Chuyên đề Bồi dưỡng hoc sinh giỏi toán 7 "giá trị tuyệt đối - Tìm giá trị của biến để xãy ra đẳng thức hoặc bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối"

II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị của biến trong đẳng thức hoặc Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là[r]

Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  PHÒNG GIÁO DỤC ĐÀO TẠO HỘI AN TRƯƠNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM BỒI DƯỠNG HS GIỎI / TOÁN Chuyên đề: I GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ A.KIẾN THỨC: Giá trị tuyệt đối số lưu ý các tính chất sau giải toán : 1/ GTTĐ số thì không âm / x /  x 2/ GTTĐ số thì lớn số đó / x /  x 3/ GTTĐ tổng không lớn tổng các GTTĐ /x + y /  / x /  / y / Hiệu không nhỏ hiệu các GTTĐ / x-y/  /x/ - /y/ 4/ GTTĐ : Với a > thì: /x / = a <=> x =  a x  a / x / > a <=>  x  a / x/ < a <=> -a< x< a B LUYỆN TẬP: Dạng: Tính giá trị Biểu thức : Bài : Tính Gía trị biểu thức A = x 2 x  với /x / = 0,5 Giải: / x / = 0,5 <=> x = 0,5 x = - 0,5 - Nếu x = 0,5 thì A = 0,75 - Nếu x = - 0,5 thì A = 2,75 Dạng : Rút gọn Biểu thức có chứa dấu Giá trị tuyệt đối Bài : Rút gọn biểu thức A = ( 2x - ) - / x - / Giải : với x -  <=> x  thì / x -5 / = x - với x –5 < <=> x < thì / x – / = - x + Xét trường hợp ứng với hai khỏang giá trị biến x a/ Nếu x  thì A = (2x – ) – ( x – ) = 5x +  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -1Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  b/ Nếu x < thì A = ( 2x – ) – ( -x + ) = 7x – Dạng: Tính giá trị biến Đẳng thức có chứa dấu GTTĐ: Bài : Tìm x Biết / 3x – / + + Giải : Ta có / 3x - / = Nên 3x – = +2 và -2 Xét hai trường hợp : a/ 3x – = => x = b/ 3x - = => x = - Bài4 : Với giá trị nào a,b ta có đẳng thức : /a ( b – ) / = a ( – b )? Giải : Ta biến đổi /a (b – )/ = / a ( – b )/ (1) vì /A/ = /-A/ / A / = A <=> A  Do đó (1) xảy trường hợp : a/ a = thì b tùy ý b/ b = thì a tùy ý c/ a > thì b < d/ a < thì b > Bài : Tìm các số a , b cho a + b = / a / - / b / (1) HD: Xét trường hợp : a/ a  0, b > thì (1) a + b = a – b <=> b = - b (không xảy ) b/ a  0, b  thì (1) a = b = a + b <=> Đẳng thức nầy luôn luôn đúng.Vậy : a  0, b  thỏa mãn bài toán c/ a < , b > thì (1) a + b = -a – b <=> a = - b Vây a < và b = -a thỏa mãn bài toán d/ a < , b  thì (1) a + b = -a + b <=> a = -a ( không xảy ) Kết luận : Các giá trị a,b phải tìm là a  0, b  a < , b > Dạng Tìm GTNN , GTLN biểu thức chứa dấu GT tuyệt đối : Bài 6: a/Tìm GTNN A = / 3x – / - Với x ta có / 3x – /  => / 3x – /  Do đó / 3x - / -  - Vậy GTNN A = -4 3x – = <=> x = 1/3  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -2Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  b/ Tìm GTNN B= 1,5 + /2 - x / HD: B đạt GTNN 1,5 tại=2 c/ Tìm GTNN C = /x-3/ HD:Ta có x   / x  /   GTNN  Bài 7: a/ Tìm GTLN B = 10 - / x - / Với x ta có / x – /  => - / / x - /  10 Do đó 10- - / x - /  10 Vậy GTLN B = 10 x = b/ Tìm GGLN B = -/ x+2 / HD: C= - /x+2/   GTLN  0khix  2 c/ Tìm GTLN C= - /2x-3/ HD: D = 1-/2x-3/   GTLNlla 0khix  / Bài 8: Tìm GTNN C = với x là số nguyên / x / - Xét / x / > => C > - Xét / x / < => / x / = 0;1hoặc => c = -2 ;-3 -6 Vậy GTNN C = -6 <=> x = ; -2 Bài Tìm GTLN d = x - / x / - Xét x  => C = x - x = - Xét x < => C = x – (- x ) = 2x < Từ (1) và (2) ta thấy C  Vậy GTLN C = <=> x  Bài 10 : Tìm giá trị biểu thức : a/ A = x 3x  / x /  với x = -2/3 b/ B = 2/x/ - 4/y/ với x = ½ và y = - (1) (2) (đs 20/9) (đs -8 )  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -3Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  Bài 11 : Rút gọn biểu thức : a/ (x - ) – / x + / (đs :x – với x  3 ;5x+ với x < 3) b/ / x – / - / 4x - / (đs: = 2x+5 với x < ¼ ; Bằng -6x+7 với ¼  x < 3và -2x -5 với x  Bài 12 : a/ A = b/ B = c/ C = d/ D = Tìm GTNN các biểu thức : / 3x – / - => GTNN A = -1 <=> x = 2/3 / – 4x / - => GTNN B = -1 <=> x = 1/4 x +3/y–2/ -1 => GTNN C = -1 <=> x = ; y = x + / x / ( xét x > ;c < 0) => GTNN D = <=> x  Bài 13: Tìm GTLN các biểu thức : e/ E = - / 2x - / => GTLN E = <=> x = 1/2 f/ F = g/ G = / x  / => GTLN F =1/3 <=> x =2 x2 với x là số nguyên / x/ HD : Xét TH : * * * x  2  C  x = <=> C = x   G  Ta thấy G lớn x2  1 x x 2 nhỏ Mà lớn <=> x nhỏ x x tức x = đó G = => GTLN G = <=> x= BÀI 14: Tìm x cho : a/ / x - / < HD: Ta đã biết /x/ < a <=> -a < x < a Nên /x-2/<4 < <=> -4 < x - <4 <=> -4+2 < x < + <=> -2 < x <  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -4Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  Bài 15: Cho A = /x- /  / x  / Tìm khoảng gía trị nào x thì biểu 2 thức A không phụ thuộc vào biến x ? HD: Ta lập bảng xét dấu : x x - 1/2 x -3/2 - 1/2 / + - 3/2 / + + Xét các trường hợp:  x<1/2 => A =(1/2 - x) - (3/2-x ) = -1  1/2  x  / => A = (x -1/2 )-(3/2 - x ) = 2x -2  X >3/2 => A = (x -1/2)-(x - 3/2) = Vậy với x < 1/2 x > 3/2 thì giá trị biểu thức A không phụ thuộc vào biến x II.GÍA TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ XẢY RA ĐẲNG THỨC HOẶC BĐT CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI 1/Phương pháp chung : Để tìm giá trị biến đẳng thức Bất đẳng thức chứa dấu giá trị tuyệt đối là xét các khoảng giá trị biến để lập bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối Ví dụ 16: Tìm x Biết : a/ x   x   (1) GIẢI: Xét x-1 = <=>x = x-1< <=> x < x-1> <=> x > và xét x-3 = <=> x = x-3 < <=> x < x-3 > <=> x > Ta có bảng xét dấu các đa thức x-1 ; x-3 sau :  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -5Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  x x-1 x -3 / - + - / + + Đẳngthức (1) (-x+1)+(-x+3)=6 (x-1)+(3-x)= -2x=2 0x = x=-1 (không có giá trị (giá trị nầy thuộc nào thoả mãn (1) khoảng xét) Vậy x = -1 và x = thì thoả mãn (1) b/ x   x   x x+2 x-5 - -2 / + - (x-1)+(x-3) = 2x = 10 x=5 ( giá tri nầy thuộc khoảng xét) / + + * Xét khoảng x <2 Ta -2x = <=> x= -2 (loại)  Xét khoảng-2  x  Ta 0x = -0 đúng với x khoảng xét Vậy -2  x   Xét khoảng x >5 Ta đựoc 2x=10 <=> x = ( loại) Kết luận: -2  x  c/ x   x  x  x x+3 x- - -3 / + - / + + *Xét khoảng x < ta -2x = <=> x= -3,5( thuộc khoảng xét) *Xét khoảng -3  x  ta 0x = 1=> không có giá trị nào x thoả mãn * Xét khoảng x>4 Ta -2x = -7 <=>x = 3,5 không thuộc khoảng xét Kết luận : x = -3,55  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -6Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  Ví dụ 17: Tìm x , Biết: x   x   x  (2) Tương tự:  Xét khoảng x< Ta có (2) =>(1-x)+*3-x)<x+1<=>-3x<-3<=>x>1( Giá trị nầy không thuộc khooảng xét)  Xét khoảng  x  thì (2)=>(x-1)+(3-x)<x+1<=>2<x+1<=>x>1 => Ta có các giá trị 1<x  (3)  Xét khoảng x >3 => ta có (x-1)+(x-3)<x+1<=>x<5 Ta có các giá trị : 3<x<5 (4) Kết luận: Từ (3) và (4) các giá trị cần tìm là : 3<x<5 2/ Sau đây ta xét số dạng đặc biệt Trong dạng nầy; để tìm x ngoài phương pháp chung đã nêu trên ta có thể giải cách khác đơngiản f (x) = a ( a là số dương) <=>f(x)=  a Dạng f (x) = g(x) Dạng <=>1/g(x)  & 2/f(x)=  g (x) f (x)  g (x) hay f (x) - g (x) = Dạng <=>f(x)=  g (x) f (x) + g (x) = Dạng <=> f(x)=0 và g(x) = f (x) < a ( a là số dương ) Dạng <=>-a< f(x)<a f (x) > a ( a là hừng số dương) Dạng <=>a<f(x)<-a Cách giải dạng sau : Dạng f (x) = a ( a là số dương) Ta xét f(x) = a và f(x) = -a Mỗi lần tìm giá trị x ta đáp số BÀI 18: Tìm x Biết : a/ x    26 HD: Ta có : 5x+4 = 19 5x = 15 x = Vậy x = ; -4,6 và 5x+4 = -19 5x = -23 x = -23/5 = -4,6  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -7Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  b/  x  17  16 HD: <=> x=-1 và x = 10 c/ -  6x  HD:  x  1  Không có giá trị nào x thoả mãn d/ x5 4 3 Hướng dẫn: - Ta có: x    3 - Xét Dạng x     x    2;12 x    3  x    x  4;6 = g(x) Ta phải tìm x phải thoả mãn hai điêù kiện: 1/ g(x)  2/ f(x) = g(x) f(x) = - g(x) f (x) Bài 19: Tìm x a/ Biết: x   x  - Xét điều kiện thứ nhất: 2x-5   x  2,5 x   2x   x  4(t / mdk (1)    x   2 x   x  2(khongtmdk (1) - Xét điều kiện thứ hai  Vậy x = b/ Biết:  x  5x  9  x  x   x  1(tmdk (1) Xét điều kiện thứ hai    9  x   x  x  3(tmdk (1) - Xét điều kiện thứ 5x-3   x  - Vậy x = ; c/ Biết: x  x   x  <=> x  x   x   GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -8Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  Dạng f (x)  g (x) hay f (x) - g (x) = Ta phải tìm x thoả mãn hai điều kiện f(x) = g(x) f(x) =-g(x) BÀI 20 : Tìm x 17 x   17 x   a/ Biết: HD: Ta có 17x-5 = 17x +5 17x-17x = 5+5 x = 10 Vô nghiệm Vậy x = b/ Biết: / 3x+ / = / 2x - / HD: 3x   2 x  Hoặc 17x-5 = -17x - 17x+17x = -5+5 34x = x = <=> x =22 và Dạng f ( x)  g ( x)  Ta phải tìm x thoả mãn điều kiện f(x)=0 và g(x)=0 BÀI 21 : Tìm x Biết : a/ 13  x 0 14 13 HD: a/ x   x   <=> hai số hạng đồng thời 14 x x + 13/14 = <=> x = -13/14 và x- 3/7 = <=>x=3/7 Vậy x =  13 & 14 b/ Tìm cặp số x,y thoả mãn : x  1,38  y  4,2  HD: / x  1,38 /   x  1,38   x  1,38      b/ <=> / 12 y  4,2 /  2 y  4,2   y  2,1  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN -9Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  c/ x  3x  ( x  1)( x  3)  HD:  x( x  3)   x  0hoac3    x  ( x  1)( x  3)   x  1hoac3 c/  d/ Tìm cặp số thực x ; y thoả mãn: / 2x-0, (24) / + / 3y + 0,1 (55) / = 24 /  y  0,1(5) /  99 10 24 <=> / x  /  / y  /  99 10 <=> / 2x - /  / y  /  33 45 Vì: /2x- /  & y   33 45 Nên: /2x- /+/3y+ /  <=> 33 45     2 x  33     x   33 3 y      45 7 y  45  HD: <=> / 2x- Dạng f ( x)  a  a  f ( x)  a ( a là số dưong) BÀI 22: Tìm x a/ Biết 3x   HD : a/ 3x   <=> -5 < 3x - < -4 < 3x < -4/3 < x <2  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 10 Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  b/ Biết 10 x   37 HD:b/ <=> -37 < 10x+7 < 37 <=> -4,4 < x < c/ Biết  x  19 <=>-19  3-8x  19  2  x  11 Dạng f ( x)  a  f(x) > a f(x) < -a BÀI 23: Tìm x a/ Biết; 15 x   31 HD:   15 x   31 32 <=>    x   15 15 x   31  x  2  b/ Tìm x Biết x    25 2 x   21  x  13   2 x   21  x  8 <=>  Bài 24 Có bao nhiêu cặp số nguyên (x;y) thoả mãn điều kiện sau : a/ x  y  HD: Nếu x =0 thì y =  ta cặp số là (0;4)và(0;-4) Nếu x=  thì y =  ta cặp số là ((1;3);(-1;-3); (1;-3);(-1;3) Nếu x=  thì y =  ta cặp số là : Nếu x=  thì y =  ta cặp số là : Nếu x=  thì y = ta cặp số là  GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 11 Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"  Vậy ta tất 16 cặp số thoả mãn đẳng thức đã cho b/ x  y  HD Tương tự có tất + 10 +6+2 = 25 cặp số thoả mãn BĐT đã cho BÀI 25: a/ Tìm x thoả mãn : ( x + 2/3 ) ( 1/4 - x ) > HD: a/ Cách (x + 2/3 )( 1/4 - x) > 0<=> x  /   x  2 /    1 /  x  x  1/  x  /   x  2 /   (khongthedongthoixayra )  x  1/ 1 /  x  <=> -2/3 < x < 1/4 Cách 2: Lập bảng xét dấu: Giá trị x dấu x+3/2 dấu 1/4-x dấu B.thức + - -2/3 / -2/3 + + + Vậy Biểu thức > b/ Tìm x thoả mãn: 1/4 / 1/4 + - -2/3 < x < 1/4 2x  0 3 x HD:b/ 2 x   x  1/ 2x       (khongthexayra) 3 x 3  x  x  1/ 2 x   x  1/ 2x          x  / 3 x 3  x   x  3 Vậy biểu thức < -3 < x < 1/2   GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 12 Lop7.net Chuyên đề : BỒI DƯỠNG HOC SINH GIỎI TOÁN "GTTĐ- Tìm giá trị biến để xãy ĐT BĐT chứa dấuGTTĐ"   GV.NGÔ ĐÌNH NHỰT-TRƯỜNG THCS NGUYỄN BỈNH KHIÊM-TP HỘI AN - 13 Lop7.net