chuyen de HSG bat dang thuc

Bài tập cơ bản. Câu 1. Chứng minh rằng, nếu a>b và ab> 0 thì: 1 1 a b < . Câu 2. Chứng minh rằng nữa chi vi của tam giác lớn hơn độ dài mỗi cạnh của tam giác đó. Câu 3 Chứng minh rằng: 2 2 2 a b c ab ac bc+ + ≥ + + với mọi a, b, c Câu 4. Hãy so sánh các kết quả sau: a. 2000 2005+ và 2002 2003+ b. 2 4a a+ + + và 6;( 0)a a a+ + ≥ Câu 5. Chứng minh rằng, nếu a> 0, b> 0 thì: 1 1 4 a b a b + ≥ + . Câu 6. Chứng minh rằng, nếu 0, 0a b≥ ≥ thì 3 3 ( )a b ab a b+ ≥ + đẳng thức sảy ra khi nào Câu 7. a) Chứng minh rằng: 2 2 0a ab b+ + ≥ với mọi số thực a, b b. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b tuỳ ý ta có: 4 4 3 3 a b a b b a+ ≥ + . Câu 8. Chứng minh rằng với a, b, c là 3 cạnh của một tam giác thì: 2 2 2 a 2( )b c ab bc ca+ + < + + . Câu 9. Chứng minh rằng, nếu 0; 0a b≥ ≥ thì: 2 2 3 3 . 2 2 2 a b a b a b+ + + ≤ Câu 10. a. Chứng minh rằng, nếu 0x y≥ ≥ thì 1 1 x y x y ≥ + + b. Chứng minh rằng với hai số tuỳ ý a và b ta có: | | | | | | 1 | | 1 | | 1 | | a b a b a b a b − ≤ + + − + + Câu 11. Chứng minh rằng: a. Nếu a, b là hai số cùng dấu thì: 2 a b b a + ≥ b. Nếu a, b là hai số trái dấu: 2 a b b a + ≤ Câu 12. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số: ( ) ( 3)(5 )f x x x= + − với 3 5x− ≤ ≤ Câu 13. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: 2 ( ) 1 f x x x = + − với x > 1 Câu 14. Chứng minh rằng nếu a, b, c là ba số dương thì: 4 4 4 3 a b c abc b c a + + ≥ Câu 15. Một khách hàng đến một của hàng bán hoa quả mua 2 kg cam đã yêu cầu cân hai lần. Lần đầu, người bán hàng đặt quả cân 1kg lên đĩa cân bên phải và đặt cam lên đĩa bên trái cho đến khi cân thăng bằng. và lần sau đặt quả cân một kg lên đĩa cân bên trái và đặt cam bên đĩa bên phải cho đến khi cân thẳng bằng. Nếu cái cân đó không chính xác(do hai cánh tay đòn dài ngắn khác nhau) nhưng quả cân đúng bằng 1kg thì khách hàng đó có mua đúng được 2kg không Câu 16 Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n, ta có: a. 1 1 1 1 1 1.2 2.3 3.4 ( 1)n n + + + + < + b. 1 1 1 1 2 2 2 2 2 1 2 3 n + + + + < Câu 17. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 1 4A x x= − + − Câu 18. Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: 2 2 2 2 ( ) 3( )a b c a b c+ + ≤ + + Câu 19. Chứng minh rằng nếu a, b, c, d là 4 số không âm thì: 4 4 a b c d abcd + + +   ≥  ÷   Câu 20. Chứng minh rằng: a. Nếu 2 2 1x y+ = thì | | 2x y+ ≤ b. Nếu 4x -3y = 15 thì 2 2 9x y+ ≥ Chuyên đề 1. Chứng minh bất đẳng thức bằng cách dùng định nghĩa Câu 1. Cho a, b, c là ba số thực. CMR: a. 2 2 2 a b c ab ac bc+ + ≥ + + b. 2 ( ) 3 ( )ab bc ca abc a b c+ + ≥ + + Câu 2. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 (ax+by) ( )( ), , , ,a b x y x y a b R≤ + + ∀ ∈ Câu 3. Cho , .a b x y≥ ≥ CMR: ax+by 2 2 2 a b x y+ +    ≥  ÷ ÷    Câu 4. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác và S là diện tích: 1. Chứng minh rằng: 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 16 2( ) ( )S a b b c c a a b c= + + − + + 2. Từ đó suy ra: 4 4 4 2 16a b c S+ + ≥ Câu 5. Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC, r và R lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và ngoại tiếp của tam giác. Chứng minh rằng: 1. ( )( )( )abc a b c a b c a b c≥ − + + − + + − 2. 2R r≥ Câu 6. Cho a, b, c >0. Chứng minh rằng: 1. 3 3 ( )a b ab a b+ ≥ + 2. 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 abc a b abc b c abc c a abc + + ≤ + + + + + + Câu 7. Cho a, b, c 1.≥ Hãy chứng minh rằng: 1. 1 1 2 2 2 1 1 1 ab a b + ≥ + + + 2. 1 1 1 3 3 3 3 1 1 1 1 abc a b c + + ≥ + + + + Câu 8. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Hãy chứng minh: 1. 1 1 4 p a p b c + ≥ − − 2. 1 1 1 1 1 1 2 p a p b p c a b c   + + ≥ + +  ÷ − − −   Câu 9.Cho a + b = 2. Hãy chứng minh: 1/ 2 2 2a b+ ≥ 2/ 4 4 2a b+ ≥ Câu 10. Cho 0a b c + + ≠ . Hãy chứng minh: 1/ 3 3 3 2 2 2 3 ( )( )a b c abc a b c a b c ab bc ca+ + = + + + + + − − − 2/ 3 3 3 3 0 a b c abc a b c + + − ≥ + + Câu 11. Cho , , 0 2 2 2 1 x y z x y z >    + + =   . Hãy chứng minh: 1/ 2 2 (1 ) 3 3 x x− ≤ 2/ 3 3 2 2 2 2 2 2 2 x y z y z z x x y + + ≥ + + + Câu 12. Hãy chứng minh rằng: 1/ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( )a b c d a c b d+ + + ≥ + + + 2/ 2 2 2 2 2 2 4 os . os sin ( ) 4sin .sin sin ( ) 2c x c y x y x y x y+ − + + − ≥ Câu 13. Cho a, b, c> 0 thoã mãn: ab + bc + ca = abc. Chứng minh rằng: 1/ 2 2 2 3( 2 ) ( 2 )b a b a+ ≥ + 2/ 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 b a c b a c ab bc ca + + + + + ≥ Câu 14. Cho x, y>0 và 3 3 1x y+ = CMR: 2 2 2x y+ ≤ Câu 15. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác a b c≤ ≤ . CMR: 2 ( ) 9a b c bc+ + ≤ Câu 16. Giải hệ phương trình: 4 4 1 1 x y x y   + ≤  + ≥ −   Câu 17. Cho 2a b + ≥ . CMR: 4 4 3 3 a b a b+ ≥ + Câu 18. Chứng minh rằng: ( ) 1 2 2 1 1 16 2 x x x   + + + ≥  ÷   với mọi x > 0 Câu 19. Cho ABC là độ dài 3 cạnh của một tam giác và S là diện tích. Hãy CMR: 2 2 2 ) 4 3 ) 4 3 2 2 2 2 2 2 ) 4 3 ( ) ( ) ( ) a a b c S b ab bc cb S c a b c S a b b c c a + + ≥ + + ≥ + + ≥ + − + − + − Câu 20. Cho a, b, c > 0 CMR: 1 1 1 1 8 a b c b c c a a b     − − − ≤  ÷ ÷ ÷ + + +     Câu 20. Cho , 0a b ≥ . CMR: a. 3 3 5 5 9 9 ( )( )( ) 4( )a b a b a b a b+ + + ≤ + b. 5 5 5 16( ) ( )a b a b+ ≥ + CHỦ ĐỀ 3. Chứng minh bất đẳng thức bằng bất đẳng thức côsi Câu 1. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: 1 1 1 1 1 1 64 a b c     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     Câu 2. Giải phương trình: 4 2 2 4 3 6 5x y z x y z+ + + = − + − + − Câu 3. Chứng minh rằng: 3 3 )(1 )(1 )(1 ) (1 ) ; , , 0 1 1 1 ) 1 1 1 27 sin sin sin 2 2 2 a x y z xyz x y z b A B C + + + ≥ + ∀ ≥      ÷ ÷ ÷ + + + ≥  ÷ ÷ ÷  ÷ ÷ ÷     Với A, B, C là ba góc của một tam giác. Câu 4. Cho 2 n số dương ( , 2) : , , , , , 1 2 3 1 2 3 : ( )( )( ) ( ) 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 n Z n a a a b b b CMR n n n a b a b a b a b a a a b b b n n n n ∈ ≥ + + + + ≥ + Câu 5. Chứng minh rằng: 1 1 1 )( )( ) 9 , , 0 1 1 1 ) 9; 2 2 2 1 2 2 2 a x y z x y z a b c b a b c a bc b ca c ab + + + + ≥ >  + + ≥  + + =  + + + Câu 6. Cho a, b, c > thoã mãn: 1 1 1 1 3 1 1 1 1 1 : 81 a b c d CMR abcd + + + ≥ + + + + ≤ Câu 7. Cho a, b, c >0. CMR: 1 1 1 2 2 2 2 a b c abc a bc b ca c ab + + + + ≤ + + + Câu 8. Cho a, b, c > 0. CMR: 3 3 3 2 2 2 a b c a bc b ac c ca+ + ≥ + + Câu 9. Cho: x,y>0 x+y=1    Tìm giá trị nhỏ nhất của: 1 1 1 1 2 2 P x y      ÷ = − −  ÷  ÷     Câu 10. Cho , 0a b ≥ . Chứng minh rằng: 1 1a b b a ab− + − ≤ Câu 11. Cho , , 0a b c ≥ và a + b + c = 1. CMR: 8 ( )( )( ) 729 P abc a b b c c a= + + + ≤ Câu 12. Cho a, b, c > 0 thoã mãn: a + b + c = 4. CMR: ( ) 3 ( )( )( )a b b c c a abc+ + + ≥ Câu 13. Cho 0, 0a c b c≥ ≥ ≥ ≥ CMR: ( ) ( )c a c c b c ab− + − ≤ Câu 14. Cho a, b > 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 2 2 1 1 a b S b a = + − − Câu 15. Cho |x|,|y| <1. CMR: 1 1 2 2 2 1 1 1 xy x x + ≥ − − − Câu 16. Gọi r và r a lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp và bàng tiếp của tam giác ABC (a =BC). CMR: 2 . 4 a r r a ≤ Câu 17. Cho a, b> 0 và a + b = 1. CMR: 1 1 6 2 2 ab a b + ≥ + Câu 18. Cho x, y, z > 0 thoã mãn: 1 1 1 2 1 1 1x y z + + ≥ + + + Tìm giá trị lớn nhất của P =xyz Câu 19. Cho hai số dương a, b thoã mãn: 1 a b x y + = với x, y > 0. Tìm x, y để: S = x + y nhỏ nhất ( tính theo a, b) Câu 20. Cho tam giác ABC. Gọi m a , m b , m c lần lượt là 3 trung tuyến của tam giác xuất phát từ A, B, C. CMR: a) 2 3 a b c m m m a b c + + ≥ b) 3 3 2 m m m a b c a b c + + ≥ Câu 21. Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC. CMR: a) 3 a b c b c a c a b a b c + + ≥ + − + − + − b) 1 1 1 3 2a b c Rr + + ≥ Câu 22. Cho 0abc ≠ . CMR: 2 2 2 a b c a b c b c a b c a       + + ≥ + +  ÷  ÷  ÷       Câu 23. Cho 3 , , 0 x y z x y z + + ≤   ≥  CMR: a) 3 2 2 2 2 1 1 1 x y z x y z + + ≤ + + + b) 1 1 1 3 1 1 1 2x y z + + ≥ + + + Câu 24. Cho , 2n Z n∈ ≥ . CMR: 1 1 2 n n n n n n n n + + − < Câu 25. Đặt 1 1 , n a n N n n   = + ∈  ÷   CMR: 1 a a n n > + Câu 26. Cho a,b,c>0 , : abc=1 1 1 1 1 1 1 1 CMR a b c b c a        − + − + − + ≤  ÷ ÷ ÷     Câu 27. Cho , 0 , : 6 2 (4 ) 4 x y CMR x y x y x y ≥   + ≤  − − ≤ Câu 28. Cho a, b, c, d >0. CMR: 2 2 2 2 1 1 1 1 5 5 5 5 3 3 3 3 a b c d b c d a a b c d + + + ≥ + + + Câu 29. Cho a, b, c, d > 0. CMR: a b c a b c a b b c c a b c c a a b + + < + + + + + + + + Câu 30. Cho: x,y,z>0 x+y+z=1    Tìm giá trị lớn nhất của: 1 1 1 x y z P x y z = + + + + + Câu 31. Cho 1 4 2 3 a b c d ≥ −   ≥ −   ≥   ≥  CMR: 4 ( 1)( 4)( 2)( 3) 1 4 a b c d a b c d + + − − ≤ + + + Câu 32. Cho a, b, c > 0. CMR: 1 1 1 1 1 1 4 4 4 2 2 2a b c a b c b c a c a b + + ≥ + + + + + + + + Câu 33. Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 1. CMR: a) 1 1 1 8 a b c b c a     + + + ≥  ÷ ÷ ÷     b) 2 2 2 3 1 1 1 2 a b c a b c + + ≥ − − − Câu 34. Cho , , , 0 1 a b c d abcd >   =  . CMR: 1 5a b c d a b c d + + + + ≥ + + + Câu 35. Tìm giá trị nhỏ nhất của 1 ) 2 , 0 2 5 ) 2 , 0 a y x x x b y x x x = + > = + > Câu 36. Tìm giá trị nhỏ nhất lớn nhất của: 2 ) os (1 sinx) 3 b)y=sin (1 osx) a y c x x c = + + Câu 37. Cho a, b, c> 0. CMR: ( ) 6 2 3 ) 2 3 6 (6 ) (6 ) )( )( )( )( ) 16 a a b c a b c b a b b c c d d a abcd + + ≥ + + + + ≥ Câu 38. Cho ( ) ( ) 4 4 10, 1 1a b P a b+ = = + + a) Tìm giá trị nhỏ nhất của P b) Cho thêm điều kiện 0ab ≥ Tìm giá trị lớn nhất của P. Câu 39. Cho 2, 3, 4a y z≥ ≥ ≥ Tìm giá trị lớn nhất của: 2 3 ) yz x-2 y-3 y z-4 ) y x x y a M xy xz x b N xyz − + − = + + = Câu 40. Cho a, b, c > 0. CMR: 2 ab bc ca a b c a b b c c a + + + + ≤ + + + Câu 41. Chjo tam giác ABC. H a , h b , h c là ba đường cao của tam giác. CMR: a) 2 h h h h h h p a b b c c a + + ≤ b) 1 1 1 1 1 2 osA+4cosAcosB 1 2 osB+4cosBcosC 1 2 osC+4cosCcosAc c c + + ≥ + + + Câu 42. Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c có a + b + c = 2. CMR: 52 2 2 2 2 27 a b c abc+ + + ≥ Câu 43. Cho x, y, z > 0. CMR: 2 2 2 3 3 3 x y y z z x x y z+ + ≤ + + Câu 44. Cho a, b >0. Tìm giá trị nhỏ nhất của: ( )( ) , 0 x a x b A x x + + = > Câu 45. Cho a 1 , a 2 ,…, a n > 0.( , 2n Z n∈ ≥ ). CMR: 1 2 ) 2 2 3 1 3 1 2 1 1 1 1 ) 1 1 1 ( 1) 1 2 a a an a a a a a a a a a a n n n n b n a a a n + + + ≥ + + + + + + + + + −      + + + ≥ +  ÷  ÷ ÷      (Thêm điều kiện a 1 + a 2 +a 3 + ….+ a n =1) Câu 46. Cho , 2n Z n∈ ≥ . CMR: 1 1 n n n + > Câu 47. CMR: 1 , 0 2 a a a> ∀ > Câu 48. Cho a, b, c, d > 0. CMR: 2 2 3 2 3 2 3 2 3 3 a b c d b c d c d a d a b a b c + + + ≥ + + + + + + + + Chủ đề 4. CMR BẤT ĐẲNG ĐẲNG THỨC BẰNG BẤT ĐẲNG THỨC BCS Câu 1. a) Cho x, y thoã mãn: 1 2 1 2 1 =−+− xyyx CMR: 1 22 =+ yx b) Từ đẳng thức hai có suy ra được đẳng thức một không Câu 2. Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1 thì : 9 111 ≥++ zyx Câu 3. Cho: 2 5 ,,,1:; 13 2222 7 ≤≤      =+++ =+++ dcbaCMR dcba dcba Câu 4. Cho a, b, c > 0. CMR: 2 222 cba ba c ac b cb a ++ ≥ + + + + + Câu 5.Cho 1 22 =+ ba . CMR: 2211 +≤+++ abba Câu 6. Cho:    =++ > 3 0,, cba cba a. Tìm giá trị lớn nhất của: 2 1 2 1 2 1 c c b b a a A + + + + + = b. Tìm giá trị nhỏ nhất của: cba B + + + + + = 1 1 1 1 1 1 Câu 7. Cho:      ≥∈ =+++ 2, 3 2 2 2 2 1 nZn n aaa . CMR: 2 1 3 2 2 1 < + +++ n n a aa Câu 8. Chứng minh rằng nếu phương trình: 01 234 =++++ cxbxaxx (1) có nghiệm thì: 3 4 222 ≥++ cba Câu 9. Chứng minh rằng nếu phương trình: 01 234 =++++ axbxaxx có nghiệm thì: 5 4 22 ≥+ ba Câu 10. 0,, > γβα là 3 nghiệm của phương trình: 0 223 =+++ dcxbxax )0( ≠a . CMR: 5 81 23 777 a cb −≥++ γβα Câu 11. Cho a, y, z > 0 và xyz=1. Tìm giá trị nhỏ nhất của: )( 3 1 )( 3 1 )( 3 1 yxzxzyzyx M + + + + + = Câu 12. Cho a, b, c, d > 0. CMR: 2≥ + + + + + + + ba d ad c dc b cb a Câu 13. Cho a, b, c là 3 cạnh của tam giác ABC, S là diện tích: Nếu p, q, r >0 thì: Sc qp r b pr q a rq p 32 222 ≥ + + + + + Câu 14. Cho a, b, c > 0. CMR: cba cabcab baba c acac b cbcb a ++ ++ ≥ +− + +− + +− )(3 22 3 22 3 22 3 Câu 15. Cho x, y, z > 0 thoã mãn: 1=++ zxyzxy . Tìm giá trị nhỏ nhất của: xz z zy y yx x T + + + + + = 222 Câu 16. Cho:    =++ > 1 0,, cba cba . CMR 3 1 33 2 1 2 1 2 1 +≥       ++       ++       += c c b b a aP Câu 17. Cho a, b, c là hằng số dương thoã mãn: )0,,( >++ zyx z c y b x a Tìm giá trị nhỏ nhất của 333 zyxS ++= Câu 18. Cho a, b, c > 0 thoã mãn a + b + c =1. CMR: 30 111 222 1 ≥+++ ++ = bcacab cba P Câu 19.Cho x,y, z > 0.CMR: )(3 222222 zyxxzxzzyzyyxyx ++≥++++++++ Câu 20. Cho x,y thoã mãn: 2 1 2 1 22 xyyxyx −+−=+ .CMR: 543 ≤+ yx Câu 21. Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn. M là một điểm nằm trong tam giác. Gọi x, y,z là khoảng cách từ M đến BC, CA, AB. CMR: R cba zyx 2 222 ++ ≤++ Câu 22. Cho x, y, z >0 và x + y + z = 1. CMR: 82 2 1 2 2 1 2 2 1 2 ≥+++++ z z y y x x Câu 23. Cho hai dãy số dương a 1 , a 2 ,…a n và b 1 , b 2 , b n . CMR: n bbb n aaa n b n a b a b a +++ +++ ≥+++ 21 2 ) 21 ( 2 2 2 2 1 2 1 Câu 24. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của: xxxf −+−= 5413)( Câu 25. Cho )0,(2 22 >=+ yxyx . Tìm giá trị lớn nhất của P=xy(x + y) Câu 26. Cho hai số thoã mãn a + b = 2. CMR: 2 44 ≥+ ba Câu 27. Cho a, b, c là 3 số dương và 1 222 ≥++ cba . CMR: 2 1 333 ≥ + + + + + = ba c ac b cb a S Câu 28. cho a, b, c R∈ CMR: 2 23 2 )1( 22 )1( 22 )1( 2 ≥−++−++−+ accbba Câu 29. Cho a, b, c và asinx + bcosy = c. CMR: 33 2 11 2 sin 2 cos ba c bab y a x + −+≤+ Câu 30. Cho x, y, z và x(x-1) + y(y-1) + z(z-1) 3 4 ≤ CMR: 4≤++ zyx Câu 31. Cho 3x – 5y = 7. CMR: 34 49 22 ≥+ yx Câu 32. Cho 6x + y = 5. CMR: 5 22 9 ≥+ yx Câu 33. Cho 1 22 4 =+ ba . CMR: 10 2 )6( ≤+ ba Câu 34. Cho a, b, c > 0. CMR: a c c b b a a c c b b a ++≥++ 2 2 2 2 2 2 Câu 35. Cho a, b thoã mãn: 3a – 4b = 7. CMR: 7 2 4 2 3 ≥+ ba Câu 36. Cho hai số a, b thoã mãn: 2a – 3b = 7. CMR: 47 725 2 5 2 3 ≥+ ba Câu 37. Cho xy + yz + zx = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 444 zyxA ++= Câu 38. Cho x, y, z > 0 và x + y + z = 1. CMR: 4 3 111 ≤ + + + + + z z y y x x Câu 39. Trong tất cả các nghiệm x ,y của phương trình: 2x + 3y =1 Hãy chỉ ra nghiệm có tổng P= 2 2 2 3 yx + nhỏ nhất Câu 40. Cho x, y, z > 0. CMR: 2 ) 222 ( 222 zyx y xz x zy z yx ++≥++ Câu 41. Cho a, b, c > 0. CMR: ( ) ( ) 2 111 cbacba cba ++≥++       ++ Câu 42. Cho a, b > 0 và a +b =1. CMR: 2 25 2 1 2 1 ≥       ++       + b b a a Câu 43. Cho a, b, c là 3 cạnh của một tam giác. CMR: