Tìm m sao cho P đạt giá trị nhỏ nhất... Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin.
Trang 1Câu 1 Cho 0< < <a 1 b, ab>1 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
4 log
1 log log
a
b
Lời giải
Do 0< < <a 1 b, ab>1 nên suy ra loga b<0
Mặt khác ta có logb ab>0 ⇔logb a+ >1 0 1 log 0
log
a a
b b
+
⇔ > ⇒loga b+ <1 0
Ta có
4 log
1 log log
a
b
4
1 log
a
b
4
1 log
log 1
1 log
a
a a
b
b b
4
1 log
1 log
a
a
b
b
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có : ( 1 log ) 4 4
1 log
a
a
b
Suy ra P ≤ −4
Đẳng thức xẩy ra ⇔ +1 loga b= −2 ⇔loga b = −3 ⇔a b3 =1
x x
+ Tính tổng
( )
= + + + + +
4
4
4
Lời giải
1
−
−
x
x
1
x
x
+
= + + + +
CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ
NHỎ NHẤT, TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC
Trang 2( )
1
+ + +
1008
1 1 1 f 1
soá
9 1008
9 3
+
3 1008
4
4
loga
m = ab , với a>1,b>1 và P =loga2b+16 logb a Tìm m sao cho P đạt giá
trị nhỏ nhất
2
Lời giải
Vì a>1,b>1, ta có: 1(1 log )
3
a a
b
>
Đặt t =loga b, (t>0) (log )2 16
log
a
a
b
t t
t
3 t
t t
≥
12
=
Dấu “ = ” xảy ra khi 2 8
t t
= ⇔t3 =8⇔ =t 2
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức P =12 khi loga b =2 Suy ra 1(1 2)
3
2 2
2
loga 6 log
b a
b
a
với a , b là các số thực thay đổi thỏa
mãn b >a >1 là
Lời giải
2 2
2
loga 6 log
b a
b b
a
2 2
4 loga 6 log
b a
b
a
2 2
4 loga 6 1 log
b a
2
4 log 6 1
log
a
a
b
b a
2
4 log 6 1
a
a
b
b
Đặt t =loga b
2
2
t
2
2
t t
t
−
−
2
2 4 6
2
t t t
−
−
Theo BĐT Cosy
2 2
min
1
2 4 6
2
t
t
−
−
Dấu bằng xảy ra khi:
Trang 32
t t
t
−
=
−
1
2 1
2
t t
t t t
t
−
−
⇔ = − −
−
2 ( 2) 6( 1)
⇔
2 2
⇔
4
4
4
4
t t t t
=
=
⇔
=
=
Câu 5 Cho m và n là các số nguyên dương khác 1 Gọi P là tích các nghiệm của phương trình
8 logm x logn x −7 logm x−6 logn x−2017=0 Khi P là một số nguyên, tìm tổng
m+n để P nhận giá trị nhỏ nhất?
Lời giải
Đặt t =logm x, lúc đó t
Phương trình trở thành
2 2
Ta có ∆ =(7+6 logn m)2+4.2017.8 logn m
1 t; 2 t
1 2
7 6 log
8 log
1 2
n n
m
+ +
Lần lượt thử các đáp án ta chọn được đáp án C
1≤ <b a Biểu thức
3
3 2
2 1 loga b 4 2 loga 3
a
A 67 B 31455
8
Lời giải Chọn A
3
1≤ <b a ⇔log 1a ≤loga b≤ ⇔1 0≤loga b≤1
Trang 4( 2 )3 3 1 2
2
b
a
Đặt x =loga b
Xét
3
2
P = x + − x +
với 0≤x ≤1
2
2
( )
2
2
2
0 1
2
x
=
− − = ⇔
Lập bảng biến thiên ta cóP( )0 =67
16 4
x x
+ Tính tổng
= + + + +
5
5
5
Lời giải
Nhận xét: Cho x +y =1
= + + + + + + +
1008
so hang
Câu 8 Cho 2 số dương a và b thỏa mãn log2(a +1)+log2(b+1)≥6 Giá trị nhỏ nhất của
S =a+b là
Lời giải
Ta có log2(a+1)+log2(b+1)≥6⇔log2(a +1)(b+1)≥6 ⇔(a +1)(b+1)≥64
Trang 5Mà 64 ( 1)( 1) 2
2
a b + +
⇔(a+b)2 +4(a+b)−252≥0
( )
14 18
+ ≥
⇔ + ≤ −
Nên minS =14
x x
+ Tính tổng
= + + + +
2
2
Lời giải Chọn A
Ta có: ( ) 1 1
1
x
−
−
+ + + ⇒ f( )1 +f(1−x)=1
1009 2017 1008
2018 2
S
x x
= + Tính giá trị của biểu thức
= + + + +
12 Lời giải
3
−
−
Vậy ta có:
1008 1
= + + + + = + − +
( )
1008 1
1 336
Câu 11 Cho x , y là các số thực thỏa mãn log4(x +y)+log4(x−y)≥1 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin
Trang 6A Pmin =4 B Pmin = −4 C Pmin =2 3 D min 10 3
3
Lời giải
Điều kiện: 0
0
− >
+ >
Từ điều kiện ta có: 2x>0⇔x >0
log x+y +log x−y ≥ ⇔1 log x −y ≥ ⇔1 x −y ≥4
Vì x2−y2≥4 và x >0 ta có: 2
4
2
2
5 4
y
y
+ Bảng biến thiên
x
'
y 0
y
2 3
Từ bảng biến thiên ta có: Pmin =2 3
Câu 12 Cho n là số nguyên dương, tìm n sao cho
3
log 2019a 2 log 2019 3 log 2019 log 2019n 1008 2017 log 2019a
Lời giải
3
log 2019a +2 log 2019a +3 log 2019a + +n log 2019n a =1008 ×2017 log 2019a (*)
log 2019n a log 2019a log 2019a
2
2
n n
VP (*)=10082×2017 log 20192 a Khi đó (*) được:
2( 1)2 2 1008 20172 2 2 2016 20172 2 2016
25 5
x x
+
= + + + + +
Trang 7A 6053.
6
6
6
Lời giải
Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính được kết quả: S =1008
2016 2016
x x
+ Tính giá trị biểu thức
= + + … +
Lời giải
2016x 2016
+
= + +… + = + +
+ + + + =
y = x + x− e trên tập hợp các số tự nhiên là
Lời giải
(40 20) 40x (20 2 20 1283 40) 40x (800 2 840 51300) 40x
y′ = ⇒ = −x x =
Bảng xét dấu đạo hàm
40
40 =
+∞
( )7 163 280; ( )8 157 320
Vậy miny = −163.e280
x x
+
Trang 8Tính tổng 1 2 3 (1)?
= + + + +
4
4
Lời giải
1 1
9
3
−
−
+
⇒ + = + = + =
Vậy
= + + + + = + + + + = + =
Câu 17 Cho x , y là các số dương thỏa mãn xy ≤4y−1 Giá trị nhỏ nhất của
ln
P
= + là a+lnb Giá trị của tích ab là
Lời giải:
Chọn B
- Ta có:
2
2 chia 2 ve
cho y
>
→ < − + = − − + + = − − + ≤ ⇒ ≤
- Đặt t x 0 t 4 D (0; 4
y
= ⇒ < ≤ → =
- Biến đổi biểu thức P về dạng:
3 21
Lập bảng biến thiên, từ đó ta thấy rằng, trong khoảng (0; 4 thì hàm P(t) nghịch biến
Trang 9nên min ( ) ( )4 27 ln 6 272 81
a
b
=
=
Đáp án B
2016 2016
x x
= + + +
A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 D S = 2016
Lời giải
2
1
1 2016
x
f x
−
= + Với a + = ⇒b 1 f a( )+f b( )=1
= + + + = =
Vậy S =1008
Câu 19 Xét các số thực a b, thỏa mãn a> >b 1 Tìm giá trị lớn nhất P Maxcủa biểu thức
2
log
4
b
b P
a a
= + +
Lời giải
2 2
2
b
a a
1
Max
P