Xác định vị trí tính chất cân bằng của hệ vật bằng phơngpháp năng lợng I.. + x0 là điểm ứng với Ux cực đại là vị trí cân bằng không bền.. Bài 2: Thanh OA quay xung quanh trục OZ thẳng đứ
Trang 1Xác định vị trí tính chất cân bằng của hệ vật bằng phơng
pháp năng lợng
I Cơ sở lý thuyết:
1 Lực thế - Thế năng:
Nếu công của lực F dọc theo quĩ đạo chỉ phụ thuộc vào vị trí hai đầu, không phụ thuộc vào dạng của đờng đi thì F gọi là Lực thế
* Hàm vô hớng của thế năng U(x,y,z)
+ Thì F = - grad U
Chiếu lên 3 trục x, y, z
dy
du Fy dx
du
- Trong trờng hợp F chỉ phụ thuộc vào một toạ độ ta có: F =
dx
du
- Thế năng của vật U = Ui ứng với các Lực thế F = Fi
2 Điều kiện cân bằng của chất điểm:
F = 0 -> 0
dx
du
Vậy khi U' 0
dx
du
thì chất điểm cân bằng với x = x0
* Nếu
0
2 2
x
dx
u d
> 0 vị trí cân bằng bền
* Nếu
0
2 2
x
dx
u d
< 0 vị trí cân bằng không bền
* Nếu
0
2 2
x
dx
u d
= 0 trờng hợp khá phức tạp
* Nếu
x
dx
u d
2
2
= 0 cân bằng phiếm định + Ta có thể giải quyết bằng cách vẽ hàm thế năng U(x) để xác định xem
+ x0 là điểm ứng với U(x) cực đại là vị trí cân bằng không bền
+ x0 là điểm ứng với U(x) cực tiểu là vị trí cân bằng bền
Một số thí dụ
Bài 1: Một con lật đật có thân là một hình cầu bán kính R nửa dới đặc nửa trên rổng khối tâm G của con lật đật cách tâm O một khoảng OG = 0,4R, OG vuông góc
đờng kính của AB Tìm vị trí cân bằng của con lật đật và chứng minh rằng cân bằng ấy là bền.
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
1
Trang 2- Xét con lật đật khi AB nghiêng một góc với phơng ngang.
- Chọn góc thế năng tại C
- Thế năng của vật: U = mgR (1 - 0,4cos )
* Vị trí cân bằng:
dx
du
= mgR 0,4 sin = 0
Khi = 0
Vậy với = 0 thì vật cân bằng
* Xét tính chất cân bằng:
0 2
d
U
d
= 0,4 mgR cos > 0
Đây là vị trí cân bằng bền
Bài 2: Thanh OA quay xung quanh trục OZ thẳng đứng với vận tốc góc không
đổi, góc AOZ = , một chất điểm m có thể chuyển động không ma sát trên OA tìm
vị trí cân bằng l = OM 0 của m cân bằng là bền hay không bền.
Nhận xét: Phản lực N không sinh công nên không gắn với thế năng
- Chọn gốc thế năng trọng lực tại O Up = mgl cos
- Thế năng của lực li tâm:
Ull = 2
2 2
2 r
m dr r m
2
2 2
2
l sin
m
U lt
Thế năng của vật:
U = Up + Ult = mglcos -
2
2 2 2
l sin
m
mgcos lm sin
dl du
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
2
A
B O
G x x
A
B
O
x
C
G
P
q
Z
r
0
Trang 3=> l =
2
2 sin
cos
g
Tính chất cân bằng:
0 2 2 2
2
m sin
dl
U
d
đây là vị trí cân bằng không bền
Bài 3: Hai vật khối lợng m 1 , m 2 nối với nhau bằng dây không dãn, không khối lợng
và có thể trợt không ma sát lên 2 mặt của một cái nêm cố định có góc nghiêng
2
1
, .
a) Tìm điều kiện cân bằng của hệ
b) Xác định tính chất cân bằng.
Giải:
- Gọi chiều dài của dây là l
Chiều dài dây nối m1 với ròng rọc là x
- Chọn gốc thế năng ở đỉnh nêm
- Thế năng của hai vật
U = - m1gx.sin 1 - m2g (l - x) sin 2
a) Để hệ cân bằng:
0
dx
dU
=> - m1gsin 1+ m2gsin 2 = 0
=> m1sin 1 = m2sin 2
b) Tính chất của cân bằng:
0 2
2
dx
u
d
với mọi vị trí của x Vậy đây là cân bằng phiếm định
Bài 4: Một khung sắt hình tam giác vuông góc tại A có góc B = 30 0 đợc đặt thẳng
đứng cạnh huyền nằm ngang Hai viên bi nối với nhau bằng một thanh cứng không lợng không đáng kể.
Có thể trợt không ma sát trên hai cạnh góc vuông viên bi ở cạnh AB khối lợng m 1 , cạnh AC có khối lợng m 2
a) Khi hệ thống cân bằng tính góc = góc AIJ.
b) Xác định tính chất cân bằng.
Giải:
a) Chọn gốc thế năng tại A, đặt IJ = l
- Thế năng của hệ:
U = - m1glsin300 cos - m2gl.cos300.sin
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
3
1
m 1
m 2
A
m 2
m
I
C B
C
Trang 4= - gl(m1sin300.cos + m2cos300sin ).
d
du
= - gl (-m1sin300.sin + m2cos300.cos )
Khi hệ cân bằng:
d
du
= 0 => m1sin300.sin = m2cos300cos
=> tg =
1
2 0
2
30
m
m g
m
m
cot
.
b) Xác định tính chất cân bằng: 2
2
d
u d
= - lg (- m1sin300cos - m2cos300sin ) = lg (m1.sin30cos + m2cos300sin )
Vì <
2
nên sin > 0, cos > 0 =>
2 2
d
u d
> 0 đó là vị trí cân bằng bền
Bài 5 : Một ống mỏng quay quanh trục thẳng đứng bên trong ống có một quả cầu khối lợng m đợc móc vào một lò xo, đầu kia cũng lò xo gắn cố định vào trục quay Chiều dài tự do của lò xo là l 0 và hệ số đàn hồi của lò xo là K Tìm vị trí cân bằng của quả cầu so với ống phụ thuộc vào vận tốc góc .
Vẽ đồ thị và biện luận kết quả thu đợc cho vận tốc góc
m
K
0
Giải:
Tại thời điểm t chiều dài của lò xo là l
- Thế năng của lực đàn hồi Ud =
2
K
(l - l0)2
- Thế năng của lực li tâm
Ult = -
2
1
m 2
l2
- Thế năng của hệ: U =
2
1
K (l - l0)2 -
2
1
m 2l2.
dl
du
= K (l - l0) - m 2l
Khi vật cân bằng
dl
du
= 0 => K (l - l0) - m 2l
= 0 => l = 2
0
m K
Kl
K l
m
K
l m
K
2 0 2
2 0 0 2 0
2
0
Tính chất của cân bằng:
0 2
2
2
dl
u
d
Với 0: Cân bằng bền
Vì l > l0 > 0 => 0
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
4
0
l
l 0
Trang 5* Đồ thì hàm l () nh hình vẽ.
Với 0: Cân bằng bền
0: Cân bằng không bền
0 l =
Tuy nhiên:
+ Khi 0, l < 0 không có ý nghĩa thực tế Ngoài ra l giảm khi tăng không phù hợp nên trờng hợp này không xảy ra
+ Hàm gián doạn tại điểm 0 =
m
K
là tần số dao động riêng của hệ
Khi 0 có cộng hởng l ->
Vậy hệ cân bằng bền khi 0
B Xác định vị trí tính chất cân bằng bằng phơng pháp động
lực học
1 Xác định vị trí cân bằng: Khi vật cân bằng.
F = 0 ; M 0
Từ điều kiện này ta xác định đợc vị trí cân bằng của vật: Fx 0 x
Fy 0 y
Fz 0 z
2 Tính chất cân bằng: xét theo một phơng.
0
0
x
dx
dF
F và x cùng chiều -> cân bằng không bền
0
0
x
dx
dF
Cân bằng bền
0
x
dx
dF
Cân bằng phiếm định
0
0
x
dx
dF
Trờng hợp này khá phức tạp kết hợp với đồ thị để xác định đợc tính chất của cân bằng
Một số thí dụ
Bài 1: Thanh cứng AB quay đều quanh trục thẳng đứng AC với vận tốc góc Góc giữa AB và AC là Không đổi (0 < < 90 0 ) là x 0 có độ cứng K Khối lợng không đáng kể, độ dài khi không biến dạng là l 0 , đợc lồng vào thanh AB Một đầu là
x 0 gắn vào A, đầu kia gắn với hòn bi khối lợng m Bi có thể trợt trên thanh AB nhờ một lổ xuyên tâm (hình vẽ) ma sát giữa bi và thanh AB không đáng kể.
Xác định vị trí cân bằng của hòn bi, vị trí đó ứng với cân bằng bền hay không bền.
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
5
Trang 6Gi¶i:
- Khi vËt c©n b»ng
0
N q P F dh
F
Theo ox:
Fx = - K (l -l0) - mgcos + m 2
lsin2 = 0
=>
2 2 0
sin
cos
m
K
mg Kl
l
Bµi to¸n cã nghiÖm khi l > 0
Khi tö sè vµ mÉu sè cïng dÊu
Khi tö sè vµ mÉu sè kh¸c dÊu kh«ng tån t¹i vÞ trÝ c©n b»ng trõ ®iÓm A
- TÝnh chÊt c©n b»ng
Khi vËt lÖnh vÞ trÝ c©n b»ng dx = dl
) sin
dl
dFx
2 2
+ m 2 sin 2 K dFx cïng dÊu víi dl
Kl0 < mgcos ®©y lµ vÞ trÝ c©n b»ng kh«ng bÒn
+ m 2 sin 2 K dFx tr¸i dÊu víi dl
Kl0 > mgcos ®©y lµ vÞ trÝ c©n b»ng bÒn
C¸ch 2: Chän gèc thÕ n¨ng träng lùc t¹i A
U = Up + Ult + Udh = mg (x + l0)cos - 2 2 2
0 2
2
1
m
sin
VÞ trÝ c©n b»ng:
0 2
dx
du
cos
=> x =
2 2
2 0 2
sin
cos sin
m K
mg ml
ChiÒu dµi lß xo: l = l0 + x =
sin
cos 2 0
m K
mg Kl
- Bµi to¸n cã nghiÖm khi l > 0 nghÜa lµ tö sè vµ mÉu sè cïng dÊu
- Khi tö sè vµ mÉu sè kh¸c dÊu th× kh«ng cã c©n b»ng trõ vÞ trÝ A
* TÝnh chÊt c©n b»ng:
2
2
dx
u
d
= -m 2
sin2 + K
K > m 2
sin2
Kl0 > mgcos Cã c©n b»ng bÒn
K < m 2
sin2
Nguyễn Phượng Hoàng – Trường THPT chuyên QB
6
B
N
A
C
P
fq x
Trang 7Kl0 < mgcos Cân bằng không bền.
Bài 2: Trong một chuyện khoa học viễn tởng của RA.Heikim có mô tả một cây trụ
cứng đồng chất tiết diện đều nằm lơ lửng trong không trung theo phơng thẳng đứng
chân cột nằm sát mặt đất, ngay trên một điểm cố định trên xích đạo hỏi nếu có cây
cột đó thì nó phải dài bao nhiêu Xác định tính chất cân bằng.
Giải:
Hợp lực F = fq - FG
2 2
2 f R L R dr
r
f R L
R
) (
fG = GSM
) (
.
L R R
L GM L
R R
GMf r
dr
L R
2
Vật cân bằng khi F = 0
=>
) (
)
(
L R R
L GM L
R
2 2
2
Giải ra ta đợc:
2
2 8 3
2
1
R
GM R
R
Thay số vào:
s rad
5 10 27 7 3600 24
2
R = 6400.103 m
2
2 g 9 81m s
R
GM
/ ,
Ta có L = 1,5.108 m
* Tính chất cân bằng xét theo L
) ( )
( )
(
L R R
GML L
RL L
R R
GML R
L R
2 2
2 2
2 2 2
2 2
) ( )
(
L R
R R
GM L
R dL
dF
0
dL
dF
cân bằng không bền => L > 3 GM R.
2
0
dL
dF
cân bằng bền => L < 3 GM R.
2
Bài toán này có thể giải bằng phơng pháp năng lợng
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
7
P
fq
N
x
x dl r
Trang 8Bài 3: Một hạt cờm đợc xâu vào một vòng kim loại bán kinh R Vòng này quay xunh quanh một đờng kính thẳng đứng với vận tốc góc không đổi chứng tỏ sự tồn tại một vị trí cân bằng tơng đối của hạt cờm ứng với một góc đo khác không với
đờng thẳng đứng bỏ qua ma sát.
Giải:
- Mô men động lợng : Lox = mR2 dt
d
- Mô men lực M = -mgRsin + m 2
R2sincos
Ta có:
M dt
dLox
=>
2
0
g R
Trong đó
R
g
2
0
Các vị trí cân bằng: thoả mãn ' = 0 (at = 0)
sin = 0 khi 1 = 0; 2 =
2 0 2
2
0
sin )
R g
Ta có:
0 2
2
d
dt dt
d
.
0
d
df
lực tiếp tuyến tác dụng lên hạt là một lực kéo về khi đó cân bằng là bền
0 2
0 0 0
2
R
g d
df
* Với 0
+ 1= 0 vị trí cân bằng bền
+ 2 vị trí cân bằng không bền
* Với 0:
2
0
arccos vị trí cân bằng bền
C Nhận xét: từ điều kiện cân bằng của vật đó là F 0 và M 0
Khi vật dới tác dụng của lực thế để xác định
+ Vị trí cân bằng ta có thể vận dụng:
F = 0; hoặc M 0
dt
dL
hoặc - 0
dx du
Nguyờ̃n Phượng Hoàng – Trường THPT chuyờn QB
8
Trang 9+ Khi xÐt tÝnh chÊt c©n b»ng ta xÐt 0
dx
dF
2
2
dx
u d
§ång Híi, ngµy 3 th¸ng 19 n¨m 2011
NguyÔn Phîng Hoµng
Nguyễn Phượng Hoàng – Trường THPT chuyên QB
9