 y 3 + y H tương ñương v i   1 + 16 + ( x − 2 y )2 = 5 x 2 y 3 − x 4 + y  Tr v v i v c a 2 phương trình. .. Phú Th 39 Chuyên ñ h c sinh gi i ⇔ y + 1 = y − y + 8 + 2 y − y + 8 + 1 ⇔ y + 8 = 4y − 4 y + 8 8 8   y ≥ y ≥ 3 3 ⇔ 3y − 8 = 4 y + 8 ⇔  ⇔ ⇔ y=8 9y2 − 48y + 64 = 16y + 128 9y2 − 64y − 64 = 0   V y x = y = 8 là nghi m duy nh t c a h ñã cho Bài 19: H phương trình sau có bao nhiêu nghi m?  x + 1 = (11 − 3 y ) x 2 + 2 x − 3    y + 1 = (11 − 3x ) y 2 + 2 y − 3  T h phương trình ta có x, y ∈ (−... x=3 log3 (6 − x) = x2 − 2 x + 6 V y nghi m c a h ñã cho là x=y=z=3 Bài 23 : Cho a, b, c là các s th c dương Gi i h phương trình: ax + by = ( x − y ) 2  2  by + cz = ( y − z )  2 cz + ax = ( z − x )  Ph m Th Thu Hi n- Chuyên Hùng Vương- Phú Th 42 Chuyên ñ h c sinh gi i Gi i: Phương trình ñã cho tương ñương v i: ax = ( x − y )( x − z )  by = ( y − x )( y − z )  cz = ( z − x )( z − y ) Trư ng... x − y )( x − z ) ≥ 0 (lo i) V y trong 3 s x, y, z ph i có 1 s b ng 0 T ñó suy ra phương trình ñã cho có 4 nghi m: ( 0; 0; 0 ) ; ( a; 0; 0 ) ; ( 0; b;0 ) ; ( 0; 0; c )  x + 16 + 4 16 − x − y 4 = 5 Bài 24 : Gi i h phương trình  4  2  x + 16 + 16 − x − y 2 = 4  −16 ≤ x ≤ 16 ði u ki n :  y ≠ 0 C ng t ng v 2 phơng trình ta có ) ( ( x + 16 + 16 − x + 4 ) x + 16 + 4 16 − x = y 4 + 2 + 9 (*) y2 Áp...Chuyên ñ h c sinh gi i V i phương pháp s d ng tính ñơn ñi u c a hàm sô chúng ta th y thư ng xu t hi n h phương trình h hoán v vòng quanh H HOÁN V VÒNG QUANH:  f ( x1) = g ( x2 )   f ( x ) = g ( x3 ) ð nh nghĩa:Là h có d ng:  2 (I)   f ( xn ) = g ( x1) ... f ( x) + g ( y ) = 11 H phương trình ñưa v  ⇒ f(y)+g(x) = f(x)+g(y)  f ( x) < f ( y ) N u xy ⇒ f(x)+g(y) > f(y)+g(x) N u x= y thì có (*) x +1  x = 11 3 + 2 Do ñó h ñã cho tương ñương v i  x + 2x − 3 x = y  x +1 ð t h( x ) = 3 x + 2 − 11 x + 2x − 3 V i x . ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 24 Với phương pháp sử dụng tính ñơn ñiệu của hàm sô chúng ta thấy thường xuất hiện hệ phương trình hệ hoán vị vòng quanh HỆ. Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 14 PHẦN 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH PHƯƠNG PHÁP 1: PHƯƠNG PHÁP THẾ Ví dụ 1: Giải HPT : 2 2 2. phương trình ñầu tiên của hệ ta ñược: 2 1 1 x x x x = + − ⇔ = ± nghiệm x = -1 loại. Chuyên ñề học sinh giỏi Ph ạm Thị Thu Hiền- Chuyên Hùng Vương- Phú Thọ 25 Vậy trong trường hợp này hệ