1. Trang chủ
  2. » Giáo án - Bài giảng

Tim Min, Max bằng Bất đẳng thức-Chuyên đềg

4 3,2K 44
Tài liệu đã được kiểm tra trùng lặp

Đang tải... (xem toàn văn)

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 4
Dung lượng 386 KB

Nội dung

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐBẰNG BẤT ĐẲNG THỨC I... với a, b, c là các hằng số dương Giải.

Trang 1

TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT, GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC

I Sử dụng bất đẳng thức cổ điển:

Bất đẳng thức Cauchy: Cho n số không âm a 1, a 2, , a n Ta có

n

a

a

a1 2   n

 n

n 2

1 a a a Dấu “=” xảy ra  a1 = a 2 = = a n

Bất đẳng thức Bunhia: Cho 2 dãy số a 1, , a n và b 1, , b n Ta có

( 2

1

a + + 2

n

a )( 2 1

b + + 2

n

b ) (a1b1  anbn)2

Dấu “=” xảy ra 

1

1 b

a

=

2

2 b

a

= =

n

n b

a

Ví dụ 1 Cho x, y > 0 Tìm min f(x, y) = x + xy(x1 y)

Giải.

f(x, y) = x + xy(x1 y)

2

y x y ( x

1

x

4

x

4 3

x 3

x 3

x

Vậy f(x, y)  8 Dấu “=” xảy ra  

 3 x 3

y x y

 2 12 y

12 x

4

Ví dụ 2 Tìm GTNN của S = xy 3 z 3

y

x 

với x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Giải.

S =

3

3z

xy

3

y 3

y

3

y

x  

3 3 4

3

z xy 3

y x

 S 4  3 3 9 12

4

z y x

1 3

4

= 3 3 9 12 3 9 12

4

12

z 9

y 3 x

1 12

9 3 3 4

4

24 12

36

4

12 9 3

12

z 12 9

y 9 3

x 3

1 4

3

4

56

3

2

S  3

14

3

2

Dấu “= ” xảy ra 

8 z

8 y

8 x

Ví dụ 3 Cho A, B, C là 3 góc của một tam giác Tìm GTNN của hàm số:

f(A, B, C) =

 2

A sin

1 1

 2

B sin

1 1

 2

C sin 1

1

Trang 2

Ta có:

f(A, B, C) = 1 +

2

A sin

1 +

2

B sin

1 +

2

C sin

1 +

2

B sin 2

A sin

1

+

2

C sin 2

B sin

1

+

2

A

sin

2

C

sin

1

+

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

 1 + 33

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

+ 3

3

2

2

C sin 2

B

sin

2

A

sin

1

+

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1

=

3

3

2

C sin 2

B sin 2

A sin

1 1

3

3

8 1

1 1

= 27

 min f = 27 khi tam giác ABC đều

Bài tập áp dụng bất đẳng thức Cosi:

1) Tìm min, max của hàm số:

f(x, y, z) =

xyz

3 x yz 2 y xz 1 z

Trên D =  x,y,z:x3;y2;z 1

2) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1

Tìm min của f(x, y, z ) = x xyzy

3) Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số

f(x, y, z) = 2 2 2

z y x

1

 + xy1 + yz1 +

xz

1 (Đ/s: min f = 30 tại x = y = z =

3

1 )

4) Cho ac > 0 và

a

1 + c

1 = b

2 Tìm min của f(a, b, c ) =

b a 2

b a

 +

b c 2

c b

Ví dụ 3 Tìm min của hàm số:

f(x, y) =

y cos d x sin c

y cos b x sin a

2 2

4 4

+

y sin d x cos c

y sin b x cos a

2 2

4 4

(với a, b, c là các hằng số dương)

Giải.

f(x, y) = a[

y cos d x sin c

x sin

2 2

4

y sin d x cos c

x cos

2 2

4

y cos d x sin c

y cos

2 2

4

y sin

d

x

cos

c

y

sin

2 2

4

= af 1 + bf 2

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia:

Trang 3

[(csin 2 x + dcos 2 y) + (ccos 2 x + dsin 2 y)][

y cos d x sin c

x sin

2 2

y sin

d

x

cos

c

x

cos

2 2

4

1

d

c

1

 Dấu “=” xảy ra 

y cos d x sin c

x sin

2 2

2

y sin d x cos c

x cos

2 2

2

d c

1

 sin 2 x = cos 2 y

tương tự: f 2 

d c

1

 Dấu “=” xảy ra  sin 2 x = cos 2 y

vậy f(x, y) 

d c

b a

 Dấu “=” xảy ra  sin 2 x = cos 2 y min f =

d

c

b

a

khi sin 2 x = cos 2 y

Bài tập áp dụng Bunhia:

1) Cho x, y, z > 0; x + y + z =

2

 Tìm Min của biểu thức f(x, y, z) = 1  tgxtgy + 1  tgytgz + 1 tgxtgz

2) Tìm max của hàm số: f(x, y) = 2 x + y

Trên miền D=(x,y);x 0;y 0;x3 y3 1

3) Cho A, B, C là 3 góc của tam giác Tìm min của biểu thức:

M =

A 2 cos

2

1

B 2 cos 2

1

C 2 cos 2

1

Ví dụ 4 Cho x, y, z, t  

 ; 1 4

1 Tìm min của hàm số:

f(x, y, z, t) = )

4

1 y (

4

1 z (

4

1 t (

4

1 x ( logt 

Giải.

Vì x, y, z, t  

 ; 1 4

1

và ta có x 2  x –

4

1

 logt x2  )

4

1 x ( logt  Tương tự và cộng vế với vế ta có:

f(x, y, z, t)  2(logx y + logyz + logzt + logt x)  84

t z y

x y log z log t log x log

= 8

 f(x, y, z, t)  8 Dấu “=”  x = y = z = t =

2

1

II Sử dụng các bất đẳng thức khác:

Bất đẳng thức trị tuyệt đối:

a + b  a  b

b

a   a  b

Trang 4

Dấu “=” xảy ra  ab > 0.

Ví dụ Cho a 1, , a n là các hằng số cho trước Tìm min của biểu thức

T = x  a 1 + x  a 2 + + x  a n

Giải

Không mất tính tổng quát giả sử a1   a n

TH1: n = 2k

1

a

x  + x  a n a n – a 1 Dấu “=”  a1  x  a n

1

k

a

x   + x  a k  a k1 – a k Dấu “=”  ak  x  a k1

 T  (a n + + a k1) – (a 1 + + a k) Dấu “=”  ak  x a k1 Với n = 2k thì minT = (a n + + a k1) – (a 1 + + a k) tại a k  x  a k1 TH2: n = 2k + 1

1

a

x  + x  a n a n – a 1 Dấu “=”  a1  x  a n

2

k

a

x   + x  a k a k2 – a k Dấu “=”  ak  x  a k2

1

k

a

x    0 Dấu “=”  ak1 = 0

 T  (a n + + a k2) – (a 1 + + a k) Dấu “=”  ak1 = 0

Với n = 2k + 1 minT = (a n + + a k2) – (a 1 + + a k) khi a k1 = 0

Ngày đăng: 31/05/2013, 00:20

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

w