04 ĐAHS ôn tập bất đẳng thức hình học

Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân  04.6269.1558 - 0916001075 |  cskh@unix.edu.vn|  unix.edu.vn Các hướng dẫn mang tính gợi ý rút gọn, khơng phải trình bày mẫu Trong trường hợp em suy nghĩ nhiều mà chưa cách giải phép xem hướng dẫn để suy nghĩ tiếp Sau xem gợi ý mà em gặp khó khăn lên lớp để hỏi thầy Hình lớp CB Bài: Ơn tập bất đẳng thức hình học Bài 1: Tam giác ABC có AB < AC Vẽ ngồi tam giác ABC tam giác ABD ACE Gọi M trung điểm BC So sánh MD với ME Hướng dẫn : E ∆ABE = ∆ADC (c.g.c)  BE  CD A D ∆BCE ∆CBD có: BC chung; BE = CD; CE > BD (vì AC > AB) Nên B1  C1 1 B C M ∆MBE ∆MCD có: MB = MC (gt); BE = CD; B1  C1 Suy ME > MD Bài 2: Cho tam giác ABC vuông B, phân giác AD Từ C vẽ đường thẳng vng góc với BC cắt tia AD E Chứng minh chu vi tam giác ECD lớn chi vi tam giác ABD Hướng dẫn : AB // CE  E  A1 (so le trong) A F Mà A2  A1 (gt) nên A2  E  ∆CAE cân nên AC = CE Có AC > AB  CE  AB (1) C B D Vẽ DF  AC, ta chứng minh DF = DB1 Có DC > DF suy DC > DB (2) Ta có: DE2  CE2  DC2 ;AD2  AB2  DB2 Kết hợp (1) với (2) ta DE  AD , DE > AD (3) E Từ (1), (2) (3) suy CE + DC + DE > AB + DB + AD Hay chu vi ∆ECD > chu vi ∆ABD Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân  04.6269.1558 - 0916001075 |  cskh@unix.edu.vn|  unix.edu.vn Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh BC lấy hai điểm D, E cho BD = DE = EC Chứng minh BAD  DAE A Hướng dẫn : Trên tia đối tia DA, lấy điểm F cho DF = DA ∆DAB = ∆DFE (c.g.c)  AB  EF;BAD  DFE  Xét ∆ABE có: AEB  ABE ABE  ACE  B D C E Suy AB > AE, EF > AE Xét ∆AEF có EF > AE  DAE  DFE F Mà DFE  BAD , BAD  DAE Bài 4: Cho hai điểm A B thuộc nửa mặt phẳng xác định đường thẳng a (A B không thuộc đường thẳng a) Từ A hạ AH  a tia đối tia HA lấy điểm A’ cho HA’ = HA Nối BA’ cắt đường thẳng a E Trên đường thẳng a lấy điểm F (F khác E) Chứng minh rằng: AE + BE < AF + BF Hướng dẫn: Xét ∆AHE ∆A’HE vuông H có” B HE chung; AH = HA’ A Vậy ∆AHE = ∆A’HE (hai cạnh góc vng) suy AE = A’E ⇒ AE + EB = A’E + EB = A’B (1) Tương tự ta có ∆AFH = ∆A’FH ⇒ FA = FA’ Vậy AF + FB = A’F + BF (2) a H E F A' Trong ∆BA’F có: A’B < BI < FA’ (3) Từ (1), (2) (3) ta có: AF + BF > A’B = AE + BE Hay AF + BF > AE + BE Bài 5: Cho tam giác ABC vuông A có AB = 3; AC = Gọi I trung điểm AC, d đường trung trực đoạn AC M điểm tùy ý d a) Chứng minh MA + MB ≥ Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân  04.6269.1558 - 0916001075 |  cskh@unix.edu.vn|  unix.edu.vn b) Xác định vị trí M để tổng MA + MB nhỏ Tìm giá trị nhỏ Hướng dẫn : a) M B Xét ∆ABC vng A, có: BC2  AB2  AC2  32  42  25 ⇒ BC = J Mặt khác, ∆MIA = ∆MIC (c.g.c) ⇒ MA = MC Do MA + MB = MC + MB A Áp dụng bất đẳng thức với điểm ta có: d MC + MB ≥ BC hay MA + MB ≥ b) C I Vì MA + MB ≥ nên MA + MB nhỏ MB = MC = BC hay M nằm đoạn BC  M trùng với J (J giao điểm d BC) Bài 6*: Cho hai điểm B, C nằm đoạn thẳng AD (B nằm A C) cho AB = CD M điểm nằm đường thẳng AD Chứng minh MA + MD > MB + MC Hướng dẫn: Gọi I trung điểm đoạn AD Trên tia đối tia IM, lấy điểm N cho IN = IM Ta có: ∆MAI = ∆NDI (c.g.c)  MA = DN (1) M Lại có ∆MIB = ∆NIC (c.g.c)  MB = CN (2) Xét ∆MND có C điểm thuộc miền tam giác Ta có : CM + CN < DM + DN A ⇔ MC + MB < MD + MA (do (1) (2) ) B I C D N Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 ... tùy ý d a) Chứng minh MA + MB ≥ Hướng dẫn học sinh © UNIX 2017 Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân  04.6 269.1558 - 0916001075 |  cskh@unix.edu.vn|  unix.edu.vn... 32  42  25 ⇒ BC = J Mặt khác, ∆MIA = ∆MIC (c.g.c) ⇒ MA = MC Do MA + MB = MC + MB A Áp dụng bất đẳng thức với điểm ta có: d MC + MB ≥ BC hay MA + MB ≥ b) C I Vì MA + MB ≥ nên MA + MB nhỏ MB =...Trung tâm Unix Tầng – CT 1.1 – Chung cư ngõ 183 Hoàng Văn Thái – Thanh Xuân  04.6 269.1558 - 0916001075 |  cskh@unix.edu.vn|  unix.edu.vn Bài 3: Cho tam giác ABC cân A Trên cạnh