Bài 82: Tìm GTLN của biểu thức: , GTLN đó đạt được tại giá trị nào của x HD: Ta có : = Bài 83: Tìm GTNN của biểu thức: HD: Ta có : Bài 84 : Tìm GTLN của biểu thức sau: HD: HD: Ta có: Bài 85: Tìm GTNN của biểu thức : , với x0 Bài 86: Tìm giá trị lớn nhất của Bài 87: Tìm giá trị lớn nhất của Bài 88: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: Bài 89: Cho biểu thức , với x>0, Tìm x để M có GTNN
CHUYÊN ĐỀ TÌM MIN, MAX CỦA BIỂU THỨC Bài 1: Tìm GTNN của: Dạng 1: Đa thức đơn giản A = x ( x − 3) ( x − ) ( x − ) B = ( x − 1) ( x − 3) ( x − x + ) a: Bài 2: Tìm GTNN củ A = x ( x + 2) ( x + 4) ( x + 6) + Bài 3: Tìm của: B = ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 4: Tìm GTNN của: A = ( x2 + x − ) ( x2 + x + ) Bài 5: Tìm GTNN của: C = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 6: Tìm GTNN : D = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + 1) Bài 7: Tìm GTNN của: C = ( x + 1) ( x + ) ( x + ) ( x + ) + 2011 Bài 8: Tìm của: E = + ( − x ) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 9: Tìm max của: M = ( x − 1) ( x + ) ( x + 3) ( x + ) Bài 10: Tìm GTNN của: D = ( x + 1) ( x − ) ( x + ) + 2014 Bài 11: Tìm của: B = ( x + a) ( x + b) ( x + c) ( x + d ) + m Bài 12: Tìm của: với a+d = b+c C = x − x + 10 x − x + Bài 13: Tìm GTNN của: HD: C = ( x − 2.3 x x + x ) + ( x − x + ) = ( x − x ) + ( x − ) ≥ 2 C = x − x + x − 20 x + 22 Bài 14: Tìm GTNN của: HD: C = ( x − x3 + x ) + ( x − x + ) + B = x4 − x2 + 2x + Bài 15: Tìm GTNN của: HD: B = ( x − x + 1) + ( x + x + 1) + D = ( x + 8) + ( x + 6) 4 Bài 16: Tìm GTNN của: HD: 4 x + = y => D = ( y + 1) + ( y − 1) = y + 12 y + ≥ Đặt: A = x − x − 3x − + Bài 17: Tìm GTNN : HD: x − = t => t = x − x + => E = t − 4t + Đặt: A = ( x + 1) − ( 3x − ) + x − 11 2 Bài 18: Tìm GTLN của: 4 A = ( x + 2) + ( x − 2) Bài 19: Tìm của: A = x + y − x + 32 y + 2018 Bài 20: Tìm của: A = 3x + y + x − y Bài 21: Tìm của: B = x + y + xy − 12 x − 18 Bài 22: Tìm của: A = −4 x − y + 18 xy + 10 y + 12 Bài 23: Tìm max của: B = −3x − 16 y − xy + x + Bài 24: Tìm max của: A = x + y + xy + x − y + 26 Bài 25: Tìm của: x + y − 12 xy + 24 x − 48 y + 82 Bài 26: Tìm của: A = − x − y + xy + x + y Bài 27: Tìm max của: 2 A = ( x − 3) + ( x − 1) Bài 28: Tìm của: 2 B = ( x + 1) + ( x + ) − ( x + ) Bài 29: Tìm của: 4 F = − ( x + 1) − ( x − ) Bài 30: Tìm max của: 4 G = ( x + 3) + ( x − ) Bài 31: Tìm của: H = x − x + x + 25 Bài 32: Tìm của: I = x − x + 11x + 12 x + 20 Bài 33: Tìm của: K = x − x + 15 x − 20 x − 15 Bài 34: Tìm của: M = x − x + x − 12 x − 18 Bài 35: Tìm của: N = − x2 − y + x − y + Bài 36: Tìm max : P = −3x − y + x + y − 23 Bài 37: Tìm max của: Q = − x − y + xy + 12 y + Bài 38: Tìm max cảu: Q = − x − y + xy + 12 y + Bài 39: Tìm max cảu: R = −7 x − y − xy + 18 x + Bài 40: Tìm max của: A = − x − y + xy − x − 12 y Bài 41: Tìm max của: Bài 42: Tìm max của: Bài 43: Tìm của: B = − x − y − xy + x C = a + ab + b − x − 3b + 1989 ( x + 1) ( x + ) ( x + 3) ≥ m Bài 44: Tìm số ngun m lớn cho BĐT ln với x: A = x − xy + y − y + Bai 45: Tìm GTNN biểu thức sau: HD: 2 A = ( x − y ) + ( y − 2) + Ta có: B = x + y + xy − x + 2028 Bài 46: Tìm của: A = a − 2a − a + Bài 47: Tìm GTNN biểu thức: HD: A = a ( a + ) − 2a ( a + ) + ( a + ) + ( a + ) ( a − 2a + 1) + ≥ = dấu a=1 2 A = x − xy + y + x − 10 y + 17 Bài 48: Tìm GTNN biểu thức : Dạng 2: NHÓM ĐƠN GIẢN A = x − xy + y + x − 10 y + 17 Bài 1: Tìm GTNN của: B = x − xy + y − x − y Bài 2: Tìm của: C = x + xy + y − x − y Bài 3: Tìm của: D = x − xy + y − 12 x + y + 45 Bài 4: Tìm của: E = x − xy + y − x − 10 y + 20 Bài 5: Tìm của: F = − x + xy − y + x + 10 y − Bài 6: Tìm max của: G = ( x − ay ) + ( x − ay ) + x + 16 y − 8ay + x − y + 10 Bài 7: Tìm của: H = − x + xy − y − x + y + 11 Bài 8: Tìm max của: I = x + xy + y − y + 11 Bài 9: Tìm của: K = x + y − xy + x + y + 20 Bài 10: Tìm của: M = x − xy + y − y + Bài 11: Tìm của: N = x − xy + y − x Bài 12: Tìm của: x − xy + y − x + 1997 Bài 13: Tìm của: Q = x + y − xy + x − 10 y Bài 14: Tìm của: R = x + y + xy − y Bài 15: Tìm của: A = x + y − xy − 16 y + 32 Bài 16: Tìm của: B = x + y + z − xy − yz − z + 12 Bài 17: Tìm của: C = x − 12 xy + y − x + Bài 18: Tìm của: D = − x − y + xy + x + y Bài 19: Tìm max của: E = x + y − xy + y − Bài 20: Tìm của: F = a + ab + b − 3a − 3b + 2011 Bài 21: Tìm của: G = x + xy + y − ( x + y ) + Bài 22: Tìm của: x + y + z − x + y − z + 15 = Bài 23: CMR khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn: A = x + y − xy − x + Bài 24: Tìm của: B = x − xy + y + x − 10 y + 17 Bài 24: Tìm của: Bài 25: Tìm của: Bài 26: Tìm của: Bài 27: Tìm của: Bài 28: Tìm của: C = x + xy + y − x − y D = x + xy + y − x − 22 y E = x + y − xy − x − 12 y + 2004 F = x − xy + y − 12 x + 12 y + 45 a + ab + b − 3a − 3b + Bài 29: Tìm GTNN biểu thức : HD: 2 P = a + ab + b − 3a − 3b + => P = ( a − b ) + ( a + b − ) ≥ Bài 30: Tìm của: Bài 31: Tìm của: A = x + y + 14 z − yz + zx − xy B = x + y + 3z − xy + xz − x − y − z + 2000 Dạng 3: PHÂN THỨC Bài 1: Tìm của: A= 6x − − x2 B= x − 4x + C= −3 x − 5x + Bài 2: Tìm của: Bài 3: Tìm max của: 2 D= −x + 2x − K= x +8 M= x + x +1 Bài 4: Tìm max của: Bài 5: Tìm max của: Bài 6: Tìm max của: E= 3x − 8x + x2 − 2x + G= x2 − 4x + x2 Bài 7: Tìm max của: Bài 8: Tìm max của: F= x2 − x + ( x + 1) Bài 9: Tìm max của: x H= ( x + 10 ) Bài 10: Tìm max của: I= Bài 11: Tìm max của: ( x + 2016 ) Bài 12: Tìm max của: x − x + 2000 x2 x − x + 2015 E= 2015 x F= Bài 14: Tìm max của: B= Bài 15: Tìm max của: A= Bài 16: Tìm max của: x D= Bài 13: Tìm max của: x ( x + 2000 ) ( x2 − x + x2 + 2x + ) 2x2 + 4x + x2 B= x − x + 2012 x2 K= − 4x x2 + M= 27 − 12 x x2 + N= 3x + x + x2 + P= 8x + 4x2 + Bài 17: Tìm max của: Bài 18: Tìm max của: Bài 19: Tìm max của: Bài 20: Tìm max của: Bài 21: Tìm max của: C= Bài 22: Tìm max của: ) x +1 N= x2 + x + x2 + D= 2x +1 x2 + E= 2x +1 x2 F= 2x −1 x2 + G= 6x − x2 + Q= 3x − x + 17 x2 − 2x + R= x − 16 x + 41 x − x + 22 A= x + 27 x − 3x3 + x − x + B= x + 512 x2 + G= x + 16 x + 56 x + 80 x + 356 x2 + x + H= x2 −1 x2 + Bài 23: Tìm max của: Bài 24: Tìm max của: Bài 25: Tìm max của: Bài 26: Tìm max của: Bài 27: Tìm max của: Bài 28: Tìm max của: Bài 29: Tìm max của: Bài 30: Tìm max của: Bài 31: Tìm max của: Bài 32: Tìm max của: Bài 33: Tìm max của: ( x2 + x + I= −8 3x + P= x2 x − x + 2010 Bài 34: Tìm max của: Bài 35: Tìm max của: Bài 36: Tìm max của: Bài 37: Tìm max của: x2 − x + Q= x − 2x +1 2x2 + 4x + A= x2 B= 2x +1 x2 + C= x2 + x2 + x + Bài 38: Tìm max của: Bài 39: Tìm max của: Bài 40: Tìm max của: x2 + x + D= x − 2x + ( G= x4 + x4 y2 + y + Bài 41: Tìm max của: H= Bài 42: Tìm max của: ) +1 3x − x + x2 + H= x − x + 17 x − 3x + Bài 45: Tìm max của: Bài 46: Tìm max của: x − 16 x + 71 x − x + 22 K= Bài 47: Tìm max của: x2 − x + x2 2x2 + 4x + N= x + 2x + x2 P= x +1 Q= Bài 50: Tìm max của: C= Bài 44: Tìm max của: Bài 49: Tìm max của: (x 3x + x2 + Bài 43: Tìm max của: Bài 48: Tìm max của: x4 + A= I= ) x2 y + x2 x2 − y + x − x + 1999 x3 : x − 3x + x − 3x + x A= 3x − x + x2 + B= 6x − x2 + C= 2x +1 x2 + D= x2 + x + x2 + x + E= 8x + x2 + F= x2 − 2x + x2 + 2x + Bài 51: Tìm max của: Bài 52: Tìm max của: Bài 53: Tìm max của: Bài 54: Tìm max của: Bài 55: Tìm max của: Bài 56: Tìm max của: x4 + G= (x Bài 57: Tìm max của: I= 4x + x2 + J= x2 + x2 − x + K= x2 + x2 + x + M= 4x +1 x2 + N= 3x − x + 14 x2 + P= 12 x + 13 x2 + x + Q= y − 3xy x − xy + y R= x2 − y x − xy + y Bài 59: Tìm max của: Bài 60: Tìm max của: Bài 61: Tìm max của: Bài 62: Tìm max của: Bài 63: Tìm max của: Bài 64: Tìm max của: Bài 65: Tìm max của: Bài 66: Tìm max của: ) +1 x − xy + y x + xy + y H= Bài 58: Tìm max của: A= x − x + 23 x − x + 10 B= y2 x − 12 xy + y C= x − 12 x + 10 x2 − 4x + Bài 67: Tìm max của: Bài 68: Tìm max của: Bài 69: Tìm max của: Bài 70: Tìm max của: 3y2 D= −25 x + 20 xy − y 4x2 − 6x + E= ( x − 2) Bài 71: Tìm max của: Bài 72: Tìm max của: x + x − 14 F= x − 2x +1 G= x2 − x + x2 − 3x + H= x − xy + y x − xy + y Bài 73: Tìm max của: Bài 74: Tìm max của: I= Bài 75: Tìm max của: Bài 76: Tìm max của: Bài 77: Tìm max của: x + 22 x + 19 x2 + x + x + 30 x − K= x2 + x + x − xy + y M= 2 x − 10 xy + y N= Bài 78: Tìm max của: Bài 79: Tìm max của: 22 x − 58 xy + 73 y x − xy + y x + xy P= x + y2 Q= x − 3x + x2 − 2x + R= x + xy + y x − xy + y Bài 80: Tìm max của: Bài 81: Tìm max của: Bài 82: Tìm GTLN biểu thức: HD: x2 x4 + x2 + , GTLN đạt giá trị x 10 x2 + Bài 11: Cho x,y thỏa mãn: HD: y2 + =4 x2 , Tìm max của: A= x.y y2 = x + − ÷+ x + − xy ÷+ xy + x Từ gt ta có : xy + ≤ => xy ≤ => b2 2a + + = 4 a => 1 y = x − ÷ + x − ÷ + xy + x 2 Bài 12: Cho hai số thực a,b HD: ≠ 0, thỏa mãn: , Tìm min, max của: S = ab + 2017 b2 1 b = a + − ÷+ a + − ab ÷+ ab + = a − ÷ + a − ÷ + ab + a a 2 Từ gt ta có : ab + ≤ => ab + 2017 ≤ 2019 => S ≤ 2019 => 2 1 b b = a + − ÷+ a + + ab ÷− ab + = a − ÷ + a − ÷ − ab + a a 2 Mặt khác : − ab + ≤ => ab ≥ −2 => ab + 2017 ≥ 2015 S ≥ 2015 => => y2 x2 + + =8 A = xy + 2024 x Bài 13: Cho hai số x,y khác thỏa mãn: , Tìm min, max của: HD: y2 16 y 16 y2 = x2 + + => 16 = x + + = x + − ÷+ x + + xy ÷− xy + x x x Từ gt ta có : 2 4 y = x − ÷ + x + ÷ − xy + => − xy + ≤ 16 => xy ≥ −8 => A = xy + 2024 ≥ 2016 x 2 => 2 4 y 16 y 16 = x + − ÷+ x + − xy ÷+ xy + = x − ÷ + x − ÷ + xy − x x 2 Mặt khác : xy − ≤ 16 => xy ≤ => S = xy + 2024 ≤ 2032 => y2 2x + + =4 A = xy x Bài 14: Cho số x,y khác thỏa mãn: , Tìm max, 8x2 + y + = B = x y 4x ∈ Bài 15: Cho x,y R khác biết: , Tìm x,y để đạt đạt max HD: 1 = x + y + = x + − ÷+ ( x + y − xy ) + xy + 4x 4x Ta có : 13 4= x − ÷ + ( x − y ) + xy + => xy + ≤ => B = xy ≤ 2x Mặt khác : −1 = x − ÷ + ( x + y ) − xy + => −4 xy + ≤ => B = xy ≥ 2x 2x2 + Bài 16: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: y2 + =4 x2 P = xy , tìm của: A = ( x + y ) ( y + x ) + 25 xy Bài 17: Cho x,y >0 thỏa mãn: x+y =1, Tìm của: HD: A = 16( xy ) + 12 x + 12 y + xy + 25 xy = x y + 12 ( x + y ) + 34 xy Ta có : x + y = ( x + y ) ( x − xy + y ) = ( x + y ) − 3xy = − 3xy Vì x+y =1 nên , thay vào A 2 A = x y + 12 ( − xy ) + 34 xy A = 6t − 2t + 12 , Đặt xy=t : A = x2 + y2 Bài 18: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: x+ 2y =3 tìm của: HD: A = ( − y ) + y = y − 12 y + x = 3− 2y Từ gt ta có : thay vào x + y − xy = A = x2 + y2 Bài 19: Cho x,y hai số thực thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x + y − xy = => x + y − xy = => ( x − y ) + x + y = Ta có : x2 + y ≤ A≤8 => hay = x + y − xy => x + y = + xy => 3x + y = + ( x + y ) ≥ mặt khác : 8 x2 + y ≥ A≥ 3 => hay A = x3 + y + xy Bài 20: Cho x,y thỏa mãn: x+ y =2, Tìm của: HD: A = x3 + ( − x ) + x ( − x ) y = 2− x Từ gt ta có : thay vào A ta : A = ( x + y ) + ( x + y ) + 10 xy x+ y+4=0 Bài 21: Cho số thực x,y thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −64 + 12 xy Ta có : x+y= - 4, nên , 2 A = ( −64 + 12 xy ) + ( 16 − xy ) + 10 xy x + y = ( x + y ) − xy = 16 − xy thay vào x + y +z=4 A = xy + yz + zx ∈ Bài 22: Cho x, y, z R, thỏa mãn: , Tìm max của: 14 HD: z = − 2x − y Từ giả thiết=> thay vào A ta : A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) = −2 x − y − xy + x + y Bài 23: Cho x,y,z HD: ∈ R thỏa mãn: x+ y+ z =6 Tìm max của: A = xy + yz + zx A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) thay vào x + xy + ( x + y ) + y + 10 = S = x+ y+3 ∈ Bài 24: Cho x,y R thỏa mãn: , Tìm max của: HD: x + xy + x + y + y + 10 = Từ gt ta có : Từ gt => z = 6− x− y (2 y + 7) y + ( y + 7) x + 2x + y + y + 10 − =0 ÷+ 4 => => 2 − ≤ x + y + ≤ => −5 ≤ x + y ≤ −2 2 => => 7 x+ y+ ÷ + y − =0 2 −2 ≤ x + y + ≤ n + np + p = − Bài 25: Cho số thực m,n,p thỏa mãn: 3m 2 , Tìm min, max của: A= m+n+ p HD: 2n + 2np + p = − 3m => 3m + 2n + p + 2np = Từ gt ta có : (m + n + p + 2mn + 2np + 2mp ) + ( 2m + n + p − 2mn − 2mp ) = => 2 ( m + n + p ) + ( m − p) + ( m − n) ≤ − ≤ m + n + p ≤ => => x + y2 + z2 = P = x + y + 2z Bài 26: Cho x,y,z số thực thỏa mãn: , Tìm min, max của: HD: P = ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz Ta có : , nên ta nhân vào gt : 2 2 2 18 = x + y + z = ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − yz − zx ) 18 = ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) + ( y − z ) 2 2 => ( x + y + 2z ) ≤ 18 − 18 ≤ x + y + z ≤ 18 2m + 2n + p + 3mn + mp + 2np = Bài 27: Cho số thực m, n, p thỏa mãn: B = m+n+ p , Tìm max của: HD: Từ gt ta có : 4m + 4n + p + 6mn + 2mp + 4np = 15 => ( m + n + p + 2mn + 2mp + 2np ) + ( m + n + p − 4mp − 2np ) = 3( m + n + p ) + ( p − m) + ( n − p ) = => 2 x+ y+z =3 ( m + n + p ) ≤ => −1 ≤ m + n + p ≤ => A = xy + yz + zx Bài 28: Cho x,y,z thỏa mãn: , Tìm max của: HD: A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) x − y − xy + 3x + y z = 3− x − y Từ gt=> thay vào = B = − xy + yz + zx Bài 29: Cho x,y,z thỏa mãn: x+y+z =3, Tìm max của: HD: B = − xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) z = 3− x − y Từ gt ta có : => 2 −4 x − y − 16 xy + y + 12 x =>B= 2x + 3y − z = A = − xy + yz + zx Bài 30: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm max HD: A = − xy + y ( x + y − ) + x ( x + y − ) z = 2x + 3y − Từ gt=> thay vào 2x + 3y − z = B = 12 xy − yz − zx Bài 31: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: , Tìm max của: HD: B = 12 xy − y ( x + y − ) − x ( x + y − ) z = 2x + 3y − Từ gt ta có : thay vào A = ( x3 + y ) − 15 xy + x + y = −2 Bài 32: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , tìm của: HD: x3 + y = ( x + y ) − 3xy ( x + y ) = −8 + xy Từ x + y= -2, ta có : thay vào A = ( −8 + xy ) − 15 xy + = −3 xy − A = −3 x ( −2 − x ) − y= - - x thay vào x + y = −2 Bài 33: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: , Tìm của: HD: B = x + y − x3 − y + x y + xy ( x + y ) + 13 xy 2 x + y = ( x + y ) − xy − x y = ( − xy ) − x y Từ x+y= - 2, ta có: x3 + y = xy − x + y = − xy , , Thay vào b ta : 2 B = ( − xy ) − x y − ( xy − ) + x y + xy ( − xy ) + 13 xy B = − xy + 24 , thay y = −2 − x => B = x + x Bài 34: Cho hai số thực x,y thỏa mãn: HD: x+ y =5 , Tìm max của: A = x3 + y − ( x + y ) + xy + 16 x3 + y = 125 − 15 xy x+ y =5 Vì nên A = 125 − 15 xy − ( 25 − xy ) + xy + x + y = 25 − xy thay vào Bài 35: Cho hai số x,y thỏa mãn: x+y =5, Tìm max của: HD: B = x + y − ( x3 + y ) − 20 ( x + y ) − x y + xy x + y = ( 25 − xy ) − x y x3 + y = 125 − 15 xy x + y = 25 − xy Vì x+y=5 nên , , 2 2 B = ( 25 − xy ) − x y − ( 125 − 15 xy ) − 20 ( 25 − xy ) − x y + xy x + y − = xy ( − xy ) Bài 36: Cho hai số x,y thỏa mãn: HD: x + y − xy + x y = Từ gt=> => , Tìm max của: 2 ( x − x2 y + y ) + x2 y − 3xy = => ( x2 − y ) + xy − 34 ÷ = 121 16 x + y + 12 xy − x − y − 15 = Bài 37: Cho số thực x,y thỏa mãn: A = 2x + 3y + P = xy => 121 xy − ÷ ≤ 4 16 , Tìm max của: HD: Từ gt=> ( 2x) + ( y ) + 2.2 x.3 y − 2.2 x − 2.3 y + + x = 16 => x + y + z + xy − xz + yz = Bài 38: Cho số thực x,y,z thỏa mãn: P = x+ y HD: (x ( x + y + 1) 2 + 3x = 16 , Tìm max của: + y + xy ) + ( x + y + z + xy − xz + yz ) = Từ gt ta có: ( x + y ) + ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( z − xz + x ) = => ( x + y ) ≤ => − ≤ x + y ≤ => p = x2 + y + z 3x + y + z = Bài 39: Cho số x, y, z thỏa mãn: Tìm max của: HD: y = − 3x − z y = + x + z − x + 12 xz − z Từ gt ta có: => : 2 P = 10 x + z + 12 xz − x − z + A = xy + yz + zx Bài 40: Cho số x, y, z thỏa mãn: x+y+z=1, Tìm max của: HD: A = xy + y ( − x − y ) + x ( − x − y ) z = 1− x − y Từ gt => thay vào ∈ Bài 41: Cho x, y R, thỏa mãn: x+2y=1, Tìm max của: P = x.y 17 HD: Từ gt=> x = 1− y ∈ R+ thay vào P = y (1− 2y) A= Bài 42: Cho x,y thỏa mãn: x+y=10, Tìm của: HD: 1 4 + ≤ = = x y x + y 10 Ta có : A = x2 + y2 ≥ Bài 43: Cho x,y 0, x+y=1, Tìm min, max của: HD: A = x2 + ( − x ) y = 1− x Từ gt=> thay vào 1 + x y y + z + yz = − x P = x+ y+z Bài 44: Tìm max của: , biết: HD: y + z + yz = − x => 3x + y + z + yz = Từ gt => ( x + y + z + xy + yz + zx ) + ( x + y + z − xy − zx ) = => 2 2 ( x + y + z ) + ( x − y ) + ( x − z ) = => ( x + y + z ) ≤ => x + y + xy − 10 x − 14 y + 18 = S = x+ y Bài 45: Cho , Tìm min, max của: HD: x + x ( y − ) + ( y − ) + y − 14 y + 18 − y + 10 y − 25 = Từ gt=> 2 ( x + y − 5) + ( y − y + 1) = => ( x + y − 5) ≤ −3 ≤ x + y − ≤ => => Bài 46: Cho a,b,c không âm thỏa mãn: 3a+2c=51 c+5b=21, Tìm max A=a+b+c HD: 3a + 3c + 5b = 72 => ( a + b + c ) = 72 − 2b ≤ 72 Cộng theo vế giả thiết ta : 72 b ≥ => a + b + c ≤ = 24 Do E = 2a + 3b − 4c Bài 47: Cho a,b,c số khơng âm thỏa mãn: 2a+b=6-3c 3a+4b=3c+4, Tìm HD: c≤ a = − c a + b = => => a ≥ b = 3c − c ≥ b ≥ Cộng theo vế ta : E = ( − 3c ) + ( 3c − ) − 4c = − c Khi đó: x, y, z ≥ 0, x + y = 2014, x + z = 3031 A= x+ y+z Bài 48: Cho , Tìm GTLN biểu thức : 18 HD: x + y + z = 5045 − y ≤ 5045 Cộng theo vế gt ta có: ( x + y + z ) ≤ 5045 => x + y + z ≤ 1009 a + b2 + c2 + Bài 49: Cho a+b+c=3, a,b,c>0, CMR: y≥0 nên ab + bc + ca ≥4 a b + b 2c + c a Bài 50: Cho x,y,z số thực nguyên dương thỏa mãn: A = x2 + y + z x + y + z + xy + yz + zx = , tìm của: HD: 12 = x + y + z + xy + yz + zx Ta có: 2 2 2 x ≤ x + y ≤ y + z ≤ z + 2xy ≤ x + y yz ≤ y + z 2zx ≤ z + x MÀ , , , , , 2 2 2 12 ≤ ( x + y + z ) + => x + y + z ≥ nên x + y + z ≤ 27, A = x + y + z + xy + yz + zx Bài 51: Cho Tìm max HD: ( x + y + z ) = x + y + z + ( xy + yz + zx ) ≤ 27 + x + y + z + z + y + x ≤ 81 Ta có : x2 + y y2 + z z + x2 xy + yz + zx ≤ + + = 27 ( x + y + z) ≤ 2 => , mặt khác A ≤ + 29 = 36 Khi , dấu ‘=’ x = y = z = A = x4 + y4 + z xy + yz + zx = Bài 52: Cho , Tìm của: HD: ( ) 64 = ( xy + yz + zx ) ≤ ( x + y + z ) ( x + y + z ) = ( x + y + z ) Ta có: 64 ≤ ( x + y + z ) ≤ ( x + y + z ) ( 12 + 12 + 12 ) Bài 53: Cho x≥2 x+ y ≥3 , , tìm của: A≥ 64 A= => , 1 P = x2 + y + + x x+ y A= 64 19a + 19b + 19c + + + b2 + c +1 a +1 ab + bc + ca = Bài 54: Cho a, b, c > 0, thỏa mãn: , Tìm của: HD: 19a + 19b + 19c + 19 a b c 1 19 57 A≥ + + = + + ÷+ + + ÷ ≥ + ≥ + 2b 2c 2a b c a 2 a b c 2 abc 2 = ab + bc + ca ≥ 3 ( abc ) => abc ≤ Vì Bài 55: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: a+b+c = , CMR: a +1 b +1 c +1 + + ≥3 b2 + c2 + a2 + 19 Bài 56: Cho a+b+c+d=9, Tìm của: HD: A = a + b2 + c2 + d a=b=c=d = Dự đoán dấu “=” , nên xét 81 81 81 b − b + ≥ 0, c − c + ≥ 0, d − d + ≥ 16 16 16 => 81 A≥ 9 81 a − ÷ ≥ => a − a + ≥ 4 16 a2 + b2 + c2 + d − => a=b=c=d = 81 ( a +b+c +d) + ≥ dấu xảy A = ab ( a + b ) a +b = Bài 57: Cho ,Tìm max của: HD: a + b = => a + b = − 2ab => A = ab ( − 2ab ) = −2a 2b + 4ab Ta có: A = − ( a 2b − 2ab + 1) + ≤ A=2 , Max x + y + z =1 A= x+ y+ z Bài 58: Cho , Tìm của: HD: x = a ( t ≥ ) => x = t y = b, z = c A = a2 + b2 + c2 a + b + c =1 Đặt , => 1 P = a+b+ + a +b ≤1 a b Bài 59: Cho a,b>0 thỏa mãn: , Tìm của: HD: 1 1 1 P = 4a + ÷+ 4b + ÷− ( a + b ) ≥ + − ( a + b ) a = b = => = = 4a a b a Điểm rơi: ,=> a + b ≤ => ( a + b ) ≤ => −3 ( a + b ) ≥ −3 P ≥ 8−3 = mà => 1 A= 3 + + a +b ≤1 a + b a b ab Bài 60: Cho a,b>0 thỏa mãn: , Tìm của: HD: 1 1 a = b = => 3 = 4, = => = a +b ab a +b 2a b Điểm rơi 1 1 1 A= 3 + + + + ≥ 55 3 6 2 a + b 2a b 2a b 2ab 2ab ( a +b ) a b Khi đó: 33 P = x2 + y + x+ y = xy Bài 61: Cho x,y dương thỏa mãn: , tìm của: 33 k P ≥ xy + xy = = => k = 32 x= y=2 xy Điểm rơi: đó: , nên đó: 20 P = xy + 1 ≥ = => P ≥ 2.8 + xy ( x + y ) 4 32 1 + ≥ 64 + xy xy xy , Mà: a+b+c+d = Bài 62: Cho a,b,c,d dương thỏa mãn: 1 1 M= + + + a +1 b +1 c +1 d +1 ( ) ( , Tìm của: ) ( 11x + y + 2015 ) ( x − y + 3) = P = xy − x + 2016 Bài 63: Cho x,y thỏa mãn: , Tìm của: HD: 11x + y + 2015 = x − y +3 = Từ gt ta có : 11x + 2015 11x + y + 2015 = => y = TH1: Ta có : thay vào P x − y + = => y = x + TH2: ta có: thay vào P 1 A= + + a +b+c b +c+a c +a+b Bài 64: Cho a,b,c dương tổng 3, Tìm max của: 4c + 2b ≥ a ( b + c ) Bài 65: Cho a, b, c ba số thực dương thỏa mãn: , Tìm của: S= + + b+c−a a +c−b a+b−c 1 1 P = 2( a + b + c) + + + ÷ a b c a +b +c =3 Bài 66: Cho a,b,c>0, thỏa mãn: , Tìm 2 x + y + z =1 F = xy + yz + zx Bài 67: Cho , tìm của: a + b + c =1 Bài 68: Cho a,b,c dương thỏa mãn: , tìm của: ab bc ca 11 1 S= + + + + + ÷ a + b2 b2 + c c + a a b c 2 HD: Ta có: S= ab bc ca 11 1 1 1a b b c a c + 2+ + + + ÷= + + + + + + + + + 3÷ 2 a b b c c a a +b b +c c +a 4 a b c 4b a c b c a + + + b a c b a c 15 1 x 1 y 1 z S = + ÷+ + ÷+ + ÷+ ≥ + + + = 4 x 4 y 4 z 4 , dấu “=” x = 4, y = 4, z = Vì đặt a b + =x b a Bài 69: Cho P = xy ( x − ) ( y + ) + 12 x − 24 x + y + 18 y + 36 Bài 70: Cho x,y>0 thỏa mãn: x + y ≤ , Tìm của: , CMR P ln dương với x,y P = + y2 +1+ x xy ∈ R 21 Bài 71: Tìm x10 y10 16 A = + ÷+ ( x + y16 ) − ( + x y ) 2 y x x+ y+z =3 B = xy + yz + zx Bài 72: Cho số x,y,z thỏa mãn : , Tìm GTLN : HD: B = xy + z ( x + y ) = xy + 3 − ( x + y ) ( x + y ) Ta có : y − −3 − x + + ( y − 1) + ≤ 2 ÷ xy + ( x + y ) − ( x + y ) = − x − y − xy + 3x + y = = x2 y2 z2 A= + + x, y , z x + yz y + zx z + xy Bài 73: Cho >0 Tìm GTNN của: x2 y2 z2 A≥ + + =1 x + y + z y2 + z + x2 x2 + y2 + z Ta có: dấu bừng 2 2 2 yz = y + z , zx = x + z , xy = x + y hay x=y=z x − xy + y − x + y + = Bài 74: Cho x,y số thực khác thỏa mãn: , 3x y − P= xy Tính giá trị biểu thức: x+ y+ z =3 Bài 75: Cho x, y, z số dương thỏa mãn : , Tìm giá trị nhỏ biểu thức : ( x + y) ( y + z ) + ( y + z) ( z + x) + ( z + x) ( x + y) P= ( z + x) ( x + y) ( y + z) 22 Dạng 5: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC PHỤ Các BĐT phụ là: ( a − b) ≥ + dấu “=” a=b a + b ≥ ab + a b + ≥2 b a + A= + ( < x < 1) 1− x x Bài 1: Tìm biểu thức: HD: − 2x + 2x − x + x 2x 1− x 2x − x A= + = 3+ + ≥ 3+2 = 3+2 1− x x 1− x x 1− x x Tách 2x − x = => x = − 1− x x Dấu ‘’ = ’’ x2 + B= x≥0 x+2 Bài 2: Tìm biểu thức: với HD: x2 − + 5 A= = x−2+ = x+2+ −4≥ 5−4 x+2 x+2 x+2 Tách x+2= => x + = ± x+2 Dấu ‘’=’’ x2 − x + A= x + x +1 Bài 3: Tìm của: với x > HD: x2 + x + − x 2x 2 A= = 1− = 1− x + ≥ => ≤ 1 x + x +1 x + x +1 x x +1+ x + +1 x x Tách , mà x2 + x + A= x + 2x +1 Bài 4: Tìm của: x2 + x + B= x>0 x Bài 5: Tìm của: với HD: 4 B = x+4+ ≥ 4+4 =8 x = => x = x x Ta có: , dấu xảy x2 C= x −1 Bài 6: Tìm của: với x >1 HD: 23 C= Ta có: x2 −1 + 1 = x +1+ = x −1+ +2 ≥ 2+2 x −1 x −1 x −1 Bài 7: Tìm của: HD: 1 B = ( x + 1) 1 + ÷ x B = x +1+1+ Tách x −1 = , Dấu => x = x −1 với x > ≥ 2+2 x x= , dấu xảy x2 A = ( x + 1) + + 2÷ x +1 x ≠ −1 Bài 8: Tìm của: với HD: => x = x A = ( x + 1) + ( x + 1) + ≥2 2+2 = ( x + 1) + + ( x + 1) ( x + 1) Tách ( x + 1) = Dấu A= Bài 9: Tìm của: ( x + 1) => ( x + 1) = 1 => x + = ± 2 x2 − x + x2 − x + B= x + 1− x x Bài 10: Tìm của: với < x < HD: 5( 1− x) 5( 1− x) x − 5x + 5x x x B= + = + +5≥ +5 = 1− x x 1− x x 1− x x Ta có: , dấu x C= + x −1 Bài 11: Tìm của: (x > 1) HD: x −1 +1 x −1 1 x −1 C= + = + + ≥ 2+ = x −1 x −1 2 x −1 , Dấu x y x y P = + ÷ − + ÷− y x y x Bài 12: Cho x,y >0, Tìm của: HD: 2 x y 1 1 + = t => P = t − t − = t − ÷ − t ≥ => P ≥ − ÷ − = y x 2 2 Đặt , mà ( x + a) ( x + b) A= x Bài 13: Cho a, b > Tìm của: với x > HD: 24 B= Ta có: x + ax + bx + ab ab = a + b + x + ÷ ≥ a + b + ab = x x ( a+ b ) a b + =1 x y S = x+ y Bài 14: Cho trước hai số dương a, b, số dương x,y thay đổi cho , Tìm x,y để đạt min, Tìm S theo a,b HD: a b bx ay S = ( x + y ) + ÷= a + b + + ≥ a + b + ab S = a + b x y y x Ta có , ay bx a b = + = => x = a + ab , y = b + ab x y x y Dấu mà A= + < x 0, CMR: HD: y+z−x x+z− y x+ y−z a= ,b = ,c = x = b + c, y = c + a , z = a + c 2 Đặt => , thay vào VT x z x y z x z y y z x y + − 1÷+ + − 1÷+ + − 1÷ ≥ => + ÷+ + ÷+ + ÷ ≥ x x y y z z y x x z y z Ta được: x B= + 1− x x Bài 17: Cho 0 2016 xy ≤ − = 1005006 4 => Max B ( x + y) x, y ∈ z ≤ x, y ≤ 2016 Để xy nhỏ lớn nhất, mà , Giả sử : x < y=> 2 2016 − 2014 xy ≥ = 2015 => => 12 ≤ ( x − y ) ≤ 2014 => Min B 2 Bài 20: Tìm của: HD: => 1 1 A=x+ ÷ + y+ ÷ x y biết: x,y>0 x+ y =1 x2 + y 1 2 A = x + y + + + = ( x + y ) + 2 ÷+ = ( x + y ) 1 + 2 ÷+ x y x y x y 2 ( x + y ) ≥ ( x + y ) = => x + y ≥ Ta có : Khi : x + y ≥ xy => ≥ xy => , ≥ 16 x y2 25 A ≥ ( + 16 ) + = 2 2 1 1 1 B = a + ÷ + b + ÷ + c + ÷ a b c Bài 21 : Cho ba số dương a,b,c có tổng 1, Tìm Min : HD: 1 1 B = ( a + b + c ) + + + ÷+ a b c 1= a +b+c Ta có : , Từ 1 1 1 2 2 2 = ( a + b + c ) ≤ ( a + b + c ) => a + b + c ≥ + + ÷ ≤ 3 + + ÷ a b c a b c 1 1 1 1 1 1 ( a + b + c ) + + ÷ ≥ => + + ≥ + + ÷ ≥ 81 => + + ≥ 27 a b c a b c a b c a b c mà => B ≥ + 27 + Vậy a b c b+c c+a a+b A= + + + + + ÷ b c b+c c+a a+b a Bài 21: Cho a,b,c số dương, Tìm của: 1 1 1 + + = P= + + ≤1 x y z 2x + y + z x + y + z x + y + 2z ≥0 Bài 22: Cho x,y,z , Thỏa mãn: , CMR: a b3 c A= + + a + b + c + ab + bc + ca = b c a Bài 23: Cho a,b,c >0, thỏa mãn: , Tìm của: 26 Bài 24: Cho x,y > 0, thỏa mãn: x+ y= 1, Tìm của: 1 1 A=x+ ÷ + y+ ÷ x y A= ( ) x + y + 12 xy x+ y Bài 25: Cho x,y>0, 4xy=1 x+y=1, Tìm của: HD: 2 ( x + y ) − xy + 12 xy ( x + y ) + xy A= = = x + y + x+ y+ ≥2 x+ y x+ y x+ y x+ y Ta có : , Co si x, y > x + y = => x = y = xy = A≥4 => dấu 1 A = + 3 2 x + y + 3( x + y ) + ( x + y ) + = x y Bài 26: Cho x,y>0 , Tìm của: HD: 3 2 ( x + 1) + ( y + 1) + ( x + y + ) = => ( x + y + ) ( x + 1) − ( x + 1) ( y + 1) + ( y + 1) + 1 = Gt= Ta cm ngoặc vuông >0 với x,y=> x+y+2=0 1 x + y −2 −2 + = = ( x + y ) ≥ xy => ≥ xy => ≥ => ≤ −2 x y xy xy xy xy Mặt khác : , mà x y x2 y + − + ÷+ y x y x Bài 27: Tìm của: a b a + ≤1 S= + b b a Bài 28: Cho số a, b thỏa mãn điều kiện , tìm giá trị nhỏ biểu thức: 27 ... + 80 x + 356 x2 + x + H= x2 −1 x2 + Bài 23: Tìm max của: Bài 24: Tìm max của: Bài 25: Tìm max của: Bài 26: Tìm max của: Bài 27: Tìm max của: Bài 28: Tìm max của: Bài 29: Tìm max của: Bài 30: Tìm. .. Tìm max của: Bài 31: Tìm max của: Bài 32: Tìm max của: Bài 33: Tìm max của: ( x2 + x + I= 8 3x + P= x2 x − x + 2010 Bài 34: Tìm max của: Bài 35: Tìm max của: Bài 36: Tìm max của: Bài 37: Tìm max. .. y x − xy + y Bài 59: Tìm max của: Bài 60: Tìm max của: Bài 61: Tìm max của: Bài 62: Tìm max của: Bài 63: Tìm max của: Bài 64: Tìm max của: Bài 65: Tìm max của: Bài 66: Tìm max của: ) +1 x − xy