Bat dang thuc- BD HSG

Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss s ố ốố ố Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn Ngày soạn : 04/09/11 Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy Ngày dạy : 09/09/11 Chủ đề Chủ đềChủ đề Chủ đề 2 22 2 phơng pháp chứng minh bất đẳng thức <1> A/Mục tiêu Học xong buổi học này HS cần phải đạt đợc : Kiến thức - Học sinh đợc củng cố định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức - Nắm đợc định nghĩa và một số tính chất bất đẳng thức. Biết vận dụng định nghĩa bất đẳng thức để chứng minh một số bất đẳng thức cơ bản. Kĩ năng - Rèn luyện kĩ năng biến đổi và rèn luyện khả năng t duy toán học thông qua chứng minh các bất đẳng thức - Tập chứng minh BĐT theo nhiều cách khác nhau Thái độ - Rèn luyện tính cẩn thận và chính xác, biết lựa chọn giải pháp hợp lý khi giải toán. B/Chuẩn bị của thầy và trò - GV: Nghiên cứu kĩ giáo án - HS: Ôn tập lại định nghĩa và các tính chất của bất đẳng thức C/Tiến trình bài dạy I. Tổ chức Tổ chứcTổ chức Tổ chức sĩ số sĩ số sĩ số sĩ số II. Kiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũKiểm tra bài cũ Kiểm tra bài cũ (15 phút) - HS1: Thế nào là một bất đẳng thức ? Cho ví dụ ? - HS2: Nêu các tính chất của bất đẳng thức ? Cho các ví dụ minh họa ? III. Bài mới Bài mớiBài mới Bài mới (160 phút) A Lí thuyết (30 phút) 1) Định nghĩa bất đẳng thức. a nhỏ hơn b, kí hiệu là a < b, nếu a b < 0. a lớn hơn b, kí hiệu là a > b, nếu a b > 0. a nhỏ hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. a lớn hơn hoặc bằng b, kí hiệu là a b, nếu a - b 0. Ví dụ: VD1: 7 5 7 6 > vì ( 7 5) ( 7 6) 1 0 = > VD2: 1 3 1 1 3 4 3 4 < vì 1 3 1 1 1 0 3 4 3 4 2 = < VD3: a 2 + 1 < a 2 + 2 vì (a 2 + 1) - (a 2 + 2) = -1 < 0 2) Các tính chất của BĐT. + Tính chất 1: a > b b < a. + Tính chất 2: a > b và b > c a > c (tính chất bắc cầu) + Tính chất 3: a > b a + c > b + c Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu + Tính chất 4: a > b, c > d a + c > b + d a > b, c < d a - c > b - d + Tính chất 5: ac bc, nếu c > 0 a b ac bc, nếu c < 0 > > <=> < + Tính chất 6: a > b > 0, c > d > 0 ac > bd + Tính chất 7: a > b > 0 a n > b n với mọi n * N ; a > b a n > b n (n lẻ); a b > a n > b n (n chẵn) + Tính chất 8: a > b > 0 n n a b > với mọi n * N ; Hệ quả: a, b 0 => 2 2 a b a b a b <=> <=> + Tính chất 9: m n m n a 1 và m n a a với m,n N * 0 a 1 và m n a a với m,n N * > > => > < < > => < 3, Một số bất đẳng thức thông dụng : a, Bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm: Với hai số không âm a , b ta có : ab ba + 2 ( ) 2 a b ab 2 + Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi : a = b b, Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki : Với mọi số a ; b; x ; y ta có : ( ax + by ) 2 (a 2 + b 2 )(x 2 + y 2 ) Dấu đẳng thức xảy ra <=> y b x a = c, Bất đẳng thức giá trị tuyệt đối : baba ++ Dấu đẳng thức xảy ra khi : ab 0 B Các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức (130 phút) Phơng pháp chung : Cách 1 : Biến đổi BĐT cần chứng minh thành một BĐT tơng đơng mà ta đ biết là đúng Cách 2 : Biến đổi BĐT đúng đ biết thành BĐT cần chứng minh 1. Phơng pháp 1 : Dùng định nghĩa Phơng pháp chứng minh Phơng pháp chứng minhPhơng pháp chứng minh Phơng pháp chứng minh A > B A > BA > B A > B : :: : - Bớc 1: Xét hiệu A B - Bớc 2: Chứng minh A B > 0 - Lu ý : A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . - A 2 0 với mọi A ; dấu '' = '' xảy ra khi A = 0 . A A A ; A A A 0; A A A 0 = <=> = <=> Bài tập: Bài tập:Bài tập: Bài tập: *) Bài tập 1: Chứng minh bất đẳng thức sau: 2 a b ab 2 + (Bất đẳng thức Côsi) Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss s ố ốố ố Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 a b a 2ab b 4ab ab 2 4 + + + = 2 a b 0 2 = Vậy: 2 a b ab 2 + dấu = xảy ra khi a = b. Chú ý: Để chứng minh BĐT: Với hai số không âm a , b ta có : ab ba + 2 ta xuất phát từ BĐT 2 ( a b ) 0 , luôn đúng với mọi a, b 0 *) Bài tập 2: Chứng minh rằng với mọi số a, b, x, y ta có 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by) + + + (Bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xki) Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by) + + + = a 2 x 2 + a 2 y 2 + b 2 x 2 + b 2 y 2 - a 2 x 2 - b 2 y 2 2byax = (ay bx) 2 0 Vậy: 2 2 2 2 2 (a b )(x y ) (ax by) + + + dấu = xảy ra khi ay = bx hay a b x y = *) Bài tập 3: Cho a, b, c, d là các số thực. Chứng minh rằng : 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e) + + + + + + + Bài làm : Xét hiệu 2 2 2 2 2 (a b c d e ) a(b c d e) + + + + + + + = 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a ab b ac c ad d ae e 4 4 4 4 + + + + + + + = 2 2 2 2 a a a a b c d e 0 2 2 2 2 + + + Vậy: 2 2 2 2 2 a b c d e a(b c d e) + + + + + + + dấu = xảy ra khi a b c d e 2 = = = = *) Bài tập 4: Với mọi số : x, y, z chứng minh rằng : x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) Bài làm : Ta xét hiệu : H = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2( x + y + z) = x 2 + y 2 + z 2 +3 - 2x - 2y - 2z = (x 2 - 2x + 1) + (y 2 - 2y + 1) + (z 2 - 2z + 1) = (x - 1) 2 + (y - 1) 2 + (z - 1) 2 Do (x - 1) 2 0 với mọi x (y - 1) 2 0 với mọi y (z - 1) 2 0 với mọi z => H 0 với mọi x, y, z Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu Hay x 2 + y 2 + z 2 +3 2(x + y + z) với mọi x, y, z . Dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. *) Bài tập 5: Chứng minh rằng với mọi x, y ta đều có : x 4 + y 4 xy 3 + x 3 y Bài làm : Xét hiệu : x 4 + y 4 ( xy 3 + x 3 y ) = ( x 4 xy 3 ) + ( y 4 x 3 y ) = x( x 3 y 3 ) + y( y 3 x 3 ) = ( x y )( x 3 y 3 ) = ( x y ) 2 ( x 2 + xy + y 2 ) = ( x y ) 2 ( ) 2 2 3 1 x y y 2 4 + + 0 Vậy bất đẳng thức đ cho là đúng . Dấu = xảy ra khi x = y . *) Bài tập 6: Cho a > 0, b > 0. Chứng minh rằng : a b a b + > + Hớng dẫn : Cách 1 : ( ) ( ) 2 2 a b a b a b a b a 2 ab b a b 2 ab 0 (BĐT đúng vì a, b > 0 ) + > + <=> + > + <=> + + > + <=> > Vậy a b a b + > + Cách 2 : ( ) 2 a b a b a 2 ab b a b (vì 2 ab 0) + = + = + + > + > Cách 3 : Vì a > 0, b > 0 nên a b 1, 1 a b a b < < + + , do đó a a b b , a b a b a b a b > > + + + + Cộng vế với vế của hai BĐT cùng chiều => đpcm Cách 4 : Vì a > 0, b > 0 nên a 0, b 0 > > Dựng tam giác ABC vuông tại A có AB = a ,AC b = áp dụng Py ta go tính đợc BC = 2 2 AB AC + ( ) ( ) 2 2 a b+ = a b + áp dụng BĐT tam giác, ta có : AB + AC > BC Vậy a b a b + > + b a C B A *) Bài tập 7: Cho a, b, c là các số không âm. Chứng minh rằng : 3 a b c abc 3 + + (BĐT Cô-si cho ba số không âm) Hớng dẫn : Cách 1 : Bài toán phụ : Chứng minh rằng ( ) ( ) 2 2 3 3 3 2 1 x y z 3xyz ( x y z) (x y) y z z x 2 + + = + + + + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss s ố ốố ố Hớng dẫn : Ta biến đổi từ VP để có VT Với x, y, z 0 => 3 3 3 x y z 3xyz + + 0 => 3 3 3 x y z xyz 3 + + Đặt x = 3 3 3 a ,y b ,z c (a,b,c 0) = = Ta có : 3 3 3 3 a b c a b c a b c abc 3 3 + + + + <=> Cách 2 : Bài toán phụ Cho x, y, z, t không âm . Chứng minh rằng 4 x y z t xyzt 4 + + + (BĐT Cô-si cho bốn số không âm) Thật vậy: 4 x y z t x y z t 1 1 ( xy zt ) xy zt xyzt 4 2 2 2 2 + + + + + = + + = => 4 x y z t xyzt 4 + + + Do đó ( ) 4 4 a b c a b c a b c 3 a b c abc 3 4 3 + + + + + + + + + = Trờng hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán đợc chứng minh Trờng hợp a, b, c đều khác 0 , ta có a + b + c > 0 Do đó: ( ) 4 a b c a b c abc 3 3 + + + + <=> 3 a b c abc 3 + + 2. Phơng pháp 2 : Dùng tính chất của bất đẳng thức *) Bài tập 1 : Cho hai số x, y thoả mn điều kiện x + y = 2. Chứng minh x 4 + y 4 2 Bài làm : - Ta có: (x 2 y 2 ) 2 0 (với mọi x, y) x 4 + y 4 2x 2 y 2 x 4 + y 4 + x 4 + y 4 x 4 + 2x 2 y 2 + y 4 2(x 4 + y 4 ) (x 2 + y 2 ) 2 (1) dấu = xảy ra khi x = y hoặc x = - y. - Mặt khác, ta có: (x y) 2 0 (với mọi x, y) x 2 + y 2 2xy 2(x 2 + y 2 ) (x + y) 2 x 2 + y 2 2 (2) (vì x + y = 2) dấu = xảy ra khi x = y. - Từ (1) và (2) x 4 +y 4 2 dấu= xảy ra khi x = y = 1. *) Bài tập 2 : Chứng minh rằng 2 2 2 3 a b c a b c 4 + + + Bài làm : Ta có: 2 2 1 1 a 0 a a 2 4 + + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 2 2 1 1 b 0 b b 2 4 + + 2 2 1 1 c 0 c c 2 4 + + Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức trên ta đợc: 2 2 2 1 1 1 a b c a b c 4 4 4 + + + + + 2 2 2 3 a b c a b c 4 + + + dấu = xảy ra khi a = b = c = 1 2 . *) Bài tập 3 : Cho 0 < a, b, c, d < 1 . Chứng minh rằng : (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . Bài làm : Ta có : (1 - a)(1 - b) = 1 - a - b + ab Do a, b > 0 nên ab > 0 => (1 - a)(1 - b) > 1 - a - b . Do c < 1 nên 1 - c > 0 => (1 - a)(1 - b)(1 - c) > (1 - a - b)(1 - c) (1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c + ac + bc . Do 0 < a, b, c, d <1 nên 1 - d > 0 ; ac + bc > 0 ; ad + bd + cd > 0 =>(1 - a)(1 - b)(1 - c) > 1 - a - b - c => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > (1 - a - b - c)(1 - d) => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d + ad + bd + cd => (1 - a)(1 - b)(1 - c)(1 - d) > 1 - a - b - c - d . *) Bài tập 4 : Cho 0 < a, b, c < 1 . Chứng minh rằng : 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a Bài làm : Do 0 < a, b < 1 => a 3 < a 2 < a < 1 ; b 3 < b 2 < b < 1 ; ta có : (1 - a 2 )(1 - b) > 0 => 1 + a 2 b > a 2 + b => 1 + a 2 b > a 3 + b 3 hay a 3 + b 3 < 1 + a 2 b . Tơng tự : b 3 + c 3 < 1 + b 2 c ; c 3 + a 3 < 1 + c 2 a . => 2a 3 + 2b 3 + 2c 3 < 3 + a 2 b + b 2 c + c 2 a *) Bài tập 5 : Từ bất đẳng thức ( ) 2 a b 0 , hy chứng minh các bất đẳng thức sau : +) ( ) 2 2 2 a b a b 2 2 + + +) ( ) 2 a b 4ab + +) ( ) 2 a b ab 2 + +) ( ) 2 1 1 (a,b 0) 4ab a b > + +) 1 1 4 (a, b 0) a b a b + > + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss s ố ốố ố +) 2 2 a b 2(a b ) (a, b 0) + + > (BĐT Bu-nhi-a-côp-xki) +) a b 2 ab (a, b 0) + > (BĐT cô-si) 3. Phơng pháp 3 : Dùng phép biến đổi tơng đơng - Quá trình chuyển từ một bất đẳng thức sang một bất đẳng thức tơng đơng gọi là một phép biến đổi tơng đơng . - Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh tơng đơng với bất đẳng thức đúng hoặc bất đẳng thức đ đợc chứng minh là đúng . - Khi có hai bất đẳng thức tơng đơng , nếu một bất đẳng thức đúng thì bất đẳng thức kia cũng đúng . Ta có sơ đồ : A > B A 1 > B 1 A 2 > B 2 A n > B n *) Bài tập 1 : Cho a, b là hai số dơng có tổng bằng 1 . Chứng minh rằng : 3 4 1 1 1 1 + + + b a Giải: Dùng phép biến đổi tơng đơng 3(a + 1 + b + 1) 4(a + 1) (b + 1) 9 4(ab + a + b + 1) (vì a + b = 1) 9 4ab + 8 1 4ab (a + b) 2 4ab Bất đẳng thức cuối đúng . Suy ra điều phải chứng minh . *) Bài tập 2 : Cho a, b, c là các số dơng thoả mn : a + b + c = 4 Chứng minh rằng : (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 Giải: Từ : (a + b) 2 4ab , (a + b + c) 2 = [ ] cbacba )(4)( 2 +++ => 16 4(a + b)c => 16(a + b) 4(a + b) 2 c 16 abc => a + b abc Tơng tự : b + c abc c + a abc => (a + b)(b + c)(c + a) a 3 b 3 c 3 *) Bài tập 3 : Chứng minh bất đẳng thức : 3 33 22 + + baba ; trong đó a > 0 ; b > 0 Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : Với a > 0 ; b > 0 => a + b > 0 3 33 22 + + baba + + + 2 ).( 2 22 ba baba ba . 2 2 + ba a 2 - ab + b 2 2 2 + ba Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu 4a 2 - 4ab + 4b 2 a 2 + 2ab + b 2 3a 2 - 6ab + 3b 2 = 3(a 2 - 2ab + b 2 ) 0 ( ) 2 3 a b 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng ; suy ra : 3 33 22 + + baba Dấu = xảy ra a = b *) Bài tập 4 : Cho 2 số a, b thoả mn a + b = 1 . CMR a 3 + b 3 + ab 2 1 Giải : Ta có : a 3 + b 3 + ab 2 1 <=> a 3 + b 3 + ab - 2 1 0 <=> (a + b)(a 2 - ab + b 2 ) + ab - 2 1 0 <=> a 2 + b 2 - 2 1 0 . Vì a + b = 1 <=> 2a 2 + 2b 2 - 1 0 <=> 2a 2 + 2(1-a) 2 - 1 0 ( vì b = a -1 ) <=> 4a 2 - 4a + 1 0 <=> ( 2a - 1 ) 2 0 Bất đẳng thức cuối cùng đúng . Vậy a 3 + b 3 + ab 2 1 Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = 2 1 *) Bài tập 5 : Với a > 0 , b > 0 . Chứng minh bất đẳng thức : a b a a b b Giải : Dùng phép biến đổi tơng đơng : a b a a b b ( )() baabbbaa ++ 0 [ ] 0)()()( 33 ++ baabba 0)())(( +++ baabbababa 0)2)(( ++ bababa 2 ( a b )( a b ) 0 + Bất đẳng thức cuối đúng ; suy ra : a b a a b b *) Bài tập 6 : Cho các số dơng a , b thoả mn điều kiện a + b = 1 Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Năm học 2011 - 2012 G GG Gi ii iá áá áo oo o á áá án nn n B BB Bồ ồồ ồi ii i d dd d ỡ ỡỡ ỡn nn ng gg g H HH HS SS SG GG G P PP Ph hh hầ ầầ ần nn n Đ ĐĐ Đạ ạạ ại ii i s ss s ố ốố ố Chứng minh rằng : ( 1 + 1 a )( 1 + 1 b ) 9 (1) Giải: Ta có ( a + 1 a .)( b + 1 b ) 9 ab + a + b + 1 9 ab ( vì a,b > 0 ) a + b + 1 8 ab 2 8 ab ( vì a + b = 1 ) ( a + b ) 2 4 ab ( a b ) 2 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng các phép biến đổi là tơng đơng vậy bất đẳng thức (1) đợc chứng minh. Xảy ra dấu đẳng thức a = b. IV. Hớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhàHớng dẫn về nhà Hớng dẫn về nhà (5 phút) - Xem lại các phơng pháp chứng minh bất đẳng thức trong bài học và làm các bài tập về nhà sau: *) Bài tập 1 : Chứng minh bất đẳng thức : 2 22 22 + + baba Hớng dẫn: Xét hiệu : H = 2 22 22 + + baba = 4 )2()(2 2222 bababa +++ = 0)( 4 1 )222( 4 1 22222 =+ baabbaba . Với mọi a, b . Dấu '' = '' xảy ra khi a = b . *) Bài tập 2 : Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 3(m + 1) + m < 4(2 + m) b) b(b + a) ab c) a(a b) b(a b) d) 2 c 1 c 1 2 + *) Bài tập 3 : Cho các số dơng a, b, c có tích bằng 1. Chứng minh rằng (a + 1)(b + 1)(c + 1) 8 *) Bài tập 4 : Chứng minh các bất đẳng thức: a) (x + y + z) 2 3(xy + yz + xz) b) c 2 c 1 2 + *) Bài tập 5 : Cho a, b là hai số thoả mn điều kiện a + b = 2. Chứng minh rằng a 4 + b 4 a 3 + b 3 . Hớng dẫn: Vì a + b = 2 nên a 4 + b 4 a 3 + b 3 ( ) 4 4 3 3 2(a b ) (a b) a b + + + 4 4 4 4 3 3 4 4 3 3 3 3 2 2 2 2(a b ) a b ab ba a b ab ba (a b)(a b ) 0 b 3b (a b) (a ) 0 (luôn đúng) 2 4 <=> + + + + <=> + + <=> <=> + + Trờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng HngTrờng THCS Hồng Hng Trờng THCS Hồng Hng Giáo viên: Phạm Văn Hiệu *) Bài tập 6 : Cho hai số x, y thoả mn điều kiện x + y = 1. Chứng minh: a) x 2 + y 2 1 2 b) 1 8 x 4 + y 4 D/Bổ sung ******************************* [...]... chọn HSG huyện Gia Lộc - Hải Dơng Vì x, y, z > 0 => Cho tam giác ABC, D l điểm trên cạnh BC (D không trùng với B, C) Chứng minh : AD.BC < BD. CA + CD.AB Hớng dẫn: Kẻ DE//AC, DF//AB DE = BD => BD = BC DE AC BC AC CD = DF => CD = BC DF CB AB AB BD. CA + CD.AB = BC DE CA + BC DF AB AC AB = BC.DE + BC.DF = BC(DE + AE) > BC.AD 6 Chứng minh đẳng thức từ một điều kiện cho trớc: *) B i tập 1: Đề thi chọn HSG. .. 2ac + 2bd (2) N u ac + bd < 0 thỡ (2) c ch ng minh N u ac + bd 0 thỡ (2) tng ng v i (a2 + b2 )(c2 + d2) a2c2 + b2d2 + 2abcd 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a c + a d + b c + b d a c + b d + 2abcd 2 (ad bc) 0 (3) B t ng th c (3) ỳng, b t ng th c (1) c ch ng minh (a 2 + b 2 )(c 2 + d 2 ) ac + bd *) B i tập 4: V i ba s a,b,c khụng õm, ch ng minh b t a + b + c ab + ac + bc Giáo án Bồi dỡng HSG Phần... (1 + x )(1 + y ) 1 + xy (1 + x )(1 + y ) ) B T cu i cựng ỳng do xy 1 ng th c x y ra x = y ho c xy = 1 *) B i tập 10: Đề thi chính thức chọn HSG tỉnh Hải Dơng năm học 2010 - 2011 a b c 22 Ch ng minh (2) + + a + b b + c c + a 15 Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng H ng d n: 1 1 1 22 + + b c a 15 1+ 1+ 1+ a b c b c a 1 t x = , y = , z = thỡ x, y, z 4 v xyz = 1 a b c 4 1 1... (đpcm) *) B i tập 6: Cho góc xOy, Oz l tia phân giác của góc xOy Từ điểm M nằm trong góc xOz vẽ MH vuông góc với Ox ( H thuộc Ox ), vẽ MK vuông góc với Oy( K thuộc Oy ) Chứng minh: MH < MK Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng Giải: Gọi A l giao điểm của MK với Oz Vẽ AB Ox ( B thuộc Ox ) Nối B với M Xét KOA vuông tại K v BOA vuông tại B có: OA l cạnh chung BOA = KOA (Oz l tia phân giác)... trị tuyệt đối để biến đổi v chứng minh , - Một số hệ quả từ các bất đẳng thức trên : x2 + y2 2xy Với a, b > 0 , *) B i tập 1: Cho x , y > 0 Chứng minh rằng : 1 1 4 + x y x+ y Giải Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số a b + 2 b a Trờng THCS Hồng Hng áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có : x + y 2 xy , chia cả hai vế cho xy > 0 2 1 1 + x y , nhân cả hai vế với x + y ta có xy 1 1 => (x + y)( + ) x y 2 xy... CA + BC DF AB AC AB = BC.DE + BC.DF = BC(DE + AE) > BC.AD 6 Chứng minh đẳng thức từ một điều kiện cho trớc: *) B i tập 1: Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc - Hải Dơng năm học 2007 - 2008 Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng Cho a, b, c v x, y, z l các số thỏa m n điều kiện : 3 3 3 ax = by = cz và xy + yz + xz = xyz ( Với x, y, z 0) Chứng minh đẳng thức: Hớng dẫn: 3 2 2 2 ax + by + cz =3... Thay v o VT ta có: VT = VP = 3 t x +3 3 t y 3 3 +3 t + t + t x y z t 3 z = 3 t( 1 + 1 + 1 ) = 3 t x y z =3 t ( 1 + 1 + 1 )=3 t x y z Vậy : 3 ax2 + by2 + cz2 = 3 a + 3 b + 3 c *) B i tập 2: Đề thi chọn HSG huyện Ninh Hòa 2 Chứng minh rằng nếu: 2 x yz y xz = x(1 yz) y(1 xz) với x y, yz 1, xz 1, x 0, y 0,z 0 thì x + y + z = 1 + 1 + 1 x 2 z x yz y xz 2 2 = ( x yz)( y xyz) = ( y xz)( x... xy xyz( x + y ) + z( x + y ) xyz ( vì x y ) xy + xz + yz = xyz( x + y ) + xyz 2 xy + xz + yz xyz( x + y ) + xyz = ( xyz 0) 1 + 1 + 1 = x + y + z xyz xyz x y z *) B i tập 3: Đề thi chọn HSG huyện Gia Viễn 2 x2 + y 2 + z 2 x + y + z 1/ Cho ba s x, y, z tu ý Ch ng minh r ng 3 3 1 1 1 1 1 1 2/ Ch ng minh r ng n u + + = 2 v a + b + c = abc thỡ ta cú 2 + 2 + 2 = 2 a b c a b c Hớng dẫn:... bài abc = 1) 3 3 ab(a + b + c) a + b +1 (do các vế đều dơng) Tơng tự ta có: 1 1 1 ; 3 13 3 bc(a + b + c ) ac(a + b + c ) b + c +1 c + a +1 3 Cộng vế với vế của các bất đẳng trên ta có Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng 1 1 1 1 1 1 + + + + 3 3 3 3 3 ab(a + b + c) bc(a + b + c) ac(a + b + c) a + b +1 b + c +1 c + a +1 3 1 1 1 + + 1 3 3 3 3 3 a + b +1 b + c +1 c + a +1 3 *) B i... x, y ,z > 0 nên x + y + z > 0 vậy dấu bằng không thể xảy ra => x + y+z y + x+z z > 2 với mọi x, y , z > 0 ( Đpcm ) y+x *) B i tập 6: Đề thi vào THPT tỉnh Bình Định năm học 2010 - 2011 Giáo án Bồi dỡng HSG Phần Đại số Trờng THCS Hồng Hng Cho cỏc s a, b, c th a món cỏc i u ki n 0 < a < b v phng trỡnh ax2 + bx + c = 0 vụ a+b+c >3 ba nghi m Ch ng minh r ng: Hớng dẫn: Ta cú (b-c)2 0 b2 2bc - c2 Vỡ pt ax2 . < (6) *) Bài tập 1: Đề thi Đề thi Đề thi Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc - - Hải Dơng năm học 2008 Hải Dơng năm. chứng minh) *) Bài tập 11: Đề thi Đề thi Đề thi Đề thi chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc chọn HSG huyện Gia Lộc - - Hải Dơng Hải Dơng Hải Dơng Hải Dơng. trùng với B, C) Chứng minh : AD.BC BD. CA CD.AB < + Hớng dẫn: Kẻ DE//AC, DF//AB DE BD DE BD BC. AC BC AC CD DF DF CD BC. CB AB AB = => = = => = BD. CA CD.AB + = DE BC. AC .CA + DF BC. AB .AB