Toán BD HSG Bất đẳng thức

A/ KIẾN THỨC CẦN NẮM I/ ĐỊNH NGHĨA: Với A, B là 2 biểu thức bất kì: A >B <=> A – B > 0 A < B <=> A – B < 0 A ≥ B <=> A – B ≥ 0 A ≤ B <=> A – B ≤ 0 + Nếu A > B => C > D ta nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B + Nếu A > B <=> C > D ta nói hai bất đẳng thức C > D và A > B là 2 bất đẳng thức tương đương. II/ TÍNH CHẤT: 1/ A >B <=> B < A 2/ A >B và B > C => A > C 3/ A >B <=> A + C >B + C Hệ quả A >B + C <=> A – C > B 4/ A >B và C > D => A + C > B + D A > B và C < D => A – C > B – D 5/ A > B và C > 0 <=> AC > BC A > B và C < 0 <=> AC < BC 6/ A > B > 0 và C > D > 0 => AC > BD 7/ A > B > 0, n nguyên dương => A n > B n 8/ A > B > 0, n nguyên dương => nn BA > . Hệ quả: a 2 ≥ b 2 <=> a ≥ b <=> ba ≥ (a,b ≥ 0) 9/ A > B, AB > 0 => BA 11 < 10/ A > 1, m và n nguyên dương, m > n => A m > A n 0 < A < 1, m và n nguyên dương, m > n => A m < A n 1 Chú ý: CẦN TRÁNH CÁC SAI LẦM SAU: 1/ Trừ từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều 2/ Nhân từng vế của 2 bất đẳng thức cùng chiều mà không có giả thiết các vế không âm. 3/ Bình phương vế của 2 bất đẳng thức mà không có giả thiết các vế không âm. 4/ Khử mẫu khi chưa biết dấu của biểu thức dưới mẫu 5/ Nghòch đảo và đổi chiều của bất đẳng thức khi chưa có giả thiết 2 vế cùng dấu. 6/ Thừa nhận x m > x n với m, n nguyên dương và m > n khi chưa biết điều kiện của x. Chuyên đề: BẤT ĐẲNG THỨC III/ CÁC HẰNG BẤT ĐẲNG THỨC ĐƯC THỪA NHẬN: ∀ a: a 2 ≥ 0; -a 2 ≤ 0; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0 -|a| ≤ a ≤ |a|; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0 |a| ≥ 0 ; Dấu bằng xảy ra <=> a = 0 a i ≥ 0 (i = 1, 2, …, n; n ∈ N*) => a 1 + a 2 + … + a n ≥ 0 BÀI TẬP Bài 1: Cho x, y là 2 số thực bất kỳ khác không. CMR : 222 22 )( 4 yx yx + + 2 2 y x + 2 2 x y ≥ 3. dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 2: Cho cặp số (x, y) thoả mãn các điều kiện: -1 ≤ x ≤ 1; -1 ≤ xy + x + y ≤ 1> Chứng minh rằng: |x| ≤ 2; |y| ≤ 2 Bài 3: Cho a, b, c > 0. CMR: ba a + + cb b + + ac c + < cb a + + ac b + + ba c + Bài 4: Cho x, y, z là 3 số thực tuỳ ý thoả mãn:    ≤≤− =++ 1;;1 0 zyx zyx CMR: x 2 + y 4 + c 6 ≤ 2. Đẳng thức có thể xảy ra được không? Bài 5: Với a, b là các số thực dương. CMR: 4(a 3 + b 3 ) ≥ (a + b) 3 Bài 6: Cho a và b là 2 số dương. Biết rằng phương trình: x 3 – x 2 + 3ax – b = 0; có 3 nghiệm (không nhất thiết phân biệt). CMR: 3 3 b a + 27b ≥ 28 Bài 7: 1/ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca ∀ a, b, c 2/ x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz(x + y + z) ∀ x, y, z Bài 8: x, y, z là các số thực thoả mãn điều kiện: x + y + z + xy + yz + zx = 6 Chứng minh rằng: x 2 + y 2 + z 2 ≥ 3 Bài 9: Với a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: 2 CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC: Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng Cách 2:Biến đổi tương đương bất đẳng thức đã biết thành bất đẳng thức cần chứng minh. cbabacacbcba 111111 ++≥ −+ + −+ + −+ Bài 10: Cho x, y là 2 số thực thoả mãn: x 2 + 4y 2 = 1. Chứng minh rằng: |x + y| ≤ 2 5 Bài 11: Cho 3 số dương x, y, z thoả mãn hệ thức: x 1 + y 2 + z 3 = 6. Xét biểu thức P = x + y 2 + z 3 a/ Chứng minh: P ≥ x + 2y + 3z – 3 b/ Tìm giá trò nhỏ nhất của P Bài 12: Cho a, b, c > 1. Chứng minh: 1 − b a + 1 − c b + 1 − a a ≥ 12. Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 13: Cho P(x) = x 3 + ax 2 + bx + c và Q(x) = x 2 + x + 2005. Biết phương trình P(x) = 0 có 3 nghiệm phân biệt còn phương trình P(Q(x)) = 0 vô nghiệm. Chứng minh P(2005) > 64 1 Bài 14: Giả sử x, y là những số không âm thay đổi thoả mãn điều kiện: x 2 + y 2 = 1 a/ Chứng minh rằng 1 ≤ x + y ≤ 2 b/ Tìm giá trò lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức P = x21 + + y21 + Bài 15: Chứng minh: (a + b + c)       ++ cba 111 ≥ 9 p dụng giải bái tập: a/ 2 3 ≥ + + + + + ba c ac b cb a b/ Giải phương trình: c xba −+ + a xcb −+ + b xca −+ + cba x ++ 4 =1 Bài 16: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh của một tam giác, chứng minh rằng: a 2 b + b 2 c + c 2 a + ca 2 + bc 2 + ab 2 – a 3 – b 3 – c 3 > 0 Bài 17: Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác. 1/ Chứng minh bất đẳng thức : ab + bc + ca ≤ a 2 + b 2 + c 2 < 2(ab + bc + ca) 2/ CMR nếu (a + b + c) 2 = 3(ab + bc + ca) thì tam giác đó là tam giác đều. Bài 18: Giả sử: a ≥ b; c ≥ d. Chứng minh: ac + bd ≥ bc + ad Bài 19: Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh: cb a + 2 + ca b + 2 + ab c + 2 ≥ 2 cba ++ Bài 20: Cho a + b + c = 1. Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 ≥ 3 1 Bài 21: Cho a ≥ b ≥ c > 0. Chứng minh bất đẳng thức: a c c b b a ++ = b c c a a b ++ Bài 22: Cho 3 số a, b, c sao cho 0 ≤ a ≤ 2; 0 ≤ b ≤ 2; 0 ≤ c ≤ 2 và a + b + c = 3. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 5 Bài 23: Cho a; b; c là 3 cạnh một tam giác. Chứng minh: cb a + + ca b + + ab c + < 2 Bài 24: Cho 3 số dương có tổng bằng 4. Chứng minh rằng tổng của 2 số bất kỳ trong 3 số đó không bé hơn tích của 3 số đó. 3 Bài 25: Cho |a| < 1; |a – c| < 1999; |b – 1| < 1999. Chứng minh rằng |ab – c| < 3998 Bài 26: 1/ Chứng minh nếu x > 0; y > 0 thì yx 11 + ≥ yx + 4 2/ Chứng minh nếu a, b, c là 3 cạnh của một tam giác, ta có: cba −+ 1 + acb −+ 1 + bca −+ 1 ≥ cba 111 ++ Bài 27: Cho a; b; c > 0> Chứng minh cb + 1 + ac + 1 + ba + 1 > cba ++ 3 Bài 28: Chứng minh rằng: (a + b – c)(a – b + c)(–a + b + c) ≤ abc với a; b; c là độ dài 3 cạnh một tam giác. Bài 29: Cho a, b là 2 số thoả mãn: 2a 2 + 4 1 2 2 b a + = 4. Chứng minh ab ≥ -2. Dấu đẳng thức xảy ra khi nào? Bài 30: Cho các số a; b; c ∈ [0; 1]. Chứng minh rằng: a + b 2 + c 3 – ab – bc – ca ≤ 1 Bài 31: Chứng minh rằng: với mọi a, b có đẳng thức: (a 2 + b 2 )(a 2 + 1) ≥ 4a 2 b Bài 32: Cho m 2 + n 2 = 1 và a 2 + b 2 = 1. Chứng minh: –1 ≤ am + bn ≤ 1 Bài 33: Cho các số: x, y, z ≥ 0 và x + y z = 1. Chứng minh rằng: x + 2y + z ≥ 4(1 – x)(1 – y)(1 – z) Bài 34: Chứng minh rằng: nếu a > 0; b > 0; c > 0 thì: ba c ac b cb a + + + + + ≥ 2 3 Bài 35: Cho 3 số dương a, b, c. Chứng minh rằng: a/ a 3 + b 3 ≥ a 2 b + ab 2 b/ abcba ++ 33 1 + abccb ++ 33 1 + abcca ++ 33 1 ≤ abc 1 Bài 36: Cho 3 số dương a, b, c. CMR: ba 11 1 + + cb 11 1 + + ca 11 1 + ≤ 2 cba ++ Bài 37: Cho 3 số dương a, b, c. CMR:       +       +       + a c c b b a 111 ≥ 8 Bài 38: Cho a . b và ab = 1. Chứng minh rằng: 2 222 )( )( ba ba − + ≥ 8 (1) Bài 39: ≥ + + + + + + + + + + + ad bd dc ac cb db ba ca 4 (a, b, c, d > 0) Bài 40: Cho 3 số dương a, b, c> Chứng minh rằng: a/ a 3 b + b 3 c + c 3 a ≥ abc(a + b + c) b/ c ba 3 + b ca 3 + c ab 3 + a cb 3 + b ac 3 + a bc 3 ≥ 6abc Bài 41: a/ Chứng minh: x 4 + y 4 ≥ 8 )( 4 yx + b/ Cho x > 0, y > 0 và x + y = 1. Chứng minh: 8(x 4 + y 4 ) + xy 1 ≥ 5 Bài 42: Cho x > 0, y > 0 và x + y ≤ 1. Chứng minh: xyyxyx + + + 22 11 ≥ 4 Bài 43: Cho x ≥ 1; y ≥ 1. Chứng minh: x 1 − y + y 1 − x ≤ xy Bài 44: Cho a > c; b > c; c > 0. Chứng minh: )( cac − + )( cbc − ≤ ab 4 Bài 45: Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác. Chứng minh rằng: cba 111 ++ ≤ ab c ca b bc a ++ < 2( cba 111 ++ ) Bài 46: Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1. Gọi P = abc(a + b)(b + c)(c + a). Chứng minh P < 64 1 Bài 47: Cho 2 số dương x, y thoả: x 3 + y 3 = x – y. Chứng minh rằng: x 2 + y 2 < 1 Bài 48: Chứng minh rằng: a/ 13 1 2 12 . 6 5 . 4 3 . 2 1 − ≤ − n n n b/ 109 2 1994 1993 . 6 5 . 4 3 . 2 1 < Bài 49: Cho a, b, c là các số không âm thoả a + b + c = 1. Chứng minh: b + c ≥ 16abc Bài 50: Cho a, b, c là các số thuộc đoạn [-1; 2] thoả: a + b + c = 0. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 ≤ 6 Bài 51: Chứng minh: a + b ≤ )(2 22 ba + p dụng tìm x để A = xx −+− 53 đạt giá trò lớn nhất. Bài 52: a/ Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh: a + b ≥ ab ab + 9 12 b/ a 2 + b 2 ≥ 4 1 . Chứng minh: a 2 + b 2 ≥ 32 1 Bài 53: Cho x ≥ 1; y ≥ 1. Chứng minh: 2 1 1 x + + 2 1 1 y + ≥ xy + 1 2 Bài 54: a/ Cho xy = 1 và x > y. Chứng minh: yx yx − + 22 ≥ 2 2 b/ Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác thoả: a + b + c = 2. Chứng minh: a 2 + b 2 + c 2 + 2abc < 2 Bài 55: Chứng minh rằng: 2 2 b a + 2 2 a b       +− a b b a 3 + 4 ≥ 0 Bài 56: Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng: 2 33 3 5 bab ab + − + 2 33 3 5 cbc bc + − + 2 33 3 5 aca ca + − ≤ a + b + c Bài 57: Chứng minh nếu a + b = 2 thì: a 3 + b 3 ≤ a 4 + b 4 BÀI GIẢI Bài 1: 222 22 )( 4 yx yx + + 2 2 y x + 2 2 x y ≥ 3. (1) <=> ( 222 22 )( 4 yx yx + - 1) + ( 2 2 y x - 1) + ( 2 2 x y - 1) ≥ 0 5 <=> ≥         − + + −− 22 222 222 222 )( )( )( yx yx yx yx 0 <=> (x 2 – y 2 ) 2         + − 22222 )( 11 yxyx ≥ 0 <=> (x 2 – y 2 ) 2 . 22222 2244 )( yxyx yxyx + ++ ≥ 0 (2) Bất đẳng thức (2) đúng, suy ra bất đẳng thức (1) được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi x 2 = y 2 <=> x = ± y Bài 2: Từ đề bài suy ra:    ≤++≤ ≤+++≤ 2)1)(1(0 3)1()1(1 yx yx . Đặt x + 1 = a; y + 1 = b ta có:    ≤≤ ≤+≤ 20 31 ab ba )2( )1( Từ (2) suy ra một trong 2 số a, b bằng 0 hoặc 2 số đó cùng dấu. + Nếu một trong 2 số bằng 0, chẳng hạn a = 0 khi đó 1 ≤ b ≤ 3 + Nếu hai số cùng dấu thì thì từ (1) suy ra: a > 0; b > 0. Khi đó cũng từ (1) ta có a < 3; b < 3 suy ra 0 < a; b < 0. Vậy trong mọi trường hợp ta đều có:    ≤≤ ≤≤ 30 30 a a <=>    ≤≤− ≤≤− 21 21 y x Suy ra: |x| ≤ 2; |y| ≤ 2 Bài 3: cb a + ≥ )( cba a + . Theo bất đẳng thức Cosi thì: )( 2 )( cba cba +≥ ++ > 0 Suy ra cba ++ 2 ≤ )( 1 cba + => )( cba a + ≥ cba a ++ 2 Hay cb a + ≥ cba a ++ 2 Tương tự: ac b + ≥ cba a ++ 2 , ba c + ≥ cba a ++ 2 Cộng từng vế của các bất đẳng thức trên, ta có: cb a + + ac b + + ba c + ≥ 2 Dấu đẳng thức không xảy ra, vì nếu trái lại thì a = b + c, b = c + a và c = a + b, từ đó ta có: a + b + c = 0, vô lí. Vậy: cb a + + ac b + + ba c + > 2 (1) Ta lại có: ba a + cba ca ++ + − = ))(( cbaba bc +++ − − < 0 Suy ra ba a + < cba ca ++ + Tương tự ta có: cb b + < cba ba ++ + ; ac c + < cba bc ++ + Do đó: ba a + + cb b + + ac c + < cba ca ++ + + cba ba ++ + + cba bc ++ + = 2 (2) Từ (1) và (2) suy ra bất đẳng thức được chứng minh. Bài 4: Xét y 4 – y 2 = y 2 (y 2 – 1) 6 Do -1 ≤ y ≤ 1 nên 0 ≤ y 2 ≤ 1, suy ra y 2 (y 2 – 1) ≤ 0, Vậy y 4 ≤ y 2 Tương tự z 6 ≤ z 2 . Suy ra x 2 + y 4 + z 6 ≤ x 2 + y 2 + z 2 (1) Do -1 ≤ x; y; z ≤ 1 =>    ≥−−− ≥+++ 0)1)(1)(1( 0)1)(1)(1( zyx zyx => (1 + x)(1 + y)(1 + z)(1 – x)(1 – y)(1 – z) ≥ 0 <=> 2xy + 2yz + 2xz + 2 ≥ 0 <=> x 2 + y 2 + z 2 + 2xy + 2yz + 2xz + 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2 <=> (x + y + z) 2 + 2 ≥ x 2 + y 2 + z 2 => x 2 + y 2 + z 2 ≤ 2 (2) Từ (1) và (2) => x 2 + y 4 + z 6 ≤ 2 Bài 5: 4(a 3 + b 3 ) ≥ (a + b) 3 <=> 4(a 3 + b 3 ) – (a + b) 3 ≥ 0 <=>… <=> 3(a + b)(a – b) 2 ≥ 0 là bất đẳng thức đúng nên bài toán được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b. Lưu ý: Các bài toán tương tự: 1/ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 +e 2 ≥ a(b + c + d + e)(HD: trước khi chuyển sang dạng a – b nhận 2 vế cho 4) 2/ a 2 + 9b 2 + c 2 + 2 19 > 2a + 12b + 4c 3/ ∀ a; b; c: a 2 + 4b 2 + 3c 2 > 2a + 12b + 6c – 14 4/ x 5 + y 5 ≥ x 4 y + xy 4 5/ (a 2 + b 2 )(a 2 + 1) ≥ 4a 2 b với mọi a, b 6/ ∀ a, b ∈ Q, chứng minh a 4 + a 3 b + ab 3 + b 4 ≥ 0 7/ a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca 8/ Cho a, b, c là 3 số dương. Chứng minh:a/ cbaab c ac b bc a 111 ++≥++ ( Có áp dụng Cosi) b/ cba c ab b ac a bc ++≥++ ( Có thể áp dụng Cosi) c/ ) 111 (2 cbaab c ac b bc a −+≥++ 9/ a 6 + 1 ≥ a 2 (a 2 + 1) 10/ a + b ≥ ab ab + 9 12 với a > 0; b > 0 11/ CMR với 4 số a, b, c, d > 0, ta có: a/ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 ≥ (a + b)(c + d) b/ dbcadcba + + + ≤ + + + 11 1 11 1 11 1 12/ Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: ba ab + 2 ab ≤ 13: a/ 2(a 4 + b 4 ) ≥ ab 3 + a 3 b + 2a 2 b 2 , với mọi a, b b/ 22 ba − + 2 2 bab − > a, với a > b > 0 14: Gọi a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác ABC. Chứng minh: a(b – c) 2 + b(c – a) 2 + c(a + b) 2 > a 3 + b 3 + c 3 15: x 2 + y 2 + z 2 3 )( 2 zyx ++ ≥ ; ∀ x, y, z 7 Bài 6: Gọi x, y, z là 3 nghiệm của phương trình đã cho. Theo hệ thức Viet ta có: x + y + z = 1; xy + yz + xz = 3a; xyz = b. Do a, b > 0 nên x > 0, y > 0, z > 0. p dụng bất đẳng thức Cosi với 3 số dương ta có: xy + yz + xz ≥ 3 3 2 )(xyz <=> 3a ≥ 3 3 2 b <=> 27a 3 ≥ 27b 2 <=> a 3 ≥ b 2 > 0 <=> 3 3 b a ≥ b 1 Vậy 3 3 b a + 27b ≥ b 1 + 27b = b b 127 2 + = b bbb 28)1)(127( +−− = 28 + b bb )1)(127( −− Do xy + yz + xz ≥ 3 3 2 )(xyz nên 1 ≥ 3 3 b => 27b ≤ 1. Do đó: (27 – 1)(b – 1) ≥ 0 Suy ra 3 3 b a + 27b ≥ 28. dấu đẳng thức xảy ra <=>      = = 33 27 1 ba b <=>      = = 9 1 27 1 a b Bài 7: 1/ Ta có: (a – b) 2 ≥ 0 <=> a 2 + b 2 ≥ 2ab Tương tự: b 2 + c 2 ≥ 2bc a 2 + c 2 ≥ 2ac Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được: 2(a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ 2(ab + bc + ca) <=> a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = z 2/ p dụng câu 1/ ta có: x 4 + y 4 + z 4 ≥ x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 (1) Và x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xy.yz + yz.xz + zx.xy <=> x 2 y 2 + y 2 z 2 + z 2 x 2 ≥ xyz(x + y + z) (2) Từ (1) và (2) suy ra: x 4 + y 4 + z 4 ≥ xyz(x + y + z) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z Bài 8: Ta có: (x – 1) 2 ≥ 0 <=> x 2 + 1 ≥ 2x. Tương tự: y 2 + 1 ≥ 2y; và z 2 + 1 ≥ 2z Suy ra: x 2 + y 2 + z 2 + 3 ≥ 2x + 2y + 2z (1) Mặt khác: (x – y) 2 ≥ 0 <=> x 2 + y 2 ≥ 2xy; và y 2 + z 2 ≥ 2yz; và x 2 + z 2 ≥ 2xz Suy ra: (2) Từ (1) và (2) ta được: 3(x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 ≥ 2(xy + yz + xz + x + y + z) => 3(x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 ≥ 6.2 <=> 3(x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 9 <=> (x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 3 Dấu = xảy ra khi x = y = z = 1 Bài 9: Theo bất đẳng thức tam giác ta có a + b – c > 0, b + c – a > 0; c + a – b > 0. Với x, y > 0, ta có x + y ≥ 2 xy <=> (x + y) 2 ≥ 4xy <=> xy yx + ≥ yx + 4 <=> xx 11 + ≥ yx + 4 (*) Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y p dụng (*), ta được: acbcba −+ + −+ 11 ≥ b2 4 = b 2 8 Tương tự: acbbac −+ + −+ 11 ≥ c 2 và baccba −+ + −+ 11 ≥ a 2 Cộng từng vế các bất đẳng thức thức trên rồi suy ra: cbabacacbcba 111111 ++≥ −+ + −+ + −+ . Dấu đẳng thức xảy ra khi:      −+=−+ −+=−+ −+=−+ cbabac bacacb acbcba <=>      = = = bc ab ca <=> a = b = c <=> ∆ ABC đều. Bài 10: p dụng bất đẳng thức Bu nhi a copxki: (x + y) 2 = 4 5 )4( 2 1 12. 2 1 22 2 2 2 =+               +≤       + yxyx Suy ra |x + y| 2 5 ≤ Dấu đẳng thức xảy ra khi:        =+ = 14 2 1 2 22 yx y x <=>    =+ = 14 4 22 yx yx <=>        − = − = == 52 1 ; 5 2 52 1 ; 5 2 yx yx Bài 11: a/ P – (x + 2y + 3z – 3) = y 2 – 2y + 1 + z 3 – 3z + 2 = (y – 1) 2 + (z – 1) 2 (z + 2). Do y, z là số dương, ta có: (y – 1) 2 ≥ 0; (z – 1) 2 (z + 2) ≥ 0 => P – (x + 2y + 3z – z) ≥ 0 <=> P ≥ x + 2y + 3z – 3 b/ p dụng bất đẳng thức Cosi với các số dương: x + x 1 ≥ 2 x x 1 = 2 y 2 + y 2 = y 2 + y 1 + y 1 ≥ 3 yy y 1 . 1 2 = 3 z 3 + z 3 = z 3 + z 1 + z 1 + z 1 ≥ 4 zzz z 1 . 1 . 1 3 = 4 Vậy x + y 2 + z 3 + ( x 1 + y 2 + z 3 ) ≥ 9 hay P – 6 ≥ 9. Suy ra P ≥ 3. Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1. Vậy minP = 3 <=> x = y = z = 1 Bài 12: Từ giả thiết => a - 1 > 0; b - 1 > 0; c - 1 > 0. Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 3 số dương ta có: 1 − b a + 1 − c b + 1 − a a ≥ 3 3 )1)(1)(1( −−− cba cba Có ( − a 2) 2 ≥ 0 => a – 4 a + 4 ≥ 0 => a ≥ 4( a - 1) mà a > 1 => a - 1; nên 1 − a a ≥ 4 Tương tự: 1 − b b ≥ 4; 1 − c c ≥ 4 <=> )1)(1)(1( −−− cba cba ≥ 64 => 1 − b a + 1 − c b + 1 − a a ≥ 12 Dấu đẳng thức xảy ra khi      === − = − = − 2 111 cba a c c b b a <=> a = b = c = 4 9 Bài 13: Gọi x 1 , x 2 , x 3 là 3 nghiệm phân biệt của phương trình P(x) = 0 => P(x)  (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) mà hệ số của x 3 = 1 nên P(x) = (x – x 1 )(x – x 2 )(x – x 3 ) => P[Q(x)] = (Q(x) – x 1 )(Q(x) – x 2 )(Q(x) – x 3 ). Do phương trình P[Q(x)] = 0 vô nghiệm; nên Q(x) – x 1 ≠ 0; Q(x) – x 2 ≠ 0; Q(x) – x 3 ≠ 0. ∀ x Xét Q(x) – x 1 ≠ 0, ∀ x <=> phương trình x 2 + x + 2005 – x 1 = 0 vô nghiệm => ∆ = 1 + 4x 1 – 4.2005 < 0 => 2005 – x 1 > 4 1 Tương tự 2005 – x 2 > 4 1 ; 2005 – x 3 > 4 1 ; => P(2005) = (2005 – x 1 )(2005 – x 2 )(2005 – x 3 ) > 64 1 Bài 14: a/ p dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-copxki: (x + y) 2 ≤ 2(x 2 + y 2 ) = 2 => x + y 2 ≤ Lại có: (x – x 2 ) + (y – y 2 ) = x(1 – x) + y(1 – y) Vì x, y ≥ 0 và x 2 + y 2 = 1 nên 0 ≤ x ≤ 1; 0 ≤ y ≤ 1; do đó x(1 – x) ≥ 0; y(1 – y) ≥ 0; suy ra x + y ≥ x 2 + y 2 = 1. Vậy 1 ≤ x + y ≤ 2 b/ + p dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-copxki: P 2 = ( yx 2121 +++ ) 2 ≤ 2(2 + 2x + 2y) ≤ 2(2 + 2 2 ) vì x + y ≤ 2 Vậy P 2 ≤ 4 + 4 2 nên P ≤ 244 + . Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y = 2 1 Vậy maxP = 4 + 4 2 khi x = y = 2 1 + P 2 = 2 + 2(x + y) + 2 xyyx 4)(21 +++ Theo chứng minh trên thì x + y ≥ 1, mà 4xy ≥ 0, nên 1 + 2(x + y) + 4xy ≥ 3 Suy ra P 2 ≥ 4 + 2 3 = ( 3 + 1) 2 Do đó P ≥ 3 + 1 ( do P ≥ 0) Dấu đẳng thức xãy ra khi: (x; y) = (1; 0), (0; 1) Vậy minP = 3 + 1 khi (x; y) = (1; 0), (0; 1) Bài 15: a/ Ta chứng minh bất đẳng thức sau: x y y x + ≥ 2 ( với x, y > 0); dấu bằng xảy ra khi x = y (tự chứng minh) Ta có: (a + b + c)       ++ cba 111 = 3 + b a + a b + c b + b c + c a + a c Thì b a + a b ≥ 2; c b + b c ≥ 2; c a + a c ≥ 2 (a, b, c > 0) => 3 + b a + a b + c b + b c + c a + a c ≥ 3 +2 + 2 + 2 = 9 Vậy (a + b + c)       ++ cba 111 ≥ 9. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 0 Bài tương tự: Chứng minh rằng: nếu các số dương a, b, c có tổng a + b + c = 1 thì       ++ cba 111 ≥ 9 10 [...]... + 2ab + 2bc + 2ca = 3ab + 3bc + 3ca a2 + b2 + c2= ab + bc + ca Theo câu 1/ đẳng thức trên đúng khi a = b = c tức tam giác đó là tam giác đều Bài 18: Ta có ac + bd ≥ bc + ad ac + bd – bc – ad ≥ 0 … (a – b)(c – d) ≥ 0 Vì a ≥ b => a – b ≥ 0 và c ≥ d => c – d ≥ 0 Nên (a – b)(c – d) ≥ 0 là bất đẳng thức đúng Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b, c = d Bài 19: Với a, b, c > 0 ta có: b +c a2 + 4 b +c... b a2 Dùng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có: + c ≥ 2 a 2 = 2a (vì a > 0) c b2 c2 + a ≥ 2 b 2 = 2b (vì b > 0)và + b ≥ 2 c 2 = 2c (vì c > 0) a b a2 b2 c2 + + Cộng 3 bất đẳng thức trên theo từng vế, ta được: + a + b + c ≥ 2(a + b + c) c a b a2 b2 c2 + + ≥ a + b + c Vậy a3b + b3c + c3a ≥ abc(a + b + c) c a b a/ a3b + b3c + c3a ≥ abc(a + b + c) b/ Với a, b, c > 0; p dụng bất đẳng thức Cosi... 25  25 5    2 2 2 Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức 2 2 a 2 + b 2 + c2 ≤ a + b + c Giải: Vì 2 vế không âm nên ta bình phương 2 vế ta được: a2 + b2 + c2 ≤ a + b + c a2 + b2 + c2 ≤ 2(|a|.|b| + |a|.|c| + |b|.|c|) 2(|a|.|b| + |a|.|c| + |b|.|c|) ≥ 0 |a|.|b| + |a|.|c| + |b|.|c| ≥ 0 Mà bất đẳng thức sau cùng lu6ng đúng với mọi a, b, c Do đó bất đẳng thức đã cho đúng Bài 3: Cho A = 2xyz – xy... Nhân ba bất đẳng thức trên theo từng vế ta được: 1 + b 1 + c 1 + a  ≥ 8 Bài 38: Ta có: a2 + b2 = (a – b)2 + 2ab = (a – b)2 + 2 (do ab = 1) Suy ra (a2 + b2)2 = [(a – b)2 + 2]2 = (a – b)4 + 4(a – b)2 + 4 (a 2 + b 2 ) 2 (a − b) 4 + 4(a − b) 2 + 4 ≥8 Do đó: (a − b) 2 ≥ 8 ( a − b) 2 (a – b)4 + 4(a – b)2 + 4 ≥ 8(a – b)2 (a – b)4 – 4(a – b)2 + 4 ≥ 0 [(a – b)2 – 2]2 ≥ 0 bất đẳng thức đúng... a3 – b3 – c3 > 0 Bài 17: 1/ Ta có: ab + bc + ca ≤ a2 + b2 + c2 2(ab + bc + ca) ≤ 2(a2 + b2 + c2) … (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 ( Bất đẳng thức đúng) Dấu “=” xảy ra khi a = b = c Tam giác đó là tam giác đều Mặt khác: Theo bất đẳng thức tam giác ta có: a < b + c => a2 < ab + ac; b < a + c => b2 < ba + bc; c < a + b => c2 < ac + bc => a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca) Vậy: ab + bc... được: x4 + y4 ≥ ( x + y) 4 8 b/ p dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số dương, ta có: x + y ≥ 2 = 1) => 1 xy ≥ 2 => 1 xy xy => 1 ≥ 2 ≥ 4 (4) Mà theo câu a, ta có: x4 + y4 ≥ ( x + y) 4 => 8(x4 + y4) ≥ 1 (5) (vì x + y = 1) 8 Cộng (4) và (5) theo từng vế ta được: 8(x4 + y4) + Bài 42: Với x > 0, y > 0, ta có: 1 2 4 + ≥ x y x+y 1 xy ≥5 (Tự chứng minh) Áp dụng bất đẳng thức trên với 2 số dương x2 + xy và y2 +... + c ) Bài 46: P = abc(a + b)(b + c)(c + a) = c(a + b).a(b + c).b(c + a) Dùng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương c và a + b ta có: c + (a + b) ≥ 2 c(a +b) hay 1 ≥ 2 c(a +b) > 0 Tương tự ta cũng có: a + (b + c) ≥ 2 a(b +c) hay 1 ≥ 2 a(b +c) > 0 và b + (c + a) ≥ 2 b(c + a ) hay 1 ≥ 2 b(c + a ) > 0 Nhân theo từng vế các bất đẳng thức trên ta được: 1 ≥ 8 abc( a +b)(b + c)(c + a) = 8 P 1 => P ≤ 64 Dấu “=”... c + abc a + c + abc 3 Bài 36: Ta áp dụng bất đẳng thức: (a + b)2 ≥ 4ab ab (Tự chứng minh) 1 1 1 Ta suy ra: a + b ≤ 4 (a + b) (vì a, b > 0) => 1 + 1 ≤ 4 (a + b) Tương tự ta cũng có: a b 1 1 1 1 1 1 ≤ 1 1 ≤ (b + c) và + (a + c) Cộng theo từng vế ta được: + 4 4 b c a c 1 1 1 a +b+c 1 1 + 1 1 + 1 1 ≤ + + + 2 a b b c a c Bài 37: Với a, b, c > 0 Ta áp dụng bất đẳng thức Cosi với 2 số dương ta có: a b a b... + + 2 b +c a +c b +a Bài 20: Ta chứng minh bất đẳng thức sau: 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ac (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 ≥ 0 (BĐT đúng) Dấu “=” xảy ra a = b = c Từ 2a2 + 2b2 + 2c2 ≥ 2ab + 2bc + 2ac 3a2 + 3b2 + 3c2 ≥ a2 + b2 + c2 + 2ab + 2bc + 2ac 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 = 1 ( do a + b + c = 1) 1 1 a2 + b2 + c2 ≥ 3 Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 3 1 Bài tương tự:... Vì (a – b)2 > 0 (a + c)(a + b + c + d ) (b + d )(a + b + c + d ) + = (a + b)(c + d ) (b + c )(d + a ) 1 1 = (a + c)(a + b + c + d) (a + b)(c + d ) + (b + d)(a + b + c + d) (b + c)(d + a) 1 4 p dụng bất đẳng thức: xy ≥ ( x + y ) 2 (x, y > 0) (tự chứng minh) thì: 1 1 (a + c)(a + b + c + d) (a + b)(c + d ) + (b + d)(a + b + c + d) (b + c)(d + a) ≥ 4 4 ≥ (a + c)(a + b + c + d) (a + b + c + d ) 2 + (b + d)(a . nói bất đẳng thức C > D là hệ quả của bất đẳng thức A > B + Nếu A > B <=> C > D ta nói hai bất đẳng thức C > D và A > B là 2 bất đẳng. MINH BẤT ĐẲNG THỨC: Cách 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành một bất đẳng thức tương đương mà ta đã biết là đúng Cách 2:Biến đổi tương đương bất