CHƯƠNG 2 GT DẠNG 11 các bài TOÁN THỰC tế

CÁC BÀI TOÁN THỰC TẾ LIÊN QUAN ĐẾN HÀM LŨY THỪA – MŨ LOGARIT LÃI SUẤT NGÂN HÀNG – TRẢ GĨP Câu (CHUN BIÊN HỊA) Đầu năm 2016, anh Hùng có xe cơng nơng trị giá 100 triệu đồng Biết tháng xe cơng nơng hao mịn 0, 4% giá trị, đồng thời làm triệu đồng ( số tiền làm tháng không đổi) Hỏi sau năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông tổng số tiền anh Hùng làm ) anh Hùng có bao nhiêu? A 172 triệu C 167, 3042 triệu B 72 triệu D 104,907 triệu Hướng dẫn giải Chọn C Sau năm số tiền anh Hùng làm 6.12 = 72 triệu đồng Sau năm giá trị xe cơng nơng cịn 100(1 − 0, 4%)12 ≈ 95,3042 triệu đồng Vậy sau năm số tiền anh Hùng có 167,3042 triệu đồng Câu (CHUYÊN LAM SƠN) Một tỉnh A đưa nghị giảm biên chế cán công chức, viên chức hưởng lương từ ngân sách nhà nước giai đoạn 2015 − 2021 ( năm) 10, 6% so với số lượng có năm 2015 theo phương thức “ra vào ” (tức giảm đối tượng hưởng lương từ ngân sách nhà nước người tuyển người) Giả sử tỉ lệ giảm tuyển dụng hàng năm so với năm trước Tính tỉ lệ tuyển dụng hàng năm (làm tròn đến 0, 01% ) A 1,13% B 1, 72% C 2, 02% D 1,85% Hướng dẫn giải Chọn D Gọi x ( x ∈ N ) số cán công chức tỉnh * A năm 2015 Gọi r tỉ lệ giảm hàng năm Số người việc năm thứ là: x ⋅ r Số người lại sau năm thứ là: x − x ⋅ r = x (1 − r ) Tương tự, số người việc sau năm thứ hai là: x (1 − r ) r Số người lại sau năm thứ hai là: x (1 − r ) − x (1 − r ) ⋅ r = x (1 − r ) ⇒ Số người việc sau năm thứ sáu là: x (1 − r ) ⋅ r Tổng số người việc là: x ⋅ r + x ⋅ (1 − r ) ⋅ r + x ⋅ (1 − r ) ⋅ r + + x ⋅ (1 − r ) ⋅ r = 10, 6% x ⇔ r + (1 − r ) r + (1 − r ) r + + (1 − r ) r = 0,106 r 1 − (1 − r )    = 0,106 ⇒ r ≈ 0, 0185 ⇔ − (1 − r ) Vì tỉ lệ giảm hàng năm với tỉ lệ tuyển dụng nên tỉ lệ tuyển dụng hàng năm 1,85% Câu (CHUYÊN LÊ KHIẾT) Bác B gởi tiết kiệm số tiền ban đầu 50 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 72% tháng Sau năm bác B rút vốn lẫn lãi gởi theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0, 78% tháng Sau gởi kỳ hạn tháng gia đình có việc Trang bác gởi thêm tháng phải rút tiền trước hạn gốc lẫn lãi số tiền 57.694.945,55 đồng (chưa làm tròn ) Biết rút tiền trước hạn lãi suất tính theo lãi suất khơng kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng Trong số tháng bác gởi thêm lãi suất A 0, 55% B 0, 3% C 0, 4% D 0, 5% Hướng dẫn giải Chọn C Số tiền bác B rút sau năm đầu: T1 = 50.000.000* (1 + 0, 0072*3) Số tiền bác B rút sau sáu tháng tiếp theo: T2 = T1 * (1 + 0, 0078*6 ) Số tiền bác B rút sau ba tháng tiếp theo: T3 = T2 * (1 + r ) = 57.694.945, 55 ⇒ r = Câu 57.694.945, 55 − ≈ 0, 004 = 0, 4% T2 (CHUYÊN NGOẠI NGỮ) Một người muốn có tỉ tiền tiết kiệm sau năm gửi ngân hàng cách năm gửi vào ngân hàng số tiền với lãi suất ngân hàng 8% năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi số tiền mà người phải gửi vào ngân hàng số tiền hàng năm (với giả thiết lãi suất không thay đổi), số tiền làm trịn đến đơn vị nghìn đồng? B 272.631.000 C 252.435.000 D 272.630.000 A 252.436.000 Hướng dẫn giải Chọn A Gọi Tn số tiền vỗn lẫn lãi sau n tháng, a số tiền hàng tháng gửi vào ngân hàng r ( % ) lãi suất kép Ta có T1 = a (1 + r ) , T2 = ( a + T1 )(1 + r ) = ( a + a ( r + 1) ) (1 + r ) = a (1 + r ) + a (1 + r ) T3 = ( a + T2 )(1 + r ) = a (1 + r ) + a (1 + r ) + a (1 + r ) 2 … ( T6 = a (1 + r ) + (1 + r ) + (1 + r ) ) = a.S S6 tổng cấp số nhân lùi vô hạn với dãy ( un ) = + r = 1, 08; q = 1, 08 S6 = u1 (1 − q ) 1− q Theo đề a = = 1, 08 (1 − 1, 086 ) − 1, 08 T6 2.109 = = 252435900, Quy trịn đến phần nghìn S6 1, 08 (1 − 1, 086 ) − 1, 08 Câu (SỞ NAM ĐỊNH) Anh Nam vay tiền ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp (chịu lãi số tiền chưa trả) với lãi suất 0, 0 / tháng Nếu cuối tháng tháng thứ anh Nam trả 30 triệu đồng Hỏi sau tháng anh Nam trả hết nợ? Trang A 35 tháng B 36 tháng C 37 tháng D 38 tháng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền vay, r lãi, m số tiền hàng tháng trả Số tiền nợ sau tháng thứ là: N1 = a (1 + r ) − m Số tiền nợ sau tháng thứ hai là: N =  a (1 + r ) − m  +  a (1 − r ) − m  r − m = a (1 + r ) − m (1 + r ) + 1 … Số tiền nợ sau n tháng là: N n = a (1 + r ) − m n (1 + r ) Sau n tháng anh Nam trả hết nợ: N n = a (1 + r ) ⇔ 1000 (1 + 0, 005 ) n (1 + 0, 005) − 30 n 0, 0005 −1 n −1 r n (1 + r ) −m r n −1 = =0 ⇔ t = 36,55 Vậy 37 tháng anh Nam trả hết nợ Câu (QUỐC HỌC HUẾ) Bạn Nam sinh viên trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm Đầu năm học, bạn vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất 4% Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau năm, biết năm đó, ngân hàng khơng thay đổi lãi suất ( kết làm trịn đến nghìn đồng) A 46794000 đồng B 44163000 đồng C 42465000 đồng D 41600000 đồng Hướng dẫn giải Chọn B Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc lãi) sau năm là: A = 106 (1 + 0, 04)4 + 106 (1 + 0, 04)3 + 106 (1 + 0, 04) + 106 (1 + 0, 04) = 106 (1 + 0, 04)[1 + (1 + 0, 04) + (1 + 0, 04)2 + (1 + 0, 04)3 ] − (1 + 0, 04)4 = 44163256 − (1 + 0, 04) Nên A = 44163000 đồng = 106 (1 + 0, 04) Câu (SỞ QUẢNG NAM) Một kỹ sư nhận lương khởi điểm 8.000.000 đồng/tháng Cứ sau hai năm lương tháng kỹ sư tăng thêm 10% so với mức lương Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc A 633.600.000 B 635.520.000 C 696.960.000 D 766.656.000 Hướng dẫn giải Chọn B Lương năm công nhân nhận T1 = 8.106.24 = 192.106 (đồng) Theo cơng thức tính lãi kép, lương năm cơng nhân nhận : T2 = 24.8.106 (1 + 10% ) = 212, 2.106 (đồng) Lương năm cuối cơng nhân nhận : T3 = 24.8.106 (1 + 10% ) = 232,32.106 (đồng) Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc: T = T1 + T2 + T3 = 635,520, 000 (đồng) Trang Câu (VÕ NGUYÊN GIÁP) Anh Hưng làm lĩnh lương khởi điểm 4.000.000 đồng/tháng Cứ năm, lương anh Hưng lại tăng thêm 7% /1 tháng Hỏi sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận tất tiền? (Kết làm tròn đến hàng nghìn đồng) A 1.287.968.000 đồng B 1.931.953.000 đồng D 3.219.921.000 đồng C 2.575.937.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền lương khởi điểm, r lương tăng thêm + Số tiền lương ba năm đầu tiên: 36a + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36 [ a + a.r ] = 36a (1 + r ) + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36a (1 + r ) … + Số tiền lương ba năm cuối: 36a (1 + r ) 11 Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được: 1 + (1 + r )1 + (1 + r )2 + (1 + r )3 + + (1 + r )11  a.36 = 2.575.936983 ≃ 2.575.937.000 đồng   Câu (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ LẦN 8) Một người vay ngân hàng 200.000.000 đồng theo hình thức trả góp hàng tháng 48 tháng Lãi suất ngân hàng cố định 0,8% / tháng Mỗi tháng người phải trả (lần phải trả tháng sau vay) số tiền gốc số tiền vay ban đầu chia cho 48 số tiền lãi sinh từ số tiền gốc nợ ngân hàng Tổng số tiền lãi người trả tồn q trình nợ bao nhiêu? A 38.400.000 đồng B 10.451.777 đồng C 76.800.000 đồng D 39.200.000 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Để thuận tiện trình bày, tất số tiền tính theo đơn vị triệu đồng 200 Số tiền phải trả tháng thứ 1: + 200.0,8% 48 Số tiền phải trả tháng thứ 2: 200  200  200 200 +  200 − + 47 .0,8%  0,8% = 48  48  48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 3: 200  200  200 200 0,8% +  200 − + 46  0,8% = 48  48  48 48 Số tiền phải trả tháng thứ 48 200  200  200 200 +  200 − 47 + .0,8%  0,8% = 48  48  48 48 Suy tổng số tiền lãi phải trả là: 200 200 200 .0,8% + .0,8% + + 47 .0,8% + 200.0,8% 48 48 48 48 (1 + 48 ) 200 200 = = 39, 0,8% (1 + + + 48 ) = 0,8% 48 48 Câu 10 (PHÚ XUYÊN ) Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 1% tháng Biết sau quý ( tháng) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi Trang sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu B A C 10 D 11 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền người gửi ban đầu N Số tiền nhận gốc lẫn lãi sau N năm T = a (1 + 0, 03) T ln = ⇔ (1 + 0, 03) N = ⇔ N ln1, 03 = ln ⇒ N = ≈ 9, 29 ln1, 03 a Câu 11 (SỞ HẢI PHÒNG) Một người vay ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà Nếu cuối tháng, tháng thứ người trả 40 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0, 65% tháng (biết lãi suất không thay đổi) sau người trả hết số tiền trên? A 29 tháng B 27 tháng C 26 tháng D 28 tháng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A số tiền vay, a số tiền gửi hàng tháng r lãi suất tháng Đến cuối tháng thứ n số tiền cịn nợ là: T = A (1 + r ) − a (1 + r )  n n −1 + (1 + r ) n−2 Hết nợ đồng nghĩa T = ⇔ A (1 + r ) + + 1 = A (1 + r )  n n n a (1 + r ) − 1   − r n a (1 + r ) − 1  =0 −  r a − Ar a a n (1 + r ) = ⇔ n = log1+r r r a − Ar Áp dụng với A = (tỷ), a = 0, 04 (tỷ), r = 0, 0065 ta n ≈ 27, 37 Vậy cần trả 28 tháng ⇔ Câu 12 (TT DIỆU HIỀN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0, 5% tháng Sau tháng, người có nhiều 125 triệu? B 45 tháng A 46 tháng C 44 tháng D 47 tháng Hướng dẫn giải: Chọn B Sau tháng, người nhận 100 + 100.0, 5% (triệu đồng) = 100.1, 0051 triệu đồng Sau tháng, người nhận được: 100.1, 005 + 100.1, 005.0, 005 = 100.1, 005 (1 + 0, 005 ) = 100 (1, 005 ) triệu đồng Sau n tháng, người nhận được: 100 (1, 005 ) triệu đồng n Theo đề: 100 (1, 005 ) > 125 ⇔ n > log1,005 1, 25 = 44, tháng n Vậy sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu đồng Câu 13 (TT DIỆU HIỀN) Năm 2014, người tiết kiệm x triệu đồng dùng số tiền để mua nhà thực tế người phải cần 1,55 x triệu đồng Người định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6, 9% / năm theo hình thức lãi kép khơng rút trước kỳ hạn Hỏi năm người mua nhà (giả sử giá bán nhà khơng thay đổi) Trang A Năm 2019 B Năm 2020 C Năm 2021 D Năm 2022 Hướng dẫn giải Chọn C Số tiền người gửi tiết kiệm sau n năm x (1 + 6,9% ) n Ta cần tìm n để x (1 + 6, 9% ) = 1, 55 x ⇔ (1 + 6,9% ) = 1, 55 ⇔ n ≈ 6, 56 n n Do đó, người gửi tiết kiệm cần gửi trọn kỳ hạn, tức năm Vậy đến năm 2021 người có đủ tiền cần thiết Câu 14 (CHUYÊN TUYÊN QUANG) Ông A vay ngân hàng 220 triệu đồng trả góp vịng năm với lãi suất 1,15% tháng Sau tháng kể từ ngày vay, ông hoàn nợ cho ngân hàng với số tiền hoàn nợ tháng nhau, hỏi tháng ông A phải trả tiền cho ngân hàng, biết lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian ơng A hồn nợ 220 (1, 0115 ) 0, 0115 12 A C 12 B (triệu đồng) (1, 0115) − 12 55 (1, 0115 ) 0, 0115 (triệu đồng) 12 220 (1, 0115 ) D (triệu đồng) (1, 0115 ) − 12 220 (1, 0115 ) (triệu đồng) 12 Hướng dẫn giải Chọn A a (1 + r ) r n Mỗi tháng ông A phải trả tiền cho ngân hàng x = 220 (1 + 1,15% ) 1,15% 12 = (1 + 1,15% ) 12 −1 220 (1, 0115 ) 0, 0115 (1 + r ) n −1 12 = (1, 0115) 12 −1 với a = 200, r = 1,15%, n = 12 Chứng minh công thức tổng quát: Trả góp ngân hàng mua đồ trả góp Ta xét toán tổng quát sau: Một người vay số tiền a đồng, kì hạn tháng với lãi suất cho số tiền chưa trả r % tháng (hình thức gọi tính lãi dư nợ giảm dần nghĩa tính lãi số tiền mà người vay nợ thời điểm tại), số tháng vay n tháng, sau tháng kể từ ngày vay, người bắt đầu hoàn nợ, hai lần hoàn nợ liên tiếp cách tháng, số tiền hoàn nợ lần nhau, số tiền đặn trả vào ngân hàng x đồng Tìm cơng thức tính x ?Biết lãi suất ngân hàng không thay đổi thời gian vay Chứng minh Gọi Pn số tiền lại sau tháng thứ n Sau tháng thứ số tiền gốc lãi là: a + ar = a (1 + r ) = ad với d = + r d −1 d −1 Sau tháng thứ hai số tiền gốc lãi là: ad − x + ( ad − x ) r = ( ad − x )(1 + r ) = ( ad − x ) d Trả x đồng số tiền cịn lại sau tháng thứ là: P1 = ad − x = ad − x Trả x đồng số tiền cịn lại sau tháng thứ là: P2 = ( ad − x ) d − x = ad − xd − x = ad − x ( d + 1) = ad − x d2 − d −1 Sau tháng thứ ba số tiền gốc lãi là: ad − x ( d + 1) +  ad − x ( d + 1)  r =  ad − x ( d + ) (1 + r ) =  ad − x ( d + 1) d       Trả x đồng số tiền lại sau tháng thứ là: Trang d3 − P3 =  ad − x ( d + 1) d − x = ad − xd − xd − x = ad − x d + d + = ad − x   d −1 ……………………………………… ( ) (1 + r ) − ( 5a) n dn − ⇔ Pn = a (1 + r ) − x với Số tiền lại sau tháng thứ n là: Pn = ad − x d −1 r d = 1+ r Do sau tháng thứ n người vay tiền trả hết số tiền vay ta có n n ad n ( d − 1) dn − n =0⇔x= Pn = ⇔ ad − x a (1 + r ) r d −1 dn − ⇔ x= n n (1 + r ) −1 Câu 15 (QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0, 5% tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền có tháng trước tiền lãi tháng sau đó) Hỏi sau tháng, người có nhiều 125 triệu đồng? A 47 tháng B 46 tháng C 45 tháng D 44 tháng Hướng dẫn giải Chọn C - Số tiền vốn lẫn lãi người gởi có sau n tháng S = 100(1 + 0, 005) n = 100.1, 005n (triệu S S đồng) ⇒ 1, 005n = ⇒ n = log1,005 100 100 - Để có số tiền S = 125 (triệu đồng) phải sau thời gian S 125 n = log1,005 = log1,005 ≈ 44, 74 (tháng) 100 100 - Vậy: sau 45 tháng người có nhiều 125 triệu đồng Câu 16 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Ông Nam gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 12% năm Sau n năm ông Nam rút toàn số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tìm số nguyên dương n nhỏ để số tiền lãi nhận lớn 40 triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi) A B C D Hướng dẫn giải Chọn D Gọi Tn tiền vốn lẫn lãi sau t tháng, a số tiền ban đầu Tháng ( t = 1) : T1 = a (1 + r ) Tháng ( t = ) : T2 = a (1 + r ) ……………… Tháng n ( t = n ) : Tn = a (1 + r ) t Tn 140 ln t a = 100 ≈ 33,815 (tháng) Tn = a (1 + r ) ⇒ t = ln (1 + r ) ln (1 + 1% ) t ≈ 2,818 Để số tiền lãi nhận lớn 40 triệu n > 12 Vậy n = ln Trang Câu 17 (Nguyễn Hữu Quang) Tỉ lệ lạm phát hàng năm quốc gia 10 năm 5% Năm 2012, chi phí tiền xăng cho ô tô 24,95 USD Hỏi năm 2017, chi phí tiền xăng cho tơ bao nhiêu? A 33,44 USD Câu 18 B 31,84 USD C 32,44 USD D 31,19 USD (PHAN BỘI CHÂU) Ông Minh gửi tiết kiệm vào ngân hàng số tiền tỷ đồng sau năm với lãi suất 0, 7% tháng, theo phương thức lãi đơn Hỏi sau năm ông Minh thu số tiền gốc lãi tính theo công thức nào? A 109 + 12.108.7% B 12.108.7% C 109 (1 + 7.10−1%)12 D 12.109 (1 + 7.10−1%) Câu 19 (PHÙ CÁT) Để đầu tư cho con, người gởi tiết kiệm 500 triệu đồng với lãi suất 7.5% / năm theo thể thức lãi kép Biết lãi suất không thay đổi suốt thời gian gởi Số tiền người nhận sau 18 năm là: B 1.637.902.044 C 2.837.902.044 D 3.837.902.044 A 1.837.902.044 Câu 20 (TAM QUAN) Một người đầu tư vào 25 tờ trái phiếu tờ có mệnh giá triệu đồng với lãi suất r % vòng năm Sau năm người có số tiền gốc lẫn lãi nam gần 73,5 triệu đồng Hỏi lãi suất r tờ trái phiếu phần trăm năm A B C D 10 Câu 21 (TUY PHƯỚC) Một người gửi vào ngân hàng 100 triệu đồng với kì hạn tháng,lãi suất 5% quý với hình thức lãi kép Sau tháng, người gửi thêm 50 triệu đồng với kì hạn lãi suất trước Tính tổng số tiền người nhận năm sau gửi? A ≈ 176, 676 triệu đồng B ≈ 177, 676 triệu đồng D ≈ 179, 676 triệu đồng C ≈ 178, 676 triệu đồng Câu 22 (VÂN CANH) Một nguời gửi tiết kiệm với lãi suất 8,4% năm lãi hàng năm đuợc nhập vào vốn, hỏi sau tháng ngưịi thu đuợc gấp đơi số tiền ban đầu (lấy giá trị quy tròn) ? A 96 B 97 C 98 D 99 Câu 23 (SỞ HẢI PHÒNG) Một bác nông dân vừa bán trâu số tiền 20.000.000 (đồng) Do chưa cần dùng đến số tiền nên bác nơng dân mang tồn số tiền gửi tiết kiệm ngân hàng loại kỳ hạn tháng với lãi suất kép 8.5% năm Hỏi sau năm tháng bác nông dân nhận tiền vốn lẫn lãi (làm tròn đến hàng đơn vị)? Biết bác nơng dân không rút vốn lãi tất định kì trước rút trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất theo loại khơng kì hạn 0.01% ngày (1 tháng tính 30 ngày) B 31803311 C 32833110 D 33083311 A 30803311 Câu 24 (NINH GIANG) Ông B đến siêu thị điện máy để mua laptop với giá 16,5 triệu đồng theo hình thức trả góp với lãi suất 1,5% /tháng Để mua trả góp ơng B phải trả trước 20% số tiền, số tiền cịn lại ơng trả dần thời gian tháng kể từ ngày mua, lần trả cách tháng Số tiền tháng ông B phải trả tiền lãi tính theo nợ gốc lại cuối tháng Hỏi, ơng B mua theo hình thức trả góp Trang số tiền phải trả nhiều so với giá niêm yết bao nhiêu? Biết lãi suất khơng đổi thời gian ơng B hồn nợ (làm trịn đến chữ số hàng nghìn) A 1.628.000 đồng B 2.125.000 đồng C 907.000 đồng D 906.000 đồng Câu 25 (HÀ HUY TẬP) Một công nhân thử việc (lương 4.000.000 đ/tháng), người muốn tiết kiệm tiền để mua xe máy cách tháng người trích khoản tiền lương định gửi vào ngân hàng Người định gửi tiết kiệm 20 tháng theo hình thức lãi kép, với lãi suất 0, %/tháng Giả sử người cần 25.000.000 đ vừa đủ để mua xe máy (với lãi suất không thay đổi q trình gửi) Hỏi số tiền người gửi vào ngân hàng tháng gần bao nhiêu? (làm trịn đến đơn vị nghìn đồng) A 1.226.238đ B 1.168.904đ C 1.234.822đ D 1.160.778đ Câu 26 (HẢI HẬU) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, tháng gửi triệu đồng, với lãi suất kép 1%/ tháng Gửi hai năm sáu tháng người có cơng việc nên rút tồn gốc lãi Số tiền người rút A 101  (1, 01)30 − 1 (triệu đồng) B 100  (1, 01)30 − 1 (triệu đồng) C 101  (1, 01) 29 − 1 (triệu đồng) D 100  (1, 01) 29 − 1 (triệu đồng) Câu 27 (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, tháng gửi triệu đồng, với lãi suất kép 1% tháng Gửi hai năm tháng người có cơng việc nên rút tồn gốc lãi Số tiền người rút 27 A 101 (1, 01) − 1 triệu đồng   27 C 100 (1, 01) − 1 triệu đồng   26 B 101 (1, 01) − 1 triệu đồng   D 100 (1, 01) − 1 triệu đồng Hướng dẫn giải Đáp án A Phương pháp: Quy tốn tính tổng cấp số nhân, áp dụng cơng thức tính tổng cấp số nhân: Dãy U1 ;U ;U ; ;U n gọi CSN có cơng bội q nếu: U k = U k −1q Tổng n số hạng đầu tiên: sn = u1 + u2 + + un = u1 − qn 1− q + Áp dụng công thức tính tổng cấp số nhân Cách giải: + Gọi số tiền người gửi hàng tháng a = triệu + Đầu tháng 1: người có a Cuối tháng 1: người có a (1 + 0, 01) = a.1, 01 + Đầu tháng người có : a + a.1, 01 ( ) Cuối tháng người có: 1, 01( a + a.1, 01) = a 1, 01 + 1, 012 ( ) + Đầu tháng người có: a + 1, 01 + 1, 01 ( ) ( ) Cuối tháng người có: a + 1, 01 + 1, 01 1, 01 = a + 1, 012 + 1, 013 … ( ) + Đến cuối tháng thứ 27 người có: a + 1, 01 + 1, 012 + + 1, 0127 ( 27 Ta cần tính tổng: a + 1, 01 + 1, 01 + + 1, 01 ) Áp dụng công thức cấp số nhân với công bội 1,01 ta − 1, 0127 = 100 1, 0127 − triệu đồng − 0, 01 ( ) Trang Câu 28 (CHUYÊN VĨNH PHÚC) Một người gửi tiết kiệm ngân hàng, tháng gửi triệu đồng, với lãi suất kép 2% tháng Gửi ba năm bốn tháng người có cơng việc nên rút toàn gốc lãi Số tiền người rút 100 102 A B (2, 02)39 − 1 (triệu đồng)  (2, 02)40 − 1 (triệu đồng) 103 103 100 102 40 (2, 02) − 1 (triệu đồng) D  (2, 02)39 − 1 (triệu đồng) C 103 103 Câu 29 (CHUYÊN NGUYỄN TRÃI) Một người tháng đặn gửi vào ngân hàng khoản tiền T theo hình thức lãi kép với lãi suất 0, 6% tháng Biết sau 15 tháng người có số tiền 10 triệu đồng Hỏi số tiền T gần với số tiền số sau? B 635.000 A 535.000 C 613.000 D 643.000 Câu 30 (LƯƠNG ĐẮC BẰNG) Một người gửi tiết kiệm 50 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% năm Biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm, số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu Sau năm rút lãi người thu số tiền lãi A 70,128 triệu đồng B 50, triệu đồng C 20,128 triệu đồng D 3,5 triệu đồng Câu 31 (QUẢNG XƯƠNG ) Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A khơng đủ nộp học phí nên Hùng định vay ngân hàng năm năm vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm Sau tốt nghiệp đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (khơng đổi) với lãi suất 0,25%/tháng vòng năm Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết hàng đơn vị) là: A 232518 đồng B 309604 đồng C 215456 đồng D 232289 đồng Hướng dẫn giải Chọn D Vậy sau năm bạn Hùng nợ ngân hàng số tiền là: s = 3000000 (1+ 3% ) + (1+ 3% ) + (1+ 3% ) + (1+ 3% )  = 12927407, 43   Lúc ta coi bạn Hùng nợ ngân hàng khoản tiền ban đầu 12.927.407, 43 đồng, số tiền bắt đầu tính lãi trả góp năm Ta có cơng thức: N (1+ r ) r ⇒Τ= (1+ r ) n −1 12927407, (1+ 0, 0025 ) 0, 0025 60 n = (1+ 0, 0025 ) 60 −1 ≈ 232289 Câu 32 (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU) Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6, 5% / năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi khoảng năm người thu gấp đôi số tiền ban đầu? B năm A 11 năm C năm D 12 năm Hướng dẫn giải Chọn A Gọi x số tiền gởi ban đầu Giả sử sau n năm số tiền vốn lãi 2x Ta có x ≈ x (1, 065 ) ⇔ (1, 065 ) ≈ ⇔ n ≈ log 1, 065 ⇔ n ≈ 11 n n Trang 10 Sau năm kể từ gửi thêm tiền lần hai 100 triệu gửi lần đầu gửi 18 tháng, tương ứng với quý Khi số tiền thu gốc lãi 100 triệu gửi lần đầu   A1 = 100  +  (triệu)  100  Sau năm kể từ gửi thêm tiền lần hai 100 triệu gửi lần hai gửi 12 tháng, tương ứng với quý Khi số tiền thu gốc lãi 100 triệu gửi lần hai   A2 = 100  +  (triệu)  100  Vậy tổng số tiền người nhận năm kể từ gửi thêm tiền lần hai     A = A1 + A2 = 100  +  + 100  +  ≈ 232 triệu  100   100  Câu 49 (TT DIỆU HIỀN) Thầy Đông gửi tổng cộng 320 triệu đồng hai ngân hàng X Y theo phương thức lãi kép Số tiền thứ gửi ngân hàng X với lãi suất 2,1% quý thời gian 15 tháng Số tiền lại gửi ngân hàng Y với lãi suất 0, 73% tháng thời gian tháng Tổng tiền lãi đạt hai ngân hàng 27 507 768,13 đồng (chưa làm tròn) Hỏi số tiền Thầy Đông gửi ngân hàng X Y bao nhiêu? A 140 triệu 180 triệu C 200 triệu 120 triệu B 120 triệu 200 triệu D 180 triệu 140 triệu Hướng dẫn giải Chọn A Gọi số tiền Thầy Đông gửi hai ngân hàng X Y x , y (triệu) Theo giả thiết x + y = 320.106 (1) Tổng số tiền vốn lẫn lãi nhận ngân hàng X sau 15 tháng (5 quý) A = x (1 + 0, 021) = x (1, 021) 5 ⇒ Số lãi sau 15 tháng rA = x (1, 021) − x = x (1, 021) − 1   Tổng số tiền vốn lẫn lãi nhận ngân hàng Y sau tháng B = y (1 + 0, 0073) = y (1, 0073) 9 9 ⇒ Số lãi sau tháng rB = y (1, 0073) − y = y (1, 0073) − 1   Theo giả thiết x (1, 021) − 1 + y (1, 0073) − 1 = 27 507 768,13 (2)      x ≃ 140 Từ (1) (2) ⇒   y ≃ 180 Câu 50 (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Một người gửi tiền tiết kiệm 200 triệu đồng vào ngân hàng với kỳ hạn năm lãi suất 8, 25% năm, theo thể thức lãi kép Sau năm tổng số tiền gốc lãi người nhận (làm trịn đến hàng nghìn) A 124, 750 triệu đồng C 250, 236 triệu đồng B 253, 696 triệu đồng D 224, 750 triệu đồng Hướng dẫn giải Chọn B Số tiền người gửi nhận sau năm gốc lẫn lãi S3 = 200(1 + 8, 25%)3 = 253, 696 triệu đồng Trang 17 Câu 51 (CHUYÊN QUANG TRUNG) Một người gửi 15 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kỳ hạn quý với lãi suất 1, 65% quý Hỏi sau người có 20 triệu đồng (cả vốn lẫn lãi) từ số vốn ban đầu? (Giả sử lãi suất không thay đổi) B năm quý C năm quý D năm A năm quý Hướng dẫn giải Chọn A n  1, 65  Số tiền người sau n kỳ hạn T = 15  +   100  n  1, 65  Theo đề bài, ta có 15  +  > 20 ⇔ n > log1+1,65 ≈ 17,56  100  100 Câu 52 (TIÊN LÃNG) Để đầu tư dự án trồng rau theo công nghệ mới, ông An làm hợp đồng xin vay vốn ngân hàng với số tiền 800 triệu đồng với lãi suất x% / năm , điều kiện kèm theo hợp đồng số tiền lãi tháng trước tính làm vốn để sinh lãi cho tháng sau Sau hai năm thành công với dự án rau mình, ơng An tốn hợp đồng ngân hàng số tiền 1.058 triệu đồng Hỏi lãi suất hợp đồng ông An ngân hàng bao nhiêu? B 14% / năm C 12% / năm D 15% / năm A 13% / năm Hướng dẫn giải Chọn D Cơng thức tính tiền vay lãi kép Tn = a (1 + x ) n Trong a : số tiền vay ban đầu, x : lãi suất x% / năm, n : số năm ⇒ x = Vậy x = n Tn −1 a 058 − = 0,15 tức 15% / năm 800 Câu 53 (TT DIỆU HIỀN) Một người có số tiền 20.000.000 đồng đem gửi tiết kiệm loại kỳ hạn tháng vào ngân hàng với lãi suất 8,5% / năm Vậy sau thời gian năm tháng, người nhận tổng số tiền vốn lẫn lãi (số tiền làm trịn đến 100 đồng) Biết người không rút vốn lẫn lãi tất định kỳ trước rút trước thời hạn ngân hàng trả lãi suất theo loại không kỳ hạn 0, 01% ngày ( tháng tính 30 ngày) A 31.802.700 đồng B 30.802.700 đồng C 32.802.700 đồng D 33.802.700 đồng Hướng dẫn giải Chọn A 8,5 % / tháng Đổi năm tháng 11x6 tháng + tháng Áp dụng cơng thức tính lãi suất Lãi suất 8,5% / năm tương ứng với Pn = P (1 + r ) n 11 8.5   Số tiền lĩnh sau năm tháng P11 = 20.000.000 1 +  = 31.613.071.66 đồng  200  Do hai tháng lại rút trước hạn nên lãi suất 0,01% ngày 0.01 Suy số tiền lĩnh T = P11 + P11 .60 ≈ 31.802.700 đồng 100 Trang 18 BÀI TOÁN TĂNG TRƯỞNG Câu (Lương Thế Vinh) Số lượng loài vi khuẩn sau t (giờ) xấp xỉ đẳng thức Q ( t ) = Q0 e 0.195t , Q0 số lượng vi khuẩn ban đầu Nếu số lượng vi khuẩn ban đầu 5000 sau giờ, số lượng vi khuẩn có 100.000 con? A 20 B 24 C 15,36 D 3,55 Hướng dẫn giải Chọn C Từ giả thiết ta suy Q ( t ) = 5000.e 0.195 t Để số lượng vi khuẩn 100.000 Q ( t ) = 5000.e 0.195t = 100.000 ⇔ e0.195t = ⇔ t = Câu ln 20 ≈ 15.36 ( h ) 0.195 (QUẢNG XƯƠNG 1) Theo số liệu Tổng cục thống kê, năm 2016 dân số Việt Nam ước tính khoảng 94.444.200 người Tỉ lệ tăng dân số hàng năm Việt Nam trì mức 1, 07% Cho biết tăng dân số tính theo cơng thức S = A.e Nr (trong A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Cứ tăng dân số với tỉ lệ đến năm dân số nước ta mức 120 triệu người A 2040 B 2037 C 2038 D 2039 Hướng dẫn giải Chọn D Gọi n số năm để dân số đạt mức 120 triệu người tính mốc từ năm 2016 ln1, 27 Ta có: 120 000.000 = 94.444.200e n.0,0107 ⇒ n ≈ ≈ 22.34 0,0107 Vậy năm thứ 23 (tức năm 2016 + 23 = 2039 ) dân số đạt mức 120 triệu người Câu (HÀ HUY TẬP) Biết năm 2001 , dân số Việt Nam 78685800 người tỉ lệ tăng dân số năm 1, 7% Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S = A.e Nr (trong A : dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Cứ tăng dân số với tỉ lệ đến năm dân số nước ta mức 120 triệu người A 2020 B 2022 C 2026 D 2025 Hướng dẫn giải Chọn C S Ta có S = A.e Nr ⇔ N = ln r A Để dân số nước ta mức 120 triệu người cần số năm S 100 120000000 N = ln = ln ≈ 25 (năm) 78685800 r A 1, Vậy đến năm 2026 dân số nước ta mức 120 triệu người Câu (HÀ HUY TẬP) Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.ert , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng ( r > ) , t thời gian tăng trưởng (tính theo đơn vị giờ) Biết số vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Thời gian để vi khuẩn tăng gấp đôi số ban đầu gần với kết kết sau Trang 19 A 20 phút B phút C 40 phút D phút Hướng dẫn giải Chọn B Ta có : 300 = 100.e5 r ⇔ e 5r = ⇔ 5r = ln ⇔ r = ln Gọi thời gian cần tìm t Theo u cầu tốn, ta có : 200 = 100.ert ⇔ ert = ⇔ rt = ln ⇔ t = 5.ln ≈ 3,15 ( h ) ln Vậy t = phút Câu (SỞ BẮC GIANG) Thang đo Richte Charles Francis đề xuất sử dụng lần vào năm 1935 để xếp số đo độ chấn động động đất với đơn vị Richte Cơng thức tính độ chấn động sau: M L = log A − log Ao , M L độ chấn động, A biên độ tối đa đo địa chấn kế A0 biên độ chuẩn Hỏi theo thang độ Richte, với biên độ chuẩn biên độ tối đa chận động đất độ Richte lớn gấp lần biên độ tối đa trận động đất độ Richte? B 20 A C 100 D 10 Hướng dẫn giải Chọn C Với trận động đất độ Richte ta có biểu thức A A = M L = log A − log A0 = log ⇒ = 107 ⇒ A = A0 107 A0 A0 Tương tự ta suy A′ = A0 105 Từ ta tính tỉ lệ Câu A A0 107 = = 100 A′ A0 105 (TT DIỆU HIỀN) Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm 1, 2% tỉ lệ ổn định 10 năm liên tiếp ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng triệu người? A 104,3 triệu người B 105,3 triệu người C 103,3 triệu người D 106,3 triệu người Hướng dẫn giải Chọn C Theo công thức S = A.eni = 91, 7.e10.0,012 = 103,3 triệu người Chú ý: Dân số giới ước tính theo cơng thức S = A.eni : Trong A : Dân số năm lấy làm mốc tính S : Dân số sau n năm i : Tỉ lệ tăng dân số năm Câu (SỞ QUẢNG NINH) Một lồi xanh q trình quang hợp nhận lượng nhỏ Carbon 14 (một đơn vị Carbon) Khi chết tượng quang hợp ngưng khơng nhận Carbon 14 Lượng Carbon 14 phân hủy chậm chạp chuyển hóa thành Nitơ 14 Gọi P ( t ) số phần trăm Carbon 14 lại phận sinh trưởng t năm trước P ( t ) cho công thức t P ( t ) = 100 ( 0, ) 5750 % Phân tích mẫu gỗ từ cơng trình kiến trúc gỗ, người ta thấy Trang 20 lượng Carbon 14 lại gỗ 65, 21% Hãy xác định số tuổi cơng trình kiến trúc A 3574 (năm) B 3754 (năm) C 3475 (năm) D 3547 (năm) Hướng dẫn giải Chọn D t Ta có 100 ( 0,5 ) 5750 = 65, 21 ⇔ Câu t 65, 21 65, 21 ⇔ t = 3547 = log 0,5 ⇔ t = 5750.log 0,5 5750 100 100 (Chuyên Thái Bình) Biết chu kỳ bán hủy chất phóng xạ plutơni Pu 239 24360 năm(tức lượng Pu 239 sau 24360 năm phân hủy cịn lại nửa) Sự phân hủy tính theo cơng thức S = Ae rt , A lượng chất phóng xạ ban đầu, r tỉ lệ phân hủy hàng năm ( r < ), t thời gian phân hủy, S lượng lại sau thời gian phân hủy t Hỏi 10 gam Pu 239 sau khoảng năm phân hủy gam? A 82230 (năm) B 82232 (năm) C 82238 (năm) D 82235 (năm) Hướng dẫn giải Chọn D - Pu 239 có chu kỳ bán hủy 24360 năm, ta có: ln − ln10 = 10.er 24360 ⇒ r = ≈ −0, 000028 24360 ln − ln10 t -Vậy phân hủy Pu 239 tính theo cơng thức S = A.e 24360 ln − ln10 t − ln10 − ln10 -Theo đề: = 10.e 24360 ⇒ t = ≈ ≈ 82235 (năm) ln − ln10 −0, 000028 24360 Chú ý: Theo đáp án gốc D (SGK) Tuy nhiên: khơng làm trịn r kết ln − ln10 t − ln10 = 10.e 24360 ⇒ t = ≈ 80922 ⇒ Kết gần A ln − ln10 24360 Câu (QUỐC HỌC QUY NHƠN) Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N ( t ) , biết N ′ (t ) = 7000 lúc đầu đám vi trùng có 300000 Hỏi sau 10 ngày, đám vi trùng có t+2 (làm tròn số đến hàng đơn vị)? A 322542 B 332542 C 302542 D 312542 Hướng dẫn giải Chọn D N ( t ) = ∫ N ′ ( t ) dt = ∫ 7000 dt = 7000.ln t + + C t+2 N ( 0) = 7000ln + C ⇒ 7000ln + C = 300000 ⇒ C = 300000 − 7000ln N (10) = 7000ln (10 + 2) + C = 7000ln (10 + 2) + 300000 − 7000ln ≈ 312542,3163 Câu 10 (CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN) Khi ánh sáng qua môi trường (chẳng hạn khơng khí, nước, sương mù, …) cường độ giảm dần theo quãng đường truyền x , theo công thức I ( x ) = I 0e − µ x , I cường độ ánh sáng bắt đầu truyền vào mơi trường µ hệ số hấp thu mơi trường Biết nước biển có hệ số hấp thu Trang 21 µ = 1, người ta tính từ độ sâu m xuống đến độ sâu 20 m cường độ ánh sáng giảm l.1010 lần Số nguyên sau gần với l nhất? A B C 10 D 90 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có Ở độ sâu m: I ( ) = I e−2,8 Ở độ sâu 20 m: I ( 20 ) = I 0e −28 Theo giả thiết I ( 20 ) = l.1010.I ( ) ⇔ e−28 = l.1010.e −2,8 ⇔ l = 10−10.e 25,2 ≈ 8, 79 Câu 11 (CHUYÊN NGUYỄN QUANG DIÊU ) Một nghiên cứu cho thấy nhóm học sinh xem danh sách loài động vật kiểm tra lại xem họ nhớ % tháng Sau t tháng, khả nhớ trung bình nhóm học sinh tính theo cơng thức M ( t ) = 75 − 20ln ( t + 1) , t ≥ (đơn vị % ) Hỏi sau khoảng số học sinh nhớ danh sách 10% A Sau khoảng 24 tháng C Sau khoảng 23 tháng B Sau khoảng 22 tháng D Sau khoảng 25 tháng Hướng dẫn giải: Chọn D Ta có 75 − 20 ln (t + 1) ≤ 10 ⇔ ln (t + 1) ≥ 3, 25 ⇔ t ≥ 24,79 Khoảng 25 tháng Câu 12 (CHU VĂN AN) Một điện thoại nạp pin, dung lượng pin nạp tính theo cơng ( thức Q ( t ) = Q0 − e− t ) với t khoảng thời gian tính Q dung lượng nạp tối đa (pin đầy) Hãy tính thời gian nạp pin điện thoại tính từ lúc cạn hết pin điện thoại đạt 90% dung lượng pin tối đa (kết làm tròn đến hàng phần trăm) A t ≈ 1, 65 B t ≈ 1, 61 C t ≈ 1, 63 D t ≈ 1,50 Hướng dẫn giải Chọn C Theo ta có ( Q0 − e− t ⇔t=− ) = 0,9.Q ⇔ − e ln ( 0,1) −t = 0,9 ⇔ e− t = 0,1 ≈ 1,63 Câu 13 (THẦY HIẾU LIVE ) Cường độ trận động đất M (richter) cho công thức M = log A − log A0 , với A biên độ rung chấn tối đa A0 biên độ chuẩn (hằng số) Đầu kỷ 20, trận động đất San Francisco có cường độ 8,3 độ Richter Trong năm đó, trận động đất khác Nam Mỹ có biên độ mạnh gấp lần Cường độ trận động đất Nam Mỹ A 11 B 2.075 C 33.2 D 8.9 Trang 22 Câu 14 (Lạc Hồng) Một khu rừng có trữ lượng gỗ 4.105 m3 Biết tốc độ sinh trưởng khu rừng 4% năm Hỏi sau năm năm khu rừng có m3 gỗ (Lấy xác đến sau hai chữ số thập phân) A 4, 47.105 m3 Câu 15 B 4,57.105 m3 C 4,67.105 m3 D 4,87.105 m3 (KIM LIÊN) Dân số giới ước tính theo cơng thức S = A.er N đó: A dân số năm lấy mốc tính, S dân số sau N năm, r tỷ lệ tăng dân số năm Cho biết năm 2001 , dân số Việt Nam có khoảng 78.685.000 người tỷ lệ tăng dân số năm 1, 7% năm Như vậy, tỉ lệ tăng dân số năm khơng đổi đến năm dân số nước ta mức khoảng 120 triệu người? B 2026 A 2020 C 2022 D 2024 Câu 16 (ĐỀ MINH HỌA LẦN 2) Số lượng loại vi khuẩn A phịng thí nghiệm tính theo cơng thức s ( t ) = s ( ) 2t , s ( ) số lượng vi khuẩn A lúc ban đầu, s ( t ) số lượng vi khuẩn A có sau t phút Biết sau phút số lượng vi khuẩn A 625 nghìn Hỏi sau bao lâu, kể từ lúc ban đầu, số lượng vi khuẩn A 10 triệu con? A 48 phút B 19 phút C phút D 12 phút Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: s ( 3) = s ( ) 23 ⇒ s ( ) = s ( 3) s (t ) = 78125; s ( t ) = s ( ) 2t ⇒ 2t = = 128 ⇒ t = s ( 0) Câu 17 (YÊN LẠC) Một loại virus có số lượng cá thể tăng trưởng mũ với tốc độ x% / h , tức sau số lượng chúng tăng lên x% Người ta thả vào ống nghiệm 20 cá thể, sau 53 số lượng cá thể virus đếm ống nghiệm 1, triệu Tìm x ? (tính xác đến hàng phần trăm) B x ≈ 23, 07% A x ≈ 13,17% C x ≈ 7, 32% D x ≈ 71,13% Câu 18 (SỞ BẮC NINH) Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S = Ae Nr (trong A dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Đầu năm 2010 dân số tỉnh Bắc Ninh 1.038.229 người tính đến đầu năm 2015 dân số tỉnh 1.153.600 người Hỏi tỉ lệ tăng dân số hàng năm giữ nguyên đầu năm 2025 dân số tỉnh nằm khoảng nào? A (1.424.300;1.424.400) B (1.424.000;1.424.100) C (1.424.200;1.424.300) D (1.424.100;1.424.200) Hướng dẫn giải Chọn C Gọi S1 dân số năm 2015, ta có S1 = 1.153.600, N = 5, A = 1.038.229 Ta có: S1 = A.e N r ⇒e N r S ln S1 = ⇒r= A A S 15 A A.e15.r = 1.038.229.e ln Gọi S2 dân số đầu năm 2025, ta có S2 = ≈ 1.424.227, 71 Câu 19 (CHUYÊN THÁI BÌNH) Một bể nước có dung tích 1000 lít.Người ta mở vòi cho nước chảy vào bể, ban đầu bể cạn nước Trong đầu vận tốc nước chảy vào bể lít/1phút Trang 23 Trong vận tốc nước chảy sau gấp đôi liền trước Hỏi sau khoảng thời gian bể đầy nước (kết gần nhất) A 3,14 B 4, 64 D 3, 64 C 4,14 Hướng dẫn giải Chọn C Trong đầu tiên, vịi nước chảy 60.1 = 60 lít nước Giờ thứ vịi chảy với vận tốc lít/1phút nên vịi chảy 60 ⋅ = 120 lít nước Giờ thứ vòi chảy với vận tốc lít/1phút nên vịi chảy 60 ⋅ = 240 lít nước Giờ thứ vịi chảy với vận tốc lít/1phút nên vịi chảy 60 ⋅ = 480 lít nước Trong đầu tiên,vịi chảy được: 60 + 120 + 240 + 480 = 900 lít nước Vậy thứ vòi phải chảy lượng nước 1000 − 900 = 100 lít nước Số phút chảy thứ 100 :16 = 6, 25 phút Đổi 6, 25 : 60 ≈ 0,1 Vậy thời gian chảy đầy bể khoảng 4,1 Câu 20 (HỒNG QUANG) Dân số tỉnh Hải Dương năm 2013 1,748 triệu người với tỉ lệ tăng dân số hàng năm r = 1, 04% Hỏi, đến năm dân số tỉnh Hải Dương đạt triệu người? (Giả sử tỉ lệ tăng dân số không thay đổi) A 2065 B 2067 C 2066 D 2030 Câu 21 (ĐỨC THỌ) E coli vi khuẩn đường ruột gây tiêu chảy, đau bụng dội Cứ sau 20 phút số lượng vi khuẩn E coli tăng gấp đơi Ban đầu, có 40 vi khuẩn E coli đường ruột Hỏi sau bao lâu, số lượng vi khuẩn E coli 671088640 con? B 24 A 48 C 12 D 8 ( ) Câu 22 (NGÔ SĨ LIÊN) Biết thể tích khí CO2 năm 1998 V m3 10 năm tiếp theo, thể tích CO2 tăng a % , 10 năm nữa, thể tích CO2 tăng n% Thể tích khí CO2 năm 2016 A V2016 (100 + a ) (100 + n ) =V C V2016 ( (100 + a )(100 + n ) ) = V 10 10 36 10 10 20 ( m ) ( m ) B V2016 = V (1 + a + n ) ( m ) D V2016 = V + V (1 + a + n ) 18 3 18 ( m ) Hướng dẫn giải Chọn A Ta có: (100 + a ) a   Sau 10 năm thể tích khí CO2 V2008 = V 1 +  =V 1020  100  Do đó, năm thể tích khí CO2 10 10 (100 + a ) 1 + n  n   = V2008  +  =V   10 20  100   100  10 V2016 (100 + a ) (100 + n ) =V 10 10 20 1016 (100 + a ) (100 + n ) =V 10 1036 Câu 23 (CHUYÊN KHTN) Tại Dân số giới ước tính theo cơng thức S = Aeni A dân số năm lấy làm mốc, S dân số sau n năm, i tỷ lệ tăng dân số năm Theo thống kê dân số giới tính đến tháng 01/2017, dân số Việt Nam có 94,970,597 Trang 24 người có tỉ lệ tăng dân số 1,03% Nếu tỷ lệ tăng dân số không đổi đến năm 2020 dân số nước ta có triệu người, chọn đáp án gần A 98 triệu người B 100 triệu người C 102 triệu người D 104 triệu người Hướng dẫn giải Chọn A Áp dụng công thức với A = 94,970,597 , n = , i = 1, 03% ta S ≈ 98 triệu người Câu 24 (CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH) Trong nơng nghiệp bèo hoa dâu dùng làm phân bón, tốt cho trồng Mới nhà khoa học Việt Nam phát bèo hoa dâu dùng để chiết xuất chất có tác dụng kích thích hệ miễn dịch hỗ trợ điều trị bệnh ung thư Bèo hoa dâu thả nuôi mặt nước Một người thả lượng bèo hoa dâu chiếm 4% diện tích mặt hồ Biết sau tuần bèo phát triển thành lần số lượng có tốc độ phát triển bèo thời điểm Sau ngày bèo vừa phủ kín mặt hồ? A × log 25 25 C × B 24 D × log 24 Hướng dẫn giải Chọn A Theo đề số lượng bèo ban đầu chiếm 0, 04 diện tích mặt hồ Sau ngày số lượng bèo 0, 04 × 31 diện tích mặt hồ Sau 14 ngày số lượng bèo 0, 04 × 32 diện tích mặt hồ … Sau × n ngày số lượng bèo 0, 04 × 3n diện tích mặt hồ Để bèo phủ kín mặt hồ 0, 04 × 3n = ⇔ 3n = 25 ⇔ n = log 25 Vậy sau × log 25 ngày bèo vừa phủ kín mặt hồ Câu 25 (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Số lượng lồi vi khuẩn phịng thí nghiệm tính theo công thức S (t ) = Aert , A số lượng vi khuẩn ban đầu, S ( t ) số lượng vi khuẩn có sau t ( phút), r tỷ lệ tăng trưởng ( r > ) , t ( tính theo phút) thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu có 500 sau có 1500 Hỏi bao lâu, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 con? A 35 (giờ) B 45 (giờ) C 25 (giờ) D 15 (giờ) Hướng dẫn giải Chọn C Ta có A = 1500 , = 300 phút ln 300 Gọi t0 ( phút) khoảng thời gian, kể từ lúc bắt đầu, số lượng vi khuẩn đạt 121500 Ta Sau giờ, số vi khuẩn S ( 300 ) = 500 ⋅ e300 r = 1500 ⇒ r = có 121500 = 500 ⋅ ert0 ln 243 300 ln 243 ⇒ t0 = = = 1500 (phút) r ln = 25 ( giờ) Câu 26 (PHAN ĐÌNH PHÙNG) Áp suất khơng khí P (đo milimet thủy ngân, kí hiệu mmHg) độ cao x (đo mét) so với mực nước biển tính theo cơng thức P = P0 e xl , P0 = 760 mmHg áp suất khơng khí mức nước biển, l hệ số suy Trang 25 giảm Biết độ cao 1000 mét áp suất khơng khí 672,71 mmHg Hỏi áp suất đỉnh Fanxipan cao mét bao nhiêu? A 22, 24 mmHg B 519,58 mmHg C 517,94 mmHg D 530, 23 mmHg Hướng dẫn giải Chọn D Ở độ cao 1000 mét áp suất khơng khí 672, 71 mmHg Nên 672, 71 = 760e1000 l 672, 71 760 672, 71 ⇔l= ln 1000 760 ⇔ e1000l = Áp suất đỉnh Fanxipan P = 760e3143l = 760e 672,71 3143 ln 1000 760 ≈ 717,94 Câu 27 (PHẠM VĂN ĐỒNG) Khoảng 200 năm trước, hai nhà khoa học Pháp R.Clausius E.Clapeyron thấy áp suất p nước (tính mmHg) gây chiếm khoảng trống phía mặt nước chứa bình kín (hình bên) tính theo cơng thức p = a.10 k t + 273 , t nhiệt độ C nước, a k số Biết k ≈ −2258, 624 nhiệt độ nước 1000C áp suất nước 760mmHg, tính áp suất nước nhiệt độ nước 40°C (tính xác đến hàng phần chục)? A ≈ 50,5mmHg B ≈ 52,5mmHg C ≈ 55,5mmHg D ≈ 60,5mmHg Câu 28 (PHẠM VĂN ĐỒNG) Số nguyên tố dạng M p = p − 1, p số nguyên tố gọi số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588-1648, người Pháp) Năm 1876, E.Lucas phát M 127 Hỏi viết M 127 hệ thập phân M 127 có chữ số? A 38 B 39 C 40 D 41 Câu 29 (PHẢ LẠI) Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tn theo cơng thức S = Aert , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng ( r > ), t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Hỏi sau số lượng vi khuẩn ban đầu tăng lên gấp 10 lần? A 29 phút B 29 phút C 10 29 phút D 29 phút Câu 30 (LẠNG GIANG ) Sự tăng trưởng loại vi khuẩn theo cơng thức S = A.ert A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng (r > 0) , t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Khi sau thời gian số lượng vi khuẩn tăng gấp 10 lần so với số lượng ban đầu 3ln 5 ln (giờ) B t = (giờ) C t = (giờ) D t = (giờ) A t = log ln10 log ln10 Câu 31 (LÝ THÁI TỔ) Giả sử sau năm diện tích rừng nước ta giảm x phần trăm diện tích có Hỏi sau năm diện tích rừng nước ta lần diện tích nay? Trang 26 4x A − 100 x4 B − 100 x   C  −   100   x  D −    100  Hướng dẫn giải Chọn C Gọi S0 diện tích rừng n x   Sau n năm, diện tích rừng S = S0  −   100  x   Do đó, sau năm diện tích rừng  −  lần diện tích rừng  100  Câu 32 (CHUN ĐHSP) Chuyện kể rằng: Ngày xưa, có ơng vua hứa thưởng cho vị quan quà mà vị quan chọn Vị quan tâu: “Hạ thần xin Bệ Hạ thưởng cho số hạt thóc thơi ạ! Cụ thể sau: Bàn cờ vua có 64 với thứ xin nhận hạt, thứ gấp đơi đầu, thứ lại gấp đơi thứ 2, … ô sau nhận số hạt thóc gấp đôi phần thưởng dành cho ô liền trước” Giá trị nhỏ n để tổng số hạt thóc mà vị quan từ n ô (từ ô thứ đến ô thứ n) lớn triệu A 18 B 19 C 20 D 21 Hướng dẫn giải Chọn C Bài toán dùng tổng n số hạng cấp số nhân Ta có: S n = u1 + u2 + + un = + 1.2 + 1.2 + + 1.2n −1 = 2n − = 2n − −1 Sn = 2n − > 106 ⇔ n > log (106 + 1) ≅ 19.93 Vậy n nhỏ thỏa yêu cầu 20 Câu 33 (CHUYÊN ĐHSP) Ngày 1/7/2016, dân số Việt Nam khoảng 91,7 triệu người Nếu tỉ lệ tăng dân số Việt Nam hàng năm 1,2% tỉ lệ ổn định 10 năm liên tiếp ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng triệu người? A 106,3 triệu người B 104,3 triệu người C 105,3 triệu người D 103,3 triệu người Hướng dẫn giải Chọn D Ngày 1/7/2026 dân số Việt Nam khoảng A.e r t = 91, 7.e1,2.10 = 103,39 Câu 34 (SỞ BÌNH PHƯỚC ) Sự tăng trưởng loại vi khuẩn tuân theo công thức S = A.ert , A số lượng vi khuẩn ban đầu, r tỉ lệ tăng trưởng, t thời gian tăng trưởng Biết số lượng vi khuẩn ban đầu 100 sau có 300 Hỏi số vi khuẩn sau 10 ? A 1000 B 850 C 800 D 900 Hướng dẫn giải Chọn D Trước tiên, ta tìm tỉ lệ tăng trưởng loại vi khuẩn ln 300 − ln100 ln Từ giả thiết ta có: 300 = 100.e5 r ⇔ r = = 5 ln3 Tức tỉ lệ tăng trưởng loại vi khuẩn r = 10 Sau 10 giờ, từ 100 vi khuẩn có 100.e ln = 900 Trang 27 Câu 35 (CHUYÊN BIÊN HÒA) Một người thả bèo vào ao, sau 12 bèo sinh sơi phủ kín mặt ao Hỏi sau bèo phủ kín mặt ao, biết sau lượng bèo tăng gấp 10 lần lượng bèo trước tốc độ tăng không đổi 12 B (giờ) C 12 − log (giờ) D 12 + ln (giờ) A 12 − log (giờ) Hướng dẫn giải Chọn A Ta gọi ui số bèo thứ i Ta có u0 = = 100 , u1 = 10, u2 = 102 , , u12 = 1012 Ta có số bèo để phủ kín 1 mặt hồ 1012 ⇒ thời gian mà số bèo phủ kín mặt hồ 5 12 − log Câu 36 (CHUYÊN HƯNG YÊN) Số nguyên tố dạng M p = p − , p số nguyên tố, gọi số nguyên tố Mec-xen (M.Mersenne, 1588 – 1648, người Pháp) Số M 6972593 phát năm 1999 Hỏi viết số hệ thập phân có chữ số? A 6972592 chữ số B 2098961 chữ số C 6972593 chữ số D 2098960 chữ số Hướng dẫn giải Chọn D M 6973593 có số chữ số số 26972593 [ 6973593.log 2] + = [6972593.0,3010] + = 2098960 số Câu 37 (CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU) Một nguồn âm đẳng hướng đặt điểm O có cơng suất truyền âm không đổi Mức cường độ âm điểm M cách O khoảng R tính k cơng thức LM = log (Ben) với k số Biết điểm O thuộc đoạn thẳng AB R mức cường độ âm A B LA = (Ben) LB = (Ben) Tính mức cường độ âm trung điểm AB (làm tròn đến chữ số sau dấu phẩy) A 3,59 (Ben) B 3,06 (Ben) C 3,69 (Ben) D (Ben) Hướng dẫn giải Chọn C Ta có: LA < LB ⇒ OA > OB Gọi I trung điểm AB Ta có: LA = log k k k ⇒ = 10 LA ⇒ OA = LA 2 OA OA 10 LB = log k k k ⇒ = 10 LB ⇒ OB = LB 2 OB OB 10 k k k ⇒ = 10 LI ⇒ OI = LI OI OI 10 k 1 k k Ta có: OI = ( OA − OB ) ⇒ =  − LI L LB 2  10 A 10 10 LI = log  1 1 =  −  ⇒ LI L LB  10 A 10 10     Trang 28 1  1 ⇒ LI = −2 log   − LA LB  10   10    ⇒ LI ≈ 3,69   Câu 38 (LẠNG GIANG) Một lon nước soda 80° F đưa vào máy làm lạnh chứa đá 32° F Nhiệt độ soda phút thứ t tính theo định luật Newton công thức T (t ) = 32 + 48.(0.9)t Phải làm mát soda để nhiệt độ 50° F ? A 1,56 B 9,3 C D Hướng dẫn giải Chọn B • Gọi to thời điểm nhiệt độ lon nước 80° F ⇒ T ( to ) = 32 + 48 ( 0, ) o = 80 (1) t Gọi t1 thời điểm nhiệt độ lon nước 50° F ⇒ T ( t1 ) = 32 + 48 ( 0,9 ) o = 50 (2) t • (1) ⇔ ( 0,9 ) o = ⇔ to = 3 t (2) ⇔ ( 0,9 ) = ⇔ t1 = log 0,9 ≈ 9, 8 t Câu 39 (TT DIỆU HIỀN) Trung tâm luyện thi Đại học Diệu Hiền muốn gửi số tiền M vào ngân hàng dùng số tiền thu (cả lãi tiền gốc) để trao 10 suất học bổng tháng cho học sinh nghèo TP Cần Thơ, suất triệu đồng Biết lãi suất ngân hàng 1% /tháng , Trung tâm Diệu Hiền bắt đầu trao học bổng sau tháng gửi tiền Để đủ tiền trao học bổng cho học sinh 10 tháng, trung tâm cần gửi vào ngân hàng số tiền M là: A 108500000 đồng B 119100000 đồng C 94800000 đồng D 120000000 đồng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi M (triệu) Lãi suất a Số tiền sau tháng thứ phát học bổng M (1 + a ) − 10 Số tiền sau tháng thứ hai phát học bổng ( M (1 + a ) − 10 ) (1 + a ) − 10 = M (1 + a ) − 10 (1 + a ) − 10 Số tiền sau tháng thứ ba phát học bổng ( M (1 + a ) ) − 10 (1 + a ) − 10 (1 + a ) − 10 = M (1 + a ) − 10 (1 + a ) + (1 + a ) + 1   ……………………………………… Số tiền sau tháng thứ 10 phát học bổng (1 + a ) − 10 M (1 + a ) − 10 (1 + a ) + + (1 + a ) + 1 = M (1 + a ) − 10   a Theo yêu cầu đề 10 10 10 (1 + a ) − 1 1+ a) −1 ( 10   M (1 + a ) − 10 =0⇔M = 10 a a (1 + a ) 10 10 Thay a = 1% Ta tìm M = 94713045 ≈ 94800000 Câu 40 (TT DIỆU HIỀN) Cường độ trận động đất đo độ Richter Độ Richter tính công thức M = log A − log A0 , A biên độ rung tối đa đo địa chấn kế biên độ chuẩn (hằng số) Vào ngày − 12 − 2016 , trận động đất cường độ 2, độ Richter xảy khu vực huyện Bắc Trà My, tỉnh Quảng Nam; ngày 16 − 10 − 2016 xảy trận động đất cường độ 3,1 độ Richter khu vực huyện Phước Trang 29 Sơn, tỉnh Quảng Nam Biết biên độ chuẩn dùng chung cho tỉnh Quảng Nam, hỏi biên độ tối đa trận động đất Phước Sơn ngày 16 − 10 gấp khoảng lần biên độ tối đa trận động đất Bắc Trà My ngày − 12 ? A lần C lần B lần D lần Hướng dẫn giải Chọn B Gọi A1 biên độ rung tối đa Phước Sơn Gọi A2 biên độ rung tối đa Trà My M1 = log A1 − log A0 = 3,1 M = log A2 − log A0 = 2, (1) ( 2) Lấy (1) − ( ) : log A1 − log A2 = 0, ⇔ log A2 A = 0, ⇔ = 100,7 A1 A1 Câu 41 (NGUYỄN TRÃI) Biết năm 2001 , dân số Việt Nam 78.685.800 người tỉ lệ tăng dân số năm 1, 7% Cho biết tăng dân số ước tính theo cơng thức S = A.e Nr (trong A : dân số năm lấy làm mốc tính, S dân số sau N năm, r tỉ lệ tăng dân số hàng năm) Cứ tăng dân số với tỉ lệ đến năm dân số nước ta mức 150 triệu người? A 2035 B 2030 C 2038 D 2042 Hướng dẫn giải Chọn C Theo giả thiết ta có phương trình 150.000.000 = 78.685.800.e0.017 N ⇔ N ≈ 37.95 (năm) Tức đến năm 2038 dân số nước ta mức 150 triệu người Câu 42 (Lê Hồng Phong) Huyện A có 300 nghìn người Với mức tăng dân số bình quân 1, 2% /năm sau n năm dân số vượt lên 330 nghìn người Hỏi n nhỏ bao nhiêu? A năm B năm C năm D 10 năm Hướng dẫn giải Chọn A Số dân huyện A sau n năm x = 300.000 (1 + 0, 012 ) n x > 330.000 ⇔ 300.000 (1 + 0, 012 ) > 330.000 ⇔ n > log1,012 n Câu 43 33 ⇔ n > 7,99 30 (ĐẠI HỌC VINH) Các khí thải gây hiệu ứng nhà kính nguyên nhân chủ yếu làm trái đất nóng lên Theo OECD (Tổ chức hợp tác phát triển kinh tế giới), nhiệt độ trái đất tăng lên tổng giá trị kinh tế tồn cầu giảm Người ta ước tính nhiệt độ trái đất tăng thêm 2°C tổng giá trị kinh tế tồn cầu giảm 3%, cịn nhiệt độ trái đất tăng thêm 5°C tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm 10% Biết nhiệt độ trái đất tăng thêm t °C , tổng giá trị kinh tế toàn cầu giảm f ( t ) % f (t ) = k a t (trong a, k số dương) Nhiệt độ trái đất tăng thêm độ C tổng giá trị kinh tế tồn cầu giảm 20% ? A 9,3°C B 7,6°C C 6, 7°C D 8, 4°C Trang 30 Hướng dẫn giải Chọn C  k a = 3% Theo đề ta có:  (1) Cần tìm t thỏa mãn k.at = 20%  k a = 10% 10 3% 3% 20 a = Khi k.at = 20% ⇒ a t = 20% ⇒ a t − = a a 20 ⇒ t ≈ 6, ⇒ t = + log 10 3 Từ (1) ⇒ k = Câu 44 (CHUYÊN BẮC GIANG) Sự phân rã chất phóng xạ biểu diễn công t  T thức m ( t ) = m0   , m0 khối lượng chất phóng xạ ban đầu (tại thời điểm 2 t = ), m ( t ) khối lượng chất phóng xạ thời điểm t T chu kì bán rã (tức khoảng thời gian để nửa số nguyên tử chất phóng xạ bị biến thành chất khác) Biết chu kì bán rã chất phóng xạ Po 210 138 ngày đêm Hỏi 0,168 gam Po 210 sau 414 ngày đêm lại gam? A 0, 021 B 0, 056 C 0, 045 D 0,102 Hướng dẫn giải Chọn A Với t = 414 , T = 138 , m0 = 0,168 g 414   138 Áp dụng công thức ta m ( 414 ) = 0,168   = 0, 021 2 Trang 31 ... hồn nợ 22 0 (1, 0115 ) 0, 0115 12 A C 12 B (triệu đồng) (1, 0115 ) − 12 55 (1, 0115 ) 0, 0115 (triệu đồng) 12 220 (1, 0115 ) D (triệu đồng) (1, 0115 ) − 12 220 (1, 0115 ) (triệu đồng) 12 Hướng... phải trả tiền cho ngân hàng x = 22 0 (1 + 1,15% ) 1,15% 12 = (1 + 1,15% ) 12 −1 22 0 (1, 0115 ) 0, 0115 (1 + r ) n −1 12 = (1, 0115 ) 12 −1 với a = 20 0, r = 1,15%, n = 12 Chứng minh công thức tổng quát:... mức 120 triệu người A 20 20 B 20 22 C 20 26 D 20 25 Hướng dẫn giải Chọn C S Ta có S = A.e Nr ⇔ N = ln r A Để dân số nước ta mức 120 triệu người cần số năm S 100 120 000000 N = ln = ln ≈ 25 (năm)