CHUYÊN đề TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LỚP 8

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC Bài 1: Cho : và , Tính giá trị của : HD : Từ : TH 1: ( mâu thẫn vì 2a > b) TH 2: Bài 2: Cho và , Tính HD: Từ: TH 1: ( mâu thuẫn vì b > a > 0) TH 2: Bài 3: Cho , Tính HD: Từ:

CHUYÊN ĐỀ : TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC A ab 4a  b Bài 1: Cho : 4a  b  5ab 2a  b  , Tính giá trị : HD : 2 2  4a  b   a  b   Từ : 4a  b  5ab � 4a  4ab  ab  b  � TH 1: 4a  b  � 4a  b ( mâu thẫn 2a > b) a2 a  b  � a  b  A   4a  a TH 2: a b A 2 a b Bài 2: Cho 3a  3b  10ab b  a  , Tính HD: 3a  3b  10ab � 3a  9ab  ab  3b  �  a  3b   3a  b   Từ: TH 1: a  3b  � a  3b ( mâu thuẫn b > a > 0) a  3a 1 3a  b  � 3a  b  A   a  3a TH 2: 3x  y A x  y  20 xy  y  x   3x  y Bài 3: Cho , Tính HD: Từ: x  y  20 xy �  x  y   x  y   TH1: x  y  A  3x  x  3x  x TH2: x  y (Mâu thuẫn 2y < 3x < 0) Bài 4: Cho HD: Từ x  y  xy ,  y �0, x  y �0  A ,Tính x y x y x  y  xy � x  xy  y  �  x  y   x  y   TH1: x  y  � x  y  A  2y  y  2y  y TH2: x  y  ( mâu thuẫn x + y # ) A x y x y Bài 5: Cho x  y  x  y  xy , Tính HD: x  y  xy � x  xy  y  �  x  y   x  y   Từ: 2y  y x  y  A  3 y  y TH1: TH2: 2x  y (Mâu thuẫn vì: x > y > 0) 2 A x  xy x  y , x, y �0 Bài 6: Cho x  y  3z x  y  z , Tính HD: 3x  y  3z � �x  z z  12 z 8   A   � � 2 x  y  z y  z z  z 13 � � Từ gt ta có: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 P 1  y  xy x  xy Bài 7: Cho xy  1 , Tính HD:  x  y 1 x  y P    1 y  y  x  x  x  y  xy  x  y  1 x  y  Ta có: x 2x  3y A  y2 x6 Bài 8: Cho y  x  , Tính giá trị HD: Ta có: y  x   x  y   A  A y   y  6  y     12 y2 3y   2015a b c   ab  2015a  2015 bc  b  2015 ac  c  Bài 9: Cho abc=2015, Tính HD : a 2bc b c A   ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  a bc b c ac  c      1 ab   ac  c  b  c   ac  ac  c  ac  c  a b 2c B   ab  a  bc  b  ac  2c  Bài 10: Cho abc=2, Tính HD : a b abc a b abc B      1 ab  a  abc bc  b  ac  abc  abc a  b   bc  bc  b  ac   bc  b  a b c A   ab  a  bc  b  ac  c  Bài 11: Cho abc=1, Tính HD : a 2bc b c a 2bc b c A      1 ab  a bc  abc bc  b  abc ac  c  ab   ac  c  b  c   ac  ac  c  a b 2012c B   ab  a  2012 bc  b  ac  2012c  2012 Bài 12: Cho abc= - 2012, Tính HD : a b abc a b abc B      1 ab  a  abc bc  b  ac  abc  abc a  b   bc  bc  b  ac   bc  b  1   1  x  xy  y  yz  z  zx Bài 13: Chứng minh xyz=1 HD : xyz xyz xyz xyz        VP xyz  x yz  xy xyz  y  yz  z  zx xy  z  xz  1 y  xz   z   z  zx 2010 x y z   1 xy  2010 x  2010 yz  y  2010 xz  z  Bài 14: Cho xyz=2010, CMR: VT  HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 VT  x yz y z   1 xy  x yz  xyz yz  y  xyz xz  z  16a  40ab a 10 A  8a  24ab Bài 15: Cho b , Tính HD : 100 10 50 16 b  40 b a 10 10   a  b  A   5 100 10 10 b 3 .b  24 .b 9 3 Bài 16: Cho a,b,c khác đôi a  b  c  , CMR: a  b  c  3abc HD : a  b  c �  a  b   c � a  b3  3ab  a  b   c � a  b3  c  3abc Ta có : 3 Bài 17: Cho a,b,c khác đôi a  b  c  3abc , CMR: a  b  c  HD : a  b3  c   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ac   3abc Ta có : a  b3  c  3abc   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   Vì 2 a  b  c  ab  bc  ca  �  a  b    b  c    c  a   Mà ( Mâu thuẫn a �b �c ) Nên a  b  c  � a� � b� � c� P� 1 � 1 � 1 � 3 � � a  b  c  3abc,  a, b, c �0  b c a� � � � � � Bài 18: Cho , Tính HD : 3 a  b3  c   a  b  c   a  b  c  ab  bc  ca   3abc Ta có : , Mà a  b  c  3abc Nên a  b b  c a  c c  a b a  b  c   P    1 b c a b c a TH1 : TH2 : a  b  c  ab  bc  ca   a  b  c  P    1   1   1  � a� � b� � c� ab bc ca B� 1 � 1 � 1 �   � � � b� � c� � a� a b , Tính Bài 19: Cho a,b,c khác đôi c HD : a  b b  c c  a 2 a  b  c    a b abc Từ gt c a  b b  c a  c c a b a  b  c   B    1 b c a b c a TH1 : Nếu a  b b  c a  c 2c 2a 2b a  b  c �0  gt   B   8 b c a b c a TH2 : � a� � b� � c� A� 1 � 1 � 1 � � � 3 3 3 2 � b� � c� � a� Bài 20: Cho a b  b c  c a  3a b c , Tính HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ab  x � ab bc ca y z x z x y � bc  y  x  y  z  3xyz  x  y  z   A   � b c a bc ac ab � ac  z � Đặt  ab bc ac   1 bc ac ab x  y  z  a  b  c  A  Hoặc : a bc bc a c a b   c a b Bài 21: Cho a,b,c số thỏa mãn: , � a� � b� � c� A� 1 � 1 � 1 � � � � b� � c� � a� Tính HD : a bc b c a c  a b a b c    c a b abc gt=> T ab bc ac a  b  c   A   1 a c a TH1 : TH2 : a  b  c �0  gt   a  b  2c, b  c  2a, c  a  2b  A  ax  by  c � � bx  ay  a � � cx  ay  b � 3 Bài 22: Cho x,y hai số thỏa mãn: , CMR : a  b  c  3abc HD :  a  b  c  x   a  b  c  y  a  b  c   a  b  c   x  y  1  Cộng theo vế gt=> 3 TH1: a  b  c   a  b  c  3abc 3 TH2: x  y   a  b  c  a  b  c  3abc N a2  b2  c2 3  a  b  c Bài 23: Cho a  b  c  3abc a  b  c �0 , Tính giá trị HD: 3a  a  b  c  N   9a Từ gt xyz A  3  x  y  y  z  z  x Bài 24: Cho x  y  z  xyz , Rút gọn HD: xyz x3 TH 1: x  y  z   A   1 TH : x  y  z  A    xyz x.2 x.2 x Từ gt=> A   a  b  2c    b  c  2a    c  a  2b  3 Bài 25: Rút gọn : HD: Đặt: a  b  2c  x, b  c  2a  y , c  a  2b  z A   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    a  b  2c  b  c  2a  c  a  2b   x  y  z    1 1 1   0 A   a  2bc b  2ac c  2ab Bài 26: Cho a,b,c khác đôi a b c , Rút gọn: HD: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 1    � ab  bc  ca   a  2bc  a  bc  ab  ca   a  b   a  c  a b c Ta có: b  2ac   b  a   b  c  , c  2ba   c  a   c  b  Tương tự: 1 cbacba A    0 a  b  a  c  b  a  b  c  c  a   c  b  a  b  b  c  c  a   Khi đó: 1 bc ac ab   0 B   a  2bc b  2ac c  2ab Bài 27: Cho a,b,c khác đôi a b c , Rút gọn: HD: Theo 26 => ab  c  b   ac  a  c   ab  b  a  bc ac ab B     a  b  a  c   b  a  b  c  c  a  c  b  a  b  b  c  c  a Phân tích tử => B a2 b2 c2 1 C     0 a  2bc b  2ac c  2ab Bài 28: Cho a,b,c khác đôi a b c ,Rút gọn: HD: Theo 26 a2  c  b  b2  a  c   c2  b  a  a2 b2 c2  C      a  b  a  c   b  c   b  a   c  a   c  b  a  b  b  c  c  a Phân tích tử =>C 1 bc ac ab   0 A   a b c Bài 29: Cho a,b,c �0, a b c , Tính HD: 1 1 1        a b c abc Từ gt = a b c abc abc abc �1 1 � A     abc �   � abc 3 a b c a b c abc � � Khi đó: 1 yz xz xy   0 A   x  yz y  xz z  xy Bài 30: Cho x,y,z đôi khác x y z , Tính ab bc ac A   2 2 a b c b c a c  a  b2 Bài 31: Cho a+b+c=0 a,b,c �0, Rút gọn HD: 2 2 2 Từ a  b  c   a  b  c  a  b  2ab  c  a  b  c  2ab 2 2 2 Tương tự: b  c  a  2bc, c  a  b  2ac , Khi đó: ab bc ac 3 A    2ab 2bc 2ac a2 b2 c2 B 2   a  b  c b  a  c2 c2  a  b2 Bài 32: Cho a+b+c=0, a,b,c �0, Rút gọn HD: 2 2 2 Từ a  b  c   b  c  a  b  c  2bc  a  a  b  c  2bc , 2 2 2 Tương tự: b  a  c  2ac, c  a  b  2ab , Khi đó: a2 b2 c2 3abc B    a  b3  c     2bc 2ac 2ab 2abc 2abc GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 A 1   2 2 b c a c a b a  b2  c 2 Bài 33: Cho a+b+c=0, a,b,c �0, Rút gọn HD: 2 2 2 Từ: a  b  c   b  c  a  b  c  2bc  a  b  c  a  2bc 2 2 2 Tương tự: c  a  b  2ac, a  b  c  2ab , Khi đó: 1 1 �a  b  c � A    � � 2bc 2ac 2ab � abc � Bài 34: Cho a+b+c=0, a,b,c �0, Rút gọn HD: A a b2 c   bc ca ab a3 b3 c3 3abc A    3 3 abc abc abc abc Từ a  b  c   a  b  c  3abc , đó: 1 yz xz xy    0,  x �0, y �0, z �0   2 2 y z Bài 35: Cho x y z , Tính giá trị biểu thức: x HD: 1 a  ,b  ,c  x y z , Áp dụng kết câu a ta có: Với �1 1 � 1 yz zx xy xyz xyz xyz  3 3        xyz �   � xyz 3 x y z xyz x y z x y z y z � xyz �x 1   0 2 Bài 36: Cho a+b+c=1, a b c , CMR: a  b  c  HD: a  b  c  � a  b  c   ab  bc  ca   Từ , (1) 1 ab  bc  ca   0�  � ab  bc  ca  a b c abc Mà: , thay vào (1)=> ĐPCM 1 1 1    A   x y z Bài 37: Cho x,y,z �0, Thỏa mãn: x  y  z  xyz x y z , Tính HD: �1 �x  y  z � 1 1 1 1 � 1    �    �   � �    � � x y z x y z �xy yz zx � � xyz � Từ: x y z Nên A    A  1 1 1   2   2 Bài 38: Cho a,b,c �0 a b c , a  b  c  abc , CMR: a b c HD: 1 1 1 1 � 1 �1 �a  b  c �    �    �   � �    � � a b c a b c a b c �ab bc ca � � abc � 1   0 Bài 39: Cho a,b,c ba số thực khác 0, thỏa mãn : a  b  c  a b c , Tính 2 A a b c HD: GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Từ: a  b  c  � a  b  c   ab  bc  ca   , (1) 1    � ab  bc  ca  Mà: a b c thay vào (1) A  2.0   A  1 1 1   2 A   a b c Bài 40: Cho a b c a  b  c  abc , Tính HD: 1  1 1 � �1    �    �   � a b c �ab bc ca � Từ: a b c �a  b  c � � A  2� � � A   � A  � abc � 1 1 1   3   7 Bài 41: CMR: Nếu a b c a+b+c=abc Thì ta có: a b c a b c x2 y z x y z   0 A     1 a b c Bài 42: Cho a b c x y z , Tính HD: x y z x2 y z �xy yz zx � �cxy  ayz  bzx �    �    �   � � A  � � a b c a b c ab bc ca abc � � � � (1) Từ: a b c    � ayz  bxz  cxy  x y z Mà: thay vào (1) ta được: A  2.0  � A  a2 b2 c2 x y z a b c A      0,    x y z x y z Bài 43: Cho a b c , Tính HD: �ab bc ca � �abz  bcx  cay � a b c a b2 c    �    �   � � A  � � x y z xyz �xy yz zx � � � Từ: x y z (1) x y z    � bcx  acy  abz  Mà: a b c thay vào (1) ta được: A  2.0   A  a b c b2 c2 a2  2    a b c , CMR ba số Bài 44: Cho số hữu tỉ a,b,c thỏa mãn: abc  b c a a,b,c phải có số bình phương số lại HD: a b c b2 c2 a x  , y  , z    ,  ,   xyz  b c a a x b y c z Đặt: 1    xy  yz  zx x y z  x  1  y  1  z  1   x  1, y  1, z  Xét tích: Với x   a  b (ĐPCM) x y z  x A  y  z   a  b2  c2  x y z   �0 ax  by  cz   a b c Bài 45: Cho , Rút gọn: HD: x y z    k  x  ak , y  bk , z  ck Đặt a b c thay vào A GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 y  2z  x 2z  2x  y 2x  y  z   a b c Bài 46: Cho: , a,b,c thỏa mãn: x y z   2b  2c  a, 2c  2a  b, 2a  2b  c �0 , CMR: 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c HD:  2z  2x  y   2x  y  z    y  2z  x  2b  2c  a Từ gt =  2x  y  z    y  2z  x    2z  2x  y  2c  2a  b x y z   = 2b  2c  a 2c  2a  b 2a  2b  c x y z   2 Bài 47: Cho a  b  c  1, a  b  c  1, a b c , CMR: xy  yz  zx  HD: x y z    k  xy  yz  zx  k  ab  bc  ca  a b c Đặt: (1) a  b  c  � a  b  c   ab  bc  ca   � ab  bc  ca  Mà: thay vào (1) ta được: xy  yz  xz  A   a  1 Bài 48: Cho a,b,c thỏa mãn: a  b  c  0, ab  bc  ca  , Tính HD: Nhẩm thấy a=b=c=0 nên ta xét: a  b  c  � a  b  c   ab  bc  ca   � a  b2  c  Do : a=b=c=0 thay vào A   1 2015 2015  b 2014   c  1 2013  02014  12013  x y z  1   x y z, Bài 49: Cho x,y,z ba số thỏa mãn: xyz=1 P   x19  1  y  1  z1890  1 Tính HD:  x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z    Nhận thấy x=y=z=1, nên ta xét: Nên x=1 y=1 z=1 Nếu x=1=>P=0, Nếu y=1=>P=0, z=1=>P=0 1 x yz    A   x 2015  1  y1006  1  z  1  2016 x y z Bài 50: Cho xyz=1, , Tính HD : x yz  xy  yz  zx  xy  yz  zx xyz Nhẩm thấy x=y=z=1, ta có :  x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z    Xét tích : Nên x=1 y=1 z=1 Nếu x=1 P=2016, Nếu y=1 P=2016, Nếu z=1 P=2016 1 x y z    x y z , Tính Bài 51: Cho x,y,z số thỏa mãn : xyz=1, A   x15  1  y 27  1  z 2016  1 HD : GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 x y z  1    xy  yz  zx x y z Từ gt ta có :  x  1  y  1  z  1  xyz   xy  yz  zx    x  y  z    Xét Nên x=1 y=1 z=1 A=0 1 x2  y  z     2012 2013 2014 x y z Bài 52: Cho , Tính A  x  y  z HD : 2 � �2 � 1� � 1� � 1� �2 � �2 � �x   � �y   � �z   � � �x  � �y  � �z  � y �� � � x� � y� � z� �� z Từ gt=> � x 2012 2014 Vì x , y nhân giá trị x,y nhận giá trị -1 nên ta có TH : y   A3 TH1 : TH2 : y  1  A  1 1    Bài 53: CMR a,b,c ba số thỏa mãn: a+b+c=2000 a b c 2000 , ba số phải có số 2000 HD : 1 1 ab ab �1 � �1 �    � �  � �   0 � � a b c abc a b � �c a  b  c � ab c  a  b  c  � Từ gt ta có : c  a  b  c   ab �  a  b � � � �  a  b   b  c   c  a   TH1 : a  b  � c  2000 TH2 : b  c  � a  2000 TH3 : c  a  � b  2000 Bài 54: Cho a,b,c số thực thỏa mãn : abc=1 HD : 1 a  b  c     ab  bc  ca a b c Từ gt ta có : Xét tích : c=1 abc  1   a b c , CMR có số a,b,c  a  1  b  1  c  1  abc   ab  bc  ca    a  b  c    nên a=1 b=1 100 100 101 101 102 102 2015 2015 Bài 55: Cho số thực dương thỏa mãn a  b  a  b  a  b , Tính P  a  b HD : a100  b100  a101  b101 � a100  a  1  b100  b  1  Từ : (1) 101 101 102 102 101 101 a  b  a  b � a  a  1  b  b  1  (2) Từ (1) (2) 2 a101  a  1  b101  b  1  a100  a  1  b100  b  1  � a100  a  1  b100  b  1  => �  a  1  �a  � a, b   � �� b 1 � b   2015 2015   � � Do : P    � a  b3  � �2 2014 2014 a  b2  Bài 56: Cho � , Tính A  a  b (CL) GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 �x  y  a  b �2 n n n n x  y  a  b2 Bài 57: Cho � CMR: x  y  a  b HD: x  y  a  b2 �  x  a   x  a    y  b   y  b   Ta có:  b  y  x  a  b  y  Mà x  a  b  y thay vào (1) ta được: n n TH1 : b  y  � b  y  x  a  x  y  a  b (1) n n n n TH2 : x  a  b  y  � x  y  b  a  x  2b � x  b  y  a => x  y  a  b x2  y  z2 A 2  y  z    z  x   x  y Bài 58: Cho x+y+z=0, Rút gọn: HD : x  y  z  � x  y  z   xy  yz  zx   � x  y  z  2  xy  yz  zx  Ta có : x  y  z   xy  yz  zx  x  y  z  x  y  z   x  y  z  Mẫu : = 2 x y z A  2 3 x  y  z  Khi : 2 a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca   A  a  b  c    ab  bc  ca  Bài 59: Rút gọn : HD : 2 2 a  b  c  x  2y  ab  bx  ca  y a  b  c  x Ta có : Đặt : : , thay vào A ta có : 2 x( x  y )  y x  xy  y A   x  y  a  b  c  ab  ab  ca x  2y  y x y 1� 2 �a  b    b  c    c  a  � � a b c   1 Bài 60: Cho a,b,c khác thỏa mãn : b  c c  a a  b , Tính giá trị của: a2 b2 c2 Q   bc ca ab HD : Nhận thấy a  b  c  không thỏa mãn : nên nhân vào gt với a  b  c  ta : a b c �    a  b  c � � � a  b  c �b  c c  a a  b � a  b  c b  c  a c  a  b a2 b2 c2 �       abc � bc bc ca ca a b a b Qabc  abc � Q  a b c   0 Bài 61: Cho a,b,c đôi khác b  c c  a a  b , Tính giá trị biểu thức : a b c A   2  b  c  c  a  a  b HD : 1 � b c � 1 � �1 �a �1       � � � � � � �b  c c  a a  b � Nhân �b  c c  a a  b �vao gt ta : �b  c c  a a  b � 10 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 � P � P ab bc ca   0  b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c  a  b  a  b   b  c  b  c    c  a   c  a  a  b  b  c   c  a  0 � P0  a  b  b  c  c  a A 2  1 a   1 b   1 c Bài 62: Cho a,b,c đôi khác nhau, thỏa mãn : ab  bc  ca  , Tính HD :  a  ab  bc  ca  a  b  a  c   a  a  c    a  b   a  c  Ta có :  b2   b  a   b  c   c   c  a   c  b  Tương tự : , : A  Bài 63: Cho a,b,c đôi khác , thỏa mãn: ab  bc  ca  , a  2bc  1  b  2ca  1  c  2ab  1  B 2 a  b  b  c  c  a   Tính HD : Ta có : a  2bc   a  2bc  ab  bc  ca  a  bc  ab  ac  a  a  b   c  b  a    a  b   a  c  2 2  b  2ca    b  a   b  c  c  2ab    c  a   c  b  Tương tự : , B   Khi : Bài 64: Cho a,b,c ba số khác nhau, CMR : bc ca a b 2       a  b  a  c  b  c  b  a  c  a   c  b a  b b  c c  a HD :  a  c   a  b     bc  a  b  a  c  a  b  a  c a  b a  c a  b c  a Ta có :  ca 1 a b 1     b  c  b  a b  c a  b  c  a  c  b c  a b  c Tương tự :  , 1 1 1 VT        VP a b c a b c a b c a b c Khi : ab bc ca A    b  c  c  a  c  a  a  b  a  b  b  c Bài 65: Cho a,b,c đơi khác nhau, Tính giá trị : HD : a b c  x,  y, z bc ca a b : Đặt :  x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1 � xy  yz  zx  1 a b c   0 Bài 66: Cho số a,b,c đôi khác thỏa mãn : b  c c  a a  b , CMR ba số a,b,c phải có số âm, số dương HD : 1 a b c a �b, b �c, c �a    �0   0 bc c a a b Vì Mà : b  c c  a a  b b c � 1 � �a �1     � � � � �b  c c  a a  b � �b  c c  a a  b � 11 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 � a � b c � � ab ac bc ��   �   � 2 2� � � b  c c  a a  b b  c c  a a  b             b  c c  a a  b       � � � � �� a b c   0 2 b  c c  a a  b       Nhận thấy Tổng B �0 => , a,b,c khơng âm, dương Nên phải có số âm số dương A Bài 67: Cho a,b,c số hữu tỉ đôi khác nhau, MCR : phương số hữu tỉ HD : Ta có :  a  b   b  c   c  a bình � 1 � 1 2   � � a  b   b  c   c  a  � �  a  b    b  c    c  a    a  b   b  c    b  c   c  a    c  a   a  b  � �  a  b   b  c   c  a A  A0  A  a  b  b  c  c  a Vậy A bình phương số hữu tỉ : a b bc c a c a b P   Q   c a b a  b b  c c  a , CMR : P.Q=9 Bài 68: Cho a+b+c=0, HD : c c �b  c c  a � c b  bc  ac  a c  a  b  c  a  b P 1     1 � � a  b a  b a b a  b ab a  b ab � � Xét 2c 2c a 2a b 2b3 1 1 P  1 P  1 ab abc , Tương tự : b  c abc c  a abc : P.Q    a3  b3  c  9 abc Bài 69: Cho a,b,c đơi khác nhau, Tính giá trị biểu thức: a2 b2 c2 A    a  b  a  c  b  c  b  a  c  b  c  a  HD : a  c  b   b2  a  c   c  b  a  A 1  a  b  b  c  c  a c   ac  bc  ab  Bài 70: Cho số a,b,c thỏa mãn: b �c, a  b �c , 2 a   a  c ac  2 bc b   b  c CMR: HD : 2 a   a  c   a  c  c   a  c   a  c   ac  bc  ab    a  c  Ta có : 2 a  c  2ac  2b  a  c    a  c    a  c   2b  a  c    a  c    a  c   a  c  b    b2   b  c    b  c   b  c  a  Tương tự ta có : a2   a  c a c  2 bc b   b  c Khi : 12 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 Bài 71: Cho x,y,z đơi khác nhau, CMR: yz zx x y 2       x  y  x  z  y  z  y  x  z  x  z  y x  y y  z z  x HD:  x  y   x  z yz 1 1      x  y  x  z xz x y xy zx  x  y  x  z Ta có:  zx 1 x y 1     y  z  y  x y  z x  y z  x  z  y  z  x y  z Tương tự ta có:   Cộng theo vế ta được: Bài 72: Cho a+b+c=0, CMR: 3 2 a  b5  c5  a  b  c   a  b  c    a  b5  c   5abc  a  b  c  a, b, HD: a  b  c   a  b3  c  3abc  3abc  a  b  c    a  b3  c   a  b  c  Ta có: 3abc  a  b  c   a5  b5  c5  a  b  c   b3  c  a   c  a  b  => 2 2 b  c  a  b  c   b  c   2bc  a  2bc Mà: ,Tương tự ta có: c  a  b  2ac a  b  c  2ab Nên ta có : a  b3  c3   a  b  c   a5  b5  c5  a  a  2bc   b3  b  2ac   c  c  2ab    a  b5  c5   2abc  a  b  c  �  a  b5  c   5abc  a  b  c  a2 b2 c2    2 2 2 2 2 Bài 73: Cho a+b+c=0, CMR: a  b  c b  a  c c  a  b HD: 2 2 2 Từ a  b  c   b  c  a  b  c  2bc  a  a  b  c  2bc , 2 2 2 Tương tự: b  a  c  2ac, c  a  b  2ab , Khi đó: a2 b2 c2 3abc    a3  b3  c3     2bc 2ac 2ab 2abc 2abc 2 2  a  b    b  c    c  a  �2 2 a  b b  c c  a    Bài 74: CMR: HD : ab bc ca  x,  y,  z  M  x  y  z bc ca Đăt : a  b , Ta cần CM :  x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1 => Từ :  x  y  z Dấu xy  yz  zx  1 (1) �0 � x  y  z �2  xy  yz  zx   2  1   M �2 x y z 0� ab bc ca   0 ab bc ca 2 4 Bài 75: Cho a+b+c=0 a  b  c  14 , Tính A  a  b  c HD : 142   a  b  c   a  b  c   a 2b  b c  c a  Ta có : (1) Ta lại có : 2 2 a  b  c    a  b  c   � a  b  c   ab  bc  ca   13 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 � ab  bc  ca  7 � a 2b  b 2c  c a  2abc  a  b  c   49 , Thay lên (1) 14  A  2.49 x2  1 7 x5  x x số nguyên , CMR: Bài 76: Cho x>0 thỏa mãn: HD : � � � � �3 � x5   �x  � �x  � �x  � x � x � � x�� x � Ta có : 1 �2 � � 1� � 1�� 1� �x  � x     x   x   �x  � �x  � �x  � 18 x x x x x � � � � � x�� x� Ta tính : , � 1� � � �2 � x   �x  � �x  � �x  � 47 x x � � � x�� x � Và x a x , Tính theo a giá trị của: 1 x6  x7  x x b, c, Bài 77: Cho x �0 x3  x a, HD : � 1� �2 � � � 1 x   �x  �  �x  � a  a    a x   a � x2   a2  �x  � x � x� � x �� x� x x a, Nên � 1� x   �x3  � x � x � b, �3 � �4 � � �  �x  � �x  � �x  � x x � � � x �� x� c, x2   a x Bài 78: Cho x �0 , Tính theo a giá trị của: 1 x3  x6  x7  x x x a, b, c, HD : x7  � 1�  �x  �  x   a  2 x x � x� Ta có : Làm giống 68 x2  � � �6 � �x  � �x  � x� � x � A � � � �3 � x  x  2 � � �x  � x � � � x � x Bài 79: Cho , x > Tính HD : 1 � 1� � 1� �2 � � � x   �x  � �x  � x     x   �x  � �x  � 2.2   x x x � x� � x� � x �� x� �3 �  �x  �  x � x � thay vào A 2 2 4 Bài 80: Cho số x,y,z thỏa mãn: x+y+z=0 x  y  z  a , Tính A  x  y  z theo a HD : x6  14 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 a   x  y  z   A  2( x y  y z  z x ) Ta có :  x  y  z   a   xy  yz  zx   , Mặt khác: a a4 a4 �  xy  yz  zx   � x y  y z  z x  xyz  x  y  z   4 4 a a a x2 y  y z  z x2  a  A   A  thay lên ta đươc : � xy  yz  zx  2 Bài 81: Cho ba số a,b,c thỏa mãn a+b+c=0 a  b  c  2010, , Tính giá trị biểu thức: A  a  b4  c HD:  a  b  c    a  b  c   2010 ab  bc  ca    1005 2 Ta có: 2 a 2b  b c  c a   ab  bc  ca   2abc  a  b  c   1005  2abc.0  10052 => = A  a  b4  c   a  b  c    a 2b  b 2c  c a   2010  10052  2020050 => a4  b4  c4  2 1 a  b2  c    3  Bài 10: CMR: Nếu a b c Bài 82: Cho a+b+c=0, CMR: 1   7 a+b+c=abc Thì ta có: a b c HD : a  b  c   � a  b  c   ab  bc  ca   � a  b  c  2  ab  bc  ca   Ta có : a  b  c    ab  bc  ca  2 � a  b  c   a 2b  b 2c  c a    a 2b  b 2c  c a  2abc  a  b  c   4 2 2 2 4 4 4 2 2 2 � a  b  c   a b  b c  c a  �  a  b  c   a  b  c  2a b  2b c  2c a �  a  b4  c    a  b2  c  => ĐPCM 2 3 Bài 83: Cho số x,y thỏa mãn: xy  x  y  1, x y  xy  12 , Tính A  x  y HD : � a  b  1 � a 3 �xy   x  y   1 � a  4 � ��  � � � ab  12 b  4 xy  x  y   12 � � b3 Từ gt ta có : � � A   x  y   xy  x  y  Khi Bài 84: Cho x+y=9, xy=14, Tính 2 3 a, x  y b, x  y HD : c, x  y 5 d, x  y x  y   x  y   xy  81  28 a, x3  y   x  y   3xy  x  y   93  3.14.9  351 b, c, d,  x  y   x  y   xy x5  y   x  y   x  y   x y  x  y  15 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 A   x3  y    x  y  Bài 85: Cho x-y=2, Tính : HD : x  y   x  y   3xy  x  y  Ta có : , Mà : 2  x  y    x  y   xy  A  2.8  12 xy    xy  Bài 86: Cho x>y>0, x-y=7, xy=60, Tính 2 3 a, x  y b, x  y HD : c, x  y , a, x  y   x  y   xy b, x  y   x  y   x  y   xy  x  y  x  y    x  y   xy  49  4.60 , mà :  A  a  b3  3ab  a  b   6a 2b  a  b  2 Bài 87: Cho a+b=1, tính HD : a  b3   a  b   3ab  a  b  a  b   a  b   2ab Ta có : , 6 2 A   x  y    x4  y  Bài 88: Cho x  y  , Tính HD : x6  y6   x2  y   x4  y   x y  x2  y  x4  y   x2  y   2x2 y 2 , mà : C   a  b3    a  b  , thay vào ta Bài 89: Cho a+b=1, Tính giá trị biểu thức HD : C   a  b3    a  b    a  b   a  ab  b    a  b  Ta có: 2 a  ab  b  a  b   a  b  2ab    a  b   1 = a bc  � �2 2 4 a  b  c  2012 Bài 90: Cho số a, b, c thỏa mãn: � , Tính A  a  b  c HD: a  b  c   a  b  c    ab  bc  ca   2  ab  bc  ca        �a  b  c � 20122 a b  b c  c a   ab  bc  ca   2abc  a  b  c   � � � � => 20122 4 2 2 2 2 A  a  b  c   a  b  c   2 a b  b c  c a   => 1  3 3 2  x  y  z   x  y  z x, y, z �0 , CMR: x y z xyz Bài 91: Cho 2 2 2 HD : Từ :  x  y  z  x  y  z  xy  yz  zx   xy  yz  zx 1      xyz x y z 1  3  y z xyz Khi : x  a  b  c    ab  bc  ca  a=b=c Bài 92: CMR: Nếu HD: 2 a  b  c  ab  bc  ca  �  a  b    b  c    c  a   Từ: 16 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 2 Bài 93: Cho a  b  c  m , Tính theo m giá trị của: 2 A   2a  2b  c    2b  2c  a    2c  2a  b  HD: Phân tích theo đẳng thức: 2 2  5a  3b  8c   5a  3b  8c    3a  5b  Bài 94: Cho a  b  4c , CMR: HD: 2 VT   5a  3b   64c  25a  30ab  9b  16a  16b   3a  5b   x2  y   1  4 x y Bài 95: Tìm x,y biết: HD: � � 1 x    �y   � x y � � 2 x y z x2  y  z    Bài 96: Tìm x,y,z biết : HD: �x x � �y y � �z z � �  � �  � �  � � �4 � �2 � �3 a  bc b  ca c  ab x  yz y  zx z  xy     x y z a b c Bài 97: Cho , CMR : HD: x  yz y  zx z  xy a ,b  ,c  2 k k k , sau tính: a  bc, b  ca, c  ab thay vào Đặt gt =k=> ax  by  cz  2000 2 ax  by  cz  0, a  b  c  bc y  z  ac x  z  ab x  y       2000 , CMR : Bài 98: Cho HD: ax  by  cz   � a x  b y  c z  2  abxy  bcyz  acxz   Từ bc  y  yz  z   ac  x  xz  z   ab  x  xy  y  Xét mẫu số:  bcy  bcz  acx  acz  abx  aby   a x  b y  c z   c  ax  by  cz   b  ax  by  cz   a  ax  by  cz    a  b  c   ax  by  cz   2000 abc VT  ay  bx cx  az bz  cy   c b a , CMR : Bài 99: Cho a,b,c ba số khác thỏa mãn :  ax  by  cz  HD:   x  y  z   a  b2  c  acy  bcx bcx  abz abz  acy    k   ay  bx  cx  az  bz  cy  c2 b2 a2 Đặt gt=k=> 2 2 2  ay  bx    cx  az    bz  cy   �  ay  bx    cx  az    bz  cy   =>   a y  b x  c x  a z  b z  c y    aybx  cxaz  bzcy   a => y  a z  a x    b2 x  b2 y  b2 z    c x  c y  c z  17 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713   a x  b y  c z  2axby  2bycz  2axcz   �  a  b  c   x  y  z    ax  by  cz   2 2 Bài 100: Cho x  yz  a, y  zx  b, z  xy  c CMR : Với x, y, z �0 =>ĐPCM ax  by  cz   x  y  z   a  b  c  HD: �x  xyz  ax �3 3 �y  xyz  by  ax  by  cz  x  y  z  3xyz �z  xyz  cz � Từ gt=>  ax  by  cz   x  y  z   x  y  z  xy  yz  zx    x  y  z   a  b  c  Bài 101: Cho số x,y,z thỏa mãn : HD: �x  y   �2 �y  z   �z  x   � x Cộng theo vế gt ta được: 2000 2000 2000 , Tính A  x  y  z  x  1   y  y  1   z  z  1   x  y  z  1 Bài 102: Cho số x,y,z dương thỏa mãn : xy+x+y=3, yz+y+z=8,zx+z+x=15, Tính P  x  y  z HD: �  x  1  y  1  � 2  x  1  z  1  16   x  1  y  1  z  1  4.16.9   x  1  y  1  z  1  24 � �  y  1  z  1  Từ gt ta có: � 1 a b c b c a, Bài 103: Cho a,b,c ba số thực đôi khác khác 0, thỏa mãn: CMR: abc=1 abc=-1 HD: 1 bc ca ab a  b    a  b  , T  b  c  ,c  a  c b bc ca ab Từ gt=> Nhân theo vế=>  a  b   b  c   c  a   a  b b  c c  a a 2b 2c    a  b  b  c  c  a        abc   abc  Vì a,b,c khác đôi nên   abc  , -1 by  cz  a , ax  cz  b Bài 104: Cho x,y,z thỏa mãn: và ax  by  c , Trong a,b,c số 1   dương cho trước, CMR : x  y  z  , không phụ thuộc vào a,b,c HD: Cộng theo vế gt ta có: a  b  c   ax  by  cz   a  b  c   c  cz   2c   z   2c  z 1 a  b  c 2a 2b  ,  Tương tự: x  a  b  c y  a  b  c a b bc ca x ,y ,z  ab bc c  a , Thì   x    y    z     x    y    z  Bài 105: Cho 18 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 HD: Tính x 1  a b 2a 1  ab a  b , tương tự ab bc a c bc a c ba    1 Bài 106: Cho a,b,c ba số thực khác nhau: CMR: a  b b  c c  a b  c c  a a  b HD: ab 2a 2b bc 2a 2c x  x   , x 1  y  y   , y 1  a b a b a b , bc bc bc Đặt: ca 2c 2a z  z   , z 1  ca ca c  a , Khi đó:  x  1  y  1  z  1   x  1  y  1  z  1 xy  yz  zx  1 Khi đó: Bài 107: Cho x  by  cz y  ax  by , z  ax  by x+y+z khác Tính giá trị: HD: A 1   1 a 1 b 1 c x  y  z   ax  by  cz    ax  x   x  a  1  Cộng theo vế gt ta được: 2y 2z  ,  Tương tự: b  x  y  z c  x  y  z �2a  by  cz � �2b  ax  cz �2c  ax  by � M 2x  a 1 x  y  z 1   x2 y2 z2 Bài 108: Cho a  b  c �0 , Rút gọn: HD: Cộng theo vế gt ta có: 2a  2b  2c  2ax  2by  2cz � a  b  c  ax  by  cz  ax  2a  a  x    b a c    x  a  b  c , Tương tự: y  a  b  c , z  a  b  c a  b2  c b2  c  a c  a  b2   1 2ab 2bc 2ac Bài 109: Cho , CMR ba số a,b,c có số tổng hai số HD:  a  b2  c  c   b2  c2  a  a   c  a  b2  b  2abc Từ gt ta có:  a  b2  c  2ab  c   b2  c2  a  2bc  a   c  a2  b2  2ac  b   a  b  c  a  b  c c   b  c  a  b  c  a  a   c  a  b  c  a  b b   a  b  c  a  c  b  b  c  a  c  a  b a  c  b hoặc: b  c  a 2 bc  y  z   ca  z  x   ab  x  y  A ax  by  cz Bài 110: Cho ax  by  cz  , Rút gọn HD: ax  by  cz  Từ  Xét mẫu số:  � a x  b y  c z  2  abxy  bcyz  acxz  bc  y  yz  z   ac  x  xz  z   ab  x  xy  y  19 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713  bcy  bcz  acx  acz  abx  aby   a x  b y  c z   c  ax  by  cz   b  ax  by  cz   a  ax  by  cz    a  b  c   ax  by  cz  Khi đó: A  a  b  c   ax  by  cz  ax  by  cz B  a bc x2  y  z  y  z   z  x   x  y Bài 111: Cho x  y  z  , Rút gọn: HD:  x  y  z   x  y  z   xy  yz  zx   � x  y  z  2  xy  yz  zx  Ta có:  x  y  z    xy  yz  zx    x  y  z   x  y  z   x  y  z  Khi đó: Mẫu = B Vậy 2 x4  y  z4 x4 y z  4 4 4 4 a b c , Tính Bài 112: Cho số thực a,b,c,x,y,z thỏa mãn: a,b,c �0 a  b  c 1945 P  x  y  z  2017 HD: � x4 x4 � � y y4 � � z4 z4 �      �4 4 �� �� � a  b  c a � �a  b  c b � �a  b  c c � � Từ gt=> nên x  y  z   P  2017 1 1    Bài 113: Cho a,b,c ba số thực �0 thỏa mãn: a b c a  b  c , CMR: 1 1  2015  2015  2015 2015 2015 a b c a  b  c 2015 HD: 1 bc bc �1 �   �  � �  0 a a  b  c �b c � a  a  b  c bc Từ gt ta có: 1 1 b  c   b  c  2015  2015  2015  2015 2015 a b b a  b  b 2015 TH1: 1   � bc  a  ab  ac  �  a  b   a  c   a  ab  ac bc TH2: => giống TH1: a3 b3 c3    1006 2 2 2 Bài 114: Cho a,b,c thỏa mãn: a  ab  b b  bc  c c  ca  a , 3 3 3 a b b c c a M   2 a  ab  b b  bc  c c  ca  a Tính giá trị biểu thức: HD : M  2 a  b  c x  y  xz    yz   y  x  yz    xz  x � y , xyz � 0, Bài 115: Cho x,y,z thỏa mãn: , 1    x y z CMR : x y z HD: Từ GT ta có: x  yz  y   xz   x   yz   y  xz  20 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 2 2 2  x y  x yz  y z  xy z = xy  x z  x yz 2 2 2  x y  x yz  y z  xy z  xy  x z  xy z  x yz  xy x  y   xyz yz  y  xz  x  z x  y    x  y � xy  xyz  x  y  z   xz  yz � � �       xy  xz  yz  xyz  x  y  z  hay 1 a  b  c  , a  b  c  ab  bc  ca  , Tính giá trị Bài 116: Cho ba số dương a,b,c thỏa mãn : biểu thức: a b c P   bc ca ab HD: Do x # y nên b x Bài 117: Cho xy  xz  yz  xyz  x  y  z    c2  a2   a   b  c  ;y   b  c   a  , Tính giá trị biểu thức M  x  y  xy 2 2bc x2 x  , Tính độ dài biểu thức : x  x  Bài 118: Cho biết x  x  HD : x 2 x  x  3 3 5     x     x   x x x Từ gt ta có : x  x  x4  x2  1 25 21 � 1� x2  x    x       � � 2 x x 4 Vậy x  x  21 � x� Nên x1  2, x2  thay vào) (Hoặc ta giải phương trình đầu Bài 119: CMR: HD: x  yz y  xz  x   yz  y   xz  với x # y, xyz # 0, yz#1, xz#1, xy+xz+yz=xyz(x+y+z)  x  yz  y   xz   x   yz   y  xz  Từ GT ta có: 2 2 2  x y  x yz  y z  xy z = xy  x z  x yz 2 2 2  x y  x yz  y z  xy z  xy  x z  xy z  x yz  xy x  y   xyz yz  y  xz  x  z x  y    x  y � xy  xyz  x  y  z   xz  yz � � �       xy  xz  yz  xyz  x  y  z  hay x2  y x y B A x  y2 x  y Bài 120: Cho x>y>0, so sánh HD:  x  y  x  y x2  y x2  y A A   2 2 2  x  y xy  x  y x  y Vậy , Mà x  y  xy  x  y , x  y  nên A 1 2  a  b    a  1   b  1   2 =2 nên a+b - 2=0=> a+b=2 22 GV: Nguyễn Văn Tuấn_THCS Đốc Tín_ 0981891713 ... c2  a2   a   b  c  ;y   b  c   a  , Tính giá trị biểu thức M  x  y  xy 2 2bc x2 x  , Tính độ dài biểu thức : x  x  Bài 1 18: Cho biết x  x  HD : x 2 x  x  3 3 5  ... Tín_ 0 981 891713 2 Bài 93: Cho a  b  c  m , Tính theo m giá trị của: 2 A   2a  2b  c    2b  2c  a    2c  2a  b  HD: Phân tích theo đẳng thức: 2 2  5a  3b  8c   5a  3b  8c... Bài 122: Tính giá trị biểu thức: a, với HD: A Rút gọn biểu thức  x  y  z  x  y  z : x  y  z  x  y  z  x  y  x  y  z  x  y  z x  y 3 Bài 123: Cho số a,b thỏa mãn hệ thức: