1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Tim Min, Max bằng Bất đẳng thức-Chuyên đềg

4 3,2K 44
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Tiêu đề Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Giá Trị Nhỏ Nhất Của Hàm Số Bằng Bất Đẳng Thức
Trường học Trường Đại Học
Chuyên ngành Toán Học
Thể loại chuyên đề
Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 386 KB

Nội dung

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐBẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I... với a, b, c là các hằng số dương Giải.

Trang 1

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:

Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a 1, a 2, , a n Ta có

n

a

a

a1 2   n

 n

n 2

1 a a a Dấu “=” xảy ra  a1 = a 2 = = a n

Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số a 1, , a n và b 1, , b n Ta có

( 2

1

a + + 2

n

a )( 2 1

b + + 2

n

b ) (a1b1  anbn)2

Dấu “=” xảy ra 

1

1 b

a

=

2

2 b

a

= =

n

n b

a

Ví dụ 1 Cho x, y > 0 Tìm min f(x, y) = x + xy(x1 y)

Giải.

f(x, y) = x + xy(x1 y)

2

y x y ( x

1

x

4

x

4 3

x 3

x 3

x

Vậy f(x, y)  8 Dấu “=” xảy ra  

 3 x 3

y x y

 2 12 y

12 x

4

Ví dụ 2 Tìm GTNN của S = xy 3 z 3

y

x 

với x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Giải.

S =

3

3z

xy

3

y 3

y

3

y

x  

3 3 4

3

z xy 3

y x

 S 4  3 3 9 12

4

z y x

1 3

4

= 3 3 9 12 3 9 12

4

12

z 9

y 3 x

1 12

9 3 3 4

4

24 12

36

4

12 9 3

12

z 12 9

y 9 3

x 3

1 4

3

4

56

3

2

S  3

14

3

2

Dấu “= ” xảy ra 

8 z

8 y

8 x

Ví dụ 3 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của hàm số:

f(A, B, C) =

 2

A sin

1 1

 2

B sin

1 1

 2

C sin 1

1

Trang 2

Ta có:

f(A, B, C) = 1 +

2

A sin

1 +

2

B sin

1 +

2

C sin

1 +

2

B sin 2

A sin

1

+

2

C sin 2

B sin

1

+

2

A

sin

2

C

sin

1

+

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

 1 + 33

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

+ 3

3

2

2

C sin 2

B

sin

2

A

sin

1

+

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

=

3

3

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1 1

3

3

8 1

1 1

= 27

 min f = 27 khi tam giác ABC đều

Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:

1) Tìm min, max của hàm số:

f(x, y, z) =

xyz

3 x yz 2 y xz 1 z

Trên D =  x,y,z:x3;y2;z 1

2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Tìm min của f(x, y, z ) = x xyzy

3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x, y, z) = 2 2 2

z y x

1

 + xy1 + yz1 +

xz

1 (Đ/s: min f = 30 tại x = y = z =

3

1 )

4) Cho ac > 0 và

a

1 + c

1 = b

2 Tìm min của f(a, b, c ) =

b a 2

b a

 +

b c 2

c b

Ví dụ 3 Tìm min của hàm số:

f(x, y) =

y cos d x sin c

y cos b x sin a

2 2

4 4

+

y sin d x cos c

y sin b x cos a

2 2

4 4

(với a, b, c là các hằng số dương)

Giải.

f(x, y) = a[

y cos d x sin c

x sin

2 2

4

y sin d x cos c

x cos

2 2

4

y cos d x sin c

y cos

2 2

4

y sin

d

x

cos

c

y

sin

2 2

4

= af 1 + bf 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:

Trang 3

[(csin 2 x + dcos 2 y) + (ccos 2 x + dsin 2 y)][

y cos d x sin c

x sin

2 2

y sin

d

x

cos

c

x

cos

2 2

4

1

d

c

1

 Dấu “=” xảy ra 

y cos d x sin c

x sin

2 2

2

y sin d x cos c

x cos

2 2

2

d c

1

 sin 2 x = cos 2 y

tương tự: f 2 

d c

1

 Dấu “=” xảy ra  sin 2 x = cos 2 y

vậy f(x, y) 

d c

b a

 Dấu “=” xảy ra  sin 2 x = cos 2 y min f =

d

c

b

a

khi sin 2 x = cos 2 y

Bài tập áp dụng Bunhia:

1) Cho x, y, z > 0; x + y + z =

2

 Tìm Min của biểu thức f(x, y, z) = 1  tgxtgy + 1  tgytgz + 1 tgxtgz

2) Tìm max của hàm số: f(x, y) = 2 x + y

Trên miền D=(x,y);x 0;y 0;x3 y3 1

3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác Tìm min của biểu thức:

M =

A 2 cos

2

1

B 2 cos 2

1

C 2 cos 2

1

Ví dụ 4 Cho x, y, z, t  

 ; 1 4

1 Tìm min của hàm số:

f(x, y, z, t) = )

4

1 y (

4

1 z (

4

1 t (

4

1 x ( logt 

Giải.

Vì x, y, z, t  

 ; 1 4

1

và ta có x 2  x –

4

1

 logt x2  )

4

1 x ( logt  Tương tự và cộng vế với vế ta có:

f(x, y, z, t)  2(logx y + logyz + logzt + logt x)  84

t z y

x y log z log t log x log

= 8

 f(x, y, z, t)  8 Dấu “=”  x = y = z = t =

2

1

II Sử dụng các bất đẳng thức khác:

Bất đẳng thức trị tuyệt đối:

a + b  a  b

b

a   a  b

Trang 4

Dấu “=” xảy ra  ab > 0.

Ví dụ Cho a 1, , a n là các hằng số cho trước Tìm min của biểu thức

T = x  a 1 + x  a 2 + + x  a n

Giải

Không mất tính tổng quát giả sử a1   a n

TH1: n = 2k

1

a

x  + x  a n a n – a 1 Dấu “=”  a1  x  a n

1

k

a

x   + x  a k  a k1 – a k Dấu “=”  ak  x  a k1

 T  (a n + + a k1) – (a 1 + + a k) Dấu “=”  ak  x a k1 Với n = 2k thì minT = (a n + + a k1) – (a 1 + + a k) tại a k  x  a k1 TH2: n = 2k + 1

1

a

x  + x  a n a n – a 1 Dấu “=”  a1  x  a n

2

k

a

x   + x  a k a k2 – a k Dấu “=”  ak  x  a k2

1

k

a

x    0 Dấu “=”  ak1 = 0

 T  (a n + + a k2) – (a 1 + + a k) Dấu “=”  ak1 = 0

Với n = 2k + 1 minT = (a n + + a k2) – (a 1 + + a k) khi a k1 = 0

Ngày đăng: 31/05/2013, 00:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w