Ôn thi Bất Đẳng Thức

CHUYÊN ĐỀ BẤT ĐẲNG THỨC Câu 1: a) Chứng minh 2(a 4 + b 4 ) > ab 3 + a 3 b + 2a 2 b 2 với mọi a, b. b) Chứng minh 2 2 2 2a b ab b − + − > a, với a > b > 0. Bài giải: a) Ta có 2(a 4 + b 4 ) > ab 3 + a 3 b + 2a 2 b 2 ⇔ 4(a 4 + b 4 ) > 2ab 3 + 2a 3 b + 4a 2 b 2 ⇔ ( b 4 – 2ab 3 + a 2 b 2 ) + (a 4 – 2a 3 b + a 2 b 2 ) + (3a 4 + 3b 4 – 6a 2 b 2 ) ≥ 0 ⇔ (b 2 – ab) 2 + (a 2 – ab) 2 + 3(a 2 – b 2 ) 2 ≥ 0 (đúng) Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. b) Với a > b > 0 thì 2 2 2 2a b ab b − + − > a ⇔ (a 2 - b 2 ) + (2ab – b 2 ) + 2 ( ) ( ) 2 2 2 2a b ab b− − > a2 ⇔ 2b(a - b) + 2 ( ) ( ) 2 2 2 2a b ab b − − > 0 (đúng) Vậy bất đẳng thức đã cho đúng. Câu 2: a) Cho a > c, b > c, c > 0. Chứng minh: ( )c a c − + ( )c b c − ab ≤ b) Cho a > 0, b > 0. Chứng minh: 2 ab a b + ab≤ Bài giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: ( ) ( ) 1 1 1 2 2 c a c c b c c a c c b c ab ab b a a b c a c c b c b a a b − − − −     + = + ≤  ÷  ÷     − −     ≤ + + + = ⇒  ÷  ÷     Điều phải chứng minh. Dấu “=” xảy ra . bc a b c ⇔ = − b) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương, ta có: ( ) 2 . . . 2 . . . a b a b a b a b a b a b a b a b ≤ + ⇒ ≤ + + + Suy ra 2 ab a b + ab ≤ Câu 3: a) Cho x> 0, y > 0 và x + y ≤ 1. Chứng minh: 2 2 1 1 4. xy xy x y + ≥ + + b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = 2 3 2 2 7x x + − + Bài giải: a) Nhận xét rằng nếu a, b là số dương thì 1 1 4 .a b a b + ≥ + Từ đó ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 1 4 4 * xy xy xy xy x y y x y x + ≥ = + + + + + + Vì x, y > 0 và x + y ≤ 1 nên ( ) 2 4 4. x y ≥ + Từ (*) suy ra: 2 2 1 1 4. xy xy x y + ≥ + + b) Điều kiện: 2 2 7 0 1 2 2 1 2 2x x x − + + ≥ ⇔ − ≤ ≤ + Ta có: ( ) 2 2 2 7 8 8. 1 x x x − + + = − + ≤ + Do đó: A= ( ) 2 3 2 1 3 . 2 2 2 7x x − ≥ + − + Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là ( ) 3 2 1 2 − , đạt được khi x = 1. Câu 4: Chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + với mọi a, b, c. b) 8 8 8 3 3 3 1 1 1a b c a b c a b c + + ≥ + + (a > 0, b > 0, c > 0) c) ( ) 2 2 2 2 2 a b c d e a b c d e + + + + ≥ + + + với mọi a, b, c, d, e. Bài giải: a) 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 2 2 2 0 2 2 2 0 0 a b c ab bc ca a b c ab bc ca a b ab b c bc a c ca a b b c c a ⇔ + + − − − ≥ ⇔ + + − − − ≥ ⇔ + − + + − + + − ≥ ⇔ − + − + − ≥ Do đó 2 2 2 a b c ab bc ca + + ≥ + + là bất đẳng thức đúng. b) Áp dụng câu a) ta có: a 8 + b 8 + c 8 ≥ a 4 b 4 + b 4 c 4 + c 4 a 4 = (a 2 b 2 ) 2 + (b 2 c 2 ) 2 + (c 2 a 2 ) 2 ≥ ≥ (a 2 b 2 ) (b 2 c 2 ) + (b 2 c 2 )(c 2 a 2 ) + (c 2 a 2 )(a 2 b 2 ) = a 2 b 2 c 2 (a 2 + b 2 + c 2 ) ≥ a 2 b 2 c 2 (ab +bc + ca) Do đó 8 8 8 2 2 2 3 3 3 3 3 3 ( )a b c a b c ab bc ca a b c a b c + + + + ≥ ⇔ 8 8 8 3 3 3 1 1 1a b c a b c a b c + + ≥ + + c) a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d +e) ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 – a(b + c + d +e) ≥ 0 ⇔ a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 – ab – ac – ad – ae ≥ 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 0 4 4 4 4 0 2 2 2 2 a a a a b ab c ac d ad e ae a a a a b c d e         ⇔ + − + + − + + − + + − ≥  ÷  ÷  ÷  ÷                 ⇔ − + − + − + − ≥  ÷  ÷  ÷  ÷         (Bất đẳng thức đúng) Do đó a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng. Câu 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức: 2 1 2 3 3 3 3 3 3 4 n n + + + + < . Bài giải: Với m nguyên dương, ta có: 1 0,5 1,5 . 2.3 2.3 3 m m m m m m − + + − = Thay m lần lượt bởi 1; 2; ; m. Ta có: 2 2 1 1 1,5 2,5 3 2 2.3 2 2,5 3,5 3 2.3 2.3 0,5 1,5 3 2.3 2.3 n n n n n n − = − = − + + = − Do đó: 2 1 2 3 1,5 1,5 1,5 3 3 3 3 3 2 2.3 2 4 n n n n + + + + + = − < = Câu 6: Tìm tất cả các số thực x thỏa: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 4 2 4 2 4 6 3 30.x x x x x x x − − + − + − + ≤ + Bài giải: Điều kiện: ( ) ( ) 2 4 0 2 0 2 4. 4 0 0 x x x x x x  − − ≥  − ≥  ⇔ ≤ ≤  − ≥   ≥  Áp dung bất đẳng thức Cối cho 2 số không âm, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4 4 4 3 3 2 4 2 4 2 4 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2 2.1 2 2 4 4 1 1 4 1 7 2 4 4 .1 2 2 4 6 3 2 .27 27 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x − + − − − = − − ≤ = − + + − + + − = − ≤ ≤ = − + + − + − + − = − ≤ ≤ = = ≤ + Do đó: ( ) ( ) ( ) ( ) 3 4 4 4 2 4 2 4 6 3 30.x x x x x x x − − + − + − + ≤ + Vậy 2 4x ≤ ≤ là giá trị cần tìm. Câu 7: Với a > 0, b> 0, c > 0, hãy chứng minh các bất đẳng thức sau: a) 2 ab bc b c a + ≥ b) ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + c) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + Bài giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: 2 . 2 . ab bc ab bc ab bc b c a c a c a + ≥ ⇔ + ≥ b) 2 ab bc b c a + ≥ (theo câu a) Chứng minh tương tự câu a) ta có: 2 ab ca a c b + ≥ ; 2 . bc ca c a b + ≥ Do đó: 2 2 2 ab bc ab ca bc ca a b c c a c b a b + + + + + ≥ + + ⇔ ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + . c)Với a, b > 0. Ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 3 3 3 3 3 3 0 0 ( ) 0 ( ) 2 2 a b a b a b a ab b ab a b ab a b a b ab a b a b a b ab   + − ≥ ⇔ + − + − ≥   ⇔ + − + ≥ ⇔ + ≥ + + + ⇔ ≥ Tương tự ta có: 3 3 3 3 ; . 2 2 2 2 b c b c c a c a ab ca + + + + ≥ ≥ Do đó: 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 2 2 2 2 2 2 . 2 2 2 a b b c c a a b b c c a ab bc ca a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + + + + ≥ + + + + + ⇔ + + ≥ + + Câu 8: Chứng minh A a B b B b C c C c A a A a B b c d B b C c a d C c A a b d + + + + + + + + + + > + + + + + + + + + + + + + + + Trong đó A, a, B, b, C, c, d là các số dương. Bài giải: Bài toán phụ: Cho 0 < x < y, z > 0. Chứng minh rằng: . x z x y z y + > + Vì 0 < x < y, z > 0 ( ) ( ) . zy zx xy yz xz xy x z x y x z x y z y z y ⇒ > ⇒ + > + + ⇒ + > + ⇒ > + Áp dụng bài toán phụ ta có: A a B b A a A a B b c d A a c d + + + + > + + + + + + + + Tương tự: B b C c C c B b C c a d C c a d + + + + > + + + + + + + + Mà A a C c A a C c A a c d C c a d C c A a b d C c A a b d + + + + + > + + + + + + + + + + + + + + + + + Do đó: A a B b B b C c C c A a A a B b c d B b C c a d C c A a b d + + + + + + + + + + > + + + + + + + + + + + + + + + Câu 9: Giải bất phương trình: 2 3 3 25 (2 9) 4 .x x x x + ≥ + Bài giải: Điều kiện x # 0. - Với x > 0. Nhân 2 vế bất phương trình với x ta được: 4 2 2 3 25 (2 9) 4 3x x x + ≥ + (1) Theo bất đẳng thức Côsi cho ba số dương ta có: 2 2 2 4 2 3 2 4 2 3 5 5 (2 9) 3. 25 (2 9) 4 3 25 (2 9) x x x x x x x x + + + ≥ + ⇔ + ≥ + (2) Từ (1) và (2) suy ra để bất phương trình có nghiệm, dấu đẳng thức phải xảy ra ở bất đẳng thức (2), lúc đó: 2 2 5 2 9 3x x x= + ⇒ = - Với x < 0. Nhân 2 vế với x ta có: 4 2 2 3 25 (2 9) 4 3x x x + ≤ + Bất phương trình trên đúng với mọi x < 0. Câu 10: Cho x, y là 2 số thực khác 0. Chứng minh: 2 2 2 2 4 3 . x y x y y x y x   + + ≥ +  ÷   Bài giải: Đặt . x y x y x y t t y x y x y x = + ⇒ = + = + Mà 2 x y y x + ≥ (bất đẳng thức Côsi) Suy ra 2 2 2t t hayt ≥ ⇒ ≤ − ≥ Khi đó 2 2 2 2 2 2. x y t y x = + + Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 3 1 2 0t t t t + ≥ ⇔ − − ≥ ( *) (*) đúng vì 2 2t hayt ≤− ≥ Vậy bất đẳng thức đã cho đúng(đpcm). Câu 11: Chứng minh rằng ( ) 8 6 3 3 3 2 2 3 2 2 3 + + − > Bài giải: Đặt a = x + y với x = 3 3 2 2 , + y = 3 3 2 2 − . Dễ thấy: x 3 + y 3 = 6 và x.y = 1 Suy ra: ( ) 3 3 3 3 3 ( ) 6 3 3(1 1 ) 3(3 1.1. ) a x y xy x y a a a = + + + = + = + + > (Vì x > 1, y > 0 nên a > 1). Do đó 9 2 3 8 6 (3 ) . 3 .a a a > ⇒ > Vậy : ( ) 8 6 3 3 3 2 2 3 2 2 3+ + − > Câu 12: Tìm các số nguyên a, b, c thỏa mãn: 2 2 2 3 2 4.a b c ab b c + + ≤ + + − Bài giải: Theo giả thiết a, b, c nguyên nên suy ra: ( ) 2 2 2 2 2 2 3 3 2 1 0. 3 1 1 0 2 2 a ab b b c c b b a c − + − + + − + ≤     ⇔ − + − + − ≤  ÷  ÷     Suy ra ; 1; 1. 2 2 b b a c = = = Hay a = 1; b = 2; c = 1. Câu 13: Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện abc = ab + bc + ca thì: 1 1 1 3 . 2 3 2 3 3 2 16a b c a b c a b c + + < + + + + + + Bài giải: Từ điều kiện abc = ab + bc + ca, ta có: 1 1 1 1. a b c + + = (1) Mặt khác với mọi x, y > 0, ta có: 1 1 1 1 4x y x y   ≤ +  ÷ +   (2) Dấu “=” xảy ra .x y ⇔ = Áp dụng (2) ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 3 2 4 2 1 1 1 1 1 1 3 . 16 16 32 32 16 32 32 a b c a c b c a c b c a c b c a b c   = ≤ +  ÷  ÷ + + + + + + +   ≤ + + + = + + Dấu “=” xảy ra 2( ), , ,a c b c a c b c ⇔ + = + = = tức là khi và chỉ khi c = 0 (trái với giả thiết). Vậy 1 1 1 3 . 2 3 16 32 32a b c a b c ≤ + + + + Tương tự ta có: 1 1 1 3 . 2 3 32 32 16a b c a b c ≤ + + + + 1 1 1 3 . 3 2 32 32 32a b c a b c ≤ + + + + Từ các bất đẳng thức trên và kết hợp với (1) ta được: 1 1 1 1 1 3 1 1 1 3 . 2 3 2 3 3 2 16 32 32 16a b c a b c a b c a b c     + + < + + + + =  ÷ ÷ + + + + + +     Câu 14: Cho a, b, c > 1. Chứng minh rằng: 12. 1 1 1 a b c b c a + + ≥ − − − Đẳng thức xảy ra khi nào? Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có: 3 3 . . . 1 1 1 1 1 1 a b c a b c b c a b c a + + ≥ − − − − − − Nhận xét rằng: Với mọi x > 1 ta có: 3 3 3 . . 3 4.4.4 12. 1 1 1 a b c b c a ≥ = − − − Đẳng thức xảy ra khi a = b = c =4. Câu 15: Cho 3 số dương x, y, z có tổng bằng 1. Chứng minh rằng: 1 .x yz y zx z xy xy yz zx + + + + + ≥ + + + Bài giải: Ta chứng minh .x yz x yz + ≥ + (1) (1) ( ) 2 2 2 1 2 2 2 0. x yz x x yz yz x yz x y z x yz y z yz y z ⇔ + ≥ + + ⇔ ≥ + ⇔ + + ≥ + ⇔ + ≥ ⇔ − ≥ Do đó (1) đúng. Tương tự ta có: y zx y zx + ≥ + (1) z xy z xy + ≥ + (2) Từ (1), (2), (3) suy ra: 1 .x yz y zx z xy xy yz zx + + + + + ≥ + + + Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x = y =z = 1 3 . Câu 16: Cho các số dương x, y, z thỏa mãn: x + y + z = 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5.x xy y y yz z z zx x + + + + + + + + ≥ Bài giải: Nhận xét rằng: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 4(2 2 ) 5 3 5x xy y x y x y x y + + = + + − ≥ + Vì x, y > 0 suy ra ( ) 2 2 5 2 2 . 2 x xy y x y + + ≥ + [...]... yz + 2 z 2 ≥ Tương tự ta có: Cộng ba bất đẳng thức trên ta được: 2 x 2 + xy + 2 y 2 + 2 y 2 + yz + 2 z 2 + 2 z 2 + zx + 2 x 2 ≥ 5 ( x + y + z ) Do x + y + z = 1 Suy ra: 2 x 2 + xy + 2 y 2 + 2 y 2 + yz + 2 z 2 + 2 z 2 + zx + 2 x 2 ≥ 5 Câu 17: Cho hai số dương a, b Chứng minh rằng: ( a + b) 2 2 + a+b ≥ a b + b a Khi nào xảy ra đẳng thức? 4 Bài giải: Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương ta có: (... d 2 − 2ad − 2bc − 2ab + 2 ≥ 0 (1) ⇔ ( b − c ) + ( a − d ) − 2ab ≥ 2 ( b − c ) ( a − d ) − 2ab = 2 − 2ab 2 2 ⇔ ( b − c ) + ( a − d ) − 2ab ≥ a 2 + b 2 − 2ab − ( a − b ) ≥ 0 (2) 2 2 2 Bất đẳng thức (2) đúng nên bất đẳng thức (1) đúng  a 2 + b2 = 2  a 2 = b2 = 1   2 2 ( a − d ) ( b − c ) = 1  ⇔ ( a − d ) = ( b − c ) = 1 Dấu “=” xảy ra khi   a−d = b−c  c=d    a=b  Câu 19: Cho a, b, c là các .      (Bất đẳng thức đúng) Do đó a 2 + b 2 + c 2 + d 2 + e 2 ≥ a(b + c + d +e) là bất đẳng thức đúng. Câu 5: Cho n là số nguyên dương. Chứng minh ta luôn có bất đẳng thức: 2 1 2. minh các bất đẳng thức sau: a) 2 ab bc b c a + ≥ b) ab bc ca a b c c a b + + ≥ + + c) 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b b c c a a b c ab bc ca + + + + + ≥ + + Bài giải: a) Áp dụng bất đẳng thức Côsi. t y x y x y x = + ⇒ = + = + Mà 2 x y y x + ≥ (bất đẳng thức Côsi) Suy ra 2 2 2t t hayt ≥ ⇒ ≤ − ≥ Khi đó 2 2 2 2 2 2. x y t y x = + + Bất đẳng thức đã cho tương đương với: ( ) ( ) 2 2 3 1