Trường THCS Nguyễn Thái Bình Tài liệu ơn thi Tốn cấp huyện ÔN TẬP BĐT VÀ BPT CUỐI NĂM I DẠNG: 1/ DÙNG ĐỊNH NGHĨA A ≥ B ⇔ A − B ≥ 2/ DÙNG BĐT x + y ≥ xy 3/ DÙNG HẰNG ĐẲNG THỨC ( x + y + z ) = x + y + z + xy + yz + xz ≥ 1.Cho số x, y, z Chứng minh : a) x + y + z ≥ xy + yz + zx ; b) ( x + y + z ) ≥ 3( xy + yz + zx) ; 2 x2 + y + z x + y + z c) ( xy + yz + zx) ≥ xyz ( x + y + z ) ; d) ≥ ÷ 3 2 * Áp dụng: Cho x + y + z = CMR: x + y + z ≥ Cho số x, y Chứng minh rằng: x + y) x + y) x + y) a) x + y ≥ ( ; b) x + y ≥ ( ( với x + y > ); c) x + y ≥ ( ; *Áp dụng : Cho x + y = Chứng minh rằng: 1 1 4 2 3 4 ≥ ( với x > 0, y > ) i/ x + y ≥ ; ii/ x + y ≥ ; iii/ x + y ≥ ; iv/ ( x + y ) + xy 1 + ≥ Cho ab ≥ , chứng minh : 2 + a + b + ab a b + ≥ a+ b Chứng minh rằng: Nếu a > 0, b > b a 2017 2018 + ≥ 2017 + 2018 * Áp dụng: CMR : 2018 2017 2 2 a) Chứng minh với số thực x, y, z, t ta có bất đẳng thức sau: x + y + z + t ≥ x ( y + z + t ) Dấu đẳng thức xảy nào? a b2 a b b) Chứng minh với số thực a, b khác ta ln có bất đẳng thức sau: + + ≥ + ÷ b a b a Chứng minh với x, y bất kỳ, ta có: a) x + y + ≥ xy + x + y ; b) x + y ≥ xy + x3 y Chứng minh rằng: ( x − 1) ( x − 3) ( x − ) ( x − ) + 10 ≥ với x 8.Cho xyz =1 x + y + z ≥ 1 + + Chứng minh rằng: ( x − 1) ( y − 1) ( z − 1) ≥ x y z 2 2 2 9.Với x, y, z, chứng minh rằng: x ( + y ) + y ( + z ) + z ( + x ) ≥ xyz 10 Cho số thực dương x, y Chứng minh bất đẳng thức sau: * Áp dụng: Cho a, b, c, d > abcd = Chứng minh rằng: (1+ x) (1+ a) + + ( 1+ y) ( 1+ b) + ≥ 1 + xy ( 1+ c) + ( 1+ d ) ≥1 a b c + + ≥ ( BĐT Nesbit ) b+c c+a a +b 12 Cho số a, b, c ∈ [ −2;5] thoả mãn điều kiện a + 2b + 3c ≤ Chứng minh a + 2b + 3c ≤ 66 Đẳng thức xảy nào? 11.Cho a, b, c ba số dương , chứng minh rằng: Gv: Nguyễn Hồng Khanh Chúc em học tốt! Trường THCS Nguyễn Thái Bình II BĐT CAUCHY ( CƠ SI ) Tài liệu ơn thi Tốn cấp huyện Tổng qt: Cho n số a1 , a2 , , an không âm, ta có BĐT: Dấu “ = “ xảy a1 = a2 = = an 13.a)Chứng minh BĐT Cô si cho hai số x, y khơng âm b) Từ suy BĐT Cơ si cho số, số không âm a1 + a2 + + an n ≥ a1a2 an n 14 Cho a, b, c > Chứng minh rằng: a b 1 1 a) + ≥ ; b) ( a + b + c ) + + ÷ ≥ ; b a a b c a b c ≥ ( Với a > b > ) c) + + ≥ ; d) a + b ( a − b) b c a 15 Cho a, b, c > a + b + c =1 Chứng minh rằng: + ÷1 + ÷1 + ÷ ≥ 64 a b c 16 Cho số dương a1 , a2 , a3 , a4 , a5 có tổng Chứng minh : 1 − 1÷ − 1÷ − 1÷ − 1÷ − 1÷ ≥ 1024 a1 a2 a3 a4 a5 17 Cho a ≥ 1, b ≥ , chứng minh rằng: a b − + b a − ≤ ab 18 a) Cho a, b, c ≥ chứng minh rằng: ( a + b ) ( b + c ) ( c + a ) ≥ 8abc b) Cho ba số x, y, z không âm cho x + y + z = a Chứng minh: ( a − x ) ( a − y ) ( a − z ) ≥ xyz ( ) ( + a1 ) ( + a2 ) ( + an ) ≥ n 19 Giả sử a i > 0, i = 1, n a1.a2 an = , chứng minh rằng: ( 20 Cho a, b, c số không âm, chứng minh rằng: ( + a ) ( + b ) ( + c ) ≥ + abc 21 Cho a, b số thỏa mãn a > b > a.b = 1, chứng minh rằng: ) a + b2 ≥2 a −b 4 22 Cho a, b, c ≥ 0, chứng minh rằng: a + b + c ≥ abc ( a + b + c ) 23 Cho x, y số thực thoả mãn x + y = Chứng minh rằng: 2 2 2 3 3 a) xy ( x + y ) ≤ ; b) x y ( x + y ) ≤ ; c) x y ( x + y ) ≤ 24 Cho số dương x, y thoả mãn 25 Cho biểu thức M = x4 + ( 1+ x ) 2 1 + = Chứng minh rằng: x + y ≥ 2 x y với x > 0, chứng minh: M ≥ 26 Cho x, y số không âm thoả mãn x + y ≤ Chứng minh: x x ( x + y ) + y y ( y + x ) ≤ 27 a) Cho c > a, b ≥ c Chứng minh c ( a − c ) + c ( b − c ) ≤ ab b) Cho bốn số dương a, b, c, d Chứng minh ab + cd ≤ 28 Cho số dương x, y, z thỏa x + y + x = Chứng minh: Gv: Nguyễn Hồng Khanh 3 ( a + d ) ( b + c) x2 − x2 + y2 − y2 + z2 1− z2 ≥2 Chúc em học tốt! Trường THCS Nguyễn Thái Bình III BĐT BUNHIACOPXKI Tài liệu ơn thi Tốn cấp huyện Tổng qt: Cho 2n số a1 , a2 , , an ; b1 , b2 , , bn ta ln có: ( a1b1 + a2b2 + + anbn ) Dấu xảy khi: ≤ ( a12 + a2 + + an ) ( b12 + b2 + + bn ) a a1 a2 = = = n b1 b2 bn 2 2 29 Cho bốn số thực a, b, x, y, chứng minh: ( ax+by ) ≤ ( a + b ) ( x + y ) Dấu xảy nào? 30 Cho a + b + c = , chứng minh rằng: a + 2b + 3c ≤ 14 31 Cho a, b, c ≥ có a + b + c = , chứng minh rằng: a+b + b+c + c+a ≤ 32 Cho x + y = u + v = , chứng minh u ( x − y ) + v ( x + y ) ≤ 33 Cho số x, y, z thỏa x ( x − 1) + y ( y − 1) + z ( z − 1) ≤ Chứng minh: x + y + z ≤ 34 Giả sử a, b, c số thỏa mãn điều kiện : a ≥ Chứng minh: −3 −3 −3 ;b ≥ ;c ≥ ; a + b + c = 4 4a + + 4b + + 4c + ≤ 35 a) Cho x, y cặp nghiệm phương trình: 3x + 5y = 49 2 Chứng minh: x + y ≥ 34 b) Cho x, y cặp nghiệm phương trình: 3x - 4y = Chứng minh: x + y ≥ 36 Cho a1 , a2 , , an bất kì, chứng minh rằng: ( a1 + a2 + + an ) ≤ n ( a12 + a2 + + an ) 37 Cho a > b > c > 0, chứng minh: c (a − c ) + c (b − c ) ≤ ab 38 Cho −1 ≤ a ≤ , chứng minh: 3a + − a ≤ 39 Cho số a, b thỏa ( a − 1) + ( b − ) = , chứng minh: a + 2b ≤ 10 2 40 Cho a, b ≥ −1; a + b = , chứng minh: a +1 + b +1 ≤ 2 1 25 41 Cho x, y > x + y = 1, chứng minh: x + ÷ + y + ÷ ≥ x y Gv: Nguyễn Hồng Khanh Chúc em học tốt! Trường THCS Nguyễn Thái Bình IV BĐT VỀ BA CẠNH CỦA TAM GIÁC Tài liệu ơn thi Tốn cấp huyện Tổng quát: a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, ta ln có: b − c < a < b + c 42 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: ab + bc + ca < a + b + c < ( ab + bc + ca ) 43 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: a ( b + c − a ) + b ( c + a − b ) + c ( a + b − c ) < 3abc 44 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: 2 a ( b − c ) + b ( c − a ) + c ( a + b ) > a3 + b3 + c3 45 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, với a ≤ b ≤ c thì: ( a + b + c ) ≤ 9bc 46 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: a + b3 + c ≥ 3abc 47 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: a b3 c + + ≥ ab + bc + ca b c a 48 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác thì: a b c a c b + + − − − 51 Chứng minh tam giác với ba góc nhọn, tổng cạnh với đường cao tương ứng lớn nửa chu vi tam giác 52 Cho tam giác ABC có diện tích độ dài ba cạnh a, b, c ( a ≥ b ≥ c ) Chứng minh: b ≥ 53 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, p nửa chu vi thì: p ≤ p − a + p −b + p − c ≤ 3p 54 Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác, với c > b > a thì: a ( b − c ) + b3 ( c − a ) + c ( a − b ) < 1 + ≥ Dấu đẳng thức xảy nào? x y x+ y 1 1 1 + + ≥ + + ÷, với p nửa chu vi tam giác ABC, a, b, c ba b) Chứng minh p −a p −b p −c a b c độ dài Đẳng thức xảy tam giác ABC tam giác gì? 55.a)Cho x > 0, y > Chứng minh: Gv: Nguyễn Hồng Khanh Chúc em học tốt! ... c ( a − b ) < 1 + ≥ Dấu đẳng thức xảy nào? x y x+ y 1 1 1 + + ≥ + + ÷, với p nửa chu vi tam giác ABC, a, b, c ba b) Chứng minh p −a p −b p −c a b c độ dài Đẳng thức xảy tam giác ABC tam... 24 Cho số dương x, y thoả mãn 25 Cho biểu thức M = x4 + ( 1+ x ) 2 1 + = Chứng minh rằng: x + y ≥ 2 x y với x > 0, chứng minh: M ≥ 26 Cho x, y số không âm thoả mãn x + y ≤ Chứng minh: x x (... không âm cho x + y + z = a Chứng minh: ( a − x ) ( a − y ) ( a − z ) ≥ xyz ( ) ( + a1 ) ( + a2 ) ( + an ) ≥ n 19 Giả sử a i > 0, i = 1, n a1.a2 an = , chứng minh rằng: ( 20 Cho a, b, c số không