TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐBẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I... với a, b, c là các hằng số dương Giải.
Trang 1TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC
I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:
Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a 1, a 2, , a n Ta có
n
a
a
a1 2 n
n
n 2
1 a a a Dấu “=” xảy ra a1 = a 2 = = a n
Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số a 1, , a n và b 1, , b n Ta có
( 2
1
a + + 2
n
a )( 2 1
b + + 2
n
b ) (a1b1 anbn)2
Dấu “=” xảy ra
1
1 b
a
=
2
2 b
a
= =
n
n b
a
Ví dụ 1 Cho x, y > 0 Tìm min f(x, y) = x + xy(x1 y)
Giải.
f(x, y) = x + xy(x1 y)
2
y x y ( x
1
x
4
x
4 3
x 3
x 3
x
Vậy f(x, y) 8 Dấu “=” xảy ra
3 x 3
y x y
2 12 y
12 x
4
Ví dụ 2 Tìm GTNN của S = xy 3 z 3
y
x
với x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Giải.
S =
3
3z
xy
3
y 3
y
3
y
x
3 3 4
3
z xy 3
y x
S 4 3 3 9 12
4
z y x
1 3
4
= 3 3 9 12 3 9 12
4
12
z 9
y 3 x
1 12
9 3 3 4
4
24 12
36
4
12 9 3
12
z 12 9
y 9 3
x 3
1 4
3
4
56
3
2
S 3
14
3
2
Dấu “= ” xảy ra
8 z
8 y
8 x
Ví dụ 3 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của hàm số:
f(A, B, C) =
2
A sin
1 1
2
B sin
1 1
2
C sin 1
1
Trang 2Ta có:
f(A, B, C) = 1 +
2
A sin
1 +
2
B sin
1 +
2
C sin
1 +
2
B sin 2
A sin
1
+
2
C sin 2
B sin
1
+
2
A
sin
2
C
sin
1
+
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1
1 + 33
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1
+ 3
3
2
2
C sin 2
B
sin
2
A
sin
1
+
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1
=
3
3
2
C sin 2
B sin 2
A sin
1 1
3
3
8 1
1 1
= 27
min f = 27 khi tam giác ABC đều
Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:
1) Tìm min, max của hàm số:
f(x, y, z) =
xyz
3 x yz 2 y xz 1 z
Trên D = x,y,z:x3;y2;z 1
2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1
Tìm min của f(x, y, z ) = x xyzy
3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
f(x, y, z) = 2 2 2
z y x
1
+ xy1 + yz1 +
xz
1 (Đ/s: min f = 30 tại x = y = z =
3
1 )
4) Cho ac > 0 và
a
1 + c
1 = b
2 Tìm min của f(a, b, c ) =
b a 2
b a
+
b c 2
c b
Ví dụ 3 Tìm min của hàm số:
f(x, y) =
y cos d x sin c
y cos b x sin a
2 2
4 4
+
y sin d x cos c
y sin b x cos a
2 2
4 4
(với a, b, c là các hằng số dương)
Giải.
f(x, y) = a[
y cos d x sin c
x sin
2 2
4
y sin d x cos c
x cos
2 2
4
y cos d x sin c
y cos
2 2
4
y sin
d
x
cos
c
y
sin
2 2
4
= af 1 + bf 2
Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:
Trang 3[(csin 2 x + dcos 2 y) + (ccos 2 x + dsin 2 y)][
y cos d x sin c
x sin
2 2
y sin
d
x
cos
c
x
cos
2 2
4
1
d
c
1
Dấu “=” xảy ra
y cos d x sin c
x sin
2 2
2
y sin d x cos c
x cos
2 2
2
d c
1
sin 2 x = cos 2 y
tương tự: f 2
d c
1
Dấu “=” xảy ra sin 2 x = cos 2 y
vậy f(x, y)
d c
b a
Dấu “=” xảy ra sin 2 x = cos 2 y min f =
d
c
b
a
khi sin 2 x = cos 2 y
Bài tập áp dụng Bunhia:
1) Cho x, y, z > 0; x + y + z =
2
Tìm Min của biểu thức f(x, y, z) = 1 tgxtgy + 1 tgytgz + 1 tgxtgz
2) Tìm max của hàm số: f(x, y) = 2 x + y
Trên miền D=(x,y);x 0;y 0;x3 y3 1
3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác Tìm min của biểu thức:
M =
A 2 cos
2
1
B 2 cos 2
1
C 2 cos 2
1
Ví dụ 4 Cho x, y, z, t
; 1 4
1 Tìm min của hàm số:
f(x, y, z, t) = )
4
1 y (
4
1 z (
4
1 t (
4
1 x ( logt
Giải.
Vì x, y, z, t
; 1 4
1
và ta có x 2 x –
4
1
logt x2 )
4
1 x ( logt Tương tự và cộng vế với vế ta có:
f(x, y, z, t) 2(logx y + logyz + logzt + logt x) 84
t z y
x y log z log t log x log
= 8
f(x, y, z, t) 8 Dấu “=” x = y = z = t =
2
1
II Sử dụng các bất đẳng thức khác:
Bất đẳng thức trị tuyệt đối:
a + b a b
b
a a b
Trang 4Dấu “=” xảy ra ab > 0.
Ví dụ Cho a 1, , a n là các hằng số cho trước Tìm min của biểu thức
T = x a 1 + x a 2 + + x a n
Giải
Không mất tính tổng quát giả sử a1 a n
TH1: n = 2k
1
a
x + x a n a n – a 1 Dấu “=” a1 x a n
1
k
a
x + x a k a k1 – a k Dấu “=” ak x a k1
T (a n + + a k1) – (a 1 + + a k) Dấu “=” ak x a k1 Với n = 2k thì minT = (a n + + a k1) – (a 1 + + a k) tại a k x a k1 TH2: n = 2k + 1
1
a
x + x a n a n – a 1 Dấu “=” a1 x a n
2
k
a
x + x a k a k2 – a k Dấu “=” ak x a k2
1
k
a
x 0 Dấu “=” ak1 = 0
T (a n + + a k2) – (a 1 + + a k) Dấu “=” ak1 = 0
Với n = 2k + 1 minT = (a n + + a k2) – (a 1 + + a k) khi a k1 = 0