Ôn tập toán 9 lên 10 bất đẳng thức hai số word

BẤT ĐẲNG THỨC HAI SỐ PHẦN THỨ NHẤT – ĐỀ BÀI Bài Với a,b 2 2 ta có: a + b ³ 2ab a + b ³ - 2ab 1 + ³ Bài Cho Chứng minh a b a + b a,b Bài Cho số thực dương thỏa mãn ab = a,b > Tìm giá trị nhỏ biểu thức Bài Cho Bài Cho Bài Cho x > y > 0, xy = x, y > a,b ³ ( ) P = ( a + b + 1) a2 + b2 + A= Tìm giá trị nhỏ x2 + y2 x- y P = x + y + 6xy £ Tìm giá trị nhỏ thỏa mãn a + b £ Chứng minh a +b 1 + x y a2b2 ( a2 + b2) £ 32 a,b 4 2 Bài Cho biểu thức P = a + b - ab Với thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Bài Cho x, y ³ ( x + 1) ( y + 1) Tìm giá trị nhỏ ( a - 4) 2 Bài Cho a Ỵ ¡ Chứng minh a + 16 Bài 10 Cho 16 P = x2 + y2 + a,b ³ 0,a + b = ( a + 2) + 2 a +8 ³ Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S = 7a + + 7b + 2 P = ( a - 1) + ( b - 1) Bài 11 Cho a + 2b = Tìm giá trị nhỏ A = 4xy + + x, y > 0, x + y £ xy x +y Bài 12 Cho Tìm giá trị nhỏ x x 2y + £2 K = + x, y > y x Bài 13 Cho thỏa mãn y Tìm giá trị nhỏ Bài 14 Cho ( )( a,b > 0, a + Bài 15 Cho Bài 16 Cho ) b +1 = a,b ³ 0,a + b = x, y ³ Tìm giá trị nhỏ M = a2 b2 + b a Chứng minh a 3b + + b 3a + + 3a + 3b + £ 2 x + y £ P = x ( 14x + 10y) + y ( 14y + 10x) Tìm giá trị lớn 2 x, y < y < x £ 4, x + y £ Bài 17 Cho thỏa mãn Tìm giá trị lớn M = x + y 2 x, y Bài 18 Cho thỏa mãn x + y - xy = 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + y Bài 19 Cho a,b > thỏa mãn a + P = Tìm giá trị lớn b =2 + a2 + b + 2b a 2a + 3b Bài 20 Cho a,b > b2 + a + 2a b æ bử ữ 2b + 2ỗ +3 ỗa + ữ ữ ữ ỗ 2ứ ố - Chng minh a,b 2 Bài 21 Cho số thực dương thỏa mãn a + b = 2a + b Tìm giá trị lớn P = a - b + ab a b 1 + £ + 3 a,b > a2 b2 Bài 22 Cho Chứng minh a + b b + a ù£ aé < a,b < ê1 + ( - a - b) ( 1+ b) ú û Bài 23 Cho Chứng minh ë Bài 24 Cho Bài 25 Cho a,b ³ Chứng minh a,b ³ 0,a + b = a + b + b( a + b) £ 2( 2a + b) + 8b2 Chứng minh 5a + + 5b + ³ 1 21 + + 1+ a2 + b2 ³ Bài 26 Cho Chứng minh a + 2a b + 2b 1 P = + £1 2 a,b > 0,ab = a +2 b +2 Bài 27 Cho Chứng minh a,b > 0,a + b = ab Bài 28 Cho a,b > ( a + b) thỏa mãn ( + 4ab £ 12 )( ) 1 + + 2020ab £ 2021 Chứng minh + a + b a,b Bài 29 Cho số dương thỏa mãn ab = ( a + b - 2) ( a P = + b2 ) a +b Tìm giá trị nhỏ x, y Bài 30 Cho số tự nhiên thỏa mãn x + y = 99 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ P = x + + y + 2 x, y Bài 31 Cho số thực thỏa mãn x + 2y + 2xy = 24 - 5x - 5y 2 Tìm giá trị lớn P = x + y - x - y + 2xy - Bài 32 Cho Bài 33 Cho Bài 34 Cho a,b > 0,ab = Chứng minh a,b ³ 0,ab = Chứng minh a,b > ( 1+ a) + ( ( 1+ b) ) ³ ( ) a2 + + b2 + £ 2( a + b) P = ab = Tìm giá trị lớn a a4 + + b b4 + Bài 35 Cho a,b 2 số thực thỏa mãn a - ab + b = a + b Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ Bài 36 Cho Bài 37 Cho x, y > a,b ¹ thỏa mãn x + y = xy Tìm giá trị nhỏ P = y- x- + x2 y 2 thỏa mãn a - b + b - a = Tìm giá trị nhỏ Bài 38 Cho P = 2020( a + b) P = 1 + - a- b a b x2 + y2 = + xy;x, y Ỵ ¡ 4 2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn P = x + y - x y Bài 39 Cho x, y Î ¡ (x thỏa mãn ) + y2 + 4x2 + y2 + 6x + = Tìm giá trị lớn x + y Bài 40 Cho x, y Ỵ ¡ 2 thỏa mãn x + xy - y = 2 Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn A = x - xy + y x, y Bài 41 Cho số nguyên dương thỏa mãn điều kiện x + y = 2020 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Bài 42 Cho x, y Ỵ ¡ ( ) ( ) P = x x2 + y + y y2 + x 2 thỏa mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ giá trị lớn M = y + 3xy Bài 43 Cho x, y Ỵ ¡ 2 thỏa mãn x + y - xy = 2 Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ A = x + y x, y Bài 44 Cho số thực thỏa mãn xy + x + y = 15 2 Tìm giá trị nhỏ A = x + y x, y Bài 45 Cho số thực thỏa mãn x + y + = Tìm giá trị lớn biểu thức Bài 46 Cho ( ) ( ) A = x3 + y3 + x2 + y2 + 10xy M = x2 + y2 + x, y > 0, xy = Tìm giá trị nhỏ biểu thức 2 x, y Bài 47 Cho hai số thực thỏa mãn x + y = xy + x + y Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ S = x + y 2020 a - b) ( 2021 Bài 48 Chứng minh với ta có: 2 a b P = + a > 1,b > b - a - Bài 49 Cho Tìm giá trị nhỏ a,b Bài 50 Cho a,b > Chứng minh a2 + b2 ³ 2ab + ( ) 2021 b2 + 2020a2 ³ ( b + 2020a) ( a + b - 1) ( a 2 Bài 51 Cho a,b > 0,ab = Tìm giá trị nhỏ P = a +b + b2 ) x + y + Bài 52 Cho a,b > thỏa mãn a + + b + = 2 Tìm giá trị nhỏ P = a + ab + b 3 x, y Bài 53 Cho thỏa mãn x + y = Tìm giá trị lớn P = x y + xy Bài 54 Cho x, y (x + hai số thực thỏa mãn điều kiện 4 )( ) x2 + y + y2 + = Tìm giá trị nhỏ P = 2x - y + 6xy + 8y - 10x - 2y + 2024 2 x, y Bài 55 Cho số không âm thỏa mãn x + y = P = xy + Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức x, y Bài 56 Cho hai số dương thay đổi thỏa mãn x - y ³ 1 x +y x y Tìm giá trị lớn biểu thức Bài 57 Cho hai số thực không âm thỏa mãn 2ab + £ 2a A= = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức a,b a +b a2 + b2 số thực dương thỏa mãn điều kiện 2a + 2b + ab = 12 2 Tìm giá trị nhỏ biểu thức P = a + b Bài 58 Cho a +b = a,b Bài 59 Cho số thực khơng âm thỏa mãn 3 4 Tìm giá trị lớn P = a + b - a - b Bài 60 Cho x, y Ỵ ¡ 2 thỏa mãn x + y = P = Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức 2x ( x + 6y) + 2xy + 2y2 £ x, y £ P = x y - 2( x + y) ( ) x + y = xy Bài 61 Cho Tìm giá trị lớn Bài 62 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y = 2 ỉ 1ư ỉ 1÷ ÷ ç ÷ ÷ M =ç x + + y + ç ç ÷ ç ç ÷ è ÷ ỳ x÷ è ø Tìm giá trị nhỏ biểu thức x, y Bài 63 Cho số thực thay đổi thỏa mãn điều kiện £ x £ y £ Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn Bài 64 Cho Bài 65 Cho Bài 66 Cho a,b > ( ) P = x2 + y2 + 4( x - y - xy) + thỏa mãn a + b £ Tìm giá trị nhỏ x, y > 0, x + y = a,b > 0,a + b = A = xy + Tìm giá trị nhỏ P = Tìm giá trị nhỏ P = - 2a - 2b + 1+ a 1+ b 20 xy 1 + + 3ab + a 1+ 3ab + b2 Bài 67 Cho Bài 68 Cho x, y > 0, xy = 12 x, y > + + x y 3x + y P = Tìm giá trị nhỏ 2 thỏa mãn 4x + 4y + 17xy + 5x + 5y ³ 2 Tìm giá trị nhỏ P = 17x + 17y + 16xy (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2019 - 2020) Bài 69 Cho a,b > 2 thỏa mãn £ 2a + 3b £ 8a + 12b £ 2a + 3b + 5ab + 10 2 Chứng minh 3a + 8b + 10ab £ 21 (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên KHTN, năm học 2020 - 2021) Bài 70 Cho Bài 71 Cho x, y Ỵ ¡ x ³ 3, x + y ³ thỏa mãn x, y > 0, xy + £ x 2 Tìm giá trị nhỏ P = x + y Q= Tìm giá trị lớn x +y 3x2 - xy + y2 y + =4 x Bài 72 Cho thỏa mãn P Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ = xy 2x2 + x, y Î ¡ (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Thừa Thiên Huế, năm học 2020 - 2021) Bài 73 Cho x, y số thực dương thỏa mãn x + y £ Q = x2 + y2 - 9x - 12y + 16 + 25 2x + y Tìm giá trị nhỏ biểu thức (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Quảng Ninh, năm học 2020 - 2021) 1 + ³ x, y > x + 2 y + Bài 74 Cho thỏa mãn T = + 4x + 4y + Tìm giá trị nhỏ Bài 75 Cho Bài 76 Cho x, y > 0, x + y = 10 x, y > ( )( ) A = x4 + y4 + Tìm giá trị nhỏ (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Bình Định, năm học 2020 - 2021) 13x 10y P = + + + 3 2x y Tìm giá trị nhỏ x +y ³ (ĐTTS vào lớp 10 THPT tỉnh Khánh Hòa, năm học 2020 - 2021) Bài 77 Cho a,b > thỏa mãn a ( a - 1) + b( b - 1) = ab Tìm giá trị nhỏ Bài 78 Cho a,b > F = a + 2020 b + 2020 + b a Q = b- a + 20 + a b thỏa mãn a + b £ Tìm giá trị nhỏ (ĐTTS vào lớp 10 THPT TP Hồ Chí Minh, năm học 2020 - 2021) ỉ2 ửổ 1ử 17 ữ ỗ ữ ữ P =ỗ y + ỗx + ữ ỗ ữ ữ x, y > 0, x + y = ữ ỗ ỗ y ữ x ứ ố ứố Bài 79 Cho Tìm giá trị nhỏ (ĐTTS vào lớp 10 THPT chuyên tỉnh Cao Bằng, năm học 2020 - 2021) a,b > 0,2a + 3b = Bài 80 Cho Tìm giá trị nhỏ (ĐTTS vào lớp 10 tỉnh Điện Biên, năm học 2020 - 2021) Q= 2002 2017 + + 2996a - 5501b a b PHẦN THỨ HAI – HƯỚNG DẪN GIẢI Bài Với a,b 2 2 ta có: a + b ³ 2ab a + b ³ - 2ab Hướng dẫn giải a2 + b2 ³ 2ab Û a2 + b2 - 2ab ³ Û ( a - b) ³ a2 + b2 ³ - 2ab Û a2 + b2 + 2ab ³ Û ( a + b) ³ Đúng Þ đpcm Đúng Þ đpcm 1 + ³ Bài Cho Chứng minh a b a + b æ1 1÷ 1 ÷ + ³ Û ( a + b) ỗ + - ỗ ỗ ÷ a b a +b a b÷ è ø Hướng dẫn giải a,b > ( a - b) ³ b a a2 - 2ab + b2 Û 1+ + + 1- ³ Û ³ 0Û a b ab ab Đúng Þ đpcm a,b Bài Cho số thực dương thỏa mãn ab = Tìm giá trị nhỏ biểu thức ( ) P = ( a + b + 1) a2 + b2 + a +b 2 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: a + b ³ 2ab = 2;a + b ³ ab = Þ P ³ 2( a + b) + + ö 7( a + b) a +b ữ ị P ổ ỗ ữ + + +2 ỗ ữ ỗ a + bữ è ø a +b Áp dụng bất đẳng thức Cô si: a +b a +b + ì = ị P + 7.2 + = 13 a +b a +b Vậy Bài Cho P = 13 Û a =b=1 x > y > 0, xy = A= Tìm giá trị nhỏ x2 + y2 x- y A= Hướng dẫn giải x2 + y2 - 2xy + 2 = ( x - y) + x- y x- y Áp dụng bất đẳng thức Cô si: ( x - y) + x - ³ ( x - y) × =2 y x- y Þ A ³ 2 Vậy A = 2 Bài Cho x, y > ìï xy = ï Û í ïï x - y = ïỵ ìï ïï x = + ïíï ïï 6- ïï y = ïỵ x + y + 6xy £ Tìm giá trị nhỏ P = 1 + x y 3 3 Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức Cô si: x + y + ³ x y = 3xy Þ 9xy £ Þ xy £ P = Bài Cho 1 1 + ³ ³ 2× = x y xy Vậy P = Û x = y = a,b ³ thỏa mãn a + b £ Chứng minh 4ab £ ( a + b) Hướng dẫn giải Ta có: ( ) a2b2 ( a2 + b2) £ ( ) ( ) 8ab a2 + b2 = 4.2ab a2 + b2 £ a2 + b2 + 2ab = ( a + b) a2b2 ( a2 + b2) = Từ suy ra: 32 2 1 2 ù 2 ×( 4ab) é ab a + b £ × a + b × a + b + ab ( ) ( ) ( ) ê ú ë û 32 32 1 a + b) = ( 32 32 (đpcm) a,b 4 2 Bài Cho biểu thức P = a + b - ab Với thỏa mãn a + b + ab = Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ P Þ a2b2 ( a2 + b2) £ 2 Hướng dẫn giải Ta có: a + b = - ab ( ) P = a2 + b2 - 2a2b2 - ab P = ( - ab) - 2a2b2 - ab = - a2b2 - 7ab + Đặt t = ab Từ ( a + b) Từ ( a - b) ³ Þ a2 + b2 ³ 2ab = 2t Þ 3t £ a2 + b2 + ab = Þ t £ ³ Þ a2 + b2 ³ - 2ab = - 2t Þ = a2 + b2 + ab ³ - 2t + t = - t Þ t ³ - Þ - £ t £ ỉ2 49ư 85 ÷+ P = P ( t ) = - t2 - 7t + = - ỗ ỗt + t + ữ ữ ỗ 4ữ ố ứ ổ 7ử 85 ữ ỗ P = P ( t ) = - ỗt + ữ + ữ ữ ỗ ố 2ứ Xột hiu ổ 7ữ ử2 85 ỗ P ( t ) - P ( 1) = - çt + ÷ ÷ + - 1= ç è 2÷ ø P ( t) - P ( 1) = ( 1- t ) ( t + 8) ³ Þ P ( t ) ³ P ( 1) = 2 ổ 7ử ổử 9ữ ữ ỗ ỗ +ỗ ữ ỗt + ữ ữ ữ ố ữ ỗ ç2÷ 2ø è ø với - £ t £ Xét hiệu ỉ 7÷ ư2 ỉư 1ữ ỗ ỗ ữ ữ P ( t ) - P ( - 3) = - ỗ t + ữ+ỗ ữ ỗ ỗ2ứ ữ ố 2ữ ứ ố P ( t ) - P ( - 3) = - ( t + 3) ( t + 4) £ Þ P ( t ) £ P ( - 3) = 21 với - £ t £ ïì ab = P = Û t = Û ïí Û ïï a + b2 = ïỵ Vậy ìï ab = max P = 21 Û t = - Û ïí Û ïï a + b2 = ỵ Bài Cho x, y ³ éa = b = - ê êa = b = ê ë éa = - b = ê ê êa = - b = - ë P = x2 + y2 + Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Phân tích dự đốn điểm rơi: x = y = Theo bất đẳng thức Cô si, ta có: 16 ( x + 1) ( y + 1) x2 + ³ 2x Þ x2 ³ 2( x + 1) - y2 + ³ 2y Þ y2 ³ 2( y + 1) - 2( x + 1) + 2( y + 1) ³ 22 ( x + 1) ( y + 1) Þ x2 + y2 ³ ( x + 1) ( y + 1) - é ê Þ P ³ ê ( x + 1) ( y + 1) + ê ê ë ù ú ú- x + y + ( )( ) úúû Áp dụng đẳng thức Cơ si, ta có: ( x + 1) ( y + 1) + ( x + 1) ( y + 1) ( x + 1) ( y + 1) × ³ ( x + 1) ( y + 1) =4 Þ P ³ 4.4 - = 10 Vậy P = 10 Û x = y = ( a - 4) 2 ( a + 2) + 2 Bài Cho a Ỵ ¡ Chứng minh a + 16 a + Hướng dẫn giải Phân tích dự đoán điểm rơi a = Bất đẳng thức cần chứng minh tương tự với: ³ 2 é ê( a - 4) ê2 êa + 16 ê ë ù é ù ú ê( a + 2) 1ú 1ú+ ê - ú³ ú êa + 2ú ú ú û ê ë û ( )( ( ) ( ) ) a2 + 8a a2 + 16 - 16a a2 + - 8a a2 + 8a ³ Û + ³ 0Û a + 16 a2 + a2 + a2 + 16 ( a4 - 8a3 + 16a2 Û Bài 10 Cho ) ( )( ) a2 + a2 + 16 a,b ³ 0,a + b = ³ 0Û ( )( a2 ( a - 4) )( ) a2 + a2 + 16 ³ , Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ S = 7a + + 7b + ( Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức 2AB £ A + B Þ ( A + B ) £ A + B ) Þ S £ 2( 7a + + 7b + 9) = 2.25 Þ S £ Vậy max S = Û a = b = Ta có £ a £ Þ a ( a - 1) £ Þ a2 £ a Þ S = 7a + + 7b + ³ Þ S ³ a + +b + = ïì a = S = Û ïí ïï b = ỵ Vậy , tương tự b £ b a2 + 6a + + b2 + 6b + P = ( a - 1) + ( b - 1) Bài 11 Cho a + 2b = Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Từ giả thiết ta có a + 2b = Þ a = - 2b ìï a - = ïï ïí b - = Û a = b = ïï 2 ï a + 2b = P = ( a - 1) + ( b - 1) ³ + = Đẳng thức xảy ïỵ Vậy giá trị nhỏ P a = b = 1 + x, y > 0, x + y £ xy x +y Bài 12 Cho Tìm giá trị nhỏ 1 ³ x + y ³ xy Þ xy £ Þ ³ x, y > xy Hướng dẫn giải Với ta có (thỏa mãn bất đẳng A = 4xy + thức AM-GM) A = 4xy + Có ỉ 1 ỉ ư ÷ ữ ỗ ỗ ữ ữ + = xy + + + + ỗ ỗ ữ ữ 2 2 ỗ ỗ ữ ốx + y ữ 4xy xy è 4xy ø 2xy ø x +y 1 ³ 4xy =2 4xy 4xy Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 1 4 4 + ³ = = ³ =4 2 2 2xy x + 2xy + y x +y ( x + y) ( x + y) 4xy + Sử dụng BĐT Svac-xơ ta có x, y > Þ Có ³ A = 11 Û x = y = 4xy Do A ³ + + = 11 Vậy Bài 13 Cho x x 2y + £2 K = + y x thỏa mãn y Tìm giá trị nhỏ x, y > 2³ Hướng dẫn giải Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có Þ ³ x x x + ³ =4 y y y x x y Þ £ Þ ³ y y x x y 31 y x y 31 31 33 + + ³ + = + = y 16 x 16 x y 16 x 16 4 Do 33 K = x = y = Vậy K = ( )( a,b > 0, a + ) b +1 = Bài 14 Cho Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn giải Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có 2= ( )( ) a +1 M = a2 b2 + b a a + 1+ b + b +1 £ Þ 2£ a + b a2 b2 a2 b2 + b ³ 2a; + a ³ 2b Þ + ³ 2a + 2b - b - a = a + b b a b a ( ) a + ³ a;b + ³ b Þ a + b ³ a + b - ³ 2.2 - = Do M ³ a + b ³ Vậy M = a = b = a,b ³ 0,a2 + b2 = Bài 15 Cho Chứng minh a 3b + + b 3a + + 3a + 3b + £ Hướng dẫn giải Đặt P = a 3b + + b 3a + + 3a + 3b + 2P = 2a 3b + + 2b 3a + + 3a + 3b + Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: ( ) 2P £ a2 + b2 + Lại có 2P £ 4a2 + 3b + 4b2 + 3a + + + ( 3a + 2) + ( 3b + 2) 2 9 a + b) + = + ( a + b) ( 2 + a2 ³ 2a,1 + b2 ³ 2b Þ + a2 + b2 ³ 2( a + b) Þ ³ 2( a + b) Þ a + b £ 2P £ + = 18 Þ P £ Suy Vậy max P = Û a = b = 2 x, y ³ x +y £ Bài 16 Cho Tìm giá trị lớn P = x ( 14x + 10y) + y ( 14y + 10x) Hướng dẫn giải Ta có x + ³ 2x; y + ³ 2y Þ x + y + ³ 2( x + y) 2 2 ³ x + y Þ ³ 2( x + y) Þ ³ x + y 2 Theo giả thiết, ta có Sử dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có: 10