CÁC BÀI TỐN LIÊN QUAN ĐẾN TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT – GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT, TÍNH TỔNG CỦA BIỂU THỨC Câu Cho < a < < b , ab > Tìm giá trị lớn biểu thức P = loga ab + (1 - loga b ).loga ab b A P = Chọn B P = C P = D P = -4 Lời giải D Do < a < < b , ab > nên suy loga b < Mặt khác ta có logb ab > Û logb a + > Û Ta có P = loga ab + + loga b loga b > Þ loga b + < 4 = + loga b + (1 - loga b )(logab-1 a + logab-1 b ) (1 - loga b ).loga ab b = + loga b + 4 = + loga b + ỉ + log b log b ữữ a a (1 - loga b )ỗỗỗỗ1 - log b + - log ÷÷ b è a a ø Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có : -P = (-1 - loga b ) + Suy P £ -4 ³ -1 - loga b Đẳng thức xẩy Û + loga b = -2 Û loga b = -3 Û a 3b = Câu 9x Tính tổng 9x + ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ửữ ổ 2016 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữ S = f ỗỗỗ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ứữ ỗố 2017 ÷÷ø + f (1) è 2017 ÷ø Cho hàm số f (x ) = A S = Chọn 4035 B S = 8067 C S = 1008 Lời giải D S = 8071 A Xét f (x ) + f (1 - x ) = 9x 91-x 9x 9x + = + = + x x 1-x x x x + + + + 3.9 +3 +3 9x + = 9x + é ỉ ù é ù ữữ + f ổỗỗ 2016 ửữữỳ + f ổỗỗ ửữữ + f ổỗỗ 2015 ửữữỳ + Khi ú S = ờờ f ỗỗ ữ ỗ ỗố 2017 ữữứỳỳ ờờ ỗố 2017 ữữứ ỗố 2017 ữữứỳỳ ờở ố 2017 ÷ø û ë û = Trang é ỉ 1008 ự ữữ + f ổỗỗ 1009 ửữữỳ + f = + + + + f = 1008 + = 1008 + = 4035 + ờờ f ỗỗỗ ( ) ( ) ữữ ỗố 2017 ữứữỳ 4 9+3 1008 soá ëê è 2017 ø ûú Câu Cho m = loga trị nhỏ ( ab ) , với a > 1, b > P = log b + 16 log a Tìm m cho P đạt giá a B m = A m = Chọn b C m = D m = Lời giải A ì ï ï m = (1 + loga b ) ï Vì a > 1, b > , ta có: í ï ï log b ï a >0 ï ỵ Đặt t = loga b , (t > 0) Þ P = (loga b ) + = 12 Dấu “ = ” xảy t = 16 8 8 16 = t2 + = t + + ³ 3 t t t t t t loga b Û t3 = Û t = t Vậy giá trị nhỏ biểu thức P = 12 loga b = Suy m = Câu ( Giá trị nhỏ P = loga b æ ç + ççlog b ççè a b ÷÷ư ÷÷ với a , b số thực thay đổi thỏa a ÷ø b > a > mãn A 30 B 40 Chọn C 18 D 60 Lời giải C (log b ) a ) (1 + 2) = 2 ổ ỗ + ỗỗlog b ỗỗố a ỉ ư÷ ỉ ư÷ 2 b ư÷÷ b çç çç ÷ a ÷÷ = (loga b ) + ỗ1 + log b a ữữữ ữữ = (loga b ) + ỗlog b ỗ ççè a ÷ ÷ø ç è ø÷ a a 2 ổ ửữ ỗỗ ữữ ổ ửữ çç ÷÷ 1 ç ÷÷ + çç1 + ữữ = (loga b ) + ỗỗ1 + ỗố ỗỗ loga b - ữứ b ữữ ữữ ỗỗ log a ố a ứ = (loga b ) 2 æ æ t - ư÷ ỉ t - ư÷ ư÷ 2 ç ç ç ÷ ÷ = 4t + çç Đặt t = loga b Þ P = 4t + ỗ1 + ữ 4t ỗỗt - ữữữ Theo BT ỗố t - ữứữ ốt - ứữ ố ứ 2 Cosy ị Pmin ỉ t - ư÷ ÷÷ Dấu xảy khi: = 4t ỗỗỗ ốt - ÷ø 2 Trang é ỉ ê2t = ỗỗ t - ữữ ỗốt - ÷÷ø ỉ t - ư÷ ÷÷ Û ê 4t = ỗỗ ổ ỗốt - ữứ ờ2t = - ỗỗ t - ữữ ữ ỗốt - ữứ ờở ộ ờt ê ê ê é2t(t - 2) = 6(t - 1) é2t - (4 + 6)t + = êt ê ê ê Ûê Ûê Ûê ê2t(t - 2) = - 6(t - 1) ê2t - (4 - 6)t - = ê ë ë êt ê ê êt ê ë Câu 4+ 64 4+ 6+ = 4- = 4+ 6+ = = 22 22 22 22 Cho m n số nguyên dương khác Gọi P tích nghiệm phương trình (logm x )(logn x ) - logm x - logn x - 2017 = Khi P số nguyên, tìm tổng m + n để P nhận giá trị nhỏ nhất? A m + n = 20 B m + n = 48 C m + n = 12 Chọn D m + n = 24 Lời giải C Đặt t = logm x , lúc x = m t Phương trình trở thành ( ) 8t logn m t - 7t - logn m t - 2017 = Û 8t logn m - 7t - 6t logn m - 2017 = Û (logn m )t - (7 + logn m )t - 2017 = Ta có D = (7 + logn m ) + 4.2017.8 logn m Lúc x = m ; x = m t x 1.x = m t1 +t2 t =m +6 logn m logn m = P nguyên Lần lượt thử đáp án ta chọn đáp án C Câu Cho hai số thực a, b thỏa mãn £ b < a Biểu thức ( ổ bử P = ỗỗỗ1 + loga ữữữ + - loga2 b a ÷ø è A 67 B 31455 512 ) + có giá trị lớn C 27 Lời giải D 455 Chọn A £ b < a Û loga £ loga b £ Û £ loga b £ Trang ( ổ bử P = ỗỗ1 + loga ữữữ + - loga2 b ỗố a ữứ ) ỉ + = log b + ỗỗ4 - loga2 b ữữữ + ữứ çè a Đặt x = loga b ỉ Xét P = 2x + çç4 - x ÷÷÷ + với £ x Ê ỗố ữứ 3 ổ P ' = 6x - 3x ỗỗ4 - x ữữữ ỗố ữứ 2 ổ 6x - 3x ỗỗ4 - x ữữữ = ỗố ữứ ộx = ờ ổ ửữ ỗ ờx - ỗ4 - x ữữ = (VN ) ỗố ÷ø êë Lập bảng biến thiên ta có P (0) = 67 Câu 16x Tính tổng 16x + ỉ ÷ư ỉ ÷ư ỉ ửữ ổ 2017 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữ S = f ỗỗỗ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ứữ ỗố 2017 ÷ø÷ è 2017 ÷ø Cho hàm số f (x ) = A S = Chọn 5044 B S = 10084 C S = 1008 Lời giải D S = 10089 A Nhận xét: Cho x + y = 16x 16y 16 + 4.16x + 16 + 4.16y + = =1 16x + 16y + 16 + 4.16x + 4.16y + 16 ỉ ư÷ ỉ 2016 ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2015 ÷ư ỉ 1008 ư÷ ỉ 1009 ư÷ ổ 2017 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + f çç ÷ S = f ỗỗ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ữứ çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ữứ ỗố 2017 ữữứ Ta cú f (x ) + f (y ) = = 1 + + + 1 + 1008 so hang Câu 16 5044 = 1008 + = 16 + 5 Cho số dương a b thỏa mãn log2 (a + 1) + log2 (b + 1) ³ Giá trị nhỏ S = a + b A S = 12 Chọn B S = 14 C S = Lời giải D S = 16 B Ta có log2 (a + 1) + log2 (b + 1) ³ Û log2 (a + 1)(b + 1) ³ Û (a + 1)(b + 1) ³ 64 Trang ỉa + b + ư÷ ÷÷ Û (a + b ) + (a + b ) - 252 ³ Mà 64 £ (a + 1)(b + 1) Ê ỗỗ ữứ ỗố 2 éa + b ³ 14 Û êê êëa + b £ -18 (L ) Nên S = 14 Câu 4x Cho hàm số f (x ) = x Tính tổng +2 ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2017 ư÷ ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữ S = f ỗỗ ỗố 2018 ữứ ỗố 2018 ữứ ỗố 2018 ữứ ỗố 2018 ÷÷ø A S = 2017 C S = B S = 2018 Lời giải 2019 D S = 2017 Chọn A 41-x Ta có: f (1 - x ) = 1-x = = Þ f (1) + f (1 - x ) = x + + 2.4 + 4x ỉ ư÷ ỉ 2017 ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2016 ư÷ ỉ 1008 ư÷ ỉ 1010 ư÷ ÷÷ + f ỗỗ ữữ = 1, f ỗỗ ữữ + f çç ÷÷ = 1, , f çç ÷÷ + f çç ÷=1 Do đó: f çç çè 2018 ÷ø çè 2018 ữứ ỗố 2018 ữứ ỗố 2018 ữứ ỗố 2018 ữứ ỗố 2018 ữữứ ị S = 1008 + 1009 2017 = 2018 9x - Câu 10 Cho hàm số f (x ) = x Tính giá trị biểu thức +3 ỉ ư÷ ỉ ÷ư ỉ 2016 ư÷ ỉ 2017 ư÷ ÷÷ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữ P = f ỗỗ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ữữứ A 336 B 1008 C Lời giải Chọn 4039 12 D 8071 12 C 9x - 91-x - Xét: f (x ) + f (1 - x ) = x + 1-x = +3 +3 Vậy ta có: ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2016 ư÷ ỉ 2017 ư÷ 1008 é ỉ k ư÷ ỉ ỉ 2017 ư÷ k ửữựỳ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ = f ỗỗ ữữ + f ỗỗ1 ữữ + f ỗỗ ữ P = f ỗỗỗ ỗ ỗố 2017 ứữ çè 2017 ø÷ çè 2017 ø÷ çè çè 2017 ø÷÷ ÷ 2017 ø÷úûú è 2017 ø÷ ëê è 2017 ø 1008 ÛP =å Câu 11 4039 + f (1) = 336 + = 12 12 Cho x , y số thực thỏa mãn log (x + y ) + log (x - y ) ³ Tìm giá trị nhỏ Pmin biểu thức P = 2x - y Trang A Pmin = B Pmin = -4 C Pmin = D Pmin = Lời giải C ìïx - y > Điều kiện: ï í ïïx + y > ỵ Từ điều kiện ta có: 2x > Û x > 10 Đáp án ( ) Ta có: log (x + y ) + log (x - y ) ³ Û log x - y ³ Û x - y ³ Vì x - y ³ x > ta có: x ³ y + P = 2x - y = y + - y Xét: f (y ) = y + - y Þ f '(y ) = 2y y2 + - Þ f '(y ) = Û y = Bảng biến thiên x y' -¥ +¥ y Từ bảng biến thiên ta có: Pmin = Câu 12 Cho n số nguyên dương, tìm n cho loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n logn a 2019 = 10082 ´ 20172 loga 2019 A 2017 B 2019 Chọn C 2016 Lời giải D 2018 C loga 2019 + 22 log a 2019 + 32 log a 2019 + + n logn a 2019 = 10082 ´ 20172 loga 2019 (*) Ta có n logn a 2019 = n n.loga 2019 = n loga 2019 Suy é n(n + 1) ù ú log 2019 VT (*) = + + + n loga 2019 = ê a ê ú ë û ( 3 ) VP (*) = 10082 ´ 20172 loga 2019 Khi (*) được: n (n + 1)2 = 22.10082.20172 = 20162.20172 Þ n = 2016 25x 25x + ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2017 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữ Tớnh tng S = f ỗỗ ỗố 2017 ứữ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ữứ ỗố 2017 ÷÷ø Câu 13 Cho hàm số f (x ) = Trang A S = 6053 Chọn B S = 12101 C S = 1008 D S = Lời giải 12107 C Sử dụng máy tính cầm tay để tính tổng ta tính kết quả: S = 1008 Câu 14 Cho f (x ) = 2016x Tính giá trị biểu thức 2016x + 2016 ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2016 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + ẳ + f ỗỗ ữ S = f ỗỗỗ ỗố 2017 ữứ çè 2017 ÷÷ø è 2017 ÷ø A S = 2016 B S = 2017 C S = 1008 2016 D S = Lời giải Chọn C 2016 Ta có: f (1 - x ) = ® f (x ) + f (1 - x ) = 2016 + 2016 ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2016 ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2016 ư÷ ỉ ÷ư ÷÷ + f ỗỗ ữữ + ẳ + f ỗỗ ữữ = f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữ Suy S = f ỗỗ ỗố 2017 ứữ çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ÷ø çè 2017 ứữ ỗố 2017 ữữứ x ổ 2015 ửữ ổ 1008 ư÷ ỉ 1009 ư÷ ÷÷ + + f çç ÷÷ + f çç ÷ + f ççç çè 2017 ứữ ỗố 2017 ữứữ = 1008 ố 2017 ø÷ ( ) Câu 15 Giá trị nhỏ hàm số y = 20x + 20x - 1283 e 40x tập hợp số tự nhiên B -163.e 280 A -1283 C 157.e 320 D -8.e 300 Lời giải Chọn B ( ) ( ) y ¢ = (40x + 20)e 40x + 20x + 20x - 1283 40e 40x = 800x + 840x - 51300 e 40x 342 300 ;x = 40 40 Bảng xét dấu đạo hàm y = ị x = - x -Ơ y + y (7 ) = -163.e 280 ; y (8) = 157.e 320 - 342 40 - 300 = 7, 40 + +¥ Vậy y = -163.e 280 Câu 16 Cho hàm số f (x ) = 9x 9x + Trang ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ÷÷ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f (1)? Tớnh tng S = f ỗỗ ỗố 2007 ứữ A S = 2016 ỗố 2007 ứữ çè 2007 ø÷ C S = B S = 1008 4015 D S = 4035 Lời giải Chọn C 9 9x f (1 - x ) = 1-x = = = x 9 +3 + 3.9 + 3.9x +3 9x 9x 1-x Þ f (x ) + f (1 - x ) = Þ 9x 9x 9x (9 + 3.9x ) + 9.(9x + 3) 9x +1 + 3.92x + 9x +1 + 27 + = = x +1 = 9x + + 3.9x (9x + 3)(9 + 3.9x ) + 3.92x + 9x +1 + 27 ỉ ư÷ ỉ 2006 ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2005 ư÷ ỉ 1003 ư÷ ỉ 1004 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ = 1; f çç ÷÷ + f çç ÷÷ = 1; ; f çç ÷÷ + f çç ÷ = f çç çè 2007 ÷ø çè 2007 ÷ø çè 2007 ÷ø çè 2007 ứữ ỗố 2007 ữứ ỗố 2007 ữữứ Vy ổ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ 4015 ữữ + f ỗỗ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f (1) = + + + + S = f ỗỗỗ = 1003 + = ỗ ỗ 9+3 4 ố 2007 ø÷ è 2007 ø÷ è 2007 ø÷ Câu 17 Cho x , y số dương thỏa mãn xy £ 4y - Giá trị nhỏ P= (2x + y ) A 45 x + ln x + 2y a + ln b Giá trị tích ab y B 81 C 108 Lời giải: D 115 Chọn B - Ta có: ì ỉ1 ư÷ ỉ1 ư÷ ï x x chia ve ïx , y > ỗ ỗ ữ ữ ắắắắ đ < + = 2.2 + + = + Ê ị Ê ỗ ỗ ÷ ÷ 2 cho y ÷ ÷ ï ç ç xy £ y y y y y y y y è ø è ø ï ỵ - Đặt t = x Þ < t £ ắắđ D = (0; 4ựỳỷ y - Bin i biểu thức P dạng: ỉ 1ư t - 6t - 12 P = ỗỗỗ2 + ÷÷÷ + ln (t + 2) Þ P ' (t ) = - + = =0Û t ø÷ t +2 t t (t + 2) è éx = - 21 Ï D ê ê êx = + 21 Ï D ë Lập bảng biến thiên, từ ta thấy rằng, khoảng (0; 4ùú hàm P(t) nghịch biến û Trang ì ï ïa = 27 27 nên P (t ) = P (4) = + ln Þ ï í Þ a.b = 81 ắắđ ỏp ỏn ù ù b=6 ù ï ỵ Câu 18 Cho f (x ) = 2016x 2016x + 2016 A S = 2016 Chọn B ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ 2016 ư÷ ÷÷ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữữ Tớnh giỏ tr biu thc S = f ỗỗ çè 2017 ø÷ B S = 2017 Lời giải çè 2017 ø÷ çè 2017 ø÷ D S = 2016 C S = 1008 C Ta có f (x ) = 1 + 2016 -x Với a + b = Þ f (a ) + f (b ) = ỉ ư÷ ổ ửữ ổ 2016 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + + f ỗỗ ữữ = 1.1008 = 1008 Do ú, S = f ỗỗ ỗố 2017 ứữ Vy S = 1008 ỗố 2017 ứữ ỗố 2017 ø÷ Câu 19 Xét số thực a, b thỏa mãn a > b > Tìm giá trị lớn PMax biểu thức P= ỉ b ư÷ -1 ỗ ữ+ + log a ỗ ỗốa ø÷÷ logb2 a A PMax = B PMax = C PMax = D PMax = Lời giải Chọn B æ b ửữ ổ -1 ỗỗ ữ + = - log2 b + log b + = - ỗỗlog b - ÷÷ + £ P= + log a ỗ ữ a a ỗố a ÷ø÷ logb2 a èa ø÷ Þ PMax = Trang ... 22 log a 20 19 + 32 log a 20 19 + + n logn a 20 19 = 100 82 ´ 20 1 72 loga 20 19 A 20 17 B 20 19 Chọn C 20 16 Lời giải D 20 18 C loga 20 19 + 22 log a 20 19 + 32 log a 20 19 + + n logn a 20 19 = 100 82. .. 1 )2 = 22 .100 82. 201 72 = 20 1 62. 201 72 Þ n = 20 16 25 x 25 x + æ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ỉ ư÷ ổ 20 17 ửữ ữữ + f ỗỗ ữữ + f çç ÷÷ + f çç ÷÷ + + f çç ÷ Tính tổng S = f çç çè 20 17 ứữ ỗố 20 17 ữứ ỗố 20 17 ữứ ỗố 20 17... ỗỗ ỗố 20 18 ữứ ỗố 20 18 ữứ ỗố 20 18 ữứ ỗố 20 18 ữứ ỗố 20 18 ữứ ỗố 20 18 ữữứ ị S = 100 8 + 100 9 20 17 = 20 18 9x - Câu 10 Cho hàm số f (x ) = x Tính giá trị biểu thức +3 ỉ ư÷ ỉ ÷ư ỉ 20 16 ư÷ ỉ 20 17 ửữ